Capacitores Prof. Dr. Gustavo Lanfranchi

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1 Capacitores Prof. Dr. Gustavo Lanfranchi Física Geral e Experimental 2, Eng. Civil 2018

2 Capacitores Definição O que é um capacitor? Quais são suas propriedades? O que é capacitância, como é calculada? Como se associam capacitores? Como se calcula a capacitância equivalente? Qual é a energia armazenada? 14:33:13 2

3 Capacitores São dispositivos para armazenar cargas e energia. Constituídos, normalmente, de dois condutores próximos um do outro, mas separados por um meio isolante. Quando conectados a uma fonte de energia, os condutores são carregados com mesma quantidade de carga com sinais opostos (+Q e -Q). São caracterizados pela sua capacitância, que depende da geometria e do material (dielétrico) que separa os condutores. Capacitores podem ter diversas aplicações: os dispositivos de flash de máquinas fotográficas são conectados a um capacitor que armazena a energia necessária para emitir a luz; são usados em circuitos de rádios, televisores e celulares, permitindo que sejam usados em frequências específicas. 14:37:51 3

4 Capacitores Considere dois condutores carregando a mesma carga com sinais opostos. Entre os dois haverá uma diferença de potencial, normalmente chamada de voltagem. O que determina quanta carga há no capacitor a uma dada voltagem? Ou, qual é a capacidade do aparelho de armazenar carga a uma dada dv (diferença de potencial)? O potencial de um condutor isolado (diferença de potencial entre ele e um ponto no infinito), carregado com carga Q, é proporcional à sua carga e depende da sua geometria e do seu tamanho. O potencial de uma esfera condutora de raio R, carregada com carga Q, por exemplo, é: V =k. Q R 14:39:25 4

5 A razão entre a carga em um condutor isolado e o potencial a ele aplicado define a sua capacitância. C= Q V A capacitância C de um capacitor é a razão entre a quantidade de carga nos condutores e o valor da diferença de potencial entre eles. C= Q Δ V Capacitores Q=C Δ V Esse dependência entre Q e V varia com a forma dos condutores e a separação entre eles. Como o potencial é sempre proporcional à carga, a razão entre essas duas grandezas (capacitância) não depende nem de Q nem de V, apenas da geometria. Assim, a capacitância pode ser determinada supondo uma carga total Q e calculando o potencial. 14:44:32 5

6 Capacitores Para um condutor esférico isolado de carga Q e raio R (supondo o segundo condutor como uma casa esférica de raio infinito): C= Q Δ V C= Q k.q / R C= R k C=4. π.ε 0. R A capacitância é sempre positiva e a mesma para um dado capacitor. A unidade de capacitância é, portanto, C/V, ou seja, faraday (F). Os valores de capacitância são sempre aixos, da ordem de 10-6 a F. Exercício 1: calcule o raio de um condutor esférico de capacitância 1,00 F. Exercício 2: uma esfera de capacitância C 1 possui carga 20,00 C. Qual será o valor da capacitância C 2 se a carga for aumentada para 67,00 C? A capacitância será a mesma, pois não depende da carga. R=8, m 14:48:35 6

7 Capacitores de placas paralelas Para calcular a capacitância de um dispositivo, carrega-se cada um dos condutores com mesma carga, de sinais opostos, e mede-se o potencial entre eles através do cálculo de E. Por exemplo, considere duas placas paralelas de área A separadas por uma distância d, uma com carga Q e a outra com -Q. Conforme é carregado, os elétrons vão da placa positiva para a negativa. Quanto maior a área, maior a quantidade de carga que pode ser armazenada. E quanto menor a distância entre elas, maior a carga. ΔV =E. d Calculando C, tem-se primeiro que a densidade de carga em cada placa é: σ= Q A 14:50:39 7

8 Capacitores de placas paralelas Para placas muito próximas pode-se considerar o campo entre as placas uniforme e nulo fora delas. E= σ ε 0 = Q ε 0. A ΔV =E. d ΔV = Q. d ε 0. A C= Q Δ V C= Q Q. d/ε 0. A C= ε 0. A d Exercício 3: um capacitor de placas paralelas tem um área 2,00 x 10-4 m 2 e uma separação entre as placas de 1,00 mm. Qual é a sua capacitância? C=1, F (1,77 pf) Exercício 4: um capacitor tem placas paralelas quadradas de lado 10,00 cm separadas por uma distância de 1,00 mm. Qual é a sua capacitância? Qual será a carga armazenada nele se a ele for aplicada uma diferença de potencial de 12,00 V? C=88, F (88,5 pf) Q=1, C (1,96 nc) 19:56:52 8

