EAC-082: Geodésia Física. Aula 6: Altitudes e o Geopotencial

Transcrição

1 EAC-082: Geodésia Física Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges Aula 6: Altitudes e o Geopotencial 1 1/33

2 Potencial Gravitacional Vimos anteriormente que o potencial gravitacional de atração (ou newtoniano) é dado pela função escalar definida por: No sistema WGS-84, o produto G. m vale: ( ,418 0,008) x 10 8 m 3 /s 2 V = G m l O potencial gravitacional é concebido pela massa m x, y, z no ponto P x, y, z. No caso de um sistema discreto de partículas: V = G n i=1 m i l i Considerando uma distribuição contínua, tem-se: V = G m dm l = G v ρdv l = G v ρ dx dy dz l /33

3 Potencial Gravitacional por Satélites Os satélites artificiais, girando ao redor da Terra, se comportam como sensores do campo gravitacional. Seu movimento sofre perturbações em função da distribuição não-homogênea de massa da Terra. A análise destas perturbações permite a determinação de um modelo do potencial gravitacional. Este, complementado com os dados gravimétricos, permite a definição da forma da Terra e da superfície de referência para a altitude, a superfície geoidal. 3/33

4 Potencial Gravitacional por Satélites Missões Modernas CHAMP lançado em 15 de julho de 2000; GRACE lançado em 17 março de 2002, 9:21 UTC; GOCE Lançado em 17 de Março de Os satélites são sensíveis à distribuição não homogênea de massa na Terra. 4/33

5 Potencial Gravífico O vetor gravidade, em um ponto da superfície terrestre, é resultante da força de atração gravitacional F e da força centrífuga C. Estas duas forças atuam sobre o corpo, onde a gravidade g é expressa como resultante da soma vetorial de ambas (F e C): g = F + C 5/33

6 Potencial Gravífico A força centrífuga C (vetorial) é dada por: C = ω 2 d ω = magnitude da velocidade de rotação da Terra; d = vetor definido pela separação entre o ponto e o eixo de rotação terrestre, cujo módulo é dado por: d = x 2 + y 2 A força centrífuga C é devida ao chamado potencial centrífugo (Q), dado por: Q = 1 2 ω2 d 2 6/33

7 Potencial Gravífico O potencial da gravidade (W), potencial gravífico ou geopotencial é expresso pela soma do potencial gravitacional (V) e do potencial centrífugo (Q), conforme equação: W = V + Q Por qualquer ponto do espaço passa uma superfície cujo potencial de gravidade da Terra real é constante em todos os seus pontos. Trata-se de uma superfície equipotencial ou superfície de nível. 7/33

8 Potencial Gravífico Logo, o geopotencial será dado pela seguinte equação: W = G M dm l ω2 d 2 O gradiente do geopotencial proporciona a aceleração da gravidade: g = W Aplicando-se o operador de Laplace ( ) na equação W = V + Q obtém-se a equação de Poisson Generalizada que permite o cálculo do potencial no interior das massas atrativas. W = 4πGρ + 2ω 2 8/33

9 Superfície Geoidal A superfície equipotencial do campo de gravidade (geope) da Terra real, com potencial W 0, que coincide com o nível médio não perturbado dos mares é chamada Superfície Geoidal. Ela limita uma distribuição de massa chamada Geóide que é adotada como a forma da Terra real. No sistema WGS-84, W 0 = ,8497 m 2 s 2. 9/33

10 Superfície Geoidal Assim, a forma atribuída à Terra é a do geóide, o qual é limitado pela superfície geoidal, materializada pela superfície equipotencial melhor ajustada com o nível médio não perturbado dos mares. O estudo do geóide é realizado a partir do campo de gravidade que modela a distribuição de massa e o efeito rotacional da Terra e, consequentemente, permite deduzir a sua forma a partir de um modelo do geopotencial. Outra alternativa é estudar diretamente a forma em vez do potencial, a partir do cálculo das ondulações geoidais (irregularidades da superfície geoidal) em relação ao modelo da terra normal, o elipsóide. 10/33

11 Altura Geoidal A separação entre as duas superfícies são as chamadas alturas geoidais N, ou ondulações do geóide. São calculadas a partir da combinação de um modelo do geopotencial com dados gravimétricos de superfície ou de sensores remotos, utilizando a integral modificada de Stokes: R N gs( ) d 4 G 11/33

