UMA ABORDAGEM ALTERNATIVA PARA AS LEIS DE KEPLER NO ENSINO MÉDIO

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1 XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física 1 UMA ABORDAGEM ALTERNATIVA PARA AS LEIS DE KEPLER NO ENSINO MÉDIO Carla de Souza Lucas a [cslucas@if.ufrj.br] Vitorvani Soares a [vsoares@if.ufrj.br] a Instituto de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro RESUMO O objetivo deste trabalho é apresentar uma aula alternativa para a determinação das Leis de Kepler convidando os alunos a participar junto com o professor na definição das Leis e mostrando como Kepler conseguiu postular cada uma delas. Nos livros de ensino médio as Leis de Kepler são abordadas convencionalmente da mesma forma. Os autores fazem uma pequena introdução histórica e postulam as três Leis. Para a primeira Lei fazem um desenho de uma elipse com excentricidade grande [1], e somente alguns poucos advertem que a órbita é quase circular [2]. A segunda Lei e a terceira são somente enunciadas e os alunos simplesmente as aceitam. Como normalmente é utilizada a elipse em que foi demonstrada a primeira Lei, estes imaginam que próximo ao Sol a velocidade do planeta será muito maior. Ao se falar que o quadrado do período orbital dos planetas é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol, e não revelar de onde vem este resultado, só resta aos alunos aceitar esta definição. Apresentamos, neste trabalho, uma abordagem diferente, que está subdividida em três etapas: (i) Inicialmente, posicionamos o planeta a ser estudado ao longo da sua órbita em doze datas a intervalos iguais ao longo dos seus respectivos períodos de revolução em torno do Sol. Discutimos geometricamente porque esta Figura é uma elipse e não um círculo; (ii) Em seguida, calculamos a área de cada intervalo e determinamos a Lei das áreas; (iii) Tomamos agora os dados já tabelados para as órbitas dos planetas, e construímos um gráfico, do período de revolução em função do eixo maior da órbita elíptica; A partir da curva obtida, discutimos com os alunos os diferentes métodos gráficos para a determinação da relação funcional entre as grandezas físicas envolvidas no problema. Palavras-chave: Leis de Kepler, Órbitas Planetárias, Ensino de Ciências. INTRODUÇÃO Podemos abordar as Leis de Kepler numa variedade de formas. Porém no Ensino Médio essas Leis são simplesmente enunciadas sem fazer menção ao trabalho experimental e observacional que os cientistas tiveram até chegar a elas. As leis se tornam algo abstrato e os alunos simplesmente ficam imaginando como foi que Kepler conseguiu chegar a essas conclusões. Pretendemos com este trabalho sanar estas dúvidas, abordando o contexto histórico dos acontecimentos e explorando os dados coletados por Tycho Brahe que foram usados por Kepler para chegar as três Leis que inauguram a mecânica celeste. Pretendemos despertar a curiosidade dos alunos levando-os a observar e descrever a natureza ao formular perguntas a partir da observação.