9 Capacitor cilíndrico Exercício 5: calcule a capacitância de um capacitor constituído de um condutor cilíndrico sólido de comprimento l, raio a e carga Q coaxial com uma casca cilíndrica de espessura desprezível, raio > a e carga - Q. V V a = a V V a = a E d s E r = 2. k. λ dr r V V a = 2. k. λ a ΔV =2. k. λ. ln ( ) a 1 r dr 2.k.λ r λ= Q l ΔV =2. k. Q l.ln ( a ) C= Q Δ V C= C= l 2.k. ln (/a ) Q 2.k.Q/l. ln (/a ) 20:10:15 9

10 Capacitor esférico Exercício 6: calcule a capacitância de um capacitor composto de uma casca condutora esférica de raio e carga -Q concêntrica a um condutor sólido esférico de raio a e carga Q. V V a = a V V a = a ΔV =k.q. ( 1 ) r a E d s E r = k.q r 2 k.q r 2 dr V V a = k. Q. a ΔV =k.q. ( 1 a 1 ) ΔV =k.q. ( a a. ) 1 r 2 dr C= Q Δ V Q C= k.q.( a)/a. C= a. k.( a) 20:19:02 10

11 Energia armazenada em capacitores Imagine que a carga positiva colocada na placa ligada ao terminal negativo da ateria esteja sujeita a um força que a desloca para a placa positiva. Traalho será realizado sore essa carga e, como ela foi transferida, há uma diferença de potencial e energia potencial eletrostática é armazenada. A energia potencial é: du =dq. dv Como a variação do traalho e da energia são iguais: dw =dq.dv = q C dq Integrando a equação em amos os lados: dw = q Q C dq W = q 0 C dq W = 1 Q C. q dq W = q2 0 2C Ou seja, esse é o traalho realizado ao deslocar a carga. E a energia armazenada pode ser calculada utilizando a relação com o traalho: W =Δ U U = q2 U = 1 2C 2 Q. Δ V U = 1 2 C.Δ V 2 20:31:15 11

12 Energia armazenada em capacitores Exercício 7: um capacitor com capacitância 15,00 F é carregado até atingir 60,00 V. Qual é a energia eletrostática armazenada nele? U E =0,027 J Exercício 8: determine a energia potencial armazenada em um capacitor de placas paralelas em função do campo elétrico. U= 1 2 C. Δ V 2 Δ V =E. d C= ε 0. A d U= 1 2 ε 0. A d (E. d)2 U= 1 2 ε 0.( A. d) E 2 U= 1 2 ε 0. E 2 Energia por unidade de volume. Exercício 9: determine a energia potencial por unidade de volume armazenada em um capacitor de placas paralelas de 3,50 µf quando sujeito a um campo elétrico de 4,20 x 10 3 N/C? U E =7, J 20:41:52 12

13 Lista de exercícios 1) Um capacitor de placas paralelas tem um área 4,30 x 10-4 m 2 e uma separação entre as placas de 3,80 mm. Qual é a sua capacitância? R: C = 1,00 pf 2) Um capacitor de placas paralelas tem capacitância 5,60 x F e condutores de área 3,25 x 10-3 m 2 cada uma. Calcule a distância separando as placas. R: d = 5,14 mm 3) A distância entre as duas placas de uma capacitor de placa paralelas é 6,60 mm e a sua capacitância é 8,20 x F. Qual é o valor da área de cada placa? R: A = 6,12 x 10-3 m² 4) Um capacitor tem placas paralelas quadradas de lado 24,60 cm separadas por uma distância de 3,70 mm. Qual é a sua capacitância? Qual será a carga armazenada nele se a ele for aplicada uma diferença de potencial de 110,00 V? R: C = 1,45 x F; Q = 1,59 x 10-8 C 5) A distância entre as placas paralelas circulares de um capacitor é 6,80 mm e o raio de cada placa é 12,40 cm. Qual é a sua capacitância? Qual deve ser o valor da diferença de potencial aplicada a ele para que seja armazenada uma carga de 2,80 nc? R: C = 6,29 x F; V = 44,54 V 13

14 Lista de exercícios 6) Deduza a expressão para a capacitância de um capacitor cilíndrico de comprimento c, raios interno r 1 e externo r 2 e cargas Q e -Q. Qual será o valor da capacitância se o comprimento for 25,00 cm, o raio interno 13,20 cm e o externo 18,40 cm? R: C = c/ (2kln(r 2 /r 1 )); C = 4,18 x F 7) Deduza a expressão para capacitância de um capacitor esférico com raios interno r 1 e externo r 2 e cargas Q e -Q. Qual será o valor de C se o raio interno for 16,80 cm e o externo for 24,30 cm? R: C = r 1. r 2 / (k(r 2 -r 1 )); C = 6,05 x F 8) Um capacitor com capacitância 24,60 F é carregado até atingir 117,00 V. Qual é a energia eletrostática armazenada nele? R: U = 0,17 J 9) Um capacitor de placas paralelas armazena uma energia de 0,054 J quando sumetido a uma diferença de potencial de 60,00 V. Qual é a capacitância desse capacitor? R: C = 30,00 F 14