Integrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: x 2 y 2 dxdy; (a) (b) e x+y dxdy; (c) x 1+y 3 dydx; (d)

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1 Integrais uplas Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas epartamento de Matemática Sexta Lista de Exercícios MAT 4 - Cálculo iferencial e Integral III - 7/I Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (c) (d) (e) (f) (g) (h) y y a a x a y x x y 4 x y dxdy; a x (x+y)dydx; e x+y dxdy; x +y dydx; e y dydx; sinx dxdy; y xsinxdxdy x siny y dydx Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas: z = xy, z =, y = x, x = (primeiro octante); x +z =, y +z = (primeiro octante); (c) z = +y, x =, x = e y Calcule, em coordenadas polares: (c) 9 x x x 4 arctan y x dydx; xydydx; 4y y x dxdy 4 Escreva a soma das integrais como uma única integral dupla usando coordenadas polares e calcule:

2 x / x x +y dydx+ x xydydx+ x 8 x xydydx + x +y dydx 4 x xydydx 5 Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume de uma esfera de raio a 6 Encontre k de modo que o volume dentro do hemisfério z = 6 x y e fora do cilindro x +y = k seja metade do volume do hemisfério 7 Calcule o volume do elipsóide dado por x a + y b + z =, onde a,b,c > c 8 Em cada caso, use a mudança de variáveis indicada para calcular a integral dupla dada: x+y dydx, x = u, y = uv R : triângulo de vértices (,), (4,) e (4,4) R x ysinxydydx, x = u, y = v, R : região entre os gráficos de xy =, xy = 4, y = e v R y = 4 9 Considere a região R no plano-xy dada por x a + y = e a transformação x = au, y = bv b Esboce a região R e sua imagem inversa S sob a transformação e encontre (x,y) (u,v) Calcule o volume do sólido limitado superiormente pela superfíciez = 6 x y e inferiormente pela região elíptica x 6 + y 9 Calcular, por dupla integração, a área da região acima do eixo x, limitada pela parábola semicúbica y = x e a reta y = x: integrando primeiro em relação a x; integrando primeiro em relação a y Achar o volume do sólido limitado pela superfície cilíndrica x +az = a e os planos x+y = a, y = e z = escreva a imagem da circunferência x +y = a pela transformação ( x ) T : (x,y) (u,v) = 4,y 4 escrever as imagens das retas x = c pela transformação T : (x,y) (e x cosy,e x siny) e fazer gráficos 5 Calcule o volume do sólido compreendido entre os parabolóides z = 5x +5y ez = 6 7x y 6 O volume V abaixo do parabolóide hiperbólico z = xy e acima de uma região R do plano-xy é dado por V = y xydxdy + y xydxdy

3 Esboce a região R no plano-xy, expresse V como uma integral dupla na qual a ordem de integração é invertida e calcule V 7 Achar o volume removido quando se abre um furo de raio a num esfera de raio a, sendo o eixo do furo um diâmetro da esfera 8 Sendo R a região limitada pelas retas y = x, y = e x =, calcule a integral dupla dxdy R (+x +y ) 9 Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado: B = {(x,y) R /lnx y +lnx, y e x e} B = {(x,y) R /x y x} (c) B é determinando pelas desigualdades xy, x y x+ e x (d) B = {(x,y) R /x >, 4 x y x +7x} etermine o volume do sólido: Abaixo do parabolóide z = x +y e acima da região delimitada por y = x e x = y Abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo com vértices (, ), (4, ) e (, ) Calcule a integral trocando a ordem de integração: y 4 e x dxdy x y + dydx Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares xyda, onde é o disco com centro na origem e raio cos(x + y )da, onde R é a região à esquerda do eixo y e entre as circunferências R x +y = e x +y = 4 (c) e x y da, onde é a região delimitada pelo semicírculo x = 4 y = 4 e o eixo y Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares 9 x sin(x +y )dydx y (x+y)dxdy y 4 Expresse como união de regiões do tipo I ou do tipo II e calcule a integral x da

4 yda 5 efinimos a integral imprópria (sobre todo o plano IR ) I = e (x +y) da = e (x +y ) da = lim e (x +y) da IR a a onde a é o disco com raio a e centro na origem Mostre que e (x +y ) da = π Uma definição equivalente da integral imprópria acima é I = e (x +y) da = lim e (x +y) da IR a S a onde S a é o quadrado com vértices (±a,±a) Use esse resultado para mostrar que (c) eduza que e x dx e y dy = π e x dx = π (d) Fazendo a mudança de variável t = x, mostre que e x dx = π (Este é um resultado fundamental em probabilidade e estatística) 6 Calcule xda, onde R é a região limitada por x = lny, x = e y = e R 7 Use uma integral dupla para calcular a área da região, no primeiro quadrante, delimitada pela curvay =, pela reta que passa pelos pontos (,) e(,), e pela reta que passa pelos pontos ( x (,) e, ) 4

