MA211 - Lista 09. Coordenadas Esféricas e Mudança de Variáveis 7 de outubro de 2015

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1 MA2 - Lista 9 Coordenadas sféricas e Mudança de Variáveis 7 de outubro de 25. Marque o ponto cujas coordenadas esféricas é (,, ) e encontre as coordenadas retangulares do ponto. 2. Mude o ponto (, 3, 2 3) dado em coordenadas retangulares para esféricas. 3. Identifique a superfície cuja equação é ρ = sen θ sen ϕ. 4. screva a equação z 2 = x 2 + y 2 em coordenadas esféricas. 5. sboce o sólido descrito por ρ 2, ϕ π/2 e θ π/2. 6. Um sólido está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 +y 2 +z 2 = z. screva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas. 7. sboce o sólido cujo volume é dado pela integral abaixo e calcule-a. π/6 π/2 3 ρ 2 sen ϕ dρdθdϕ 8. Calcule as integrais em coordenadas esféricas. a) d) π π 2 sen ϕ 2π π/4 2 2π π ( cos ϕ)/2 3π/2 π ρ 2 sen ϕ dρdϕdθ (ρ cos ϕ)ρ 2 sen ϕ dρdϕdθ ρ 2 sen ϕ dρdϕdθ 5ρ 3 sen 3 ϕ dρdϕdθ 9. Calcule utilizando coordenadas esféricas. a) (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 dv, onde é a bola com centro na origem e raio 5. (9 x 2 y 2 ) dv, onde H é o hemisfério sólido x 2 + y 2 + z 2 9 e H z.

2 z dv, onde está entre as esferas x 2 +y 2 +z 2 = e x 2 +y 2 +z 2 = 4, d) e) no primeiro octante. xyz dv, onde está entre as esferas ρ = 2 e ρ = 4 e acima do cone ϕ = π/3. x dxdydz, onde é o conjunto x e x 2 + y 2 + z 2 4. f) z dxdydz, onde é o conjunto x 2 + y 2 + z 2 4 e z. g) h) i) x dxdydz, onde é o conjunto x2 4 + y2 9 + z2 e x. x + y 3 x + 2y z dxdydz, onde é a região x + y 2, x + 2y z e z. z dxdydz, onde é o conjunto z x 2 + y 2 e x 2 + y 2 + z 2. j) x2 + y 2 + z 2 dxdydz, onde é a interseção da semi-esfera j) x 2 + y 2 + z 2 4, z, com o cilindro x 2 + y 2. xyz dv, onde é o sólido limitado pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 8 x 2 y 2.. Seja D a região limitada abaixo pelo plano z =, acima pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e dos lados pelo cilindro x 2 + y 2 =. Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de D usando as ordens de integração a seguir. a) dρ dϕ dθ dϕ dρ dθ. Seja o sólido limitado pelos dois planos z = e z = 2 e lateralmente pelo cone z = x 2 + y 2. xpresse o volume de como integral tripla em coordenadas esféricas (não é necessário calcular a integral). 2. Usando coordenadas esféricas, determine: a) O volume da parte da bola ρ a que está entre os cones ϕ = π/6 e ϕ = π/3. O volume do elipsoide x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2. 2

3 O volume da porção da esfera sólida ρ a que está entre os cones ϕ = π/3 e ϕ = 2π/3. d) O volume da menor região cortada da esfera sólida ρ 2 pelo plano z =. g) O volume da região cortada do cilindro sólido x 2 + y 2 pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4. h) O volume do sólido que está acima do plano z = 2 3 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 6. i) O volume do sólido que está acima do cone ϕ = π/3 e abaixo da esfera ρ = 4 cos ϕ. j) O volume e o centroide do sólido que está acima do cone ϕ = π/3 e abaixo da esfera ρ = 4 cos ϕ. l) O volume do sólido que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4, acima do plano xy e abaixo do cone z = x 2 + y 2. m) O centroide e o momento de inércia em relação a um diâmetro de sua base do hemisfério sólido homogêneo de raio a. 3. O centróide de uma região é dado por x = x dv, y = vol() vol() y dv e z = z dv. vol() Calcule o centróide da região dada em coordenadas esféricas por ρ, ϕ π/3 e θ 2π (observe que, devido à simetria da região, x e y se anulam, bastando calcular a terceira coordenada). 4. Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada. a) Determine o volume e o centroide do sólido que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 =. Determine o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera de raio a por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de π/6. Determine o volume da região limitada abaixo pelo plano z =, lateralmente pelo cilindro x 2 + y 2 = e acima pelo paraboloide z = x 2 + y 2. d) Determine o volume da região limitada acima pelo paraboloide z = 5 x 2 y 2 e abaixo pelo paraboloide z = 4x 2 + 4y 2. 3

