EAC-082: Geodésia Física. Aula 4: Teoria do Potencial

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1 EAC-082: Geodésia Física Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges Aula 4: Teoria do Potencial 1 1/27

2 Campo da Gravidade Vimos anteriormente que: m 2 =m F 2 F 12 = G m 1 m 2 2 d 12 F 1 m 1 =M l Considerando umas das partículas como Atrativa (M) e outra como Atraída (m), tem-se: F = G m M l 2 1 Com G = 6, m 3 /Kg s 2. 2/27

3 Campo da Gravidade Vetorialmente, a força exercida por dois corpos m 1 e m 2 de dimensões negligenciáveis, será: 2 Onde m 1 = M: partícula atrativa de coordenadas (x, y, z ); m 2 = m: partícula atraída de coordenadas (x, y, z); r 2 r 1 = l: distância entre as duas partículas 3/27

4 Campo da Gravidade Como F = m a g m a g = G m M l 2 Logo, a aceleração da gravidade é dada por: a g = GM l 2 Tanto a força F como a aceleração a têm a mesma direção que a linha que liga os corpos. Por esta razão, muitas vezes escreve a equação (3) como uma equação vetorial, expressa por: a g = GM r 2 r 1 onde os vetores tridimensionais do lugar das massas atraentes e atraídas são definidos em coordenadas retangulares como: 3 4 4/27

5 Campo da Gravidade r 2 = x i + y j + z k r 1 = X i + Y j + Z k 5 onde o trio dos vetores unitários i, j, k é uma base ortogonal no espaço Euclidiano (R 3 ) e: l = r 2 r 1 = x X 2 + y Y 2 + z Z 2 6 Observe que a equação vetorial (4) contém um sinal de menos. O sinal apenas indica que a direção da força é oposta à do vetor r 2 r 1. Este vetor é a localização da massa atraída m contada a partir da localização da massa atrativa M, de forma a indicar uma atração e não uma repulsão. 5/27

6 Componentes Cartesianas da Força de Atração Assim, temos que a Força de Atração exercida sobre partícula de massa unitária P(x, y, z) pela massa M localizada na origem do sistema é dada por: ԦF m M = G M m r 2 r 1 3 r 2 r 1 7 Considerando a partícula atraída com massa m unitária, temos: ԦF = G M Ԧl 8 6/27

7 Componentes Cartesianas da Força de Atração Estando o sistema de massas atrativas na origem, têm-se: Ԧl = P O = x Ԧi + y Ԧj + z k Onde Ԧi, Ԧj e k são os versores fundamentais (vetores unitários). 9 Substituindo a equação (9) em (8), temos: G M ԦF = x Ԧi + y Ԧj + z k Assim temos as seguintes componentes cartesianas para a Força de atração: F x = G M x F y = G M y F z = G M 7/27 z 10

8 Componentes Cartesianas da Força de Atração No caso geral, onde o sistema de massa atrativa não é coincidente com a origem do sistema de coordenadas P x, y, z, tem-se: ԦF = G M x x 2 i + y y 2 j + z z 2 k 11 Considerando um sistema discreto de massas atrativas formado por n partículas não coincidente com a origem do sistema de coordenadas P x, y, z, a expressão da força será: ԦF = G 3 l i l i 8/27 n i=1 Mi 12

9 Componentes Cartesianas da Força de Atração Cujas componentes cartesianas serão: n F x = G i=1 n F y = G i=1 n F z = G i=1 x x i l i 3 y y i l i 3 z z i l i 3 M i M i M i 13 9/27

10 Componentes Cartesianas da Força de Atração Considerando um sistema de distribuição contínua de massa atrativa (corpo de massa m e volume v), tem-se: ԦF = G න M dm Ԧl 14 10/27

11 Componentes Cartesianas da Força de Atração F x = G න M F y = G න M F z = G න M x x y y z z dm = G න v dm = G න v dm = G න v x x y y z z ρdv ρdv ρdv 15 Sendo dm uma massa elementar de coordenadas x, y, z e volume dv: dm = ρdv = ρ dx dy dz 16 O que lembra que as integrais são triplas. 11/27

12 Componentes Cartesianas da Força de Atração Assim um corpo de massa M pode ser considerado como composto por elementos de volume elementar dv com densidades ρ. A atração exercida pelo corpo pode ser considerada como a integral das atrações exercidas pelos elementos de volumes dv. Admitindo a massa atraída como massa unitária, tem-se: ԦF dv = G ම v ρ Ԧldv 17 12/27

13 Componentes Cartesianas da Força de Atração ԦF dv = G ම v ρ Ԧldv Considerando-se o corpo atraído de massa unitária, a expressão acima pode ser utilizada na quantificação da atração exercida por uma massa M sobre corpos exteriores ou sobre o mesmo. Sendo desconhecida com precisão a estrutura interna da Terra, com relação à distribuição de densidades, a equação é de uso limitados na Geodésia. No entanto, sua utilidade reside na demonstração da interrelação da força de atração com a densidade /27

