Cálculo III-A Lista 14

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Eercício : Mostre que álculo III-A Lista 4 I + +ln) d+ d é independente do caminho e calcule o valor de I onde é dada por γt) + cost,sent), com π/ t π/. olução: eja F,) P,Q) + +ln, ) que é de classe no conjunto aberto U {,) R ; > }. U omo U é um conjunto simplesmente coneo e Q P, então, pelo teorema das equivalências, segue que a integral de linha I é independente do caminho. Esboço de Temos que γ π/), ) e γπ/),). As equações de são +cost e sent, com π/ t π/. Logo, ) cos t e sen t portanto ) +. Então é o arco da circunferência ) +, percorrido no sentido anti-horário que vai de, ) a,).

2 álculo III-A Lista 4,) U, ) omo a integral de linha não depende do caminho, vamos substituir a curva pelo segmento de reta que liga, ) a,).,) U, ) Temos : { t, com t, portanto d e d dt. Logo, I + +ln) d+ d + dt dt [ t ]. Eercício : alcule I ze z +e +6)d+e +ze z )d +e z +e z senz)dz onde é a curva dada por γt) t i +t )t ) j +πt k, com t. olução: eja F,,z) ze z +e +6, e +ze z, e z +e z senz)

3 álculo III-A Lista 4 definido em R. Temos i j k rot F z ze z +e +6 e +ze z e z +e z senz e z +ze z e z ze z, e z +ze z e z ze z, e e e e ),,). omo dom F é um conjunto simplesmente coneo e rot F, pelo teorema das equivalências, temos que F é conservativo. Logo, eiste ϕ,,z), tal que ϕ F em R. Para encontrar uma ϕ,, z), devemos resolver ϕ zez +e +6 ) ϕ e +ze z ) ϕ z ez +e z senz ) Integrando ), ) e ) em relação a, e z respectivamente, ϕ,,z) e z +e + +f,z) 4) ϕ,,z) e +e z +g,z) 5) ϕ,,z) e z +e z +cosz +h,) 6) omparando 4), 5) e 6), temos que f,z) e z + cosz, g,z) e z cosz e h,) e +. Logo, ϕ,,z) e z +e +e z + +cosz. Então I ϕγ)) ϕγ)) onde γ),,π) e γ),,). Logo, I ϕ,,π) ϕ,,) e π +e +e ++cosπ) e +e +e + +cos) e π +4 4 e π.

4 álculo III-A Lista 4 Eercício : alcule e sen π) d+e cos +e ) d ao longo de : ) +,, orientada de 4,) para,). olução: O esboço de está representado na figura que se segue. 4 Ora,calcularaintegralusandoadefiniçãoéumatarefamuitocomplicada. omorot Q F P ) k e cos e cos +) k k, então F não é conservativo. Assim, só nos resta usar o teorema de Green. Para isso, fechemos a curva através do segmento que liga,) a 4,). 4 eja a região limitada por. omo estamos nas condições do teorema de Green, temos r + F d Q r P ) dd dd A) π π. álculo de r Temos :, com 4 portanto d. Então, r 4 P,) d+q,) e sen π) d π.

5 álculo III-A Lista 4 Logo, r π +π π. Eercício 4: alcule ) d+ arctg + ) d onde é a curva aberta que vai de,) a,), ilustrada na figura que se segue ,),) olução: eja F,) P,Q),arctg + ), com,) R. Então temos Q P +. Logo, F não é conservativo. Para usar o teorema de Green, devemos fechar a curva, por meio do segmento de reta que liga,) a,). eja a região limitada por.,),) omo estamos nas condições do teorema de Green, temos r + F d Q r P ) dd + dd. dd

6 álculo III-A Lista 4 4 omo f,) é uma função ímpar na variável e tem simetria em relação ao eio, então dd. Utilizemos as coordenadas polares para calcular a outra integral. Temos e rθ : { θ π r. Portanto, [ r dd ] π π rcosθ rsenθ dd rdrdθ rsenθ)r drdθ π senθ dθ ] π [ cosθ 7 ) 4. r senθ drdθ álculo de r Temos :, com portanto d. Então, r P,) d [ d ] 6. Logo, r Eercício 5: Uma lâmina tem a forma da parte lateral do cilindro + 4, entre os planos z e z. etermine a massa dessa lâmina se a densidade no ponto,,z) é dada por f,,z). olução: Temos que M f,,z) d d onde está ilustrada na figura que se segue.

