EAC-082: Geodésia Física. Aula 2: Introdução à Teoria do Potencial

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1 EAC-082: Geodésia Física Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges Aula 2: Introdução à Teoria do Potencial 1 1/18

2 Lei da Gravitação Universal Embora os estudos empíricos sobre o movimento de queda livre tenham sido iniciados e publicados por Galileu¹ no final do século XVI, a formulação da teoria da gravitação universal só ocorreu praticamente um século depois, quando Newton² publicou seus estudos em Com base nas leis de Kepler³, enunciadas em 1610 e 1619, Newton demonstrou geometricamente em 1687 que um planeta em seu giro em torno do sol está sujeito a uma força que varia inversamente ao quadrado da distância FP (F = Foco; P = Planeta) que os separa. (1) Galileo Galilei ( ) (2) Isaac Newton ( ) (3) Johanes Kepler ( ) 2/18

3 Lei da Gravitação Universal F F 12 = G m 1 m 2 F 1 m 2 2 d 2 12 m 1 G é conhecida como: Constante Gravitacional ou Fator de Proporcionalidade e é igual a: 6,672x10-11 m 3 Kg -1 s -2 no Sistema Internacional d De acordo com a lei de Newton se a esfera com massa m 1 estiver fixa e a esfera com massa m 2 puder movimentar-se, m 2 irá se deslocar em direção a m 1, devido à força F. 3/18

4 Estudos de Kepler Conseguiu traçar a órbita da terra determinando diferentes posições da terra após cada período sideral de Marte. Concluiu que essa órbita era muito bem ajustada por um círculo excêntrico (Sol um pouco afastado do centro). Determinou também a órbita de Marte mas não teve sucesso em ajustá-la com um círculo. Ao tentar representar a órbita de Marte como uma oval, descobriu que uma elipse ajustava muito bem com os dados, uma vez que a posição do Sol coincidia com um dos focos da elipse. 4/18

5 Propriedades das elipses Em qualquer ponto da curva, a soma das distâncias desse ponto aos dois focos é constante. Sendo F e F os focos, P um ponto sobre a elipse, e a o seu semi-eixo maior, então: FP + F P = constante = 2a 5/18

6 Propriedades das elipses Quanto maior a distância entre os dois focos, maior é a excentricidade (e) da elipse. Sendo c a distância do centro a cada foco, a o semi-eixo maior, e b o semi-eixo menor, a excentricidade e definida por: já que quando o ponto esta exatamente sobre b temos um triângulo retângulo, com: a 2 = b 2 + c 2 6/18

7 Propriedades das elipses Se imaginamos que um dos focos da órbita do planeta é ocupado pelo Sol, o ponto da órbita mais próximo do Sol é chamado periélio, e o ponto mais distante é chamado afélio. A distância do periélio ao foco (R p ) é: R p = a c = a a e = a 1 e e a distância do afélio ao foco (R a ) é: R a = a + c = a + a e = a 1 + e 7/18

8 Equação da Elipse (Coord. Polares) Uma elipse é por definição um conjunto de pontos equidistantes de dois focos separados por 2ae, onde a é o semi-eixo maior e e a excentricidade. Seja um Ponto P r, θ ou P x, y, onde θ é chamado de anomalia verdadeira. Pela lei dos cossenos temse: r 1 2 = r 2 + 2ae 2 + 2r 2ae cos θ 8/18

9 Equação da Elipse (Coord. Polares) 9/18

10 Área da Elipse (Coord. Cartesianas) 10/18

14 Leis de Kepler 1ª Lei: Lei das órbitas elípticas (1609) a órbita de cada planeta é uma elipse, com o Sol em um dos focos. Como consequência da órbita ser elíptica, a distância do Sol ao planeta varia ao longo de sua órbita. 14/18

15 Leis de Kepler 2ª Lei: Lei das áreas (1609) a reta unindo o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. O significado físico dessa lei é que a velocidade orbital não é uniforme, mas varia de forma regular: quanto mais distante o planeta está do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira, essa lei estabelece que a velocidade areal é constante. 15/18

16 Leis de Kepler 3ª Lei: Lei harmônica (1618) o quadrado do período orbital dos planetas é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol. Essa lei estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica que a força entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao Sol. Sendo P o período sideral do planeta, a o semi-eixo maior da órbita, que é igual à distância média do planeta ao Sol, e K uma constante, podemos expressar a 3ª lei como: P 2 = K a 3 Se medimos P em anos (o período sideral da Terra), e a em unidades astronômicas (a distância média da Terra ao Sol), então K = 1, e podemos escrever a 3ª lei como: P 2 = a 3 16/18

