Efeito das propriedades variáveis com o tempo em uma barra de um reator nuclear

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1 Efeito das propriedades variáveis com o tempo em uma barra de um reator nuclear João Gilberto Furlan Rocha Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA/CTA São José dos Campos, São Paulo, Brasil Bolsista PIBIC-CNPq. Endereço eletrônico: jgfr16@yahoo.com.br Edson Luis Zaparoli Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA/CTA São José dos Campos, São Paulo, Brasil Bolsista PIBIC-CNPq. Endereço eletrônico: zaparoli@ita.br Resumo Este projeto trata-se da simulação numérica da variação de temperatura em regimes permanente e transiente no interior de uma barra de combustível de um reator nuclear. Esta é constituída de um cilino interior de UO 2, revestido por uma camada de Zircaloy. As propriedades que foram utilizadas destes elementos são: condutividade térmica, densidade, e calor específico; e cada uma delas é função da temperatura. Dos dados obtidos, analisou-se a possibilidade de se implementar o mesmo problema utilizando valores constantes para estas propriedades. As simulações foram feitas utilizando o software Macsyma PDEase2D. 1. Introdução A maior fonte conhecida de energia no universo material é, sem comparação, a energia nuclear, isto é, a energia contida no núcleo de um átomo. Reatores nucleares são utilizados para realizar uma reação nuclear de fissão com o objetivo de obter calor para alimentar uma termelétrica com ciclo a vapor. A energia gerada pela fissão nuclear é transmitida ao fluido de resfriamento do núcleo do reator. A maioria dos reatores nucleares utiliza barras cilínicas agrupadas em feixes. As usinas nucleares são classificadas em função do fluido que resfria o reator. De acordo com [1], o PWR (reatores de água pressurizada) é o mais comum de todos os tipos de reatores em uso no mundo, tanto para estações de energia comercial quanto para aplicações militares. O combustível usado pelo PWR é o dióxido de urânio (UO 2 ) em cantis de liga de zircônio. O UO 2 é compactado em pastilhas de 10 mm de diâmetro que têm a forma de um cilino de cerca de 1 cm de comprimento e de diâmetro, acomodadas no interior de varetas de 4,40 m de comprimento e 10,76 mm de diâmetro de zircaloy (uma liga de zircônio), hermeticamente fechadas e que suportam temperaturas até ºC (fig. 1). Cada vareta possui aproximadamente 2 kg de urânio. São necessárias 235 dessas varetas para formar um conjunto, o elemento combustível. Figura 1. Feixe de barras 1

2 O objetivo deste projeto é analisar o comportamento da temperatura dentro destas barras, tanto em regime permanente como em regime transitório, dada uma condição inicial, e também, analisar os efeitos de se considerar o uso de propriedades dos materiais que as constituem constantes, comparando-os com os resultados nos quais suas propriedades variam com a temperatura. O CFD (Computational Fluid Dynamics) possibilita a análise computacional de problemas físicos através de simulações [3]. Problemas que envolvem transferência de calor, fluido dinâmica, ou até mesmo análise financeira podem ser implementados que utilizem o CFD. No caso deste projeto, utilizou-se o software Macsyma PDEase2D. Independentemente do problema, gera-se uma malha que corresponde à discretização do domínio do problema, e por métodos numéricos, calcula-se a solução em determinados pontos, e efetua-se a interpolação dos resultados. 2. Formulação matemática e metodologia de solução 2.1. Definição matemática do problema A equação que descreve a difusão de calor em três dimensões em um meio incompressível e sem convecção é dada pela Eq. (1): onde a solução é a temperatura T em função do tempo t e da posição, e: k é a condutividade térmica do material (unidades no SI: W / mk. ) 3 q& é a taxa de geração de calor no meio (unidades no SI: W / m ) c é o calor específico do material (unidades no SI: J / Kg C ) 3 p é a densidade do material (unidades no SI: Kg / m ) A taxa de geração de calor dentro do cilino (fig. 2), utilizando-se de sua simetria cilínica, pode 2 ser aproximada para, de acordo com [4]: g( r) g 1 r = 0, onde b é o raio do elemento b combustível, r é a distância ao eixo central do cilino, g 0 é constante. Sejam: o cilino combustível representado pelo índice 1; o Zircaloy, que reveste o cilino interno, pelo índice 2; a temperatura na face de contato entre os dois por T W ; a temperatura do fluido exterior à barra dada por T; e o coeficiente de transferência de calor entra a barra e o fluido dada por h. (1) a b K 2 K1 g 2

