Lista 2 de CF368 - Eletromagnetismo I

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1 Lista 2 de CF368 - Eletromagnetismo I Fabio Iareke <fi07@fisica.ufpr.br> 28 de setembro de 203 Exercícios propostos pelo prof. Ricardo Luiz Viana <viana@fisica.ufpr.br>, retirados de []. Capítulo 3 3- Duas cascas condutoras esféricas de raios r a e r b estão dispostas concentricamente e carregadas de tal forma que possuem potenciais ϕ a e ϕ b, respectivamente. Se r b > r a, determine o potencial nos pontos entre as cascas e nos pontos r > r b. Solução: Seja o Laplaciano em coordenadas esféricas dado por, 2 = 2 r 2 ) r 2 r 2 + r 2 sin θ ) + sin θ θ θ r 2 sin 2 θ 2 φ 2 temos que, a equação de Laplace para um potencial ϕ = ϕr, θ, φ), em esféricas é 2 ϕ r 2 2 cuja solução, independente de φ, r 2 r 2 ϕ ) + ϕr, θ) = n=0 r 2 sin θ sin θ ϕ ) + θ θ [ A n r n + B n r n+)] P n cos θ) 2 ϕ r 2 sin 2 θ φ 2 Devido à simetria esférica, a dependência do potencial ϕ = ϕr, θ, φ) é relativa apenas a r. Logo, a equação de Laplace em coordenadas esféricas fica ou, então, 2 ϕ = r 2 r 2 ϕ r r ) + r 2 sin θ ϕ sin θ θ θ 2 ϕ = r 2 r 2 r r r 2 ϕ ) r r r 2 ϕ ) r r 2 ϕ ) r = r 2 )0 ) + 2 ϕ r 2 sin 2 θ φ 2 tal que, ϕ = ϕr, θ, φ) = ϕr)

2 e podemos trocar a derivada parcial por uma total, d r 2 dϕ ) dr dr A igualdade é válida se, assim, r 2 dϕ dr = A = cte integrando, então, a solução é r 2 dϕ dr dϕ dr = A = A r 2 dϕ = A r 2 dr dϕ = ϕ = A A dr r 2 dr r 2 ϕr) = A r + B Determinando em cada caso as constantes A e B pelas as condições de contorno: ϕr = a) = ϕ a ϕr = b) = ϕ b ϕr = ) i) r a < r < r b ϕr = a) = ϕ a = A r a + B ϕr = b) = ϕ b = A r b + B isolando B: B = ϕ a A r a = ϕ b A r b isolando A: A A r a r b = ϕ a ϕ b Ar b r a ) r a r b = ϕ a ϕ b A = ϕ a ϕ b )r a r b r b r a ) 2

3 então, B = ϕ a ϕ a ϕ b ) r a r b r b r a ) r a = ϕ ar b r a ) ϕ a ϕ b )r b r b r a ) = ϕ a r b ϕ a r a ϕ a r b + ϕ b r b r b r a ) B = ϕ br b ϕ a r a r b r a ) ϕr) = ϕ a ϕ b )r a r b r b r a ) r + ϕ br b ϕ a r a r b r a ) ii) r > r b então ϕr = b) = ϕ b = A r b + B 0 A ϕr = ) = r + B B A = ϕ b r b ϕr) = ϕ br b r 3-2 Duas cascas cilíndricas longas de raios r a e r b estão dispostas coaxialmente e estão carregadas de tal forma que possuem potenciais ϕ a e ϕ b, respectivamente. Determine o potencial nos pontos entre as cascas cilíndricas. Solução: Seja o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, dado por 2 = ρ ) + ρ 2 ρ ρ ρ 2 θ z 2 temos que, a equação de Laplace para um potencial ϕ = ϕρ, θ, z), em cilíndricas é 2 ϕ ρ ϕ ) + 2 ϕ ρ ρ ρ ρ 2 θ ϕ z 2 Devido à simetria e como as cascas estão dispostas coaxialmente e são longas z ρ), a dependência do potencial ϕ = ϕρ, θ, z) é relativa apenas a ρ ϕ = ϕρ). Então, a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas fica ou, 2 ϕ = ρ ρ ρ ϕ ) ρ 2 ϕ = ρ ρ ϕ ρ 2 θ ϕ z 2 ρ ϕ ) ρ

