Prob Considere uma placa plana infinita de espessura 2L com uma distribuição inicial de temperaturas como mostra a figura: T A 2nL.

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1 Aula 1 Prob Considere uma placa plana infinita de espessura 2L com uma distribuição inicial de temperaturas como mostra a figura: T T 0 T A 2nL 2L - 0 isto é, na parte central entre nl e +nl a temperatura inicial é T 0 e entre L e nl, tal como entre L e nl a temperatura inicial é T A, igual à temperatura ambiente. O coeficiente de transmissão de calor à superfície é h. Pretende-se saber a evolução da temperatura da placa ao longo do tempo no interior da placa. a) Equacione completamente o problema de forma a ser possível a sua resolução. b) Esboce num gráfico (T,) as distribuições de temperatura para a situação final (t ) e para um instante intermédio (0<t< ). c) Esboce num gráfico (T,t) a evolução da temperatura no plano médio da placa e na sua superfície. Prob. 1.2 Considere a transferência de calor através de uma secção de 1 m 2 de uma parede de um forno com espessura L=0,2 m cuja superfície interior se encontra a 600ºC e a superfície eterior a 100ºC. A condutibilidade térmica do material da placa é igual a 1 W/mºC. a) Calcule a taa de transferência de calor através da parede. b) Calcule a espessura necessária da parede para que a perda de calor seja 1 kw/m 2. c) Qual a temperatura eterior do ar, quando se tem convecção natural com um coeficiente de convecção h= W/m 2 ºC, para que se garanta um escoamento de calor igual a 1 kw/m 2. Esquematize graficamente a distribuição de T. Prob Um tronco de cone, maciço, serve de suporte de um sistema que mantém a base superior do tronco à temperatura T 1, enquanto a base inferior do cone está à temperatura T 2 < T 1. A condutibilidade térmica do sólido depende da temperatura de acordo com a relação k= k 0 -at onde a é uma constante positiva e a face lateral do tronco de cone está bem isolada. Indique como variam ao longo da coordenada (aumentam, diminuem ou mantêm-se) as grandezas seguintes: a) Taa de transferência de calor q. b) Fluo de calor q. c) Condutibilidade térmica. d) Gradiente de temperatura dt/d. T 1, A 1 T 2 < T 1 A 2 > A 1 Prob Determine a distribuição de temperatura numa placa com espessura L considerando que a condutividade varia com a temperatura nas condições seguintes: i) k=constante, ii) k proporcional a T, iii) k inversamente proporcional a T. r

2 Prob Numa barra cilíndrica de combustível de um reactor nuclear, com diâmetro 50 mm, ocorre geração interna uniforme de calor à taa q& = W/m 3. Em regime permanente, a distribuição de temperatura é da forma T(r)= a + b r 2, onde T é a temperatura em graus Ce1sius e r é a coordenada radial em metro com a=800ºc e b=-4, ºC/m 2. As propriedades do combustível da barra são k= 30 W/m K, ρ= 1100 kg/m 3 e c p = 800 J/kg K. a) Qual é a taa de transferência de calor, por unidade de comprimento da barra no centro da barra (r=0) e na sua superfície (r=25mm)? b) Se o nível de potência do reactor for subitamente elevado para q& = 10 8 W/m 3, qual é a taa inicial da variação de temperatura com o tempo para r = 0 e r= 25 mm? Aula 2 Prob 2.1 A parede de um edifício é construída em tijolo como ilustrado na figura, revestida do lado interior por um painel em pinho com 15 mm de espessura (k = 0,15 W/m C) e do lado eterior por argamassa com 3 mm de espessura (k =l,5 W /mºc). Determine o fluo de calor através da parede, sabendo que a temperatura do lado de dentro é de 21ºC (h= 7,5 W/m 2 C) e do lado de fora - 5 C (h= 35 W/m 2 C). A condutibilidade térmica do tijolo é de 0,6 W/mºC e os seus orifícios estão cheios de ar, dando-se nessa zona, transmissão