Lista 4 - Métodos Matemáticos II

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1 Lista 4 - Métodos Matemáticos II Prof. Jorge Delgado. alcule Res f () da função f () dada. + ; (b) cos cot ; (c) ; (d) senh 4 4 ( ). Solução. ; (b) ; (c) 45 ; (d) Usando o teorema do resíduo verifique que e d = πi; (b) e / d = πi 3 ; (c) onde é o círculo de centro e raio. Teorema = πi, Seja uma curva fechada simples e seja f uma função analítica em e no seu interior exceto num número finito de pontos singulares no interior de. Então f () d = πi Res = [ f ( )]. 3. Usando o teorema calculando um único resíduo, calcule a integral das funções dadas ao longo do círculo : = : 5 d = πi; (b) d = ; (c) 3 + = πi. 4. Usando a série de Maclaurin de e e assumindo que é possível integrar a série termo a termo, isto é, a integral da série é a série das integrais dos seus termos, verifique que: e + d = n e d. n! n=

2 Lista 4 - Métodos Matemáticos II (b) Use o teorema do resíduo para calcular as integrais da série do item anterior e obter a fórmula: e + d = πi n= n! (n + )!. 5. Sabemos que se f possui uma singularidade isolada em, então f () se representa por uma série de Laurent em um disco perfurado < < R, para algum R >. A parte dessa série que contêm as potências negativas de é chamada a parte principal de f em. Determine a parte principal da função f () na sua singularidade isolada, diga se se trata de uma singularidade removível, de um polo (dê a ordem) ou uma singularidade escencial e dê Res f ( ). f () = e / ; (b) f () = + ; (c) f () = sen cos ; (d) f () =. 5 Solução. Sing. escencial =, parte principal n= (n + )! n ; Res f () =. (b) Polo simples em =, parte principal ; Res f ( ) =. (c) Sing. + removível em =, parte principal ; Res f () =. (d) Polo de ordem 5 em =, parte principal 5! + 3 4! ; Res f () = 4!. 6. Verifique que a singularidade da função f () dada é um polo, determine a ordem e o resíduo correspondente. f () = cosh 3 ; (b) f () = e 4 ; (c) f () = e ( ). Solução. Ordem, resíduo ; (b) Ordem 3, resíduo 4 3 ; (c) Ordem, resíduo e. 7. Se f () é analítica em e g() = f (). Verifique que se f ( ), então é um polo simples de g(). (b) se f ( ) =, então é uma singularidade removível de g().

3 Lista 4 - Métodos Matemáticos II 3 Solução. Escreva a série Laurent de g() em < < R usando a de Taylor de f () em torno de definida num disco < R. 8. Seja a R, a >. Determine a parte principal de f () = 8a3 em torno da singularidade = ai. Solução. Escreva f () = ( + a ) 3 φ() ( ai), onde φ() = 8a3 3 (+ai). Verifique que φ é analítica 3 em ai. A parte principal de f () em ai é i/ ai a/ ( ai) 9. Verifique que Res = ( ) 3 = ; (b) Res =iπ (c) Res /4 = + = i +, ( >, < arg < π); (d) Res =i Log ( + ) = π + i 8. Verifique que o valor da integral círculo : = é igual a πi; (b) : = 4 é igual a 6πi.. Verifique que o valor da integral : = é igual a πi 3 ; (b) : + = 3 é igual a.. Verifique que a i ( ai) 3. e + π = ± i π ; d, ao longo do ( )( + 9) d 3 ( + 4) cosh π d = 4πi, onde : =. ( + ) ao longo do círculo 3. Usando o Teorema, verifique os valores das integrais abaixo ao longo do círculo : = 3, calculando um único resíduo. (3 + ) d = 9πi; ( )( + 5) (b) 3 e / + = πi. 3

4 Lista 4 - Métodos Matemáticos II 4 Lembre do seguinte resultado. Teorema Se g e h são analíticas em e g( ), h( ) = e h ( ), então é um polo simples de F() = g() h() e Res F( ) = g( ) h ( ). 4. Use o Teorema para verificar o valor das integrais: d tan d = 4πi; (b) = = senh = πi. 5. Verifique que,, + i e i. d ( ) + 3 = π, onde é o retângulo de vértices Indicação: verifique que os eros do polinômio q() = ( ) + 3 são as raíes quadradas dos números ± 3i. Logo, q() é analítica em e no seu interior exceto nos pontos = = 3+i, podendo então aplicar o Teorema para calcular os resíduos. 3+i e 6. Usando resíduos verifique as integrais reais impróprias abaixo. (c) (d) (e) (f) dx (x + ) = π 4 ; (b) x dx (x + )(x + 4) = π 6 ; cos ax (x + b ) dx = π 4b 3 ( + ab)e ab, onde a > e b > ; x sen ax x dx = π e a sen a, onde a > ; x dx (x + )(x + x + ) = π 5 ; sen x dx x + 4x + 5 = π e sen. 7. Usando resíduos verifique as fórmulas de integração abaixo. (c) π π π π cos θ dθ cos θ = π 3 ; (b) dθ + k cos θ = π cos 3θ dθ 5 4 cos θ = 3π 8 ; dθ + k sen θ = π, k (k < );

5 Lista 4 - Métodos Matemáticos II 5 (d) (e) π π dθ (a + cos θ) = πa(a ) 3/, (k < ); sen n θ dθ = π (n)!, n =,, 3,. ( n n)! 8. Verifique que o valor principal de x dx (x + )(x + x + ) é π Verifique a fórmula e x cos(bx) dx = π e b. Indicação: assumindo que e x dx = a, a, a + ib e a + ib. Passe ao limite quando a para concluir. π, calcule e d, onde é o retângulo de vértices. Seja R o arco do círculo de centro ero e raio R > que liga R com R e i Re iπ/4 e seja A R o contorno do setor circular r R, θ π 4 orientado positivamente. Integrando ao longo de A R, verifique que: R cos(x ) dx = R e r dr Re e i d, R R sen(x ) dx = R e r dr Im e i d, R (b) Verifique que d R π/ e R sen φ dφ e use-a para con- cluir que o valor principal da integral ao longo do arco R, no item acima, tende a ero quando R tende a. π (c) Use, (b) e a fórmula e x dx = para concluir as fórmulas cos(x ) dx = sen(x ) dx = π.. onsiderando o contorno da Figura, abaixo, para resolver os seguintes três itens. Verifique que, para a e b, cos(ax) cos(bx) dx = π (b a). x

6 Lista 4 - Métodos Matemáticos II 6 Use a identidade cos(x) = sen x para concluir: sen x dx = π x. (b) Verifique que, para < a < 3 e x a = e a ln x, x a ( a)π dx = (x + ) 4 cos(aπ/). Figura : (c) Usando a função f () = /3 log + >, π < arg < 3π, obtenha as fórmulas: = e(/3) log log, definida para + 3 x ln x x + dx = π 6, 3 x x + dx = π 3.. Integrando um ramo apropriado de f () = / + = e( /) log + longo do caminho indicado na Figura, acima, verifique que: dx x(x + ) = π. ao