4 Como temos apenas uma variável independente podemos trocar a derivada parcial por uma total, d ρ dϕ ) = d ρ dϕ ) ρ dρ dρ dρ dρ A igualdade é válida se, assim, integrando, então, a solução é ρ dϕ dρ = A = cte ρ dϕ dρ = A dϕ dρ = A ρ A dρ dϕ = ρ dρ ϕ = A ρ ϕρ) = A ln ρ + B dϕ = A ρ dρ Determinando as constantes A e B pelas as condições de contorno: { ϕρ = r a ) = ϕ a ϕρ = r b ) = ϕ b isolando B: ϕρ = r a ) = ϕ a = A ln r a + B ϕρ = r b ) = ϕ b = A ln r b + B B = ϕ a A ln r a = ϕ b A ln r b isolando A: A ln r b A ln r a = ϕ b ϕ a então, Aln r b ln r b ) = ϕ b ϕ a A = ϕ b ϕ a = ϕ b ϕ a ln r b ln r a lnr b /r a ) B = ϕ a ϕ b ϕ a lnr b /r a ) ln r a = ϕ a lnr b /r a ) ϕ b ϕ a ) ln r a lnr b /r a ) = ϕ a ln r b ϕ a ln r a ϕ b ln r a + ϕ a ln r a lnr b /r a ) B = ϕ a ln r b ϕ b ln r a lnr b /r a ) ϕρ) = ϕ b ϕ a lnr b /r a ) ln ρ + ϕ a ln r b ϕ b ln r a lnr b /r a ) 4

5 3-4 Suponha que ϕ satisfaça a equação de Laplace em toda a região V 0. Prove que o valor de ϕ em qualquer ponto O é a média de seus valores numa superfície de qualquer esfera centrada em O que se situa inteiramente em V 0 : ϕo) = 4πR 2 onde R é o raio da esfera. [Sugestão: Seja ψ = /r na Eq. -57).] Demonstre que ϕ, conseqüentemente, não tem nenhum máximo ou mínimo no interior de V 0. Eq. -57): 3-5 Expanda a função V ψ 2 ϕ ϕ 2 ψ ) dv = S ϕ da ψ ϕ ϕ ψ) ˆnˆṋn da F u) = 2xu + u 2 ) /2 em série de Taylor até o termo em u 3. Observe que os coeficientes são os quatro primeiros polinômios de Legendre P n x). Na realidade, F u) é uma função geradora para todos os polinômios de Legendre: F u) = P n x)u n n=0 3-6 Demonstre que metade dos harmônicos zonais são gerados através da derivação sucessiva de r em relação à coordenada retangular zz = r cos θ). 3-7 Obtenha 2 ϕ em coordenadas cilíndricas: a partir da forma retangular: 2 ϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ) + 2 ϕ ρ 2 θ ϕ z 2 2 ϕ 2 ϕ x ϕ y ϕ z 2 por substituição direta: x = ρ cosθ), y = ρ sinθ). 3-9 Suponha que um dipolo puntual esteja localizado no centro de uma casca esférica condutora conectada à terra. Determine o potencial no interior da casca. Sugestão: Use harmônicos zonais que sejam regulares na origem para satisfazer as condições de contorno na casca.) Solução: Potencial do dipolo Potencial da esfera ϕr) = Q 4πɛ 0 r ϕr) = q q ) 4πɛ 0 r + r α θ r r + = d cos θ r + r = r 2 ϕr) = p cos θ 4πɛ 0 r 2 B n n 2, B 0 5