7 álculo III-A Lista 4 5 z Umaparametrizaçãopara édadaporϕt,z) cost, sent, z)ondet,z) : Temos ϕ t omo d Temos e Logo, ϕ sent, cost, ) e z ϕ t ϕ z M 8 ϕ t ϕ z π π [,,), portanto i j k sent cost dtdz então d dtdz. Logo, π cost) dtdz 8 cost, sent, ). cost cos t dzdt π π cos t cos t) dt 4 cos t dt 6 cos t dt. cos t dt sent sen t π π ] π cos t dt [ t+ sent cos t cost dt. M 4π u.m. π ] π π sen t) dsent) { t π z cost.

8 álculo III-A Lista 4 6 Eercício 6: eja a curva z, com, contida no plano z. eja a superfície obtida girando em torno do eio z. a) Parametrize. b) alcule a área de. olução: a) Uma parametrização da curva é dada por t) t, t) e zt) t, com t. Logo, uma parametrização de á dada por com t,θ) : ϕt,θ) t)cosθ,t)senθ,zt) ) tcosθ,tsenθ,t ) { t θ π. b) As derivadas parciais de ϕ são ϕ t cosθ,senθ,4t) ϕ θ tsenθ,tcosθ,) e o produto vetorial é i j k ϕ t ϕ θ cosθ senθ 4t tsenθ tcosθ ) 4t cosθ, 4t senθ,tcos } θ+tsen {{ θ }, t portanto ϕt ϕ θ 6t4 cos θ+6t 4 sen θ+t pois t >. omo 6t 4 +t t 6t + A) ϕt ϕ θ dtdθ, então A) t 6t + dtdθ π t 6t + dθdt π 6t + ) / t dt.

9 álculo III-A Lista 4 7 Fazendo u 6t + temos du tdt, portanto tdt du/. Para t temos u e para t temos u 65. Então, A) π 65 u / du π 6 ] 65 [u / π ) u.a. Eercício 7: alcule F n d onde F,,z) i j e épartedaesfera + +z a no primeiro octante e n apontando para a origem. olução: O esboço de está representado na figura que se segue. z a n a a omo n é dirigido para a origem, então n é interior à esfera + + z a, isto é,,, z) n. Então, a F n d,,),, z) d a a + ) d. Para calcular a integral, devemos parametrizar. Temos : ϕφ,θ) asenφcosθ,asenφsenθ,acosφ)

10 álculo III-A Lista 4 8 com φ,θ) : { φ π/ θ π/. a teoria, temos que d a senφ dφdθ. Então, F n d a a sen φcos θ+a sen φsen θ ) a senφ dφdθ a a cos θ sen θ ) sen φ dφdθ cosθsen φ dφdθ π/ a sen φ a a π/ π/ π/ [ sen φ senθ sen φ cosθ dθdφ ] π/ dφ senπ sen }{{} )dφ a π/ dφ. Eercício 8: onsidere o campo vetorial F,,z) +zcos) i + +z) j + z 4 a ) k. eja uma lata ciĺındrica com fundo e sem tampa dada por + a, com z a, a > e + a, z. abendo que o fluo de F através de, de dentro para fora é igual a πa, calcule o valor de a. olução:onsideremos, onde édadapor : z a, com,) : + a. A superfície deve ser orientada com n k. eja W o sólido limitado por. omo estamos nas condições do teorema de Gauss, temos F n d + F n d div F dddz W ) +4z dddz 4 z dddz. omo W F n d πa, então, πa + F n d 4 W z dddz ) W