de calor por convecção com um coeficiente entre as paredes de h=2 W/m 2 ºC Prob. 2.2 Um tubo de aço, com paredes finas e diâmetro de 0,2 m é usado para transportar vapor de água saturado a bar, num ambiente cuja temperatura do ar é de 25 ºC e o coeficiente de transmissão de calor por convecção, na face eterna do tubo, é de W/m 2 ºC. a) Qual a perda térmica por unidade de comprimento, do tubo sem isolamento? Qual a perda térmica por unidade de comprimento com uma camada de isolante (magnésia a 85%) com 50 mm de espessura? O aço e a magnésia têm, aproimadamente, uma emissividade de 0,8 e a resistência térmica convectiva do lado do vapor pode ser desprezada. b) Os custos associados à geração de vapor de água e à instalação do isolamento são 0,02 /10 9 J e 0,5 /m de comprimento de tubo, respectivamente. Se a linha de vapor operar 7500 h/ano, quantos anos de operação são necessários para o retorno do investimento inicial no isolante? Prob. 2.3 Um fio de cobre de 1 mm de diâmetro está uniformemente isolado por um material plástico de tal modo que o diâmetro eterior é de 3 mm. a) Estando o condutor mergulhado num ambiente a ºC onde h=8,5 W/m 2 K, qual é a corrente eléctrica máima que, em regime estacionário, pode percorrer o fio sem que se ultrapassa no plástico 90ºC e no cobre 0ºC. (k Cobre =380 W/mK, k Plástico =0,35 W/mK, R elec =5, Ωcm) b) Se se manter a mesma distribuição de temperaturas no fio de cobre e no fluido ambiente, qual será o raio do isolante que permitirá trocar maior quantidade de calor? 80 80

3 Aula 3 Prob 3.1- Um elemento de combustível de um reactor nuclear é constituído por uma esfera A (de raio R A ) de um material capaz de reagir por fissão nuclear. Uma camada protectora de um material B (de raio eterior R B ) envolve a esfera A. O fluido que rodeia o conjunto destina-se a arrefecê-lo e está a uma temperatura T f, sendo h o coeficiente de transmissão de ca1or superficia1. A variação de energia nuclear gerada internamente na esfera A pode ser aproimada pela equação: 2 r q & = q& 0 1 para 0 < r < R A RA onde q& 0 é a energia gerada no centro da esfera [W/m 3 ]. Os materiais que constituem o sistema são homogéneos. a) Determine a distribuição de temperaturas quando em regime estacionário. b) Estará o material B a actuar como isolante térmico? Justifique. Dados: T f =40 C, h= 40 W /m 2 K, k A = 35 W/mK, k B = 0,6 W/mK, R A = 0,03 m, R B = 0,05 m Prob Considere uma instalação para determinar o coeficiente de transmissão de ca1or por convecção de um fluido a escoar-se no interior de um tubo. O tubo encontra-se perfeitamente isolado no eterior onde se mede a sua temperatura. Faz-se passar uma corrente eléctrica através do tubo, que gera calor por efeito de Joule. a) Determine o coeficiente de convecção a partir dos resultados obtidos com um tubo de aço (k = W/mK) de 30 mm de diâmetro interior, 3 mm de espessura e l m de comprimento, que são indicados de seguida: Temperatura da superfície eterior do tubo = 500 C Temperatura de entrada do fluido = 100 C Velocidade do fluido = 1 rn/s ρ c P do fluido 4 kj/k Diferença de potencial 100 V Intensidade de corrente 0 Amp. b) Se o calor em vez de ser gerado uniformemente no tubo for libertado na periferia deste qual seria a potência a gerar para manter a mesma temperatura no eterior do tubo. Comente as duas soluções. Prob O anel mostrado na figura é feito de um fio cilíndrico fino de comprimento L, diâmetro D e h, T 00 condutibilidade térmica k. O coeficiente de transmissão de calor entre o anel e o ar ambiente vale h, Um ponto ( =0) no anel é aquecido internamente de tal forma que Q b, T b a sua temperatura (T b ) é mantida acima da temperatura ambiente (T ). Determine: a) A distribuição de temperaturas ao longo do anel. b) A temperatura no ponto diametralmente oposto a =0. c) O fluo de calor q b que deverá ser aplicado em =0. 0 X=L/2

