f ( t) e F( z) dz, t

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1 Fórmula Complexa de Inversão Agora possuímos o ferramental matemático necessário para obtermos a inversão efetiva da transformada de aplace. A inversão é obtida através da Fórmula Integral de Bromwich. Definição: Se F(s) = [f (t)](s), então f ( t) e F( ) d, t i (FI) i OBS: Tem-se que st F( s) e f ( t) dt. Complexificando a variável independente, ou seja, faendo s = = x+iy, obtem-se que ( xiy) t xt xt ( ) ( ) ( cos sen ) ( ) F e f t dt e yt ie yt f t dt xt xt f ( t) e cos ytdt i f ( t) e sen ytdt u( x, y) iv( x, y) Como f E então C >, α tq. xt f ( t) e cos ytdt t ( x ) t C f ( t) Ce, t C e dt, x. xt f ( t) e sen ytdt x ogo, u e v estão bem definidos na faixa e() > α. Por outro lado, usando eibni xt xt ux ( x, y) f ( t) e cos ytdt tf ( t) e cos ytdt x xt xt uy ( x, y) f ( t) e cos ytdt tf ( t) e sen ytdt y xt xt vx ( x, y) f ( t) e sen ytdt tf ( t) e sen ytdt x xt xt vy ( x, y) f ( t) e sen ytdt tf ( t) e cos y ytdt De modo que, u x,u y,v x e v y são contínuas em ]α,[ e satisfaem as equações de Cauchy- Riemann. Portanto, F() é analítica em e() >α. Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 46

2 (FI) é o método direto para obtenção de - [F()](t). A integração é efetuada ao longo da reta e() =, onde é tal que as singularidades de F() estão à esquerda de e() =. Origem da Fórmula (FI): Trata-se de uma generaliação da Fórmula Integral de Cauchy para retas e() = no caso em elas são a fronteira do semi-plano aonde f () é analítica. Para isso necessitaremos ter alguma informação sobre o comportamento de f () para arbitrariamente grande. Definição: f () é de ordem quando, se M, r > tais que; f ( ) M, se r. Notação: f () = O( ). Teorema: (Integral Imprópria de Cauchy) Hip: f () analítica sobre o semi-plano e() e f () = O( ), >. Tese: Se e( ) >, então f ( ) f ( iy) f ( ) d dy ( ) ( ) i i iy De modo que, se F() é analítica em e(), F() = O( ), >, >>, tem-se que Prova: i F () F( ) d,, e( ). i ( ) Seja C R o arco: x do círculo = R, onde R > e R >. De modo que, int(c R {x = }). Definindo β=(r γ ) / tem-se, pela Fórmula Integral de Cauchy, que Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 47

3 i i f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) i d i d d i d d ( { } ) ( ) ( ) ( ) ( ) CR x CR i CR i Quando C R tem-se que ; R- e como f ()<M, então se = R, R suficientemente grande (R >> ), obtem-se que f ( ) M M R ( R ),se R > r,p/algum r >>. Os integrandos em f ( ) na expressão acima são contínuos. O comprimento de C R é menor que R. Portanto, como f ( ) M M f ( ) d f ( ) d M d R ( ) R ( R ) R ( / R) C C CR Quando R, pois >. Além disso, como R = + a integral tb. converge para quando +. De modo que, tomando o limite + obtem-se que i f ( ) f ( iy) f ( iy) i iy i iy f ( ) lim d lim dy dy ( ) ( ) ( ) Então, procedendo formalmente, obtem-se que i F( ) i f ( t) [ F( s)]( t) [ d]( t) F( ) [ ]( t) d i ( s ) i s i i F( ) e d Contorno de Bromwich: Na prática a integral em (FI) é transformada numa integral de contorno Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 48

