Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aula 5 Ref. Butkov, caps. 8 e 9, seções 8.8 e 9.

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2 Vibrações de uma membrana Como mencionado na aula passada, pode-se deduzir a equação diferencial que descreve os movimentos transversais de uma membrana, em analogia à equação da corda (v. sec. 8.8 do Butkov). A equação é que é a equação da onda em duas dimensões.

3 Vamos analisar, agora, como obter a solução para essa equação, usando certas condições de contorno. Vamos considerar o movimento de uma membrana retangular, com bordas fixas:

4 e dimensões a e b. As condições de contorno para os desloca-mentos transversais u u( x, y; t) são (bordas fixas)

5 Usando o método de separação de variáveis, escrevemos, Substituindo esta expressão na equação de vibração da membrana, e dividindo esta equação por u u( x, y; t)

6 vemos que as seguintes equações diferenciais ordinárias devem ser satisfeitas: desde que ao caso da corda vibrante., de modo análogo,

7 As soluções para X(x) e Y(y) são idênticas à de X(x) para a corda, isto é, são senos e cossenos, porém, como os extremos são fixos, restam apenas os senos, logo onde identificamos com m = 1, 2, 3,... e n = 1, 2, 3,..., em analogia com a corda vibrante.

8 A solução da parte temporal será também uma soma de senos e cossenos onde com m, n = 1, 2, 3,..., já que Note que são as frequências de vibração da membrana para cada modo (m,n).

9 Então, a solução completa do problema, usando o princípio da superposição, é onde e são coeficientes a ser determinados. De fato a expressão acima corresponde a uma série dupla de Fourier.

10 Para determinar vamos fazer t = 0, obtendo que ainda é uma série dupla de Fourier de senos. Vamos multiplicar os dois lados dessa equação por e integrar sobre x entre 0 e a, e sobre y entre 0 e b.

11 Lembrando da ortogonalidade das funções senos, vemos que todos os termos serão nulos exceto para m=m e n=n, exatamente como no caso das séries de Fourier unidimensionais. Assim Analogamente, calculando a derivada parcial temporal de u u( x y t, fixando t = 0 e, ; ) repetindo o procedimento acima, encontra-se

12 Assim, se as funções e forem conhecidas, poderemos determinar os coeficientes e Essa é, portanto, a solução geral do problema para estas condições de contorno. Vamos, agora, analisar os modos de vibração da membrana.

13 Modos de vibração da membrana Cada par (m, n) corresponde a um modo de vibração característico da membrana, que oscila com frequência onde, por conveniência, reescrevemos como

14 identificando Note, portanto, que cada ponto (x, y) da membrana vibra como um oscilador harmônico de frequência onde

15 Note, também, que alguns pontos (x, y) da membrana estarão sempre em repouso. Isto ocorre sempre que ou se anularem, ou seja, para x a m e y qualquer, ou y b n e x qualquer.

16 Portanto, encontramos linhas sobre a membrana que não vibram. Essas são as chamadas linhas nodais, em analogia aos pontos nodais da corda vibrante. Neste caso da membrana retangular, as linhas nodais são retas.

17 Vejamos um exemplo. Vamos considerar o modo de vibração (2,1), isto é m = 2 e n = 1. Neste caso, será uma linha nodal. Graficamente, podemos representar essa linha nodal como

18 Analogamente, o modo (1,2) corresponde a Graficamente, temos

19 Degenerescência As frequências dos modos (m,n) são, em geral, diferentes, mas se as dimensões da membra-na forem tais que a razão a / b seja um número inteiro, então algumas dessas frequências serão comuns a dois ou mais modos. Por exemplo, se a=b os modos (m,n) e (n,m) terão sempre a mesma frequência e são ditos duplamente degenerados.

20 Por exemplo, para os modos (1,2) e (2,1) com a = b, teremos modos da forma Obs.: Para mais detalhes ver Butkov, seção 8.8.

21 Cap. 9 Funções Especiais Já vimos que na Física surgem várias equações diferenciais parciais de 2ª ordem, como as equações de Laplace, Poisson, Helmholtz, etc. Vimos, também, algumas soluções para essas equações. Vamos, agora, estudar sistematicamente as soluções para essas equações usando sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas. Obs.: Para outros sistemas de coordanadas veja, p. ex., o livro do Arfken, 1as. edições.

22 Vamos considerar a equação da onda em três dimensões Usando o método de separação de variáveis, podemos escrever portanto, encontramos e

23 A equação para T(t) é bem conhecida nossa e já foi resolvida anteriormente nesse curso, como no caso da corda e da membrana vibrantes. Naturalmente outras condições de contorno são possíveis, mas vamos aqui supor, por simplicidade, que T(t) é uma função harmônica no tempo. Neste caso λ < 0 e escrevemos, por conveniência:

24 Assim, escrevemos a solução para a equação da onda tridimensional como onde a forma imaginária e o sinal são escolhas convenientes que podem ser modificadas de acordo com a necessidade. Portanto, a equação da onda tridimensional fica reduzida à equação de Helmholtz

25 Vamos considerar essa equação em coordenadas cilíndricas, que já encontramos em nosso curso:

26 ou seja, que será resolvida, também, pelo método de separação de variáveis. Assim, fazemos substituímos na equação acima e dividimos por

27 encontrando Note que os termos em r e θ estão misturados e portanto requerem algum cuidado extra. Por outro lado, o termo em Z(z) é independente dos demais e pode ser separado primeiro.

28 Assim, fazemos: Usando este resultado na equação de Helmholtz e multiplicando-a por r, encontramos com isso, a parte em das demais, logo é independente

29 Substituindo este resultado na equação anterior e multiplicando esta equação por R(r)/r, encontramos ou seja, a equação de Helmholtz é completamente separável em coordenadas cilíndricas.

30 O próximo passo é resolver as equações diferenciais ordinárias provenientes dessa separação: Vejamos caso a caso.

31 Vamos começar pela equação para Θ(θ) As soluções para esta equação já foram encontradas quando discutimos a corda e a membrana vibrantes. Temos diferentes soluções dependendo do sinal de. Como θ representa uma variável angular, com período igual a 2π, devemos exigir que as soluções para esta equação, sejam periódicas. Assim, teremos

32 E portanto as soluções Θ(θ) são senos e cossenos ou exponenciais imaginárias. Vamos, agora, analisar as soluções para Z(z) que satifaz Essa equação é análoga à anterior. Os valores de dependem das condições contorno sobre Z(z). Por exemplo, impondo que essa função se anula em z = 0 e em z = L, temos

33 Resta, portanto, considerar a equação radial para R(r). Usando os valores de e determinados acima, temos Para resolver essa equação vamos, primeiro, fazer uma mudança de variáveis, definindo logo

34 Além disso, vamos reescrever a função R(r) como a função y(x), através da definição Com essas definições, a equação radial fica que pode ser reescrita como que é a equação diferencial de Bessel, que já estudamos em Métodos I, para m=0 e m=1.

35 Voltaremos a estudar, mais adiante neste curso, as soluções para esta equação. Obs.1: uma vez obtida a solução para y(x) podemos escrever a solução correspondente R(r). Obs.2: Note que a constante de separação k=ωc, relacionada à frequência ω ainda não foi fixada. Essa fixação deve ocorrer com o uso das condições de contorno para R(r).

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