3 Figura 2. Elemento estudado. As condições de contorno são dadas por: d ( ( )) T1 0 = 0 ( ) ( ) T b = T b = T 1 2 W d k2 T2 a h T T2 a ( ( )) = ( ) ( ) d d k1 T1 b k2 T2 a ( ( )) = ( ) ( ) Observa-se que devido à simetria cilínica, e ao fato das barras serem consideradas longas, ocorre variação da temperatura apenas na direção radial. A condição inicial foi tomada como uma temperatura constante ao longo de toda a barra, correspondente à temperatura do fluido de resfriamento Características físicas e propriedades dos materiais Foi obtido de [1] que: o raio do cilino interior vale 5mm; o raio da barra (combustível mais o revestimento) vale 5,078mm. De [2] tem-se que o valor de g 0 vale 4*10 7,8 W/m 3 e que a temperatura do fluido refrigerador vale 300ºC. O valor do coeficiente de transferência de calor h vale 450 W/m²ºC. As propriedades dos materiais em cada região analisada são dadas por: 0< r < b A partir de tabelas, fez-se o ajuste de curvas para temperaturas entre 273K e 1700K. Densidade do UO 2 : p = -0,0003T + 11,062 (Mg/m 3 ).A partir de valores da densidade de UO 2 para determinadas temperaturas, realizou-se uma curva de ajuste destes valores, dada pela fig. 3. densidade do UO2 11,4 11,2 densidade, Mg/m ,8 10,6 Seqüência1 Linear (Seqüência1) 10,4 10,2 y = -0,0003x + 11,062 R 2 = 0, temperatura, K Figura 3. Densidade do UO 2 em função da temperatura. 3

4 Condutividade térmica do UO 2 : K = 876,63T -0,7837 (W/m/K). Novamente, a partir de valores da condutividade térmica do UO 2, construiu-se uma curva de ajuste, dada pela fig. 4. condutividade térmica do UO2 condutividade térmica, W/m/K temperatura, K Seqüência1 Potência (Seqüência1) y = 876,63x -0,7837 R 2 = 0,9985 Figura 4. Condutividade térmica do UO 2 em função da temperatura. b< r < a Calor específico [3]: 214,9 J/mol/K Os valores dados para o Zircaloy foram obtidos de [2]. A condutividade térmica(w/m/k) do Zircaloy pode ser aproximada para temperaturas entre 300K e 1800K para: Condutividade térmica: K =12,767 5,4348x10-4 T + 8,9818x10-6 T 2 Para T < 1400 K, a densidade é dada por (Kg/m3): Densidade: p = 6595,2 0,1477T Para 273 K < T < 1400 K, o calor específico é dado por (J/mol/K): Calor específico: c = 255,66 + 0,1024T 2.3. Metodologia de solução De todos estas expressões apresentadas na secção anterior, e da equação que rege este problema, percebe-se que o problema é descrito por uma equação diferencial parcial não-linear de segunda ordem, com coeficiente variáveis, com uma variável (temperatura) dependente de duas variáveis independente: raio (devido á simetria cilínica) e tempo. Uma solução analítica para este caso é de difícil obtenção, assim, deve-se recorrer à solução numérica. Existem três métodos tradicionais para a solução numérica de problemas de equações diferenciais: Métodos das diferenças finitas, dos volumes finitos e dos elementos finitos. O software utilizado para realizar as simulações foi o PDEase. Esse software utiliza o método de elementos finitos de Galerkin com uma malha não-estruturada para a representação do domínio e discretização das equações diferenciais parciais. Foi utilizado o refinamento automático de malha nas regiões de maior gradiente de temperatura com o objetivo de reduzir o esforço computacional. Desta forma, o sistema original de equações diferenciais parciais foi transformado em um sistema de equações algébricas, resolvido por meio de algoritmos iterativos. A fig 5 mostra a malha que o software utiliza para determinar a solução. Quanto maior a concentração de pontos, maior é o esforço computacional para determinar a solução. Observa-se uma concentração maior de pontos na junção entre os dois materiais da barra. 4

