Equação Geral da Condução

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1 Equação Geral da Condução Para um sistema unidimensional demonstrouse: q x = k A T x x Para um sistema multidimensional o fluxo de calor é vetorial: q,, =q x,, i q y,, j q z,, k = k T i k T j k T k =k T x x y y z z

2 Fluxo de Calor na Direção Normal à Superfície Para o fluxo de calor saindo de uma superfície (ou isoterma): q n = k A n T n n e representa o fluxo de calor na direção normal

3 Equação de Difusão de Calor Balanço de Energia na seção do Cubo: E A A dx c p T t =q x E e Ė s q x dq x E G q A dx sendo dq x = x k A T x dx q x A dx c p T t = x k T x A dx q A dx c p T t = x k T x q dx q x dq x Área A

4 Equação Multidimensional de Difusão de Calor Sistema Cartesiano Equação Geral: c p T t = x k T x y k T y z k T z q (2.13) Equação para Condutividade Constante 1 k / c p T t = 2 T x 2 T 2 y 2 T 2 z q 2 k (2.15)

5 Equação Multidimensional de Difusão de Calor Outros Sistemas Sistemas Cilíndricos: c p T t = 1 r T k r r r 1 r 2 k T z k T z q (2.20) Sistemas Esféricos: c p T t = 1 r 2 r k r 2 T r 1 1 r 2 sin r 2 sin 2 k T k sin T q (2.23)

6 Solução de Equações Diferenciais Qualquer equação diferencial pode resolver um problema determinando o comportamento da função solução. A solução característica de um determinado do problema só pode ser obtida com o conhecimento das suas Condições de Contorno do problema. y t Solução Geral: y t =5 exp x 2 x C 1 Solução Específica: y t=0 =2

7 Condições de Contorno Típicas Com relação ao tempo: Condição inicial Com relação à condução: Condição de 1ª Espécie (Dirichlet) Condição de 2ª Espécie (Neumann) Condição de 3ª Espécie (Robin)

8 Condição Inicial Para qualquer problema que envolva transitório é necessário conhecer o perfil da grandeza analisada em pelo menos um instante de tempo. t=0 T x,t=0 = 2 x 2 3x 38 ou t=0 t=0 T x,t=0 =50 x

9 Condição de 1ª Espécie Condição Pré-Estabelecida Condição de Dirichlet Condição na qual a grandeza (temperatura, por exemplo) é conhecida numa dada posição. 70 L 50 x x=0 T x=0, t =70 x=l T x=l, t =50

10 Condição de 2ª Espécie Condição de Fluxo Condição de Neumann Caracteriza a condição no qual a derivada da grandeza é estabelecida. É denominada condição de Fluxo por estar associada ao fluxos (fluxo de calor, por exemplo). q' ' =150 W m 2 k =10W/ m K x=0 q ' '= k dt dx dt = q ' ' dx x=0 k x=0 dt = 150 dx x=0 10 x Obs: - Muito cuidado com sentido do eixo x!!!! - Caso de Fluxo Nulo!!!!

11 Condição de 3ª Espécie Condição de Convecção Condição de Robin Condição típica de problemas de transferência de calor e aplicável nos casos depende tanto da variável como da sua 1ª derivada. h,t L x=0 h T T x=0,t = k d T d x x=0 h,t x= L h T x= L, t T = k d T d x x= L x

12 Propriedades Físicas da Matéria Condutividade Térmica k Massa Específica ρ Calor Específico a Pressão Constante cp Difusividade Térmica α Viscosidade Cinemática (ν) ou Dinâmica (μ) Coeficiente de Expansão Volumétrica (β)

13 Características da Condutividade Térmica pode ser calculada experimentalmente fazendo uso da Lei de Fourier: k= q,, dt / dx pode ser: isotrópico (igual em todas as direções) anisotrópico k x k y k z

14 Condutividade Térmica Diferentes mecanismos de acordo com a natureza: Sólidos metálicos (condutores elétricos) cerâmicas Fluidos líquidos gases Material Isolante

15 Distribuição de valores da condutividade térmica

16 Condutividade Térmica de Sólidos A condutividade térmica pode ser escrita como uma composição de dois fatores: onde: k s =k e k r k r representa a transferência de energia pela rede de ligações atômicas/moleculares k e representa a transferência de energia por transferência de elétrons entre átomos.

17 Comportamento da Condutividade Térmica com a Temperatura Condutividade Termica [W/m.K] Prata Cobre Ouro Aluminio Tungstenio Platina Ferro Oxido de Aluminio Aco Inoxidavel Ceramicos Quartzo Fundido Temperatura [K] 4000

18 Condutividade Térmica em Fluidos Fluidos = ligações moleculares muita mais fracas que dos sólidos (menor condutividade) Sólido Líquido Gás

19 Condutividade Térmica em Gases Transferência de energia em gases ocorre basicamente por colisões (Teoria Cinética dos gases) n = número de moléculas / volume k l =n c onde c= vel. média das moléculas =percurso médio das moléculas Efeitos em função do aumento de: TEMPERATURA: c aumenta k aumenta com a temperatura!!!! PRESSÃO: n aumenta e λ diminuem k sem mudança significativa

20 0.3 Comportamento da Condutividade Térmica de Alguns Gases Condutividade Termica [W/m.K] Hidrogenio Helio Ar Dioxido de Carbono Vapor d'agua(1 atm) R Temperatura [K]

21 Condutividade Térmica em Líquidos o mecanismo que explica a condução em líquidos não metálicos é mais complexo e ainda não está bem estabelecido. de maneira geral para os líquidos: a condutividade térmica aumenta com aumento de temperatura (excessões: água e glicerina) a condutividade diminui com o aumento do peso molecular metais fundidos têm condutividade térmica muito maior que os outros líquidos

22 Condutividade Térmica em Líquidos Agua Condutividade Termica [W/m.K] Amonia R 12 Oleo de Motor Glicerina Temperatura [K]

23 Sistemas de Isolamento Térmico São compostos normalmente por uma combinação de dois materiais (gás + fibras ou pó ou flocos) O conceito de Condutividade Térmica Efetiva é utilizado. Neste caso, a condutividade aparente é função de diversos parâmetros: caminho percorrido pelo fluxo e as diversas formas de transferência de calor internas Isolamento Celular: nome dado ao isolante quando existe uma matriz rígida.

24 Difusividade Térmica O rearranjo das equações de condução levam ao aparecimento de uma relação entre outras propriedades que denominamos Difusividade Térmica (α): = k c p esta propriedade permite avaliar a velocidade com que o calor se difunde em um dado material. útil em problemas que envolvem condução transiente

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