Estudo analítico e numérico do espalhamento acústico

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1 Universidade Federal de São João Del-Rei MG 26 a 28 de maio de 21 Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia Estudo analítico e numérico do espalhamento acústico M.E. Maria 1 ; E.N.M. Borges 2 ; M.M. Afonso 2 ; 1 Mestrado em modelagem matemática computacional CEFETMG Belo Horizonte, MG CEP: professormarcinho@yahoo.com.br 2 Mestrado em modelagem matemática computacional CEFETMG Belo Horizonte, MG ester@des.cefetmg.br, marciomatias@des.cefetmg.br Resumo. A preocupação com o ruído nas comunidades urbanas cresceu nas últimas décadas com o aumento do número de veículos e a atividade industrial. Sabe-se que a exposição humana a níveis sonoros elevados causa diversos problemas de saúde, tais como estresse e problemas de audição. Por isso, o estudo de fenômenos como radiação, propagação, transmissão e espalhamento sonoro é de grande interesse social e econômico. O espalhamento acústico ocorre sempre que os comprimentos de onda acústica envolvidos são comparáveis com as dimensões dos objetos presentes ao nosso redor. Esse trabalho estuda o espalhamento de uma onda plana por uma superfície cilíndrica bidimensional situada em um espaço aberto. As soluções analítica e numérica da equação de Helmholtz são obtidas e implementadas. O método numérico utilizado é o método de elementos de contorno que apresenta algumas vantagens na solução de problemas de domínio exterior quando comparado com outros, como o método de elementos de finitos, uma vez que, ele exige a discretização somente da superfície do domínio. Os resultados obtidos utilizando a solução analítica e solução numérica foram comparados e mostram-se bem próximos. Palavras chaves: ESPALHAMENTO, REDUÇÃO DE RUÍDOS, MÉTODOS DE ELEMENTOS DE CONTORNO.

2 1 INTRODUÇÃO A poluição sonora é um dos problemas da sociedade atual. Estudos realizados mostram que a exposição constante do homem ao ruído pode ocasionar diversos problemas para o organismo humano. O estudo de fenômenos tais como geração, transmissão e espalhamento torna-se necessário para controlar o ruído de forma preventiva. Neste trabalho, a solução analítica do espalhamento de uma onda sonora plana incidente em um cilindro infinito rígido é feita e comparada com a solução obtida por uma técnica numérica, o método de elementos de contorno. 2 ESPALHAMENTO ACÚSTICO Considere uma região cilíndrica bidimensional atingida por uma onda plana que se propaga no sentido negativo do eixo x, como mostrado na Fig 1. Figura 1 - Onda incidente atinge um cilindro bidimensional. A região interior do cilindro bidimensional é chamada Ω, a exterior, Ω e o contorno, S. Considere também que o comprimento de onda da onda incidente é da ordem da dimensão radial do cilindro. Nesse caso, a incidência da onda plana na superfície cilíndrica produz ondas que são desviadas em todas as direções, afastando-se do contorno S e propagando-se para o infinito pela região exterior Ω, como mostra a Fig 2. Figura 2 - Espalhamento da onda sonora.

3 Neste trabalho, o meio é considerado homogêneo, não viscoso e sem perdas e a velocidade das partículas do fluido pode ser expressa como o gradiente de uma função escalar φ, denominada potencial de velocidade O potencial de velocidade ϕ ( p) num ponto ( x y) p, no contorno S do cilindro ou na região exterior Ω satisfaz a equação diferencial de Helmholtz, Ziomek (1995): 2 ϕ 2 ( p ) + k ϕ( p) = f ( p) (1) e as condições de Neumann e Sommerfeld respectivamente dadas por Pierce (1989): ϕ( p) = n (2) ϕ lim r r ikϕ = r ( p) (3) A solução analítica do potencial de velocidade espalhado ϕ ( p) observação p no contorno S ou no exterior Ω é dado pela expressão a seguir: E, num ponto de ϕ ( r, θ ) A [ J ( kr) + in ( kr) ] + A cos( mθ )[ J ( kr) in ( kr) ] = = m m + m (5) m 1 N m e kr são, respectivamente, as funções de Bessel e Neumann e a freqüência normalizada. A formulação integral para o potencial de ϕ p é dado pela equação que se segue, Maria et al (21): Na equação (3), J m ( kr) e ( kr) velocidade espalhado ( ) ( p, q) G ϕ ( p) + ϕ( p) ds = G n, 3 RESULTADOS S S ( p q) ϕ n ( p) ds I + ( p) ϕ (6) A validação do Método de Elementos de Contorno A solução analítica definida pela equação (5) foi representada por 15 termos para garantir a convergência da série em todas as freqüências normalizadas. O contorno do cilindro foi discretizado por uma malha contendo 512 elementos constantes. O erro relativo percentual e o erro relativo percentual médio são, respectivamente, definidos por: e r ϕ ϕ A ϕ A N = (7)