12 Altura Geoidal Para a determinação da altura geoidal no interior dos continentes é necessário o conhecimento de um modelo de distribuição de densidades no interior da crosta entre a superfície física e a geoidal, necessário para reduzir os valores da gravidade, observados sobre a superfície física, ao geóide. A impossibilidade de conhecer adequadamente a distribuição de massa torna a proposta de Stokes para a solução do PVCG (Problema de Valor de Contorno da Geodésia) impraticável. Como solucionar??? 12/33

13 Altitudes Molodenskii propôs a superfície física como superfície de contorno, visando eliminar o problema com as densidades. Como resultado tem-se a determinação da anomalia de altura ao invés da altura geoidal. A superfície que se vincula ao elipsóide através da anomalia de altura é o quase-geóide. Porém, diferentemente do geóide, o quasi-geóide não é uma superfície equipotencial do campo do campo de gravidade. 13/33

14 Altitudes O problema na determinação das altitudes, ou do estabelecimento de um sistema de altitudes, está relacionado com a alternativa escolhida para a solução do PVCG. De modo genérico, altitude é a distância que separa duas superfícies, de nível ou não, segundo uma determinada direção. Conforme a escolha das superfícies e da direção ter-se-á uma altitude específica: A altitude geométrica (h), altitude ortométrica (H), altura geoidal (N), a anomalia de altura (ζ) e, finalmente, a altitude normal (HN). 14/33

15 Altitudes h =altitude geométrica ; H =altitude ortométrica; N =altura geoidal; ζ = anomalia de altura; HN = altitude normal. 15/33

16 Números Geopotenciais A determinação das altitudes a partir do processo de nivelamento, que é a soma dos desníveis desde um datum vertical, não é unívoca, porque as superfícies equipotenciais do campo da gravidade terrestre não são paralelas e a linha de colimação do nível na posição nivelada é tangente a superfície do campo gravífico no local da observação. 16/33

17 Números Geopotenciais Na operação de nivelamento, quando se estaciona o nível e se faz leitura das miras, a diferença de leitura traduz a separação entre as duas superfícies de nível que passam pela base das duas miras. Considerando um lance (distância entre duas miras) ou uma sessão (distância entre duas RRNN) aquela separação é constante Porém, no geral, como as superfícies de nível não são paralelas, a separação entre elas não será constante. 17/33 1 2

18 Números Geopotenciais Assim para cada trajeto seguido em um nivelamento obtém-se altitudes diferentes para um ponto. Quando se deseja obter altitudes de um ponto univocamente devem ser considerados os aspectos físicos. A forma de aplicar as correções físicas é a associação do nivelamento geométrico com a gravimetria, obtendo-se o número geopotencial, que corresponde à diferença entre os potenciais entre dois pontos em desnível: 18/33

19 Números Geopotenciais Partindo de que uma só superfície equipotencial (W i ) passa através de um ponto ( P i ), o potencial da gravidade representa um caminho possível para definir uma única posição vertical. A diferença de potencial negativo entre o ponto P i e o geóide e definida como número de geopotencial C i. P i P i C i = W i W 0 = gdl = gdh P 0 P 0 19/33

20 Números Geopotenciais A integração se procede ao longo da superfície da Terra dl, entre o geóide superfície (W 0 ), e um ponto P i ou ao longo da vertical (dh) de P i. Similarmente a diferença de potencial entre dois pontos P i e P j pode ser escrita da seguinte maneira: C ij = 20/33 P i gdl P j Na prática a integral da equação acima não pode ser avaliada analiticamente. Se efetuarmos um nivelamento de precisão, acompanhado de gravimetria, podemos obtê-la por integração numérica: C ij = j k=1 g mi H ki

21 Números Geopotenciais onde: ΔH = desnível bruto fornecido pelas operações de nivelamento entre duas estações (RN) adjacentes; g mi = média dos valores de gravidade nos extremos de cada lance. Os segundos membros das duas equações para o cálculo de C ij não se equivalem, mas se consideramos que as diferenças de altitude são fornecidas pelo nivelamento de precisão e que os valores de g devem ser determinados em cada estação da mira, o erro da segunda equação pode ser negligenciado, mesmo para uma longa rede de nivelamento. 21/33

22 Altitude Ortométrica A altitude ortométrica é definida como sendo a distância geométrica entre a superfície do geóide e um ponto P na superfície física contada ao longo da vertical. 22/33

