Quarta Lista - Capacitores e Dielétricos

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1 Quarta Lista - Capacitores e Dielétricos FGE211 - Física III Sumário Um capacitor é um dispositivo que armazena carga elétrica e, consequentemente, energia potencial eletrostática. A capacitância C de um capacitor é a razão entre a carga armazenada nas placas do capacitor e a diferença de potencial entre eles: C = Q V Sistema Esfera isolada e carregada com raio R Capacitor de placas paralelas com área A e separação d Capacitor cilíndrico de raio interno a e externo b e comprimento L Capacitor esférico de raio interno a e externo b Capacitância C = 4πɛ 0 R C = ɛ 0A d C = 2πɛ 0L ln(b/a) C = 4πɛ 0 ab b a As capacitâncias equivalentes de capacitores conectados em série e paralelo são 1 C eq = 1 C C C (serie) C eq = C 1 + C 2 + C (paralelo) O trabalho realizado para armazenar uma carga Q em um capacitor é: U = Q2 2C = 1 2 Q V 2 = 1 2 C V 2, que é igual a energia potencial armazenada no capacitor. 1

2 A energia potencial também pode ser pensada como armazenada no campo elétrico. A densidade de energia por unidade de volume é u e = 1 2 ɛ 0E 2. A densidade de energia u e é igual a pressão eletrostática em uma superfície. Quando um material dielétrico com uma constante dielétrica κ e é inserida dentro de um capacitor, sua capacitância aumenta por um valor C = κ e C 0 O vetor de polarização P é a densidade de momentos de dipolo elétrico por unidade de volume: P = 1 N p i V A densidade superficial de carga induzida no dielétrico está relacionada com o vetor de polarização através de: i=1 σ b = P ˆn Define-se o vetor de deslocamento elétrico como sendo: D = ɛ 0 E + P A lei de Gauss na presença de dielétricos pode ser escrita como: D ˆndA = Q int (livre) Em materiais lineares, o vetor de polarização é proporcional ao campo elétrico: P = χ e ɛ 0 E, onde χ e é a susceptibilidade elétrica do material. Com isso, o vetor de deslocamento para materiais lineares pode ser escrito como D = ɛ 0 (1 + χ e ) E = ɛ 0 K e E = ɛ E, onde K e = 1 + χ e é a constante dielétrica do material e ɛ = ɛ 0 K e a sua permissividade elétrica. 2

3 Na presença de um dielétrico de constante dielétrica K e, o campo elétrico dentro de um capacitor de placas paralelas se torna: E = σ f ɛ 0 K e e a capacitância C = ɛ 0A d K e Estratégia para resolução de problemas Para calcular a capacitância de diferentes capacitores, os passos abaixo podem ser úteis: 1. Identifique a direção do campo elétrico usando simetrias. 2. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. 3. Calcule a diferença de potencial V. 4. Obtenha a capacitância através da relação C = Q /V. Questões conceituais 1. As cargas nas placas de um capacitor de placas paralelas tem a mesma magnitude e sinais opostos. Ou seja, elas se atraem. Para aumentar a separação entre as placas, o trabalho realizado por um agente externo é positivo ou negativo? O que acontece com esse trabalho realizado? 2. Como muda a energia armazenada em um capacitor se a diferença de potencial entre o capacitor triplica? 3. A presença de um dielétrico aumenta ou diminui a voltagem máxima de operação de um capacitor? 4. Se um capacitor preenchido com um dielétrico é resfriado, o que acontece com sua capacitância? Problemas fundamentais Estes problemas dizem respeito aos resultados obtidos na tabela da primeira página. Ou seja, o cálculo da capacitância de um capacitor esférico, cilíndrico e plano. Use esta tabela para conferir os seus resultados. Estes problemas são de suma importância e são o ponto de partida para os outros problemas. 3

4 Calcule a capacitância de um sistema composto por duas placas paralelas de área A e carga ±Q separadas por uma distância d tal que d 2 << A. Calcule a capacitância de um sistema composto por duas cascas esféricas de raio a e b (a < b) e carregadas com cargas +Q e Q respectivamente. Considere as cargas distribuídas uniformemente sobre a esfera. Calcule a capacitância de um sistema composto por dois cilindros concêntricos de raios a e b (a < b) e carregadas uniformemente com cargas +Q e Q. Assuma que o cilindro tem comprimento L. Problemas gerais 1. Capacitância equivalente Considere o circuito descrito na figura 1 onde todos os capacitores tem capacitância C. Calcule a capacitância equivalente. Figura 1: Circuito com capacitores 2. Capacitor preenchido com três dielétricos diferentes (a) Três dielétricos com constantes dielétricas κ 1, κ 2 e κ 3 preenchem partes de um capacitor de placas paralelas com mesmo volume como mostra a figura 2. A área das placas é A e a separação entre elas é d. Calcule a capacitância do sistema. Dica: considere este sistema como se fosse um sistema equivalente de três capacitores acoplados em paralelo. Não se esqueça de justificar esta afirmativa. Avalie também o limite κ i 1. (b) Considere agora que os três dielétricos estão dispostos como mostra a figura 3. Use a lei de Gauss para achar o campo em cada dielétrico e então calcule V ao longo de todo o capacitor. Verifique o que ocorre no limite κ i 1. Você poderia ter assumido que este sistema é equivalente a um de três capacitores acoplados em série? 4