4 Aula 4 Prob Considere as paredes laterais de um motor mono-cilíndrico de dois tempos com a geometria indicada na figura. A sua camisa é em aço (k = 40 W/m K, ρ=7500 Kg/m 3 ; c p =450 J/kg K) e as alhetas são em alumínio (k=0 W/mK), estando o ar envolvente a 25ºC e sendo o coeficiente de transmissão de calor de superfície de 100 W/m 2 K. a) Calcule a máima potência térmica que pode ser dissipada através das paredes do cilindro de modo a não ultrapassar 270ºC no aço. b) Se em vez de se usar alhetas triangulares se usasse alhetas rectangulares a potência que poderia dissipar, mantendo o limite térmico, seria maior ou menor? Justifique Prob Uma fita plástica é colada numa chapa metálica aquecendo-a através de radiação laser incidente sobre a fita conforme ilustrado na figura. A placa metálica tem espessura d = 1,25 mm sendo a largura W 2 grande. A fita plástica tem a largura W l = 40 mm sendo a espessura pequena e desprezável do ponto de vista de transferencia de calor. Na zona eterior a zona de colagem eiste convecção natural com o ar ambiente sendo T Ar = 25 C e h = W/m 2 K. Na zona de colagem despreze a transferencia de calor por convecção e a energia absorvida pelo plástico e considere o fluo de radiação q j = 10 kw /m 2. As propriedades da chapa metálica são ρ = 7850 kg/m 3, c p = 435 J/kg K e k = 60 W /mk. a) Apresente as equações que lhe permitem determinar a distribuição de temperatura da placa nas duas zonas e as respectivas condições fronteira. b) Calcu1e a temperatura máima e mínima na zona de colagem. Fita metálica w 1 Fita plástica h, T oo d h, T oo w 2 Prob 4.3 Considere um forno cúbico de lado H = 1m. O forno encontra-se completamente isolado com uma camada de lã de vidro (k = 0,035 W/mK) de espessura L = 0,15 m. Sabendo que a temperatura na superfície interna do isolamento é T h = 50ºC e na sua superfície eterna é T c = C, calcule a quantidade de calor total que se perde através do isolamento. Aula 5 Prob. 5.1 Considere uma barra de grandes dimensões de secção rectangular cujas dimensões são a segundo a direcção e b segundo a direcção y. A condutibilidade térmica do material que constitui a barra é função da direcção de forma a que k = 4 k y. Encontre uma epressão para T(, y) na barra em regime estacionário sabendo que: T(0, y) = T 1 ; T( a, y) = T 1 ; T(, 0) = T 1 ; T(, b) = T 2 onde T 1 e T 2 são constantes.

5 Prob. 5.2 Considere a barra de grandes dimensões de secção triangular representada na figura. Assumindo que a condutibilidade téffi1ica do material é constante, derive uma epressão para T(, y) na barra em regime estacionário. T 1 y a 0 T 2 Isolado a Aula 6 Prob. 6.1 O controle de um forno é accionado por um termómetro de mercúrio (ρc p = 1850 kj/m 3 K, k=10 W/mK) com bolbo cilíndrico com 3 mm de raio, que apresenta um coeficiente de convecção com os gases de 57 W/mK. A temperatura do forno inicial é de ºC e aumenta à taa de 300ºC/h, sendo a temperatura máima admissível igual a 600 ºC. a) Calcule a temperatura indicada pelo termómetro quando o forno atingir os 600ºC. b) Sabendo que o controle do queimador do forno corta o fornecimento de combustível apenas quando o termómetro marca os 600 ºC, determine a temperatura máima atingida no forno nesse instante. Prob. 6.2 Uma grande chapa de alumínio (liga 24), com espessura de 0,15 m, está inicialmente na temperatura uniforme de 300 K e é colocada num forno cuja temperatura ambiente é 800 K, e que tem um coeficiente de transferência de calor por convecção estimado