2 XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física 2 Segundo os PCNs [3], O ensino de Física tem-se realizado freqüentemente mediante a apresentação de conceitos, leis e fórmulas, de forma desarticulada, distanciados do mundo vivido pelos alunos e professores e não só, mas também por isso, vazios de significado. Privilegia a teoria e a abstração, desde o primeiro momento, em detrimento de um desenvolvimento gradual da abstração que, pelo menos, parta da prática e de exemplos concretos. Enfatiza a utilização de fórmulas, em situações artificiais, desvinculando a linguagem matemática que essas fórmulas representam de seu significado físico efetivo. Seguindo estas orientações queremos levar o aluno a identificar questões e problemas a serem resolvidos, estimular a observação, classificação e organização dos fatos e fenômenos que estão à sua volta segundo os aspectos físicos e funcionais relevantes. Apesar das limitações da observação do céu a olho nu, os astrônomos da antiguidade elaboraram modelos muito sofisticados e bem sucedidos para explicar o movimento dos astros no céu. A astronomia antiga reproduzia matematicamente os fenômenos sob o ponto de vista instrumentalista. Entretanto, há tentativas de descrever a realidade física dos movimentos celestes através de modelos mecânicos, como o das esferas cristalinas dos gregos. Segundo esse sistema, os planetas estariam presos a esferas transparentes giratórias, cujos movimentos eram transmitidos por outras esferas, formando um todo: um sistema hipoteticamente físico e real. No intervalo de 200 anos temos: (i) O referencial apropriado (com Copérnico que indicou que era o Sol e não a Terra o corpo central do Sistema Solar); (ii) Informação cinemática precisa (Tycho Brahe realizou medidas cuidadosas dos movimentos dos planetas, fundamentais para o desenvolvimento da mecânica celeste); (iii) Leis empíricas do movimento planetário (As Leis de Kepler); (iv) A Lei de força adequada ao movimento planetário (A Lei de Gravitação Universal de Isaac Newton).[4] Ao apresentar as suas Leis empíricas, Kepler enfrentou diversas dificuldades e teve que ir contra um modelo aceito durante séculos. Adepto do modelo Copernicano, ele teve que considerar em seus cálculos as distâncias e as posições dos planetas em relação ao Sol e não em relação a Terra. Ele percebe então que as órbitas dos planetas estão contidas aproximadamente num mesmo plano que incluía o Sol. Por fim, liberta-se da noção de movimento uniforme em círculos perfeitos, uma das idéias fundamentais da Cosmologia de Platão.[5] O planeta para o qual havia o maior número de dados na época era Marte. Em 1602, descobriu a segunda Lei, conhecida como a Lei das Áreas, mas não conseguiu determinar a forma da órbita. Se a órbita fosse circular, bastariam três observações, pois, como já era conhecido, três pontos definem um círculo. Os pontos deveriam ser observados em oposição, já que em oposição é irrelevante se é a Terra ou o é Sol que se move, pois os três corpos estão alinhados. Tycho tinha observado 10 oposições de Marte entre 1580 e 1600, às quais Kepler depois adicionou as de 1602 e Naturalmente, qualquer conjunto de três observações deveria resultar na mesma órbita. Como Marte é o planeta externo com maior excentricidade, dos então conhecidos, um círculo não se ajustava às observações. Mesmo introduzindo um equante, Kepler não conseguia correlacionar um circulo às observações com erro menor que 8', enquanto a precisão das observações de Tycho eram da ordem de 1'. Prosseguindo em seus estudos, ele concluiu que a órbita de Marte não deveria ser um círculo, o que constituía uma ruptura com a tradição, uma vez que o movimento circular era considerado um conceito de perfeição dos céus. Kepler conseguiu determinar as diferentes posições da Terra após cada período sideral de Marte, e assim conseguiu traçar a órbita da Terra. Encontrou que essa órbita era muito bem ajustada

3 XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física 3 por um círculo excêntrico, isto é, com o Sol um pouco afastado do centro. Finalmente, passou à tentativa de representar a órbita de Marte com uma oval, e rapidamente descobriu que uma elipse se ajustava muito bem os dados. A posição do Sol coincidia com um dos focos da elipse. Ficou assim explicada também a trajetória quase circular da Terra, com o Sol afastado do centro. Um extensivo estudo sobre outras possíveis curvas resultou na elipse como descrição das órbitas (primeira lei de Kepler). [6] Devemos observar que a criação dos logaritmos no século XVII foi de fundamental importância para a terceira Lei (1618) [5]. Kepler tomou conhecimento da descoberta dos logaritmos, em 1614, pelo matemático John Neper. Então, somente após dezessete anos de trabalho com as observações de Tycho Brahe e com o uso dos logaritmos ele conseguiu chegar a sua relação de proporcionalidade entre os períodos e o eixo maior das órbitas elípticas. PROPOSTA DE APRESENTAÇÃO EM AULA Utilizando papel milimetrado e log-log, geometria, álgebra e análise gráfica, determinaremos as três Leis do movimento planetário de Kepler. Com as coordenadas das posições das órbitas de Marte fizemos um gráfico no papel milimetrado, utilizando doze intervalos de tempo regulares do ano marciano, conforme indicado na Figura 1. Figura 1. Localizando o planeta Marte em sua órbita em torno do Sol (indicado pelo x ), em 12 intervalos de tempo regulares do ano marciano, sobre uma folha de papel milimetrado. Logo em seguida tentamos geometricamente traçar um círculo por esses pontos, observamos que não foi possível, que este círculo não consegue passar por todas as posições indicadas do planeta

