Física III Escola Politécnica GABARITO DA P1 9 de abril de 2015

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1 Física III Escola Politécnica GABARITO DA P 9 de abril de 205 uestão Considere o sistema abaixo, mantido fixo por forças externas, que consiste numa partícula pontual de carga q > 0 e massa m, situada na origem dos sistema de coordenadas, e um semi-anel de raio a situado no plano xy e centrado na origem. A densidade linear de carga do semi-anel depende do ângulo φ de acordo com a seguinte função: λ(φ) = λ 0 senφ, onde λ 0 é uma constante positiva. y a q φ x (a) (0.5 ponto) Calcule a carga total do anel. (b) (,0 ponto) Calcule o vetor força elétrica que age sobre a carga pontual. (c) (,0ponto)Suponhaqueoanelémantidofixonasuaposiçãoeapartículaéliberada a partir do repouso. ual será o módulo da velocidade da partícula quando ela se encontrar muito longe (r ) do anel?

2 Solução da questão (a) A carga total é = dq = π λ(φ)dl = λ 0 senφadφ = λ 0 acosφ π 0 = 2λ 0 a 0 (b) Campo produzido pelo semi-anel na origem: E = r dq; onde r = acosφ î asenφ ĵ, r = a e dq = λ(φ)adφ. 4πǫ 0 r3 E = π acosφ î+asenφ ĵ λ 4πǫ 0 a 3 0 senφ a dφ = λ 0 ĵ. 8aǫ 0 0 A força sobre a carga é F = q E = qλ 0 8aǫ 0 ĵ. (c) Potencial do anel na origem: V(r = 0) = 4πǫ 0 r dq = 4πǫ 0 a dq = 4πǫ 0 a. A soma da energia potencial com a energia cinética se conserva: qv( )+ 2 mv2 = qv(0) = 2 mv2 = q 4πǫ 0 a = v = Usando o resultado do item (a) podemos reescrever v como qλ0 v = πǫ 0 m. q 2πǫ 0 ma. 2

3 uestão 2 Uma esfera condutora de raio a e com carga é envolta por uma camada esférica isolante de raio interno a e externo 2a com densidade de carga volumétrica ρ = 3/(4πa 3 ) constante. y 2a a ρ x (a) (,5 ponto) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço. (b) (,0 ponto) Determine o potencial elétrico em todo o espaço. Adote potencial nulo no infinito. 3

4 Solução da questão 2 (a) Devido à simetria esférica E = E(r) r. Para uma superfície gaussiana de raio r Φ = S E d A = E(r)(4πr 2 ) = in ǫ 0. Logo, E(r) = 4πǫ 0 (r) r 2, onde in = (r) é a carga no interior da esfera de raio r. Para r < a, no interior do condutor, (r) = 0. Para a < r 2a, (r) = + Para r 2a, (r) = (2a) = 8. Portanto, o campo elétrico é ρdq = + r 0 se r < a, a 3 r ) 3. 4πa 3 (4πr2 dr) = ( a r E = r se a < r 2a, 4πǫ 0 a3 8 r se r 2a. 4πǫ 0 r2 (b) Potencial elétrico r V = 4πǫ 0 2a r 6 E d r = E(r)dr = ( r2 4πǫ 0 a 2a 2 8 4πǫ 0 r ) se r a, se a r 2a, se r 2a. 4

5 uestão 3 Numa certa região do espaço existe um potencial elétrico dado por: αa 4 para r > a V(r) = 4r α 2 (4a3 r 3 ) para r a onde r é a distância até a origem do sistema de coordenadas e α e a são constantes. (a) (0.5 ponto) uais são as unidades das constantes α e a no Sistema Internacional de Unidades? (b) (,0 ponto) Obtenha o vetor campo elétrico nesta região do espaço. (c) (,0 ponto) uanta carga existe dentro de uma esfera (imaginária) de raio a/2 centrada na origem? 5