em 500 W /m 2 K. a) Determinar o tempo necessário para o plano mediano da chapa atingir 700 K. b) Qual é a temperatura superficial da chapa, nestas condições? c) Repetir os cálculos para uma chapa de aço inoidável (tipo 304). Prob. 6.3 Para o arrefecimento de bilhas de rolamentos, com diâmetro D = 0,2 m e temperatura inicial T i = 400º C, propõe-se a adopção de uma câmara de ar frio. O ar da câmara é mantido a -15ºC por um sistema de refrigeração e as bilhas passam pela câmara, com um comprimento de 5m, sobre uma correia transportadora. As condições operacionais óptimas requerem que 70% da energia térmica inicial, acima da energia térmica a -15ºC, contida em cada bilha, sejam removidos. É possível desprezar os efeitos radiativos na câmara, e o coeficiente de transferência convectiva de calor é de 1000 W/m 2 K. Estimar o tempo de residência das bilhas na câmara e recomendar a velocidade da correia transportadora. Considere as propriedades para o aço: k =50W/m K, α = m 2 /s e c p = 450 J/kgK. Ar frio Correia Transportadora V

6 Aula 7 Prob. 7.1 Considere um bolo com forma semi-esférica (raio=2 cm) a ser cozido num forno (T=400ºC h=50 W/m 2 ) de 1 metro de comprimento operado em continuo. O bolo entra no forno a 30ºC e considera-se cozido quando a sua temperatura mínima atingir os 1ºC. A temperatura máima não deverá eceder os 0ºC para o bolo não "queimar". Propriedades do bolo (k=2 W/mK, ρ=500 kg/m 3, c p = 1000 J/kgK). a) Calcule o intervalo admissível para a velocidade da correia transportadora dos bolos no interior do forno, considerando a correia isolada. b) Qualitativamente indique como varia o intervalo de velocidades admissíveis: b1 - Se o coeficiente de convecção fosse aumentado b2 - Se a temperatura do ar no forno fosse aumentada c) Indique qualitativamente como varia a temperatura no centro do bolo após este sair do forno e entrar em contacto com o ar, mas continuando com a sua base isolada. d) Considerando o bolo a uma temperatura média de l50ºc após sair do forno e com a base isolada calcule o tempo a esperar para atingir 40ºC (T Ar =ºC; h =5 W/m 2 K). Prob. 7.2 Usando transformadas de Laplace, deduza a solução para a evolução transiente da temperatura numa placa plana infinita de espessura 2L que inicialmente se encontrava à temperatura T i e cuja temperatura da superfície foi bruscamente alterada para o valor de T w no instante de tempo t = 0. Aula 8 Prob. 8.1 Um lingote de aço de dimensões cm é aquecido a 1000ºC e depois temperado num banho de óleo cuja temperatura é de 80 C. O valor do coeficiente de transmissão de calor de superfície no óleo é de 750 W/m 2 ºC. As propriedades do aço são: ρ = 7850 kg/m 3, c p = 465 J/kgºC, k=58 W/m C. a) Estime o tempo que decorre entre o instante em que a temperatura de 250 ºC aparece nas faces até aquele em que essa temperatura deia de eistir nas faces. b) Esboce as isotérmicas nas faces no instante em que a temperatura de 250 ºC deia de aparecer nas faces. c) Calcule o tempo necessário para reduzir a temperatura no centro do lingote a 450 ºC. Prob. 8.2 Uma cidade em que em média as temperaturas máima e mínima são de 30ºC (em 25 de Julho) e -10ºC (em 25 de Janeiro) tem uma parte da rede de abastecimento de água a uma profundidade de 0,7m. Considerando as propriedades do solo (k= 0,7 W/mK, α= 5,410-7 m/s) e desprezando a perturbação causada pelo congelamento da humidade do solo, calcule: a) Em que dia é de esperar que a água congele nas tubagens referidas? b) Por quanto tempo se espera que a água permaneça congelada? c) A que profundidade é que a temperatura não desce abaio de 0ºC? d) Qual é a profundidade onde a amplitude da oscilação térmica é 1% da superfície?