3.1 Introdução... 69

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1 Sumário Prefácio Agradecimentos xi xvii 1 EDOs de primeira ordem Introdução Existência e unicidade de soluções A equação linear Métodos elementares de integração Exemplos Exercícios Bibliografia Respostas e sugestões EDOs lineares de segunda ordem Introdução Equação homogênea Equação homogênea com coeficientes constantes Equação não homogênea Exemplos Exercícios Bibliografia Respostas e sugestões Soluções por séries de potências Introdução Propriedades básicas das séries de potências Classificação de pontos singulares de equações lineares homogêneas 75 v

2 vi SUMÁRIO 3.4 Soluções na vizinhça de um ponto ordinário Soluções na vizinhança de um ponto singular regular I: primeira solução Soluções na vizinhança de um ponto singular regular II: segunda solução Demonstração dos resultados Exercícios Bibliografia Respostas e sugestões Funções especiais Introdução A função gama Funções de Bessel Funções de Bessel de primeira espécie Solução geral da equação de Bessel. Funções de Bessel de segunda espécie Comportamento das funções de Bessel Ortogonalidade das funções J p (λx) Funções de Bessel com argumento imaginário Equações redutíveis à equação de Bessel As funções de Legendre Ortogonalidade dos polinômios de Legendre Funções de Legendre associadas Função geratriz para P n (x) Exercícios Bibliografia Respostas e sugestões Séries de funções ortogonais Introdução Convergência Ortogonalidade e distância média quadrática Série de Fourier generalizada Aproximação em média quadrática Distância de um ponto a um plano

3 SUMÁRIO vii 5.7 A equação de Sturm-Liouville Construção de sistemas ortogonais: problema regular Classes de funções Exemplo: o operador L = d dx Condições periódicas Sistemas de Sturm-Liouville singulares Séries de Fourier-Bessel Séries de Fourier-Legendre Exercícios Bibliografia Respostas e sugestões Séries de Fourier Introdução Séries de Fourier Exemplos I Convergência Exemplos II Formas alternativas das séries de Fourier Séries em cossenos e séries em senos Funções pares e ímpares Extensões pares e ímpares Estimativa dos coeficientes O fenômeno de Gibbs Exercícios Bibliografia Respostas e sugestões Separação de variáveis Introdução Os três problemas de contorno fundamentais O método de separação de variáveis O PVC do potencial O PVC do calor O PVC da onda

4 viii SUMÁRIO Convergência na fronteira Redução ao caso homogêneo Generalização dos resultados Exercícios Bibliografia Respostas e sugestões Geometrias cilíndricas e esféricas Introdução Fluxo de calor em uma esfera Oscilações de uma membrana circular com simetria radial Propagação de ondas periódicas em um cilindro Exercícios Bibliografia Respostas e sugestões Transformadas integrais Introdução Transformadas finitas A transformada de Laplace O problema da inversão Transformadas de Fourier Transformadas de Fourier em senos e cossenos Transformada de Fourier bidimensional Aplicações Exercícios Bibliografia Respostas e sugestões Aplicações Introdução Oscilações livres Fluxo de calor em uma esfera Fluxo de calor em um cilindro finito com simetria radial Fluxo de calor em uma placa retangular infinita Fluxo magneto-hidrodinâmico em um meio poroso infinito

5 SUMÁRIO ix 10.7 Equação do telégrafo não homogênea Equação da onda em coordenadas esféricas com simetria radial Temperaturas estacion arias em uma placa em movimento Modelagem de campos eletromagn eticos na Terra Exercícios Bibliografia Respostas e sugestões Bibliografia 371 Índice Remissivo 377