23 Números Geopotenciais A equação para o cálculo da altitude ortométrica segue diretamente o Teorema do Valor Médio que diz que existe um valor médio da gravidade g mi entre o geóide e o ponto P i, resultando desta forma: H Pi = 1 gdl g mi P 0 Sendo g mi o valor médio da gravidade ao longo da vertical no ponto P i. Assim, pode-se reescrever a equação como: H Pi = C P i g mi Onde C Pi é o número geopotencial no ponto P i. P i 23/33

24 Números Geopotenciais A equação anterior possui caráter puramente teórico, uma vez que se torna impraticável o conhecimento do valor médio de gravidade entre o geóide e a superfície física da Terra ao longo da vertical, pelo não conhecimento da densidade de massas acima do geóide. Como solução para este problema existem numerosos procedimentos para obter o valor de g mi, cada um fornecendo um tipo de altitude ortométrica, como exemplo, Niethmmer, Mader ou ainda Hermert, sendo este último o mais utilizado para fins práticos. A altitude ortométrica de Helmert é obtida a partir da seguinte expressão: H i H = C i g i H 24/33

25 Números Geopotenciais O valor médio da gravidade é dado por: g i H = g i + 0,0424H i onde g i é a gravidade no ponto P i na superfície terrestre e o coeficiente numérico é o gradiente da gravidade de Poincaré- Pray s (VANÍCEK & KRAKIWSKY, 1986; p. 372), o qual é considerado constante entre o geóide e o ponto na superfície terrestre e H i é altitude observada pelo nivelamento geométrico. 25/33

26 Números Geopotenciais O número geopotencial tem sentido físico, por exemplo, é uma grandeza respeitada pela água. Entretanto, não é conveniente ou usual trabalhar com números geopotenciais. Normalmente trabalha-se com a altitude. Dividindo-se o número geopotencial por um dado valor da aceleração da gravidade tem-se uma determinada altitude. 26/33 H C i g

27 Números Geopotenciais Se o valor de g escolhido for a gravidade média entre a superfície física e a geoidal (g m ), tem-se a altitude ortométrica. H Na prática, calcular esta média é impossível, pois exigiria o conhecimento de um modelo de distribuição de densidades no interior da crosta. Utilizando a aceleração média da gravidade para a Terra normal ( m ), determinase a altitude normal. C g i m H N Ci 27/33 m

28 Altitude Normal Chama-se Terra Normal a um elipsóide de revolução com a mesma massa (M) da Terra real, a mesma velocidade angular ( ) e cujo potencial de gravidade normal (U o ) sobre sua superfície é igual ao potencial de gravidade (W o ) sobre o Geóide. U 0 W 0 A Terra Real não tem uma forma regular, pois não tem uma distribuição homogênea de massa. A principal irregularidade é o achatamento. As irregularidades secundárias, as alturas geoidais, são da ordem de 100 metros. 28/33

29 Exercício 1. Adotando um modelo esférico, homogêneo e rotante, calcular a gravidade teórica sobre a sua superfície nos paralelos com latitude geocêntrica 0º, 30º, 60º e 90º. Para os mesmos paralelos, calcule o percentual representado pela força centrífuga. Admita que a esfera tem o mesmo volume que o elipsoide do SGR-67 no qual: a = m b = m GM = x109 m 3. s 2 ω = x10 11 rad/s 29/33

30 Exercício (Solução) a) Raio da Esfera: b) Valores auxiliares: c) Vetorialmente: 30/33

31 Exercício (Solução) d) Em módulo usando as componentes: 31/33

32 Exercício (Solução) e) Resumo dos cálculos (m/s 2 ) ϕ g x g z g = g x 2 + g z 2 0º 9, , º 8, , , º 6, , , º 4, , , º 0 9, , f) Usando a componente de C na direção de F: ϕ km/r 2 ω 2 Rcos 2 ϕ % (C/F)*100 g = F - C 0º 9, , ,345 9, º 0, ,259 9, º 0, ,172 9, º 0, ,086 9, º 0 0 9, /33

33 Referências Bibliográficas Gemael, C. Introdução à geodésia física Ed. da UFPR, Curitiba, Oliveira Filho, K. S.; Saraiva, M. F. O. Astronomia e astrofísica 2. ed. Editora Livraria da Física, São Paulo, /33