1 a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II

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1 a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II. Simplifique: [ ] + i a Re + i i b Im 4 i + i 6 i + i d i 4 e eπi i e πi f e +πi. Encontre todos os valores de C tais que: a i 0 b + i + i d e i 8 f 4/. Seja Arg, π < Arg π, o valor principal do argumento de. Determine Arg: a i b i 4i d 4. Represente, no plano complexo, as regiões: a Re[ + i] 0 b Im i 0 i + i d 0 < Arg π e i + + i 4 f Im > + 5. Mostre que +cosθ+cosθ+...+cosn θ sennθ/ cosn θ/, para θ kπ, k Z. senθ/ 6. Para cada uma das funções definidas a seguir por f, determine Ref e Imf em termos de Re e Im. a f b f + i f d f / 7. Obtenha a imagem da região S pela aplicação f: a S C; 0 Arg π 6 e }; f b S C; 0 e 0 Arg π}; f + i S C; ln Re ln 4 e 0 Im π}; f e d S C; e Arg π } ; f i i Encontre os valores de C que satisfaem a equação e. 9. Obtenha os eros de f cosh.

2 a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II UFF - GMA 0. Considere P i + 5 i + 6 4i e Q i + + i + i. Mostre que P e Q possuem as mesmas raíes. Calcule P e Q e conclua que P Q.. Obtenha as raíes de senh + cosh. Re ; 0. Seja f a função definida por f. f é contínua em 0? 0; 0. Seja f. a Mostre que f 0 existe e que f 0 0. b Mostre que 0 0 é o único número complexo tal que f 0 existe. 4. Use o ramo do logaritmo associado a π, π para calcular: a log i b logi log + i d log i e i i f + i i 5. Determine os valores de 0 C para os quais f 0 existe. Determine todos os pontos pertencentes a C em que f é analítica, para: a f e b f f x + iy d f e f Im 6. Determine o conjunto de todos os pontos em que a função f dada por fx + iy y x π + y i é derivável e calcule a derivada de f nesses pontos. Em que pontos f é analítica? 7. Seja f tal que f senh e. Determine o domínio de f e indique em que pontos f é analítica. 8. Encontre uma função analítica f tal que Re f y. 9. Determine todos os pontos pertencentes a C em que a função f definida por f analítica. é 0. Seja f a função dada por fx + iy x + y + ix + y. Encontre os valores de tais que f existe.. Seja u a função real de duas variáveis reais definida por ux, y e y senx + xy. a Encontre uma função v, real de duas variáveis reais, de modo que a função f dada por f u + iv seja analítica. b Expresse f na variável x + iy.. Encontre a função analítica f tal que fπ π e Im[f] e y senx + xy.. Mostre que se a função f dada por f u + iv e se a sua complexa conjugada f u iv são ambas analíticas em um domínio então f é constante neste domínio. 4. Cada uma das equações a seguir descreve uma curva no plano complexo. Esboce a curva e dê a sua orientação.

3 a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II UFF - GMA a + it, 0 t b + t + it, 0 t t + i t, 0 t d + i + e πit, 0 t e e it, 0 t π f t + i, 0 t 5. Calcule 6. Calcule +i i C + d, ao longo do caminho dado por t + + 4t t i, 0 t. f d em cada caso: a f Re, sendo C: o segmento de reta unindo i a + i. b f Im, sendo C: i percorrida uma ve no sentido trigonométrico. f, sendo C: + percorrida uma ve no sentido trigonométrico. e d f, sendo C: percorrida duas vees no sentido trigonométrico. iπ/ e f +, sendo C: percorrida uma ve no sentido trigonométrico. f f e +, sendo C: qualquer curva fechada envolvendo. 4 g f 5 +, sendo C:, percorrida uma ve no sentido trigonométrico. h f e, sendo C: 0, percorrida uma ve no sentido trigonométrico. + i f cosh 4, sendo C: a elipse dada por cost + i sent, 0 t π. j f log +, sendo C:, percorrida uma ve no sentido trigonométrico. k f e, sendo C: 0, percorrida uma ve no sentido trigonométrico Obtenha a série de Taylor em torno de 0 de: a f 0 senω dω b f senh 8. Desenvolva as funções abaixo em série de Laurent em torno de 0. Obtenha o raio de convergência R de cada série. a f e ; 0 0 b f cos ; 0 0 f d f Sugestão para f: use que 4 d 6. 4 ; 0 0 ; Classifique as singularidades isoladas das funções definidas a seguir: e f ; 0 f f 4 ; 0

4 a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II UFF - GMA 4 a f + b f sen π f sen d f e e f cos f f sen g f 4 sen h f e / i f e 4 0. Calcule os resíduos das funções abaixo em 0. a f cos 7 ; 0 0 b f e + sen ; 0 0 f ; 0. Obtenha a série de Laurent de d f cos 6 ; 0 0 e f e / ; 0 0 f f 5 em torno de 0 para: a 0 < < b >. Seja f dada por f senh. a Obtenha e classifique as singularidades de f. b Calcule o resíduo de f em cada singularidade obtida em a ; 0 e t cos. Seja f dada por f π. Obtenha os três primeiros termos da série de Laurent em π torno de π e calcule Resf, π. 4. Obtenha os três primeiros termos da série de Laurent de f 5. Calcule as integrais: π para 0 < π < π. a b π 0 π 0 cosθ 4 cosθ 5 dθ dθ + cosθ + x x 4 + dx 6. Calcule } a L s s 4s + } b L s + s