4 e m n n e k k= = 1 (8) O erro relativo percentual para pontos do contorno do cilindro varia em relação ao erro relativo médio como mostrado na figura Erro nos pontos Erro médio Erro relativo (%) Ângulo polar Figura 3 - Variação do erro para a malha com 512 elementos. Esta malha assegurou um erro médio inferior a 1% e um erro máximo inferior a 5%. O erro relativo é inferior ao erro relativo médio para 68% dos pontos da malha. A influência da variação da frequência normalizada no espalhamento acústico para pontos no contorno O potencial de velocidade foi simulado para pontos no contorno do cilindro de raio unitário. As freqüências normalizadas utilizadas na simulação são ka = 2, 5, 1, 15, 25. Os resultados dessas simulações são apresentados nas figuras que se seguem: Figura 4 - Potencial de velocidade para frequência normalizada ka=2.

5 Figura 5 - Potencial de velocidade para frequência normalizada ka= Figura 6 - Potencial de velocidade para frequência normalizada ka= Figura 7 - Potencial de velocidade para frequência normalizada ka = Figura 8 - Potencial de velocidade para frequência normalizada ka =25.

6 A influência da variação da freqüência normalizada no espalhamento acústico para pontos no contorno A simulação do potencial de velocidade foi realizada também para pontos na região exterior do cilindro. Os pontos de observação foram dispostos em um cilindro de raio R = 5. As freqüências normalizadas utilizadas na simulação são ka = 2, 5, 1, 15, 25. Os resultados dessas simulações são apresentados nas figuras que se seguem: Figura 9 - Potencial de velocidade para frequência normalizada ka= Figura 1 - Potencial de velocidade para frequência normalizada ka= Figura 11 - Potencial de velocidade para frequência normalizada ka=1.

7 Figura 12 - Potencial de velocidade para frequência normalizada ka= Figura 13 - Potencial de velocidade para frequência normalizada ka=25. Influência da distância no espalhamento acústico O potencial de velocidade foi analisado, considerando-se a freqüência normalizada ka = 5, para pontos distribuídos em círculos concêntricos ao cilindro, de raios 1m, 5m, 1m, 15m, 2m, 25m e 5m. A atenuação do potencial é apresentada na figura a seguir: Potencial Máximo Distância Figura 14 - Variação do potencial de velocidade espalhado máximo com a distância.

8 4 CONCLUSÕES As simulações computacionais mostram que, dependendo da localização dos pontos de observação, a variação da freqüência normalizada produz resultados diferentes no valor do potencial de velocidade. Para pontos que se localizam no contorno do cilindro, o aumento da freqüência normalizada produz um crescimento do valor absoluto do potencial de velocidade máximo. Para pontos que se localizam na região exterior do cilindro, o aumento da freqüência normalizada gera uma oscilação no valor absoluto do potencial de velocidade máximo em torno de um valor próximo ao valor médio do potencial de velocidade naquele ponto. A precisão dos resultados obtidos e o curto tempo de execução do código computacional nessas simulações, que ficou em torno de 45 s, mostram que o método de elementos de contorno é uma técnica numérica eficiente de análise do espalhamento acústico. Agradecimentos Os autores agradecem ao CEFETMG pelo apoio financeiro e pela oportunidade de realizar esse trabalho. 5 BIBLIOGRAFIA Maria, M.E., 21,. Estudo analítico e numérico do Espalhamento Acústico, Dissertação de mestrado, Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, Brasil. 72p. Pierce, A.D.,1989, Acoustics, An introduction to its physical principles and applications Fundamentals of acoustic field theory and space-time signal processing, Ed. Acoustical Society of America Library, 5a Ed., p. Ziomek, L.J.,1995, Fundamentals of acoustic field theory and space-time signal processing, Ed. Boca Raton CRC, 5a Ed., 692p. 6 DIREITOS AUTORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no seu trabalho.