5 Figura 5. Malha utilizada na solução. 3. Análise de resultados 3.1. Regime permanente Para o caso em que a condução ocorre em regime permanente, as curvas de nível da temperatura na barra são dadas pela fig. 6. Observa-se que a temperatura no interior se mantém entre 982 C e 1381 C. Um gráfico da distribuição de temperatura, tomando-se uma secção da barra, em função do raio, está dado na fig. 7. Nota-se que há uma mudança brusca na temperatura entre a superfície da barra e o fluido refrigerador. Figura 6. Curvas de nível da temperatura em regime permanente. 5

6 Figura 7. Temperatura em função da distância ao centro Regime transitório Durante o regime transiente, até que se atinja o regime estacionário, a temperatura no elemento combustível varia de 573K a 1654K. E no revestimento esta variação se dá de 573K a 1260K. A fig. 8 indica a temperatura em função do tempo para 4 pontos da barra: um deles no centro, outro com r = 0,2a, outro com r = 0,5a e outro com r = 0,8a. Estamos interessados em trabalhar com coeficientes constantes de densidade, capacidade térmica e de condutividade. Para isso, tomaram-se os valores médios de cada um deles no intervalo em que ocorre a variação de temperatura dada. Estes valores (no S.I.) estão dados na Tab. 1, e foram obtidos baseados nas fórmulas da secção 2.2. Tabela 1. valores médios das propriedades dos meios para o intervalo de variação de temperatura Condutividade térmica densidade Capacidade térmica UO 2 4, Zircaloy 20, A fig. 9 indica a temperatura em função do tempo para 4 pontos da barra: um deles no centro, outro com r = 0,2a, outro com r = 0,5a e outro com r = 0,8a. Neste caso, considerou-se a propriedades acima constantes. Percebe-se que ocorrem mudanças no comportamento entre as duas soluções. Na solução da figura 9, o aumento da temperatura se dá de uma maneira mais rápida que a outra solução, e atinge o regime estacionário mais rapidamente, e a temperaturas maiores. Estas podem ser observadas também através de curvas de níveis tomando-se, por exemplo, o instante t = 20s, no qual se observam diferenças significativas entre as respostas. A fig. 11 mostra isso. Figura 9: temperatura em função do tempo para quatro pontos distintos com coeficientes variáveis Figura 10. temperatura em função do tempo para quatro pontos distintos com coeficientes constantes 6

7 Figura 11. Observação das diferenças entre as respostas para propriedades variáveis e constantes, no instante t = 20s. 4. Agradecimentos Aos professores Edson Luis Zaparoli e Cláudia Regina de Anade, que me orientaram neste projeto. 5. Referências [1] (consultado em novembro e dezembro 2005) [2] Hagrman, D. T., ed., SCDAP/RELAP5/MOD 3.1 Code Manual: MATPRO - A Library of Materials Properties for Light-Water-Reactor Accident Analysis, NUREG/CR-6150, EGG Vol. 4 (1995). [3] Meliska. C.F.D. Computational Fluid Dynamics [4] Özisik, M. Necati. Heat transfer A basic approach [5] Perry, Robert H. Perry s Chemical Engineers Handbook [6] Shaw, R. K. Heat Transfer Equipment Design 7