14 Potencial Gravitacional A teoria do potencial é devida a Laplace (1782) e desempenha importante papel na Geofísica, Geodésia e Física, entre outras áreas. A Geodésia utiliza-se da Teoria do Potencial como subsídio para o estudo do campo da gravidade e de suas vinculações com o problema da Forma da Terra. O potencial gravitacional de atração (ou newtoniano) é dado pela função escalar definida por: V = G m l 18 O potencial gravitacional é concebido pela massa m x, y, z ponto P x, y, z. 14/27 no

15 Potencial Gravitacional No caso de um sistema discreto de partículas: n V = G i=1 mi Considerando uma distribuição contínua, tem-se: dm V = G න m l = G න v ρdv l l i = G න v ρ dx dy dz l Propriedade Fundamental do potencial de atração: As derivadas do potencial gravitacional segundo os eixos coordenados proporcionam as componentes da força de atração em relação aos mesmos eixos. 15/27

16 Potencial Gravitacional V x = G m x 1 l = G m x x V y = G m y 1 l = G m y y 21 V z = G m z 1 l = G m z z Unidades: No S.I. o potencial gravitacional é expresso em m 2 s 2. Mas como a unidade Gal é dada por: Gal = 10 3 miligals (mgal) = 10 2 m s 2 m 2 s 2 = 10 2 Gal m = 10 5 mgal m 16/27

17 Potencial Gravitacional Operadores: Uma função de posição ou função de ponto é uma quantidade que assume valores diferentes nos diferentes pontos de uma região. Logo, o potencial gravitacional (dependente da distância ao centro de massa atrativo) é uma função escalar de posição. Do mesmo modo define-se funções vetoriais de posição. A seguir têm-se algumas funções de posição, de aplicação frequente na Teoria do Potencial. a) Vetor simbólico nabla ഥ (operador newtoniano): ത = x Ԧi + y Ԧj + z k 17/27

18 Potencial Gravitacional Operadores: b) Gradiente da função escalar E = f x, y, z : grad E = ത E = E x Ԧi + E y Ԧj + E z k O operador grad transforma um escalar em vetor, cujas componentes cartesianas são as derivadas da função escalar segundo os eixos. c) Divergência da função vetorial de posição ҧ A = f x, y, z : div ҧ A = ത ҧ A div A ҧ = A x x + A y y + A z z 18/27

19 ҧ ҧ Potencial Gravitacional Operadores: d) Rotacional: rot ҧ A = ത ഥA O símbolo indica o produto vetorial. rot ҧ A = i j തk x y z A x A y A z rot ҧ A = A z y A y z Ԧi + A x z A z x Ԧj + A y x A x y k 19/27

20 Potencial Gravitacional Operadores: e) Operador de Laplace (Laplaciano): = 2 x y z 2 O Laplaciano corresponde ao operador div grad. Aplicando a uma função escalar E sucessivamente os operadores grad e div, temos: grade = E E E Ԧi + Ԧj + x y z k div grade = 2 E x E y E z 2 = E 20/27

21 Potencial Gravitacional Operadores: A expressão é conhecida como equação de Laplace e é de grande utilidade na solução de problemas físicos através da Teoria do Potencial. Verifica-se que o potencial gravitacional é uma função harmônica, pois satisfaz a equação de Laplace, no exterior das massas. Em resumo temos: Operador Transforma Em grad escalar vetor div vetor escalar rot vetor vetor laplaciano escalar escalar 21/27

22 Exercício 1. Designando por s a distância entre dois pontos, um fixo (x, y, z ) e um móvel (x, y, z), calcule o gradiente e o laplaciano de s. Resposta: Gradiente: grad s = sҧτs Laplaciano: s = Τ 2 s 22/27

23 Exercício 2. Adotando um modelo esférico, homogêneo e rotante, calcular a gravidade teórica sobre a sua superfície nos paralelos com latitude geocêntrica 0º, 30º, 60º e 90º. Para os mesmos paralelos, calcule o percentual representado pela força centrífuga. Admita que a esfera tem o mesmo volume que o elipsoide do SGR-67 no qual: a = m b = m GM = x109 m 3. s 2 ω = x10 11 rad/s 23/27

24 Exercício (Solução) a) Raio da Esfera: b) Valores auxiliares: c) Vetorialmente: 24/27

25 Exercício (Solução) d) Em módulo usando as componentes: 25/27

26 Exercício (Solução) e) Resumo dos cálculos (m/s 2 ) ϕ g x g z g = g x2 + g z 2 0º 9, , º 8, , , º 6, , , º 4, , , º 0 9, , f) Usando a componente de C na direção de F: ϕ km/r 2 ω 2 Rcos 2 ϕ % (C/F)*100 g = F - C 0º 9, , ,345 9, º 0, ,259 9, º 0, ,172 9, º 0, ,086 9, º 0 0 9, /27

27 Referências Bibliográficas Gemael, C. Introdução à geodésia física Ed. da UFPR, Curitiba, Oliveira Filho, K. S.; Saraiva, M. F. O. Astronomia e astrofísica 2. ed. Editora Livraria da Física, São Paulo, /27