5 8 ada a soma de integrais 4 4 x ex/y dydx + 4 x ex/y dydx, inverta a ordem de integração e calcule a integral 9 Calcule o volume do sólido dado por: z 9 x y e x +y 4, com y Integrais Triplas Calcule a integral tripla Q = {(x,y,z) R / x ; y ; z } Q xy z dv na caixa retangular Seja Q a cunha no primeiro octante seccionada do sólido cilíndrico y + z pelos planos y = x e x = Calcule zdv Q Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x +y = 9 e entre os planos z = e x+z = 5 4 Reescreva a integral 4 (4 x)/ ( x 6y)/4 dzdydx na ordem dydxdz 5 Calcule o volume acima do cone z = x +y e dentro da esfera x +y +z = z 6 Calcule zdv onde é o tetraedro de vértices (,,), (,,), (,,) e (,,) 7 Use coordenadas cilíndricas para calcular S z x +y dxdydz, onde S é a metade do cone circular reto de vértice (,,h) e base x +y a compreendido no lado direito do plano y = 8 Expresse 9 x 9 x y (x +y +z ) dzdyxdx em coordenadas esféricas e calcule 9 Calcule o volume do sólido S, no primeiro octante, limitado pela esfera r = 4, pelos planos coordenados, o cone φ = φ 6 e pelo cone φ = φ Usando coordenadas esféricas, calcule: zdxdydz, onde B é o conjunto x +y +z 4 e z B zdxdydz, onde B é o conjunto z x +y, x +y +z B (c) zdxdydz, onde B é a interseção da semi-esfera x + y + z 4 e z com o B cilindro x +y Use uma integral tripla para determinar o volume: o tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x + y + z = 4 o sólido delimitado pelo cilindro elíptico 4x +z = 4 e pelos planos y = e y = z + (c) o sólido limitado pelo cilindro x = y e pelos planos z = e x+z = Escreva as equações em coordenadas cilíndricas 5

6 z = x +y x +y = y ê o volume do sólido descrito pelas desigualdades: r, π/ θ π/ e z 4 Calcule xdv, onde E está delimitado pelos planos z = ez = x+y+5 e pelos cilindros x +y = 4 e x +y = 9 E 5 Calcule a integral 4 y 4 y 6 Escreva a equação em coordenadas esféricas z = x +y 9 = x +z 7 ê o volume do sólido descrito pelas desigualdades dadas: ρ, φ π e θ π ρ e π 4 φ π x +y dv utilizando a mudança de coordenadas cilíndricas 8 Resolva utilizando coordenadas esféricas (x +y +z ) dv, onde B é a bola centrada na origem de raio 5 B zdv, onde E está entre as esferas x +y +z = e x +y +z = 4 no primeiro E octante (c) x dv, onde E é limitado pelo plano xz e pelos hemisférios y = 9 x z e E y = 6 x z Integrais uplas Gabarito 54 (c) e + e (d) 6 9 (e) cos e4 (f) (g) sin4 4cos4 (h) cos 8 (c) π d) π 9π 6 (c) π 4 4 π πa 6 k = 4 6

7 7 4πabc 8 ( ) (cos cos4) 9 9 R é uma elipse e S é um círculo de raio ab +8sin+sin4 8 4a A circunferência x +y = a é levada na elipse 6u a + v a = 4 A reta x = c é levada na circunferência u +v = e c 5 π 6 7 4a π(8 ) 7

8 8 π 9 e e+ 5 (c) ln+ (d) e9 ln9 6 πsin9 (c) π( e 4 ) π( cos9) 4 5 emonstração 6 e 7 ln ( 8 8 e / ) e 9 π (7 5 5) Integrais Triplas π 4 5 π 8 ( 4z)/ ( x 4z)/6 dydxdz 8

9 6 4 7 πa h π 9 6π( ) 5π 4 π 8 (c)π (8 ) 6 8 π c) 5 z = r r = sinθ π 4 5π 5 6 cos φ = sin φ ρ (sin φcos θ+cos φ) = 9 7 4π (+ )π 8 π 7 5π 56π (c) 6 5 9