4 XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física 4 em sua órbita. Então concluímos que a órbita deste planeta não pode ser circular em torno do Sol como acreditava Copérnico. Se repetirmos este experimento para as órbitas de todos os outros planetas do sistema solar (Mercúrio, Vênus, Terra, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno), observamos que também não conseguimos traçar um círculo por elas. Por exemplo, na Figura 3 localizamos a Terra em sua órbita em doze intervalos de tempo regulares do ano terrestre e a Figura 4 revela que também a órbita da Terra não é bem descrita por um círculo perfeito. Figura 2. Mostrando geometricamente a impossibilidade de se descrever uma órbita circular para Marte a partir das posições medidas. Figura 3. Localizando o planeta Terra em sua órbita em torno do Sol (indicado pelo x ), em 12 intervalos de tempo regulares do ano terrestre, sobre uma folha de papel milimetrado.

5 XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física 5 Figura 4. Mostrando geometricamente a impossibilidade de se descrever uma órbita circular para Terra a partir das posições medidas. Então, analisando as Figuras 2 e 4, concluímos que a única curva para essas medidas só pode ser uma elipse. Os pontos (órbita do planeta) giram em torno de dois focos (indicados por x), e em um destes focos está o Sol. Este procedimento está ilustrado na Figura 5, onde observamos o semi-eixo maior b e o semi-eixo menor a. Estes parâmetros permitem determinar a excentricidade e da órbita elíptica do planeta: e = 1 ( a b) 2.. Figura 5. Modificação da órbita circular para órbita elíptica Marte e Terra respectivamente. Os focos da elipse estão indicados por x e o circulo cheio indica o centro da hipotética órbita circular.

6 XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física 6 Acabamos assim por enunciar a primeira Lei de Kepler: Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo órbita elíptica, na qual o Sol ocupa um dos focos. Utilizando as elipses da Figura 5, selecionamos dois pares de pontos a intervalos de tempos iguais e calculamos a área varrida pela reta que une Marte ou a Terra ao Sol, como representado na Figura 6. Como estamos utilizando papel milimetrado fica fácil concluirmos que estas áreas são iguais e que próximo do Sol (periélio) a velocidade do planeta é maior que quando distante deste (afélio), pois o planeta se desloca mais rapidamente por estar próximo ao Sol. Temos assim a segunda Lei de Kepler: O raio vetor que une o Sol a um planeta varre superfícies iguais em tempos iguais. Figura 6. Observando a lei das áreas para Marte e Terra. Conta-se o número de milímetros quadrados do papel milimetrado, delimitados pela órbita e a posição radial. Tabela 1. Período de revolução e o eixo maior b da órbita elíptica dos planetas. Planeta Período T (anos) b (UA)* a (UA)* e Mercúrio 0,241 0,39 0,38 0,21 Vênus 0,615 0,72 0,72 0,01 Terra 1 1 1,00 0,02 Marte 1,881 1,52 1,51 0,09 Júpiter 11,86 5,20 5,19 0,05 Saturno 29,6 9,6 9,59 0,06 Urano 83,7 19,2 19,18 0,05 Netuno 165,4 30,1 30,10 0,01 Plutão ,6 38,38 0,25 * 1 UA 1,495x10 13 cm Analisaremos agora a relação entre os períodos T de revolução dos planetas e o eixo maior b da órbita elíptica que liga o planeta ao Sol, representado no gráfico da Figura 7.

7 XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física 7 Neste momento discutimos com os alunos a técnica de linearização desta curva, empregando logaritmos. Figura 7. Curva obtida do Período de Revolução versus o eixo maior da Órbita dos Planetas. Logaritmos é matéria de 1ª série do ensino médio assim como as Leis de Kepler, logo podemos dar uma maior motivação aos alunos quando estes ficam sabendo da utilidade de ferramentas matemáticas na Física, Astronomia ou outras áreas. Sugerimos aos alunos que façam um gráfico em escala logarítmica para podermos analisar a situação física envolvida no problema. Este procedimento está ilustrado na Figura 8. Figura 8. Gráfico da linearização da curva obtida na Figura 7.

