Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área I

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1 UFRG INTITUTO E MATEMÁTIA epartamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área I Total Nome: artão: Regras Gerais: Não é permitido o uso de calculadoras, telefones ou qualquer outro recurso computacional ou de comunicação. Trabalhe individualmente e sem uso de material de consulta além do fornecido. evolva o caderno de questões preenchido ao final da prova. Regras para as questões abertas eja sucinto, completo e claro. Justifique todo procedimento usado. Indique identidades matemáticas usadas, em especial, itens da tabela. Use notação matemática consistente.

2 one elíptico: 2 x2 b 2 x Elipsóide: x 2 b c 2 1 x Parabolóide Elíptico: x2 b 2 x Parabolóide Hiperbólico: x2 a 2 2 b 2 x Hiperbolóide de uma folha: x 2 b 2 2 c 2 1 x Hiperbolóide de duas folhas: x2 a 2 2 b 2 +2 c 2 1 x Tabela do operador : f f(x,, e g g(x,, são funções escalares; F F(x,, e G G(x,, são funções vetoriais. 1. (f +g f + g 2. ( F + G F + G. ( F + G F + G 4. (fg f g +g f 5. (f F ( f F ( +f F 6. (ff f F +f F 7. f 2 f 2 f x f f 2, onde 2 2 x é o operador laplaciano 2 8. ( f 0 9. ( F 0 ( 10. F ( F 2 F ( ( 11. ( F G G F F G Algumas fórmulas: Nome efinição d urvatura κ T ds dt dt ds dt r (t r (t r (t Torção Módulo da Torção Aceleração normal Aceleração tangencial τ d B ds N ( r (t r (t r (t r (t r (t 2 τ d B ds a N a v v a T a v v d B dt ds dt v2 ρ κv2 dv dt 12. ( F G ( ( G F G F ( ( F G+ F G 1. ( F G ( ( G F + F G+ + F ( G + G ( F

3 Questão 1 (0.75 ponto onsidere que uma partícula descreva a trajetória trocoidal dada por x(t at+cos(t, (t sen(t, (t 0. Assinale a alternativa que indica uma expressão para o aceleração tangencial: acos(t ( a 2 a sen(t +1 2asen(t ( a acos(t (X ( a cos(t a asen(t acos(t a asen(t ( asen(t a acos(t ( Nenhuma das anteriores. Questão 2 (0.75 ponto onsidere a curva escrita de forma paramétrica como: Assinale a alternativa correta a respeito da torção τ(t: (X A curva apresenta torção dextrogira com módulo dado por ( A curva apresenta torção dextrogira com módulo dado por ( A curva apresenta torção dextrogira com módulo dado por ( A curva apresenta torção levogira com módulo dado por ( A curva apresenta torção levogira com módulo dado por ( A curva apresenta torção levogira com módulo dado por ( Nenhuma das anteriores. x(t t, (t t 2, (t t. 12 (t (t Questão (0.75 ponto onsidere os campos dados por f cos(x+ + g 2 F cos( i +sen(x j +e k Assinale a alternativa que apresenta uma expressão para g ( F + f : (X 2(cos(x + sen( ( 2(cos(x sen( ( 2( cos(x+sen( ( 2 (cos(x+sen( ( 2 (cos(x+sen( ( 0 Questão 4 (0.75 ponto onsidere o campo F F 1 (x, i + F 2 (x, j representado no gráfico ao lado e as seguintes integrais: I 1 F d r, 1 ˆ I 2 F d r, 2 ˆ I F d r, onde 1 é o círculo (representado na figura de raio 2 centrado em (,0,0 no plano x orientado no sentido antihorário, 2 é o segmento de reta que vai do ponto (0,0,0 até (6,0,0 e é o segmento de reta que vai do ponto (,,0 até (,,0. Assinale a alternativa correta: ( I 1 < 0, I 2 > 0 e I > 0 ( I 1 > 0, I 2 0 e I < 0 ( I 1 > 0, I 2 > 0 e I < 0 ( I 1 < 0, I 2 < 0 e I > 0 (X I 1 < 0, I 2 0 e I < 0 ( I 1 > 0, I 2 0 e I > ampo de velocidades x