4 f ( t) e F( ) d C B onde C B = {e = γ}é o contorno de Bromwich; Tem-se que T =(R γ ) / donde T se sé se R, donde it f ( t) lim i e F( ) d lim i e F( ) d i e F( ) d R it R C B OBS: Condição suficiente para que a integral sobre convirja para ero quando R: F( ) O( ) (CS) para algum >. Esta condição sempre ocorre quando, por exemplo, F()=p()/q(), para p e q polinômios com grau(p) < grau(q). Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 49

5 Aplicação do teorema dos Resíduos à Inversão da Transformada de aplace: Se as singularidades de F() são pólos (ordem finita) à esquerda de uma reta e()= e, além disso, tivermos no contorno de Bromwich, então Exemplo: Calcule e F( ) d, qdo. R f ( t) Re s( e F( ) : ), pólo de F( ). [ ]( t), a. s a Tem-se que F(s) = p(s)/q(s) com a pólo simples e grau(p)= < =grau(q). Então F atende a condição suficiente (CS), donde e e at [ ]( t) Re s( : a) a ( a) lim( a) e. s a a a a Exemplo: Calcule [ ]( t). ( s)( s) Tem-se que F atende (CS), donde e [ ]( t) Re s( : ) ( s )( s ) ( )( ) Polos de e F(): e e ( ordem ) Re s( e F( ) : ) a lim( ) ( )( ) 9 Assim, d e ( ordem ) Re s( e F( ) : ) a lim [( ) ] d ( )( ) d e te ( ) e t lim ( ) lim ( ) e d ( ) 3 9 t t Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 5

6 t e [ ]( t) ( t ). ( s)( s ) 3 3 Exemplo: Calcule s [ ]( t). 3 ( s) ( s) e Polos de : 3 ( ) ( ) d e ( ordem 3) Re s( e F( ) : ) lim! [ ] a d ( ) d ( t) e ( ) e ( ) d ( t) e ( ) e ( ) lim [ ] 4 lim [ ] 4 d ( ) d ( ) 3 d ( ) te e ( ) lim [ 4 ] d ( ) [( )( ) te e ]( ) e [( ) t( ) ]4( ) ( ) 4 3 lim 8 t t 4 t 3 6 t 5 t 7 t [( t)4te e ] e [ 4 t]4( ) ( t) te e te 8 8 t t t t t t t ( t) te e te te t e e te t t ( ). 3 e d e ( e te )( ) 3 e ( ) ( ordem) Re s( e F( ) :) lim [ ] lim[ ] 3 6 d ( ) ( ) 3 t t t ( t) e 3. e ( t) t 3 t e e e t ( ). De modo que, Exemplo: Calcule s t [ ]( t) ( t ) e (t ) e. ( s) ( s) t [ ]( t). ( s ) OBS: ( s ) ( s i) ( s i) Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 5

7 e Pólos de ( i) ( i) : d e te ( i) e ( i) i i 4 i ( ordem) Re s( e F( ) : i) lim [ ] lim[ ] d ( i) ( i) it it 4te 4ie t(cos t isen t) i(cost isen t) ( t cos t sent) i(cost tsen t) 4 d e te ( i) e ( i) i i 4 i ( ordem) Re s( e F( ) : i) lim [ ] lim[ ] d ( i) ( i) it it 4te 4ie [ t(cost i sen t) i(cost i sen t)] [( t cost sen t) i( t sent cos t)] ogo, [ ]( ) [sen cos ]. ( s ) t t t t Funções Plurívocas e Pontos de Ramificações: Dado, a função f ( ) (cos isen ), Arg associa a cada dois valores distintos, ; (cos isen ), [cos( ) isen( )] De modo que, não é uma função unívoca (ou seja, univalente). Ela é uma função multívoca a dois valores (bivalente). Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 5

