Cálculo III-A Módulo 2 Tutor

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1 Eercício : Calcule Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo Tutor + e +. + da onde é a região compreendida pelas retas,, Solução: Calcular diretamente essa integral seria penoso pela compleidade da região de integração. Mas a ocorrência das epressões e + no integrando e também nas equações da fronteira sugere a seguinte transformação: u + e v donde u+v e u v. O jacobiano J é dado por J,) u,v) u u v v 4 4. Com essa transformação a fronteira de uv é formada pelas retas v, v, u e u v uv u Assim, pela fórmula da mudança de variáveis temos: + da v u J dudv uv v [ lnu ] dv uv v u dudv v u dudv vln ln) dv ln v dv 4 ln. Eercício : Use a transformação u e v para determinar primeiro quadrante, limitada por,, e 4. da na região do Solução: O esboço da região está representado na figura que se segue.

2 Cálculo III-A Módulo Tutor v 4 uv 4 u Com essa transformação, a região transforma-se na região uv limitada pelas retas u, u, v e v 4. Temos: u u J u,v),) v v u. Logo,, ) u,v) J u u. e u / e v temos uv. Portanto, o integrando transforma-se em v uv uv. Assim, da fórmula da mudança de variáveis temos: da uv,) u, v) dudv uv dudv v dudv u uv uv uv 4 v dvdu [ v ] 4 du 6 64 ) du 6 [ ] u ). Eercício : Calcule a integral dupla +. e + ) da onde é a região contida na circunferência Solução: O esboço da região está representado na figura que se segue.

3 Cálculo III-A Módulo Tutor Passando para coordenadas polares, vemos que + r e da r drdθ. escrição de em coordenadas polares Efetuando uma varredura em no sentido anti-horário a partir do eio positivo vemos que θ π. A equação + transforma-se em r ou r. Assim, para θ fio, fazemos r crescer de r a r. Logo rθ é dado pelas desigualdades θ π e r. Portanto: π e + ) da r drdθ e r r drdθ π Eercício 4: Calcule rθ e r e r r) drdθ π [e r] desigualdade + ou + ). dθ e ) π dθ e ) π. + dd onde é o disco centrado fora da origem, dado pela Solução: O esboço de está representado na figura que se segue. Passando para coordenadas polares temos: rcosθ rsenθ. dd r drdθ + r

4 Cálculo III-A Módulo Tutor 4 O integrando + transforma-se em r r /. escrição de em coordenadas polares Efetuando uma varredura em no sentido anti-horário a partir do eio positivo vemos que θ varia de a π. A equação da circunferência + transforma-se, em coordenadas polares, em r rsenθ donde r senθ é a equação polar da circunferência. { Assim, para θ fio, fazemos θ π r crescer de r a r senθ. Logo, rθ é dado por rθ : r senθ. θ π π/ r Então, + dd r r drdθ r drdθ rθ rθ π [ r ] senθ dθ 8 π sen θ dθ. π senθ r drdθ Mas: sen θ sen θsenθ cos θ ) senθ. Fazendo u cosθ temos du senθ dθ. Para θ temos u e para θ π temos u. Então, I 8 8 π cos θ ) senθ dθ 8 u )du 8 ] [u u 8 u ) du) 8 [ ) + u ) du )] 8 ) 9. OBS.: Você notou que um disco centrado na origem transforma-se em um retângulo no plano rθ e que um disco centrado fora da origem não se transforma em um retângulo no plano rθ? Eercício 5: Calcule r e dentro do cardioide r +cosθ). daonde é a região no primeiro quadrante fora da circunferência +

5 Cálculo III-A Módulo Tutor 5 Solução: Passando para coordenadas polares temos rsenθ, + r e da r drdθ. Esboço de Seja r +cosθ). Para θ, θ π/, θ π, θ π/ e θ π temos, respectivamente, r 4, r, r e r. e r 4 temos + 4. Assim, o esboço da região está representado na figura que se segue. P sai em r +cosθ) entra em r 4 Efetuando uma varredura em no sentido anti-horário a partir do eio positivo onde θ ) até o eio positivo onde θ π/), vemos que θ π/. Considerando um ponto P no interior de, vemos { que a semirreta OP entra em em r e sai de em r +cosθ). θ π/ Então, temos rθ : r +cosθ). Assim: π/ da + π/ rθ rsenθ r +cosθ) senθ r drdθ π/ [ r drdθ π/ rθ r senθ drdθ [ r senθ ] +cosθ) dθ senθ [ 4+cosθ) 4 ] π/ 4 +cosθ+cos θ ) senθ dθ cosθ+cos θ ) cos senθ) dθ [ θ + )] 8. ] + cos θ π/ Eercício 6: Calcule as integrais, transformando-as em coordenadas polares. a) + ) / dd b) 8 sen + +)dd