4 Questão 5 (0.75 ponto ado o campo escalar f(r suave onde r r x e o campo vetorial F f(r r. Assinale a alternativa incorreta: (X F nd 0 para qualquer superfície fechada. ( F nd 0 para qualquer superfície fechada. ( F d r 0 para qualquer caminho fechado. ( f nd 2 fdv para qualquer superfície fechada que limita a região V. V ( F FdV 0 para toda região limitada V. V Questão 6 (0.75 ponto O potencial ϕ tal que ϕ i+ j +( +e +e k é dado por: ( x ( +e + ( ( +e + (X x+( +e + ( e +e + ( (x+ +e + ( x+2 +e + Questão 7 (0.75 ponto eja a superfície plana limitada pelo retângulo de vértices (0,0,0, (0,1,1, (1,1,1 e (1,0,0 e orientada no sentido positivo do eixo. Assinale a alternativa que indica o valor de F nd, onde F i j + k ( 2 ( 1 ( 1 (X 2 ( 0 ( Questão 8 (0.75 ponto eja o caminho retangular de vértices V 1 (0,0,0, V 2 (0,1,1, V (1,1,1 e V 4 (1,0,0 orientado no sentido V 1 V 2 V V 4 V 1. Assinale a alternativa que indica o valor de F d r, onde F x i + j + k ( 2 ( 1 ( 1 ( 2 (X 0 (

5 Questão 9 (2.0 pontos Obtenha o valor de F nd onde é a superfície orientada para fora que limita o hemisfério de raio unitário centrado na origem (x , 0 e a porção de plano 0 tal que x e F é o campo dado por F x i+(1+ j k. a (1.0 ponto Usando uma parametriação direta da superfície. b (1.0 ponto Usando o Teorema da ivergência. olução a Vamos separar a superfície em duas, 1 : 1 x 2 2 e 2 : 0, x Primeiro calculamos o fluxo em 1 : φ 1 F nd 1 F GdA onde é o disco de raio unitário no plano 0, : x , 0 e G 1 x 2 2. Particularmente nesse problema, a superfície 2 coincide com. eguimos calculando: φ 1 F GdA ( x i+(1+ j ( x k i+ j + k da 1 x x 2 2 ( x 2 1 x 2 +(1+ 2 da. 2 1 x 2 2 Tendo em vista que 1 x 2 2, temos: φ 1 ˆ 2π ˆ ˆ 2π ˆ ˆ 2π [ r ˆ 2π ( cos(2θ [ ] 1 2π 8 sen(2θ +2π π ( x x da (r 2 cos 2 (θ r 2 sen 2 (θ+1+ 1 r 2 rdrdθ (r cos(2θ+r+r 1 r 2 drdθ r2 cos(2θ+ 2 1 ] 1 ( 1 r 2 /2 dθ dθ 0 Agora, calculamos o fluxo em 2 : φ 1 F nd 2 F ( jda ( 1 da 1dA π. Logo, o fluxo através de é 5π π 2π. olução b alculamos F +1 1 a aplicamos o teorema da divergência: φ F nd FdV V 1dV V 2π

6 Questão 10 (2.0 pontos eja F u r, onde u é o vetor constante u u 1 i+u 2 j +u k e r x i+ j + k. a (1.0 ponto alcule F. b (1.0 ponto Use o Teorema de tokes ou uma parametriação direta do caminho para obter o valor de F d r onde é o triângulo no plano 2x+ de vértices P1(0,0,0, P2(1,0,2 e P(0,1, orientado no sentido P1 P2 P P1. olução a Usamos o item 12 da tabela para calcular o rotacional: F ( u r ( u r ( r ( ( u r u u ( r + u r. omo u é um vetor constante e, portanto, possui todas derivadas nulas, temos: ( F u 1 x +u 2 +u (x i+ j + k+ u u+ u 2 u. olução b Usamos o Teorema de tokes para escrever F d r F nd, onde é a porção do plano 2x+ limitada pelo triângulo P 1 P 2 P. eguimos resolvendo a integral de superfície: F d r 2 u nd 2 u GdA T onde T é o triângulo no plano x de vértices T 1 (0,0,0, T 2 (1,0,0 e T (0,1,0, e G 2x. Observe que G 2 i j + k está no mesmo sentido de n. Logo F d r 2 ( 2u 1 u 2 +u da T 2( 2u 1 u 2 +u 1dA T 2( 2u 1 u 2 +u 1 2 ( 2u 1 u 2 +u.