Análise Matemática IV Problemas para as Aulas Práticas

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1 Análise Matemática IV Problemas para as Aulas Práticas 4 de Abril de 5 Semana 3. Determine os valores dos seguintes integrais: a) z dz em que é o semicírculo percorrido em sentido directo unindo i a i. b) zcos z dz em que é o segmento de recta unindo a πi. (a) Uma parametrização possível para é z(θ) e iθ, π θ π pelo que z dz π/ π/ e iθ ie iθ dθ 8i (b) Uma parametrização possível para é pelo que zcos z dz z(t) it, t π π itcos ( t )i dt sen (π ) Note-se que atendendo ao facto da função zcos z ser analítica na região interior a (de facto é uma função inteira), podemos utilizar o Teorema Fundamental do álculo para concluir que zcos z dz sen πi z sen (π ). onsidere o caminho γ que consiste no segmento de recta unindo o ponto inicial ao ponto final e iπ/4, e considere também o caminho γ entre esses mesmos pontos dado pela parábola t t + it. a) alcule, utilizando a definição, γ k e z dz, com k,. b) alcule γ k z dz com k,.

2 Análise Matemática IV c) omente os resultados que obteve nas alíneas anteriores. Observe-se primeiro que e iπ/4 + i. om t [, ], parametrizações possíveis são: γ (t) ( t) + t( + i) t + ti e γ (t) t + t i. a) b) e e γ z dz γ z dz γ e z dz γ e z dz e t(+i) ( + i) dt e t(+i) e +i e t+it ( + ti)dt e t+it e +i (t ti) ( + i)dt ( i) ( + i) t3 3 (t t i) ( + ti)dt ( i) 3 (t + 3t 4 it 5 ) dt 4 5 i 3 c) A função z e z é holomorfa em e portanto o integral é independente do caminho (consequência do Teorema de auchy). Pode-se notar ainda que nestas condições é válido o Teorema Fundamental e portanto e z dz e z +i e +i γ 3. Seja alcule Por outro lado, a função f(z) z não é holomorfa em nenhum ponto de (porquê?), e portanto os integrais sobre caminhos homotópicos podem depender dos caminhos, o que sucede no presente exercício. f(z) z +i exp[( + i)log z], z > e < argz < π z onde a curva é percorrida no sentido positivo. f(z) dz omeçamos por notar que a função integranda não é analítica no semi-eixo real negativo. Uma parametrização possível para a curva será z(t) e it com < t < π. Assim π f(z) dz exp[( + i)log z(t)]z (t) dt z π π exp[( + i)it]ie it dt ie t dt ( ie t ) π π i( e π ) iexp[( + i)it + it]dt

3 Análise Matemática IV 3 4. Seja γ(t) Re it para t π. Mostre que se R >, então z z 4 + 5z + 4 dz R(R + ) π (R )(R 4) Utilizando a parametrização sugerida z z 4 + 5z + 4 dz γ como se queria mostrar. γ π π π π π R e t R 4 e i4t + 5R e it + 4 Rieit dt R e t R 4 e i4t + 5R e it + 4 Rieit dt R e t + (R e it )(R e it 4) R dt (R + )R ( R e it )( R e it 4 ) dt (R + )R (R )(R 4) dt π R(R + ) (R )(R 4) 5. Seja a elipse z πi + z πi 7π, percorrida no sentido positivo. alcule ze z (a) z3 cosh z dz (b) z i dz (c) z + π dz (d) z (z πi) dz (e) dz z (z πi) 3 (f) cos z (z iπ) dz (a) Dado que z 3 cosh z é uma função inteira e é uma curva fechada, regular e simples, podemos usar o Teorema de auchy e concluir que z 3 cosh z dz (b) A função ze z z i é o quociente de funções inteiras, pelo que será analítica no conjunto \ {z : z i }, ou seja em \ { i }. Resta-nos averiguar, qual a posição do ponto i relativamente à elipse. Atendendo a que i iπ + i πi 3π < 7π 3π + π