17 Leis de Kepler A tabela a seguir mostra como fica a 3ª Lei de Kepler para os planetas visíveis a olho nu. 17/18

18 Lei da Gravitação Universal F F 12 = K m 1 m 2 F 1 m 2 2 d 2 12 m 1 Duas partículas se atraem mutuamente com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa. Para evitar ambiguidades, uma vez que a atração é recíproca, devemos considerar umas das partículas como Atrativa e outra como Atraída, atribuindo massa unitária a esta última. 18/18 d

19 Lei da Gravitação Universal F F 12 = G m 1 m 2 F 1 m 2 2 d 2 12 m 1 Fazendo m 1 = m: partícula atrativa de coordenadas (x, y, z ); m 2 = 1: partícula atraída de coordenadas (x, y, z); d 12 = l: distância entre as duas partículas. d Logo: F = G m 19/18 l 2

20 Leis de Newton Primeira Lei: Inércia, elaborada a partir dos estudos de Galileo Galilei Em ausência de forças externas, um objeto em repouso permanece em repouso, e um objeto em movimento permanece em movimento, ficando em movimento retilíneo e com velocidade constante. A medida da inércia de um corpo é seu momentum. O momentum de um objeto é proporcional à sua velocidade. A constante de proporcionalidade que resiste à mudança, é a sua massa: p = m v = constante se F = 0 20/18

21 Leis de Newton Segunda Lei: Lei da Força Relaciona a mudança de velocidade do objeto com a força aplicada sobre ele. A força líquida aplicada a um objeto é igual à massa do objeto vezes a aceleração causada ao corpo por essa força. F = m a = m v t = p t 21/18

22 Leis de Newton Terceira Lei: Ação e Reação Se um objeto exerce uma força sobre outro objeto, este outro exerce uma força igual e contrária. Como Newton descobriu a Lei da Gravitação Universal? Considerando o movimento da Lua em torno da Terra e as leis de Kepler. 22/18

23 Leis de Newton Como Newton descreveu a aceleração centrípeta? No instante t a partícula está em D com velocidade v 1 na direção DE. Pela 1ª Lei se não existe uma força agindo sobre o corpo ele continuará em movimento na direção DE. Após t a partícula está em G, e percorreu a distância v t, e está com velocidade v 2 de mesmo módulo v, mas em outra direção. 23/18

24 Leis de Newton Seja θ o ângulo entre os pontos D e G. θ também é o ângulo entre v 1 e v 2. v t v t = r θ θ = = v r v Portanto: a = v t = v2 r Se a partícula tem massa m, a força central necessária para produzir a aceleração é: F = m a = m v2 r 24/18

25 Gravitação Universal A força centrípeta que o Sol exerce sobre um planeta de massa m, que se move com velocidade v a uma distância r do Sol é dada, é dada, portanto por: F = m v2 r Considerando, nesse instante uma órbita circular, o período P do planeta será dado por: P = 2πr 2πr v = v P Pela 3ª Lei de Kepler: P 2 = K r 3 onde a constante K depende das unidades de P e r. 25/18

26 Gravitação Universal Assim, temos: v 2 = 4π2 r 2 Kr 3 = 4π2 Kr v2 1 r Considerando m a massa do planeta e M a massa do Sol, temse que a força centrípeta exercida pelo Sol no planeta pode ser escrito como: F m r 2 Pela 3ª Lei de Newton, o planeta exerce uma força igual e contrária sobre o sol. A força exercida pelo planeta sobre o Sol, será dada por: indica proporcionalidade F M r 2 26/18

27 Gravitação Universal Newton deduziu, então, que: F = GMm r 2 onde G é uma constante de proporcionalidade. Tanto o Sol quanto o planeta experimentam a mesma força mas o sol permanece no centro do sistema Solar por apresentar uma massa mil vezes maior que a soma das massas dos demais planetas. A constante de proporcionalidade G depende das unidades das massas e da distância. 27/18

28 Derivação da constante K Suponha dois corpos de massa m 1 e m 2, com velocidades v 1 e v 2, em órbita circular em torno do centro de massa comum, cujas distâncias são respectivamente r 1 e r 2. A atração gravitacional é dada por: F G = Gm 1m 2 r 1 + r 2 2 E as forças centrípetas são dadas por: F 1 = m 2 1v 1 e F r 2 = m 2 2v /18 r 2

