PROBLEMAS DIRETO E INVERSO. A Teoria do Potencial admite um: Problema DIRETO: determinação do potencial a partir das massas geradoras

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "PROBLEMAS DIRETO E INVERSO. A Teoria do Potencial admite um: Problema DIRETO: determinação do potencial a partir das massas geradoras"

Teresa Bernardes Sacramento
5 Há anos
Visualizações:

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SUL DE MINAS GERAIS Câmpus Inconfidentes TEORIA DO POTENCIAL Aula 06 PROBLEMAS DIRETO E INVERSO A Teoria do Potencial admite um: Problema DIRETO:

1 INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SUL DE MINAS GERAIS Câmpus Inconfidentes TEORIA DO POTENCIAL Aula 06 PROBLEMAS DIRETO E INVERSO A Teoria do Potencial admite um: Problema DIRETO: determinação do potencial a partir das massas geradoras Problema INVERSO: do potencial remontar às massas geradoras O Segundo problema não admite solução única, pois existem infinitas distribuições de massa que conduzem ao mesmo potencial. Na Geofísica, nos problemas de prospecção, se interessa pelo problema inverso; os levantamentos gravimétricos podem detectar sintomas de massas anômalas no interior da crosta... 1

2 PROBLEMA DE CONTORNO A teoria do potencial apresenta três problemas de valor de contorno: 1. Problema de Dirichlet: Calcular uma função harmônica (dentro ou fora da superfície S) a partir de valores conhecidos da função sobre S. 2. Problema de Newmann: Calcular uma função harmônica (dentro ou fora da superfície S) a partir de valores da derivada normal da função sobre S. 3. Problema de Hilbert: Calcular uma função harmônica (dentro ou fora da superfície S), a partir da combinação linear da função e sua derivada normal sobre S. PROBLEMA DE CONTORNO DA GEODÉSIA FÍSICA O problema de contorno da Geodésia Física (PCG) será considerado em 2 etapas: Conhecidos os valores do geopotencial e/ou de sua derivada normal sobre a superfície física da Terra, determinar: 1. Essa superfície; 2. O campo gravífico externo. Na segunda etapa: Se forem conhecidos os valores de W sobre o contorno, o problema se enquadra a DIRICHLET; Se forem conhecidos os valores de g n, o problema se enquadra a NEUMANN; Se forem conhecidos os valores de W e de sua derivada normal, o problema se enquadra a HILBERT. 2

3 A INTEGRAL DE POISSON O problema de DIRICHLET, particularizado para o caso de uma esfera de raio R, encontra solução na chamada integral de POISSON. HARMÔNICOS ESFÉRICOS DE SUPERFÍCIE A função S n, dependente apenas das coordenadas (v, λ) do ponto P, é denominada harmônico esférico de superfície de grau n e contém 2n + 1 constantes arbitrárias, a nm e b nm. 3

4 P v HARMÔNICOS ESFÉRICOS DE SUPERFÍCIE Z λ λ v' P Ψ X P 2 (Ψ) = (3cos 2 Ψ 1)/2 Y HARMÔNICOS ESFÉRICOS DE SUPERFÍCIE As parcelas, função de v e λ, que compõem S n, são também conhecidas como harmônicos esféricos de superfície (particulares), recebendo denominações especiais: a) P no ou simplesmente P n são ditos harmônicos esféricos de zona ou zonais; b) P nm (v)cos ml e P nm sin mλ são chamados de funções associadas de Legendre de grau n e o ordem m: Se n m são ditos tesserais; Se n = m são ditos sectoriais. 4

HARMÔNICOS ESFÉRICOS DE SUPERFÍCIE a) Zonal b) Tesseral c) Sectorial PROPRIEDADES DO POTENCIAL DE ATRAÇÃO a) É uma função harmônica no exterior das massas; b) Satisfaz a equação de POISSON no

5 HARMÔNICOS ESFÉRICOS DE SUPERFÍCIE a) Zonal b) Tesseral c) Sectorial PROPRIEDADES DO POTENCIAL DE ATRAÇÃO a) É uma função harmônica no exterior das massas; b) Satisfaz a equação de POISSON no interior das massas; c) É uma função escalar de ponto cujo gradiente representa a força de atração produzida pelas massas sobre a partícula de massa unitária; d) É uma função contínua; e) Tem derivadas primeiras contínuas; f) Tem derivadas segundas contínuas, exceto sobre a superfície limitante das massas; g) Tende para zero quando o ponto se afasta para o infinito; h) É uma função harmônica no interior e no exterior de uma superfície de material; i) É uma função cuja a derivada direcional representa a componente da força de atração nessa direção; j) É constante no interior de uma superfície de material esférica. 5

EXERCÍCIO 1. Adotando um modelo esférico, homogêneo e rotante, calcular a gravidade teórica sobre a sua superfície nos paralelos com latitude geocêntrica 0º, 30º, 60º e 90º.

6 EXERCÍCIO 1. Adotando um modelo esférico, homogêneo e rotante, calcular a gravidade teórica sobre a sua superfície nos paralelos com latitude geocêntrica 0º, 30º, 60º e 90º. Para os mesmos paralelos, calcule o percentual representado pela força centrífuga. Admita que a esfera tem o mesmo volume que o elipsoide do SGR-67 no qual: a = m b = m km = x10 9 m 3.s -2 ω = x10-11 rad/s EXERCÍCIO (Solução) a) Raio da Esfera: b) Valores auxiliares: c) Vetorialmente: 6

7 EXERCÍCIO (Solução) d) Em módulo usando as componentes: EXERCÍCIO (Solução) e) Resumo dos cálculos (m/s 2 ) ϕ g x g z g = g 2 x + g 2 z 0º 9, , º 8, , , º 6, , , º 4, , , º 0 9, , f) Usando a componente de C na direção de F: ϕ km/r 2 ω 2 Rcos 2 ϕ % (C/F)*100 g = F - C 0º 9, , ,345 9, º 0, ,259 9, º 0, ,172 9, º 0, ,086 9, º 0 0 9,

8 EXERCÍCIO 1. Adotando um modelo esférico, homogêneo e rotante, calcular a gravidade teórica sobre a sua superfície nos paralelos com latitude geocêntrica de Belo Horizonte-MG ( º). Calcule o percentual representado pela força centrífuga. Admita que a esfera tem o mesmo volume que o Elipsóide Internacional de Hayford 1924 no qual: a = m b = m km = x10 9 m 3 /s 2 ω = x10-11 rad/s EXERCÍCIO EXTRA Três esferas estão localizadas nos vértices de um triângulo retângulo de 45º. Determine o módulo, a direção e o sentido da força gravitacional resultante (F) sobre a esfera menor exercida pela ação das duas esferas maiores. y F 0,5 kg 0,2 m F 1 0,01 kg F 2 θ 0,2 m 0,5 kg x 8

9 DÚVIDAS? Fonte: BOLSTAD P.,

Documentos relacionados

EAC-082: Geodésia Física. Aula 5 Teoria do Potencial e PVCG

EAC-082: Geodésia Física. Aula 5 Teoria do Potencial e PVCG EAC-082: Geodésia Física Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges Aula 5 Teoria do Potencial e PVCG https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/ 1 1/55 Potencial Gravitacional Vimos anteriormente