4 5. Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. a) x 2 2 a a 2 x 2 y 2 x 2 +y 2 xy dzdydx 4 y 2 4 x 2 y 2 a 2 y 2 a x 2 y 2 a 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 dzdxdy (x a 2 z + y 2 z + z 3 ) dzdxdy 2 x 2 y 2 6. Mostre que x2 + y 2 + z 2 e (x2 +y 2 +z 2) dxdydz = 2π. (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente.) 7. Determine o jacobiano da transformação. a) x = 5u v, y = u + 3v. x = uv, y = u v. x = u u + v, y = v u v. d) x = α sen β, y = α cos β. e) x = uv, y = vw, z = u + v Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada. a) S = {(x, y) 2 : u 3, v 2}; x = 2u + 3v, y = u v. S é o quadrado limitado pelas retas u =, u =, v =, v = ; x = v, y = u( + v 2 ). S é a região triangular com vértices (, ), (, ), (, ); x = u 2, y = v. d) S é o disco dado por u 2 + v 2 ; x = au, y = bv. 9. Utilize a transformação dada para calcular a integral. a) (x 3y) da, em que é a região triangular de vértices (, ), (2, ) e (, 2); x = 2u + v, y = u + 2v. 4

5 x 2 da, em que é a região limitada pela elipse 9x 2 + 4y 2 = 36; x = 2u, y = 3v. (x 2 xy + y 2 ) da, em que é a região delimitada pela elipse x 2 xy + y 2 = 2; x = 2 2u 3 v, y = 2 2u + 3 v. d) xy da, em que é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = x e y = 3x e pelas hipérboles xy =, xy = 3; x = u v, y = v. 2. a) Calcule dv, em que é o sólido delimitado pelo elipsoide x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 =. Utilize a transformação x = au, y = bv e z = cw. A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da rotação, os polos foram achatados. Assim, seu formato pode ser aproximado por um elipsoide com a = b = km e c = km. Use o item (a) para estimar o volume da Terra. 2. Considere a transformação do plano xy no plano uv dada por u = x 2y e v = 3x y. a) Inverta a transformação, isto é, obtenha as expressões da transformação do plano uv no plano xy. epresente geometricamente a região no plano xy obtida como imagem da transformação aplicada à região delimitada por u =, u = 4, v =, v = 8. Utilize a transformação dada para calcular a integral x 2y 3x y da. 22. Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ( ) y x a) cos da, em que é a região trapezoidal com vértices (, ), y + x (2, ), (, 2) e (, ). sen (9x 2 + 4y 2 ) da, em que é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse 9x 2 + 4y 2 =. e x+y da, em que é dada pela inequação x + y. 5

6 d) x 2 da, em que é o conjunto de todos (x, y) tais que 4x 2 + y 2. e) sen (4x 2 + y 2 ) da, em que é o cojunto de todos (x, y) tais que 4x 2 + f) g) y 2 e y. 3 y x da, em que é o triângulo de vértices (, ), (, ) e (, ). + y + x x da, em que é o conjunto, no plano xy, limitado pela cardioide ρ = cos θ. e y x2 h) da, em que é o conjunto de todos (x, y) tais que y x2 + x 2 y 2 + x 2, y x + x 2 e x. i) x da, em que é o círculo x 2 + y 2 x. j) xy da, em que é a região limitada pela curva x + y = e pelos eixos coordenados. y 2x l) da, em que é a paralelogramo de vértices (, 2), (2, 4), (5, 2) 3y + 2x e (4, ). cos (x y) m) da, em que é a região trapezoidal com vértices (, ), sen (x + y) (2, ), (, 2) e (, ). 23. Seja f uma função contínua em [, ] e seja a região triangular com vértices (, ), (, ) e (, ). Mostre que f(x, y) da = uf(u) du. 6

7 eferências [] J. Stewart. Cálculo, Volume 2, 6 a dição, São Paulo, Pioneira/ Thomson Learning. [2] H. L. Guidorizzi. Um Curso de Cálculo, Volume 2, 5 a dição, 22, io de Janeiro. [3] G.. Thomas. Cálculo, Volume 2, a edição, São Paulo, Addison- Wesley/Pearson,22. 7