6 Solução da questão 3 (a) A constante a tem unidade m (metro) e α tem unidade V/m 3 (volt / metro cúbico). (b) Devido à simetria esférica, o campo só tem componente na direção radial. Assim, αa E(r) = dv(r) 4 r para r > a r = 4r2 dr α 4 r2 r para r a (c) Aplicando a lei de Gauss para a correspondente superfície esférica, vem int = ǫ 0 E d A = ǫ 0 E ( r = a ) α da = ǫ ( a ) 2 ( a 2 παǫ 0 a 4π = 2 2)

7 uestão 4 Três placas condutoras de área A são espaçadas de d por vácuo (região ) e de d por um material de constante dielétrica κ (região 3), como indicado na figura. A carga total na placa superior é igual a > 0, na placa do meio é igual a zero e na placa inferior é igual a. Desconsidere a não uniformidade do campo elétrico perto das bordas. + z d d 2 h 3 κ _ O (a) (,0 ponto) Indique numa figura e calcule as densidades de carga nas superfícies das placas condutoras. Calcule o vetor campo elétrico E nas regiões, 2 e 3. Expresse suas respostas em termos de ǫ 0,, A e κ. (b) (,0 ponto) Calcule a capacitância do sistema de três placas. (c) (0,5 ponto) Calcule a densidade de carga de polarização no dielétrico. 7

8 Solução da questão 4 (a) Nas placas metálica superior a cargas se distribui homogeneamente e a densidade é σ = /A. Analogamente, na placa inferior σ = /A. Para o campo elétrico ser nulo dentro da região 2 (condutor) as cargas nas placas superior e inferior devem induzir densidades superficiais de carga ±σ = ±/A na placa do meio, conforme a figura (±σ i são as densidades induzidas no dielétrico que usaremos no item (c)) _ κ 3 _ _ _ σ σ +σ σ i +σ i σ k ^ Na região o campo é devido à distribuição +σ na placa superior e da σ na placa do meio. E = σ 2ǫ 0 k σ 2ǫ 0 k = σ ǫ 0 k = ǫ 0 A k. Na região 2, dentro do condutor, o campo é nulo. E 2 = 0. Na região 3 sem o dielétrico E 3 seria igual a E. O efeito do dielétrico consiste em reduzir E de um fator κ. (b) A capacitância é C = V = E 3 = σ κǫ 0 k = κǫ 0 A k. σa E d+e 3 d = σa = ǫ 0A κ σd/ǫ 0 +σd/κǫ 0 d κ+. (c) O campo E 3 na região 3 é igual a E /κ (veja o item (a)). Além disto, E 3 é devido à distribuição +σ na placa do meio, da σ na placa inferior e das distribuições ±σ i no dielétrico (veja a figura). Assim, podemos escrever E 3 de duas maneiras diferente. E 3 = σ κǫ 0 E 3 = σ ǫ 0 σ i ǫ 0 ( κ = σ i = κ ) σ = ( κ κ ) A. 8

9 Formulário F = qq ( r r ) 4πǫ 0 r r 3, F = qe, E q( r r ) = 4πǫ 0 r r 3, E dq = 4πǫ 0 r 3 r, Φ E = E d A = q int ǫ 0, E = σ 2ǫ 0, V = E = V, E = dv dr r, V = 4πǫ 0 q B 4πǫ 0 r r, V B V A = i A q i, U = r i 4πǫ 0 i<j E d A, E d l, V = dq 4πǫ 0 r, q i q j r ij, C = /V, C eq = C +C , = , U = 2 C eq C C 2 2C = CV 2 = V 2 2, ǫ = κ, u = ǫ 0 ǫ 0 2 E2, E = E 0 κ, u = ǫ 2 E2, ǫ 0 κe da = q int liv, dv = dxdydz, dv = 4πr 2 dr, cos 2 (ax)dx = x 2 + sen(2ax), sen 2 (ax)dx = x 4a 2 sen(2ax), 4a sen(ax)cos(ax)dx = sen 2 (ax). 2a 9