5 Figura 2: Capacitor de placas paralelas preenchido com três dielétricos diferentes, um do lado do outro ocupando volumes iguais. Figura 3: Capacitor de placas paralelas preenchido com três dielétricos diferentes, um sobre o outro ocupando volumes iguais. 3. Capacitor esférico com dielétricos Considere um capacitor esférico de raio interno a e raio externo c. Suponha que o espaço entre as cascas esféricas é preenchido com dois dielétricos, um de constante κ 1 indo de a até b e outro de constante κ 2 indo de b até c (vide figura 4). Determine a capacitância do sistema. Figura 4: Capacitor esférico preenchido com dois dielétricos diferentes. 4. Capacitor conectado a uma mola Considere um capacitor de placas paralelas (preenchido com ar) onde uma das placas é conectada a uma mola com constante de força k e a outra placa é fixa como mostra a figura 5. Se a carga nas placas a e b é Q e Q respectivamente, qual o deslocamento da mola? 5. Lei de Gauss na presença de um dielétrico Considere uma casca esférica de raio R 1 e carga Q que está envolta por uma segunda casca esférica de raio R 2 e carga Q. Entre as cascas 5

6 Figura 5: Capacitor de placas paralelas onde uma das placas está conectada a uma mola de constante k. Figura 6: Capacitor esférico preenchido com um dielétrico de constante dielétrica κ. há um dielétrico cuja constante dielétrica é κ. O sistema está imerso em ar (κ ar 1) e isolado de qualquer outro condutor como mostra a figura 6. (a) Calcule o vetor de deslocamento D em todo o espaço. (b) Calcule o campo elétrico E em todo o espaço. 6. Força entre as placas de um capacitor As placas de um capacitor de placas paralelas tem área A e carga induzida ±Q (figura 7). Neste problema, quero que estudem a força atrativa entre as placas. O resultado que devem obter é F = Q2 2ɛ 0 A (o mesmo usado no problema 4). Isso será feito de duas maneiras diferentes. (a) Primeiramente, calcule a força total na placa da esquerda devido ao campo elétrico da placa da direita usando a lei de Coulomb e ignorando efeitos de borda. (b) Agora considere isso: se você afastar as placas, contra sua atração, você estará realizando trabalho e esse trabalho é automaticamente transformado em mais energia potencial. Calcule a força necessária para aumentar a separação das placas de x até x + dx equacionando o trabalho realizado ( F d s) com o aumento da 6

7 Figura 7: Capacitor de placas paralelas. energia eletrostática, assumindo que a densidade de energia é 1 2 ɛ 0E 2 e que a carga Q se mantêm constante. (c) Uma vez obtida a expressão para a força, mostre que a força por unidade de área (pressão eletrostática) atuando em cada capacitor é ɛ 0E 2 /2. Este resultado é verdadeiro para um condutor de qualquer forma na presença de um campo elétrico E em sua superfície. (d) A pressão atmosférica vale N/m 2. Qual deveria ser a magnitude do campo elétrico para produzir esta pressão? (resposta: 151 MV/m). Note que acaleradores do tipo Van de Graaf podem pruduzir campos de até 100 MV/m no seu limite o que mostra que, nessas situações extremas, campos elétricos chegam perto da pressão atmosférica mas não a ultrapassam por muito. 7. Densidade de energia em um capacitor preenchido com um dielétrico Considere o caso em que um dielétrico de constante dielétrica κ e preenche completamente o espaço entre as placas de um capacitor de placas paralelas. Mostre que densidade de energia do campo entre as placas é u e = 1 2 E D. Para tal siga os passos abaixo: (a) Escreva a expressão u e = 1 2 E D em termos de E e κ e (ou seja, eliminando D). (b) Dado o potencial e o campo elétrico de um capacitor com uma carga q, calcule o trabalho realizado para carregar o capacitor de q = 0 para q = Q. (c) Encontre u e. 7