8 plano plano w Definição: Um ramo de uma função multivalente f é uma função univalente que é analítica em alguma região e cujos valores em cada ponto dessa região coincidem com os valores de f. Exemplo: A função f ( ) (cos isen ), i f é { re : r } é um ramo da função f (). A região de analiticidade de Tem-se que no eixo-real negativo ],[, f nem sequer é contínua uma ve que ; De modo que, i se f ( ) i r, e se, f ( ) i r, re. lim f ( ),. Definição: O eixo-real negativo { re i : r } f()= e a origem é um ponto de ramificação de f()=. OBS: Todo os pontos do semi-eixo { re i : r } são pontos singulares não são isolados. é denominado um corte da ramificação de são pontos singulares de, e portanto A função f ( ) cos isen, 3, é um segundo ramo de. Tem-se que, ], [ ; Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 53

9 ( ) ( ) f( ) cos i sen cos( ) isen( ) cos isen f ( ) Na verdade, existe um número infinito (enumerável) de ramos dados por f ( ) cos isen,( ) ( ),. OBS: Pode-se usar qualquer outra semi-reta { re i : r } como corte de ramificação. Neste caso, os ramos podem ser dados por f ( ) cos isen,( ) ( ),. Vamos relembrar a seguinte Definição:,o -ésimo ramo da função logaritmo de é dado por log log i arg,( ) arg ( ). A função valor principal de log é dado por onde Arg é o argumento principal de og log i Arg ; Arg OBS: log log( i i re ) log r log( e ) log r i. Definição: A função multivalente ogaritmo de um número complexo é uma família infinita enumerável de funções dada por todos os ramos; Propriedades: og {log : } {log iarg i : }. (P) i og é descontínua sobre o corte { re : r }. (P) i og é analítica { re : r } e d log,. d (P3) Um ramo difere de qualquer outro por um múltiplo inteiro de. Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 54

10 Com isto podemos definir a seguinte função que esclarecerá porque a função não pode ser definida em. Definição:,, defini-se a função como sendo a coleção infinita enumerável de todos os ramos log ( ) e,( ) arg ( ),. O valor principal de é dado pela função og e,. Propriedades:, e um particular ramo log ; (P) é analítica onde log é analítica. (P) d d. (P3). (P4) (P5) ( i) ( ) e,p/ algum.. Aplicação ao calculo de integrais: Exemplo: Calcule a família de integrais impróprias p x I( p) dx, p. x Complexificando o integrando obtem-se a função Então, sobre o semi-eixo { re : r } p f ( ), p. p ( ) p ( p)log ( p)[log i ] ( p)log i( p) e e e e,,,, De modo que, é ponto de ramificação. Tomando como corte de ramificação o semi-eixo { re : r } e integrando f () sobre o seguinte contorno fechado Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 55

11 Tem-se que o integrando possui um pólo simples em int( C) com p Re s( f ( ) : ) lim( ) ( ) ( e ) e ( ) Aplicando o Teorema dos Resíduos, obtem-se que Por outro lado, tem-se que C C p d i( p) ie. p i p i( p) p p p p p d d d d d AB BC CD DA { re : r } OBS: Sobre tem-se que, Sendo assim, obtem-se que xe iarg x,sobre AB xe,sobre CD x ( Re ) ( xe ) ( re ) x Re xe re R p i p r p i p i i ( p) i dx ire d dx ire d ie i i r R OBS: Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 56

12 ( p) i ( p) i ( p)log Ri( p) i log R i( p) i p p ( R e ) ir e e ir e e e R ie R R i i i i R e R e R e Re R M M,para R, M. p R M Como se tem Então ( re ) ire e d ir d ;onde re ( re ) r,se r. re re i p i ip p i i i i ( Re ) ire M M d d, qdo. R. Re R R i p i i p p e ie ie d d d d, qdo. r. re re re r r ip ip i i i De modo que, passando os limites r, R, obtém-se que x e x dx dx ie x x p i( p) p ( p) i Ou seja x x e ( e ) dx ie dx x x ( e ) e e p p i ( p) i ( p) i( p) i ( p) i ( p) i ( p) p x i i dx i i p i i p i p i p x e e e e e e sen p Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 57