4 Análise Matemática IV 4 tem-se que i pertence à região interior a. Dado que ze z é uma função inteira e é uma curva fechada, regular e simples, aplicando a fórmula integral de auchy obtemos ze z z i dz πize z zi/ πe i/ (c) A função é analítica em \ { πi, πi}, e atendendo a que z + π πi πi + πi πi π < 7π/ e πi πi + πi πi 5π > 7π/ tem-se que πi não pertence à região interior a e πi pertence à região interior a. Escrevendo z + π dz z+πi z πi dz e atendendo a que a função é analítica na região interior a, tem-se, por aplicação z+πi da Fórmula Integral de auchy z + π dz πi z + πi ziπ (d) A função z (z πi) πi é analítica em \ {, }, e atendendo a que πi + πi 3π < 7π/ e πi πi + πi πi π < 7π/ tem-se que tanto como πi pertencem à região interior a. Podemos escrever z (z πi) dz z (z πi) dz + z (z πi) dz em que (por exemplo) Então {z : z < } e {z : z πi < } z (z πi) dz z (z πi) dz + z πi z dz + z z πi dz z (z πi) dz Dado que a função z πi é analítica na região interior a, tem-se, por aplicação da Fórmula Integral de auchy para as derivadas (n ) z πi z ( ) z dz πi 6 z iπ

5 Análise Matemática IV 5 Por outro lado, dado que a função aplicação da Fórmula Integral de auchy z z πi dz Finalmente z z z πi é analítica na região interior a, tem-se, por zπi/ dz πi 6 z dz z (z πi) (e) Seguindo os passos da alínea anterior, a função é analítica em \{, πi}, z (z πi) 3 e é fácil de verificar que tanto como πi pertencem à região interior a. Podemos escrever z (z πi) dz 3 z (z πi) dz + 3 z (z πi) dz 3 em que (por exemplo) Então {z : z < } e {z : z πi < } z (z πi) 3 dz z (z πi) dz + 3 (z πi) 3 dz + z z (z πi) dz 3 z (z πi) 3 dz Dado que a função é analítica na região interior a (z πi) 3, tem-se, por aplicação da Fórmula Integral de auchy para as derivadas (n ) ( (z πi) 3 ) z dz πi 3i z (z πi) 3 8π 3 Por outro lado, dado que a função é analítica na região interior a z, tem-se, por aplicação da Fórmula Integral de auchy para as derivadas (n 3) z πi ( ) dz (z πi) 3 z zπi 3i 8π 3 Finalmente 3i dz z (z πi) 3 8π + 3i 3 8π 3 cos z (f) A função é analítica em \ {i} e é fácil de verificar que i pertence à região (z i) interior a. Pela fórmula integral de auchy para as derivadas (n ) cos z dz πi (z i)! (cos zi z)()! πicos i

6 Análise Matemática IV 6 6. onsidere a função complexa definida por f(z) f(x + iy) x y xy + y + i ( x y + xy x ). Justificando pormenorizadamente a sua resposta, determine o valor do integral f(z) (z ) dz, onde {z : z i 4} é percorrida uma vez no sentido directo. omeçemos por analisar o domínio de analiticidade da função integranda f(z), pelo que (z ) necessitamos de saber quais os pontos de onde a func c ao f admite derivada. Sendo Ref u(x, y) x y xy + y e Imf v(x, y) x y + xy x tem-se u x x y, u y y x +, v x x + y, v y y + x É óbvio que todas estas funções são contínuas em R e que as condições de auchy Riemann se verificam para todo (x, y) R. Podemos então concluir que f é uma função inteira, pelo que f(z) é analítica em \ {}. Dado que é uma curva fechada, simples (z ) e regular, e que pertence à sua região interior, por aplicação da fórmula integral de auchy para as derivadas (n ), concluimos f(z) ( u ) (z ) dz πif () πi (, ) + i v x x (, ) πi(4 + i) 7. Teorema de Liouville: Mostre que se f é inteira e limitada então f é constante em. Sugestão: Utilize a fórmula integral de auchy para mostrar que f (z). Seguindo a sugestão, vamos demonstrar que nas condições dadas f (z) para todo z. Visto f ser inteira, podemos aplicar a Fórmula Integral de auchy para concluir que f (z) πi f(w) (w z) dw para qualquer curva de Jordan percorrida uma vez no sentido directo e tal que z pertenca à sua região interior. Em particular f (z) f(w) πi (w z) dw w z R isto é, sendo a circunferência de raio R centrada em z. Por outro lado atendendo a que f é limitada, existe M > tal que f(z) M, z

7 Análise Matemática IV 7 Tem-se então que f (z) π w z R f(w) M dw (w z) π Ou seja, dado qualquer número complexo z w z R MπR dw R πr M R f (z) M R, R R+ Visto R ser arbitrário, quando R f (z) f (z) f (z) Seja f u + iv. omo f (z), resulta do teorema de auchy-riemann que todas as derivadas parciais de u e v são nulas para qualquer z, Desta forma, f é constante em.