8 XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física 8 Verificamos agora o coeficiente linear α e angular β da reta obtida. Do gráfico da Figura 8 temos que y = α + βx, onde α = 0 e β = 3 / 2. Como y = logt e x = log b, obtemos então o seguinte resultado: LogT = (3/2)log b Este resultado pode ser reescrito na forma de potencia: T 2 = kr 3, ressaltando que em unidades astronômicas temos k = 1.Com isto claramente podemos enunciar a terceira Lei de Kepler: Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos do semi-eixo maior de suas órbitas. Esta expressão é mais geral do que a formulação original de Kepler, onde o semi-eixo maior b é substituído pelo raio médio de uma hipotética órbita circular. [7] Um modelo preliminar desta aula foi aplicado em uma turma de ensino médio e teve uma resposta satisfatória. Os alunos participaram ativamente na construção das Leis de Kepler e demonstraram grande interesse durante a aula, pois esta saiu dos parâmetros normais em que somente o professor fala e eles permanecem como ouvintes. Conseguimos construir em pouco tempo as idéias que custaram séculos para serem estruturadas. CONCLUSÕES Com este modelo de aula conseguimos repetir alguns passos de Kepler para a determinação de suas Leis, construindo-as junto com os alunos. Desenvolvemos instrumentos matemáticos de expressão e raciocínio, permitindo que os alunos construam abstrações matemáticas, não somente no desenvolvimento das três leis do movimento planetário, mas também nas habilidades de caráter gráfico, geométrico, algébrico contemplando os objetivos educacionais da Resolução CNE/98 e seguindo a orientação dos Programas Curriculares Nacional PCNs. Introduzimos uma abordagem alternativa na qual utilizamos os dados já tabelados para construirmos o movimento planetário, evitando somente desenhar uma elipse; Calculamos a área varrida pelos planetas, fazendo uma análise geométrica, e enunciamos a terceira Lei com a ajuda dos logaritmos. Quando os alunos desenvolvem a teoria junto com o professor é permitido aos estudantes que estes organizem os seus conceitos, planejem as estratégias de trabalho, e desenvolvam métodos de investigação quando se encontram frente a uma situação desconhecida. Podemos observar que a interação dos alunos com o professor desperta o interesse pelo conhecimento, o que é fundamental para que haja aprendizado em sala de aula. REFERÊNCIAS [1] O assunto Leis de Kepler, pode ser encontrado em quase todos os livros textos de física. Veja, por exemplo, BONJORNO & CLINTON. Física Fundamental. Volume Único. São Paulo. Editora FTD, 1999; RAMALHO JÚNIOR, F., FERRARO, N.G. E SOARES, P. A. T. Os Fundamentos da Física. Volume1. Mecânica. São Paulo. Editora Moderna, 1990 e PARANÁ, D. N. Física. Volume1. Mecânica. São Paulo. Editora Ática, 1993.

9 XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física 9 [2] LUZ, A. M. R. e ÁLVARES, B. A.. Curso de Física. Volume 1. São Paulo. Editora Scipione, [3] Parâmetros Curriculares Nacional PCNs, Ministério da Educação e Cultura. [4] RESNICK, R. e HALLIDAY D. Física. Volume 2. 3ª Edição. Rio de Janeiro. LTC Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, [5] MOURÃO, R. R. F. KEPLER. A descoberta das Leis do Movimento Planetário. São Paulo. Odysseus Editora. Imortais da Ciência, [6] LIMA, F. P. Curso de Astronomia para iniciantes. Museu de Astronomia e Ciências Afins. Maio/2004. [7] KITTEL, C., KNIGHT, W.D., RUDERMAN, M.A. Berkeley Physics Course. Vol. 1, Mechanics, McGraw-Hill, NY, 1965, p.288. [8] CANALLE, J.B.G. O Problema do Ensino da Órbita da Terra. Revista Física na Escola, v. 4, n.2, p , 2003.