11 álculo III-A Lista 4 9 Passando para coordenadas ciĺındricas, temos rcosθ rsenθ z z dddz rdrdθdz e W rθz é dado por Então, W r a W rθz : θ π z a z dddz z r drdθdz W rθz a r π a z dzdθdr a πa Logo, de ), temos π r [ r ] a [ z 4] a 4 πa4 4. πa + dθdr a 4 a π r dθdr πa F n d πa 4 ) a r dr álculo de F n d Temos F n d + acos, + a, a a ),,) d a ) d a A ) a πa πa 4. e ) temos: πa πa 4 πa 4 πa πa 4 a a.

12 álculo III-A Lista 4 Eercício 9: alcule rot F n d onde F,,z) +ze,+cosz),) e, orientada positivamente, é a reunião de e sendo dada por z 4, com z e dada por z + +, com z. olução: O esboço da superfície aberta está representado na figura que se segue. z 4 n n Para aplicar o teorema de Gauss, devemos fechar a superfície através da superfície, dada por : z, com,) : + 4 ou + 4, orientada com n k. z 4 n W n n eja W o sólido limitado por. omo F é de classe em R e W está orientada

13 álculo III-A Lista 4 positivamente, então podemos aplicar o teorema de Gauss. Temos, rot F n d div rot F dv. W Mas, por propriedades dos operadores diferenciais, temos que div rot F. Então, rot F n d dv W ou rot F n d + rot F n d. álculo de rot F n d Temos rot F i j k z +ze +cosz) +senz),e, )) +senz),e,). Em, onde z, temos que rot F,e,). Então, rot F n d,e,),, ) d d A ) πab onde a e b. Logo rot F n d 4 π e, portanto rot F n d 4 π.

14 álculo III-A Lista 4 Eercício : eja F,,z) i + j + +z 8 k. alcule F d r, onde éacurvadadapelainterseçãodassuperfíciesz + e + ) comumsentido depercurso tal que, quando projetado noplano z produz umpercurso no sentido anti-horário. olução: O esboço de é: z z 4 4 onsiderando o sistema { z + + ) ou + temos z. Isso significa que a curva interseção está contida no plano z. Então, seja a superfície porção do plano z, limitada por. Logo,. Temos : z f,) com,) : + ) ou +. O esboço de está representado na figura que se segue.

15 álculo III-A Lista 4 omo d +z ) +z ) dd então d ++ dd 5dd. e acordo com a orientação de, devemos tomar n apontando para cima. Então N n N z, z,) N Temos i j rot F Pelo teorema de tokes, temos r k z +z 8 rot F n d,,) 5.,, ).,, ),,) 5 5 dd ) dd. Passando para coordenadas polares, temos rcosθ rsenθ dd rdrdθ + r rsenθ r ou r senθ { θ π o esboço de, temos que rθ é dado por rθ : r senθ. Então, r rcosθ )r drdθ r cosθ r ) drdθ rθ π senθ π r cosθ r ) drdθ π 8 cosθsen θ 4sen θ [ 8 sen4 θ 4 4 θ senθ ) dθ rθ )] π π. [cosθ r r ] senθ dθ Eercício : Use o teorema de tokes para transformar a integral de superfície rot F n d em uma integral de linha e calcule-a, sendo F,,z) j + k, através de : + + z 4, z, orientada de forma que o vetor normal no ponto,, ) esteja apontando para baio.

16 álculo III-A Lista 4 4 ) olução: e + + z 4 e z, temos + 4. Logo, o bordo de, é uma circunferência de raio de centro no eio z e contida no plano z. Os esboços de e são z n n omo n é eterior a então o bordo de,, resulta com orientação horária. Parametrizando, temos cost, sent e z, com t π portanto d sent dt, d cost dt e dz. o teorema de tokes, temos rot F n d + r d+ d + dz π 4 cos t dt 4 [ π t+ sent ] π r ) ) cost cost dt π 4.