5 a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II UFF - GMA 5 Respostas. a b d 4 e 4 5 i 5 f e. a e iπ/6 + i ; e 5iπ/6 + i ; i b 4 e iπ/ i ; [ 4 e iπ/8 ] + i ; 4 d + i ; i ; + i ; 4 i ; 5 i ; 6 i e ; + i ; i f. a π 4 + i ; + i ; i b π ; 4 π i d π 4. a e b d f

6 a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II UFF - GMA 6 5. n + cosθ+ cosθ cosn θ coskθ k0 n n r k + s k, r e iθ, s e iθ k0 k0 r n r + sn s e inθ e iθ + e inθ e iθ, θ kπ e inθ e iθ/ e iθ e iθ/ + e inθ e iθ/ e iθ e iθ/ e inθ e iθ/ e iθ/ e iθ/ e inθ e iθ/ i senθ/ 4i senθ/ 4i senθ/ 4i senθ/ senθ/ sennθ/ senθ/ n k0 e ikθ + e ikθ, r e iθ, s e iθ, r, s fórmula da soma de PG + e inθ e iθ/ e iθ/ e iθ/ e inθ e iθ/ i senθ/, θ kπ, θ kπ, θ kπ e inθ e iθ/ e inθ e iθ/, θ kπ e inθ e inθ/ e inθ/ e iθ/ + e inθ e inθ/ e inθ/ e iθ/, θ kπ e inθ/ e inθ/ e in θ/ + e inθ/ e inθ/ e in θ/, θ kπ sennθ/e in θ/ + sennθ/e in θ/, θ kπ e in θ/ + e in θ/, θ kπ 6. a b Re[f] x xy Im[f] x y y Re[f] x y Im[f] xy + sennθ/ cosn θ/, θ kπ senθ/ Re[f] x y x Im[f] 4xy y x Re[f] x d + y Im[f] y x + y 7. a S C; 0 Arg π e } b S C; 0 e π 4 Arg 5π 4 } S C; 4 e Im 0} d S C;, Re 0, Im 0 e + Re Im} 8. k + πi, k Z

7 a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II UFF - GMA 7 9. kπ + π i, onde k Z 0. É claro que as raíes de Q são 0, + i e + i. Como P P P 0, P e Q são polinômios de grau com as mesmas raíes. Além disso, P Q e logo P Q.. kπi, k Z Re. Não: lim lim 0 Re 0, Im0 Re. Mas, lim Re 0, Im0 Re Re lim Re 0 Re. f f0. a lim lim 0 0 b f 0 0 lim. Então, 0 0 f 0 + x 0 0 f 0 lim x 0,x R lim y 0,y R lim 0 lim 0 0 lim 0 + x 0 x 0,x R 0 + iy iy 0 lim y 0,y R Assim, Re 0 i Im 0, logo x Re 0 + x 0 Re 0 e x 0 + y Im 0 + y 0 i Im iy 0 4. a ln iπ 4 b iπ ln + iπ 6 d iπ e e π/ f e i ln π 4 5. a f 0 existe para todo 0 C. Portanto, f é analítica em C. b f não é derivável em nenhum ponto. Consequentemente, f não é analítica em nenhum ponto. Note que f satisfa Cauchy-Riemann em S C, Re Im} pontos da reta. As correspondentes derivadas parciais de primeira ordem são contínuas. Assim, f é derivável nos pontos co conjunto S, mas não é analítica. d f 0 existe para todo 0 0. Logo, f é analítica em 0 C 0 0}. e f não é derivável em nenhum ponto. Consequentemente, f não é analítica em nenhum ponto. 6. f é derivável em C; x + y }. f não é analítica em nenhum ponto. 7. D f C kπi, k Z}. f é analítica em D f. 8. f x xy + iy y + x. 9. C ; + i; i} 0. f só existe em i.. a vx, y e y cosx + y x b f i[e i ]. fx + iy e y cosx + x y + + ie y senx + xy. Use as condições de Cauchy-Riemann. 4.

8 a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II UFF - GMA 8 a e b i d f 6. a + i b 4π 0 7. a 8. a d 4π b n0 n 4n+ 4n + n +! n n, R n! n0 n n n, R n! n0 e 4πi f πie g 0πi h πi e 4 6 5e 6 d b n, R n0 n0 n n+, R n0 n+ n +! e f 6 i 0 j 4πi k πi n n, R n0 k k + k + k + k0 k, R 9. a ±i polos simples b 0, singularidade removível n 0; polo simples nπ, n Z : n ; removível n 0, ; polos duplos d 0 é removível, é polo simples e 0 é essencial f 0 é polo duplo g 0 é essencial h 0 é essencial i 0 é polo duplo 0. a /45 b /. 0 d 0 e 0 f /4

9 a Lista de Exercícios de Métodos Matemáticos II UFF - GMA 9 4 n n b a n0 n0 n n+. a nπi, n Z : n 0 é removível, outras são polos simples. b n nπi. a etπ π ; a 4. a π ; a 0 π ; a π 4 5. a π/6 b tπ + etπ π ; a + tπ + π t π e tπ π Resf, π π π 6. a e t cost b e t + 4t e t 8