6 B = p 4πɛ 0 ϕa, θ) = A 0 + A r cos θ + + A n + ϕa, θ) = A 0 + A r + A a + p 4πɛ 0 r 2 p 4πɛ 0 a 2 p 4πɛ 0 a 3 A 0 A = A n n 2 ϕr, θ) = ) r3 p cos θ 4πɛ 0 a 3 r 2 p cos θ 4πɛ 0 r 2 ) cos θ Demonstre que, para uma esfera condutora não carregada, situada num campo elétrico inicialmente uniforme, o potencial devido à esfera é o de um dipolo puntual e determine o momento de dipolo induzido. 3- Uma esfera condutora de raio a, possuindo uma carga total Q, está situada num campo elétrico inicialmente uniforme, E E 0. Determine o potencial em todos os pontos exteriores à esfera. Solução: Considerando que o campo elétrico esteja alinhado com o eixo z. r E = E ẑ 0 0 z = r cos a Figura : Esfera no campo elétrico uniforme E E 0 Seja o potencial na superfície da esfera e as condições de contorno: ϕa, θ) = Q 4πɛ 0 a { ϕr = a, θ) = ϕa, θ) E Er E, θ) = E E 0 = ϕ i) ii) ) tal que, pela c.c. ii), temos que implica em E 0 = E 0 ẑẑẑ = ϕ = ϕ z ẑẑẑ ϕr, θ) = E 0 z = E 0 r cos θ 2) Temos que o potencial: ϕr, θ) = A r 0 P 0 + C r P 0 + A 2 r P + C 2 r 2 P + A 3 r 2 P 2 + C 3 r 3 P 2 + 3) 6

7 assim, com r, ϕr, θ) = A r 0 P C r P 0 + A 2 r P + 0 C 2 r 2 P + A 3 r 2 P C 3 r 3 P 2 + = A r 0 P 0 + A 2 r P + A 3 r 2 P 2 + ϕr, θ) = A + A 2 r cos θ + A 3 r 2 3 cos θ 2 + ) + 2 4) Tal que, 2) = 4), então, por inspeção, { A 2 = E 0 A = A 3 = A 4 = A 5 = Substituindo em 3): ϕr, θ) = C r E 0r cos θ + C 2 r 2 cos θ + C 3 3 cos θ 2 r 3 + ) + 5) 2 Usando a c.c. i) em 5): ϕa, θ) = C a E 0a cos θ + C 2 a 2 cos θ + C 3 3 cos θ 2 a 3 + ) + 6) 2 como ) = 6), logo, por inspeção, C = Q 4πɛ 0 C 3 = C 4 = C 5 = E 0 a + C 2 a 2 cos θ C 2 = E o a 3 substituindo novamente em 5) temos ϕr, θ) = 4πɛ 0 Q a E 0r cos θ + E 0 a 3 r 2 cos θ ϕr, θ) = 4πɛ 0 Q a E 0 r a3 r 2 ) cos θ 3-7 Uma carga puntual q se localiza a uma distância d de um plano condutor de extensão infinita, conectado à terra. Obtenha a carga total induzida no plano por integração direta da densidade superficial de carga. 3-9 Determine a força entre uma carga puntual q e uma esfera condutora não carregada de raio a. A carga puntual se localiza a uma distância r do centro da esfera, onde r > a. Encontre uma expressão aproximada válida para r a Uma carga puntual q está localizada a uma distância r do centro de uma casca esférica condutora, no interior desta. O raio interno da casca é a. Demonstre que se pode solucionar este problema por meio da técnica das imagens e determine a densidade de carga a induzida na superfície interna da camada. O potencial da casca esférica não pode ser especificado completamente em termos de q e sua imagem porque cargas exteriores fixas podem também contribuir. Todavia, estas cargas exteriores adicionarão apenas um termo constante ao potenciai.) Determine a carga total induzida na superfície interna da camada a) mediante argumentos físicos e b) mediante a integração de o sobre a superfície. 3-2 Um longo cilindro condutor, que possui uma carga λ por unidade de comprimento, está orientado paralelamente a um plano condutor de extensão infinita, conectado à terra. O eixo do cilindro está a uma distância x 0 do plano e o raio do cilindro é a. Localize a imagem linear e determine também a constante M que determina o potencial do cilindro) em função de a e x 0. 7

8 Referências [] John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy Fundamentos da Teoria Eletromagnética 3a edição, Editora Campus Ltda. Rio de Janeiro [2] K. D. Machado, Eletromagnetismo, Vol., Editora UEPG, Ponta Grossa,