29 Derivação da constante K Como: v 1 = 2πr 1 P v 1 2 = 4π2 2 r 1 P 2 e o mesmo para o corpo m 2, e F 1 = F 2 = F G = Gm 1m 2 r 1 + r 2 = m 1v 1 = m 14π 2 r 2 2 r 1 P 2 Gm 1 m 2 r 1 + r 2 = m 2v 2 = m 24π 2 r 1 2 r 2 P Eliminando-se m 1 na primeira e m 2 na segunda, e somando-as tem-se: 29/18

30 Derivação da constante K ou G m 1 + m 2 = 4π2 r 1 + r 2 r 1 + r 2 2 P 2 P 2 = 4π 2 G m 1 + m 2 r 1 + r 2 3 Comparando essa expressão com a forma original da 3ª Lei de Kepler: P 2 = K a 3 vemos que: 4π 2 K = G m 1 + m 2 30/18

31 Derivação da constante K A constante K, definida como a razão P2 a3, só é constante se m 1 + m 2 permanece constante. No caso do sistema solar, Kepler não percebeu a dependência com as massas pois todos os planetas tem massa muito menor que a massa do Sol, fazendo com que a soma da massa do Sol com a massa do planeta é sempre aproximadamente a mesma. Por exemplo, todos os satélites de Júpiter tem praticamente a mesma razão P2 a 3 = K Jup, podendo ser consideradas constante entre elas, mas é diferente da constante P2 a 3 = K Sol comum aos planetas do sistema solar. 31/18

32 Derivação da constante K Logo para estabelecermos a igualdade temos que introduzir a massa: P 2 P 2 M Sol + m p = M Jup + m s = constante a 3 Sol Considerando as massas dos planetas desprezíveis em relação à massa do Sol e a massa dos satélites desprezíveis em relação à 32/18 a 3 Jup massa de Júpiter, e considerando a razão P2 a3 pela letra K, temos: M Sol K Sol = M Jup K Jup = constante Que generalizando, temos: M 1 K 1 = M 2 K 2 = = M n K n = constante = 4π2 G

33 Derivação da constante K Existem casos de sistemas gravitacionais em que não podemos desprezar a massa de nenhum corpo em relação ao outro, como exemplo, muitos sistemas binários de estrelas. Nesses casos o correto é escrever: M + m 1 K 1 = M + m 2 K 2 = = M + m n K n = 4π2 G 33/18

34 Determinação de massas Como visto anteriormente, a 3ª Lei de Kepler na forma derivada por Newton é dada por: M + m = 4π2 G No sistema Internacional de unidades: a3 P 2 G = 6, Nm 2 /Kg 2 ou G = 6, m 3 /Kg s 2 que foi medida em laboratório pelo físico inglês Henry Cavendish ( ) em /18

35 Determinação de massas Na astronomia costuma-se utilizar outras unidades diferentes do SI. Em sistemas onde o corpo maior é uma estrela, costuma-se determinar suas massas em unidades de massa do Sol, ou massas solares (M ), seus períodos em anos e suas distâncias em unidades astronômicas (distância Terra - Sol). Já em sistemas em que o corpo maior é um planeta, expressa-se sua massa em unidades de massas da Terra (M ), seu período em meses siderais e suas distâncias relativas em termos da distância entre a Terra e a Lua. Nos dois sistemas o valor de G = 4π 2 e a 3ª Lei de Kepler fica: M + m = a3 P 2 35/18

36 Exercícios 1. Deimos, o menor dos 2 satélites de Marte, tem período sideral de 1,26244 dias e uma distância média ao centro de Marte de km. Qual a massa de Marte? Marte e seus dois satélites - Fobos (esq.) e Deimos (dir.) 36/18

37 Dados Oficiais dos satélites de Marte 37/18

38 Exercícios 2. Duas estrelas idênticas ao Sol giram uma em torno da outra a uma distância de 1 UA. Qual o Período de revolução das estrelas? Sistema Binário de Estrelas 38/18

39 Referências Bibliográficas Gemael, C. Introdução à geodésia física Ed. da UFPR, Curitiba, Oliveira Filho, K. S.; Saraiva, M. F. O. Astronomia e astrofísica 2. ed. Editora Livraria da Física, São Paulo, Halliday, D., Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Física, volume 2: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução e revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cientifico S.A - LTC, /18