RESOLUÇÃO DO PRIMEIRO TESTE 31 DE OUTUBRO DE 2015 MEMEC,LEAN. f(x + iy) = x + x 3 + i(1 + y + y 2 )

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Gilberto Estrela
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1 ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFEENCIAIS ESOLUÇÃO DO PIMEIO TESTE 3 DE OUTUBO DE 205 MEMEC,LEAN Considere a função f : C C definida pela expressão fx + iy = x + x 3 + i + y + y 2 a Determine o domínio de diferenciabilidade de f. b Sendo gz = senfz, calcule g 0. c Indique, justificando, se existe uma função inteira F z tal que F z = fz. a As funções ux, y = x + x 3 e vx, y = + y + y 2 são diferenciáveis uma vez que são polinómios. Pelo Teorema de Cauchy-iemann, a função f é diferenciável nos pontos em que forem satisfeitas as equações de Cauchy- iemann x + x x3 = + y + y y2 x + y x3 = + y + x y2 + 3x 2 = + 2y 0 = 0 Conclui-se que o domínio de diferenciabilidade de f é x + iy C: y = 3 2 x2 } b A função f é diferenciável em 0, logo pela regra de derivação da função composta temos g 0 = f 0 cos f0 Uma vez que, no domínio de diferenciabilidade, temos Conclui-se que f x + iy = u x + i v x = + 3x2 + i 0 g 0 = cos i = cos i. c Se F z é uma função inteira então F tem derivadas de todas as ordens que são também funções inteiras. Uma vez que fz não é diferenciável em todo o plano complexo, não pode ser a derivada de uma função inteira. 2 Calcule z dz γ

2 2 ACED MEMEC LEAN, TESTE 3/0/5 onde γ é o caminho definido por γt = t + it 2 com t. Pela definição de integral temos z dz = t it 2 + 2itdt γ = = 2i 3. t + 2t 3 + it 2 dt 3 Considere a função fz = + +i+z ez2. a Determine a série de Taylor de fz em z 0 convergência. b Calcule z =2 fz dz z000 = 0 indicando o seu raio de sendo que o caminho de integração é percorrido uma vez no sentido horário. a Temos + i + z = n z n + i + i = +i n para z < z < 2. Além disso +i z 2 n z 2n e z2 = = para z C n! n! + i + z = logo o desenvolvimento de MacLaurin de fz é fz = a n z n com a n = n +i n+ n + +i n+ n/2! se n é ímpar, se n é par. válida para z < 2. b Pelas fórmulas integrais de Cauchy temos fz 2i dz = z ! f z =2 n zn + i n+ onde o sinal se deve ao facto de a circunferência ser percorrida no sentido horário. Pela fórmula de Taylor, f é o coeficiente de z 999 na série de 999! Taylor determinada na alínea anterior, logo fz i dz = 2i = z000 + i z =2

3 4 Considere a função ACED MEMEC LEAN, TESTE 3/0/5 3 fz = z 3 2 sen + ez2 z 3 z 2 z i 2i 2 z i a Determine e classifique as singularidades de f e calcule os respetivos resíduos. b Calcule z =2 fzdz sendo que o caminho de integração é percorrido uma vez no sentido directo. a As singularidades de fz são 3, 0 e i. A singularidade z = 3 é uma singularidade essencial de fz uma vez que a série de Laurent de z 3 2 sen z 3, dada por z 3 2 n 2n +! z 3 = n 2n+ 2n +! z 3 2n tem infinitos termos com expoente negativo, e as restantes parcelas que constituem fz são holomorfas em z = 3. Temos esfz, 3 = es z 3 2 sen, 3 = z 3 3! = é o coeficiente de na expansão de Laurent acima. z 3 A singularidade z = 0 é uma singularidade removível uma vez que a primeira e terceira parcelas na soma que constitui fz são holomorfas em 0 e z 0 e z2 = z 2 z i 2 z 0 e z2 z 2 z 0 e w = w 0 w = = z i 2 é finito e não nulo. Consequentemente, esfz, 0 = 0. Finalmente, a singularidade z = i é um polo de ordem 2. De facto, a primeira parcela de fz é diferenciável em i enquanto que z i 2 z i e z2 z 2 z i 2i = e 0 = 2 z i e 0.

4 4 ACED MEMEC LEAN, TESTE 3/0/5 Temos es e z2 z 2 z i, i 2 e claramente logo d = z i 2 e z2 z i dz z 2 z i 2 d e z2 = z i dz z 2 2ze z2 z 2 e z2 2z = z i z 4 = 2ie e 2i = 4i e + 2i es 2i z i, i = 2i esfz, i = 4i + 2i 2i = 4i e e. b As singularidades no interior da curva de integração são 0 e i. Pelo Teorema dos esíduos fzdz = 2i esfz, 0 + esfz, i = 2i 0 + 4i = 8 e e z =2 5 a Dado >, calcule onde a curva é definida por + z dz = x + 0i: 0 x } e it : 0 t } } re i 3 : 0 r 3 e é percorrida uma vez no sentido directo. b Aproveite o resultado do exercício anterior para calcular x dx a As singularidades de +z são as raízes sextas de = e i+2k : k = 0,, 2, 3, 4, 5} Destas, a única que se encontra no interior da curva de Jordan é e i logo, pelo Teorema dos esíduos atendendo a que a curva é percorrida no sentido directo temos dz = 2i es + z + z, e i As singularidades da função integranda são todas polos simples, logo o resíduo em questão é dado por z e i z e i + z = z e i z = 5 e 5i

5 ACED MEMEC LEAN, TESTE 3/0/5 5 onde na primeira igualdade aplicámos a regra de Cauchy. Conclui-se assim que + z dz = 2i = i e 5i 3 e 3. b Escrevendo =,,2,3 como no enunciado temos, + z dz = 0 + x dx,3 + z dz = 0 + re i 3 e i i i 3 dr = e 3 dr = e r 0 + x dx onde o sinal se deve ao facto de a parametrização utilizada para a curva,3 corresponder ao sentido horário. Por outro lado, pela desigualdade triangular,,2 + z dz,2 + z ds Uma vez que + z z = z = para z,2 conclui-se que,2 + z dz C 2 ds = 2 e portanto,2 + z dz = 0 Passando ao ite quando tende para infinito na igualdade i 3 e 3 = obtemos i 3 e 3 = 0 pelo que, + z dz +,2 + z dz i dx + 0 e 3 + x 0 3 e i 3 e i x dx = 3 e i 3 = e i 3 onde na penúltima igualdade usámos que e i 3 = 2 + i 3 2,3 + z dz + x dx = 3 = 2 i 3 2 = i e 3.

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