6 Cálculo III-A Módulo Tutor 6 Solução: a) Temos: onde I + ) / dd + ) / dd, {,) R, }. Logo, está entre as retas e e está limitada inferiormente pela reta e superiormente pela curva ou + ), com. Assim, o esboço da região está representado na figura que se segue. Passando para { coordenadas polares, temos + r e da rdrdθ e rθ é dado pelas desigualdades rθ : θ π r. Então, I rθ ) r / r drdθ r 4 drdθ rθ π r 4 dθdr π [ r 4 r 5 dr π 5 ] π 5. b) Temos, I 8 sen + + ) dd sen + + ) dd onde : {,) R ;, 8 }. Logo, estáentreasretasverticais e e está limitada inferiormente pela reta e superiormente pela curva 8 ou + 8, com. e e + 8, com temos 9. Como, temos donde. Logo, o ponto de interseção é o ponto,). Assim, o esboço de está representado na figura que se segue.

7 Cálculo III-A Módulo Tutor 7 sai em r 8 8 P,) escrição de em coordenadas polares π/4 entra em r Efetuando uma varredura em no sentido anti-horário a partir da reta onde θ π/4) até o eio positivo onde θ π/) vemos que θ varia de π/4 a π/. Considerando um ponto P no interior de vemos que a semirreta OP entra em em r e sai de em r { 8. Então π/4 θ π/ temos rθ : r. Então, 8 I sen r + ) r drdθ rθ 8 sen r + ) r π/ π/4 dθdr π 4 8 sen r + ) r dr. Fazendo u r + temos du r dr donde r dr du/. Para r temos u e para r 8 temos u 9. Então, I π 4 9 senu ) du π [ ] 9 cosu π 8 8 cos cos9). Eercício 7: etermine o volume do sólido W, limitado pelo paraboloide z 4 e pelo plano. Solução: O esboço de W está representado na figura que se segue.

8 Cálculo III-A Módulo Tutor 8 z 4 W piso : + 4 Temos: VW) f,) dd 4 ) dd. Passando para coordenadas polares temos rcosθ rsenθ dd r drdθ + r e rθ : { θ π r VW) π rθ. Então, 4 r ) r drdθ ] [r r4 π8 4) 8π u.v. 4 ) π 4r r dθdr π 4r r ) dr Eercício 8: etermine o volume do sólido W no interior da esfera + +z 4 e do cilindro + ) e acima do plano z. Solução: O esboço de W está representado na figura que se segue.

9 Cálculo III-A Módulo Tutor 9 z z teto W W piso Por simetria, temos que VW) VW ) onde W {,,z) R ;,) : + ), e z } 4. Vemos, também, que o teto de W é a superfície z 4 f,) e que o piso é o semidisco : + ), com. Logo: VW) VW ) f,)dd 4 dd. Passandoparacoordenadaspolares, temos + r edd rdrdθ. Aequação + ) ou + transforma-se em r rsenθ ou rr senθ) portanto r ou r senθ.

10 Cálculo III-A Módulo Tutor Então, o semidisco em coordenadas polares é rθ : VW) π rθ π/ senθ 4 r ) / rdrdθ { θ π/ r senθ. Então, 4 r ) / r)drdθ [ 4 r ) ] / senθ dθ π/ π/ π/ [ 4 4sen θ ) ] / 4 / dθ [ 4cos θ ) 8] / dθ 4cos θ ) / dθ+ 6 π/ Como θ π/, temos cosθ, portanto 4cos θ) / cosθ) 8cos θ. Então, π/ dθ. 4cos θ ) π/ / dθ 8 cos θ cosθdθ Assim, 8 8 π/ sen θ ) ] π/ dsenθ) 8[senθ sen θ ) 6. VW) π 8 π 4)u.v. 9