Análise Complexa e Equações Diferenciais

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1 Análise Complexa e Equações Diferenciais o Semestre de 07/8 MEC Exercícios para as aulas práticas Conteúdo I Números complexos (8-/9/07) II Números complexos, funções complexas (5-9/9/07) 4 III Transformações conformes e diferenciabilidade de funções complexas (-6/0/07) 6 IV Diferenciabilidade de funções complexas em coordenadas polares, séries de potências complexas, exponencial, logaritmo (9-3/0/06) 7 V Integrais de Funções Complexas, Teorema Fundamental do Cálculo, Teorema de Cauchy, Fórmula Integral de Cauchy (6-0/0/07) 9 VI Séries de Taylor e de Laurent, Teorema dos Resíduos (3-7/0/07) VIII Esboço de campos de direções (6-0//07) 3 IX Edo s escalares de primeira ordem (3-7//07) 4 X Sistemas de edo s lineares de primeira ordem com coeficientes constantes (0-4//07) 5 XI Edo s escalares de primeira ordem, Sistemas de edo s lineares de primeira ordem com coeficientes constantes (7/- 0//07) 9 XII Edo s lineares escalares de ordem superior a um(4-8//07) XIII Séries de Fourier, equação do calor, equação das ondas, equação de Laplace (-5//07) 3 I Números complexos (8-/9/07) Escreva os seguintes números complexos na forma algébrica e representeos no plano de Argand: a) (+i)( i) = 3 i, b) i = +i, c) +i +i = 3 i,

2 d) ( 3i) = 5 i, e) ( i) 3 = +i, f) i 8 = i Determine o módulo e o argumento dos seguintes números complexos e represente-os no plano de Argand: a) 3 = 3E(i0), b) = E(iπ), c) +i = E ( i π 4), d) 3 4i = 5E ( iarctan 3) 4, e) i = E ( i 5π ) 4 3 Verifique as seguintes propriedades do conjugado: a) z = z b) z+w = z+w, c) zw = z w, d) ( z w ) = z w 4 Verifique as seguintes propriedades do módulo: a) z = z b) zw = z w, c) z w = z w, d) z+w z + w, e) z w z w 5 Calcule as raízes cúbicas de 8i e assinale-as no plano complexo Resposta: E ( i π 6), E ( i π ), E ( i 7π 6 ) 6 Determineparaquevaloresde θ, pertencentesaointervalo π, π, se tem +E(iθ) = Resposta: ± π

3 7 Sejam z, z e z 3 três números complexos de módulo unitário satisfazendo z +z +z 3 = 0 Mostre que esses complexos são vértices de um triângulo equilátero Sugestão: Comece por reduzir ao caso em que z = ; verifique que então z e z 3 são conjugados; logo z = ± 3 i e z 3 = 3 i 8 Determine as soluções das seguintes equações: (i) ( z) 6 = (+z) 6 Resposta: 0, ±i 3, ± i 3 (ii) z+z = 0 Resposta: ±i 3 (iii) z 6 z 4 +z = 0 Resposta: ±, E(±i π 4 ), E(±i3π 4 ) (iv) +z+z ++z 7 = 0 Resposta:, ±i, E(±i π 4 ), E(±i3π 4 ) 3

4 II Números complexos, funções complexas (5-9/9/07) Calcule e represente no plano de Argand: 3 ( ) ( ) ( ) a) i Resposta: E i π 6, E i 5π 6, E i 3π b) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Resposta: E i π 4, E i 3π 4, E i 5π 4, E i 7π 4 c) i Resposta: 4 ( ) E i π 8, 4 E ( i 7π ) 8 Verifique se {( 3 z) } = { 3 z } para todo o z C 3 a) Determine a equação da reta que passa por e i Resposta: ( +i)z+( i)z = 0 b) Determine a equação da circunferência que tem centro em e passa por i Resposta: z+ = z +z+z = 0 c) Determine dois pontos da reta ( i)z+(+i)z = 0 Resposta: e i d) Determine o centro e o raio da circunferência z ( i)z (+i)z+ = 0 Resposta: +i e 4 Represente a imagem das duas retas e das duas circunferências por z z : i i 4 i 4 5 Calcule as imagens das regiões R pelas funções f: a) R = {z C : z <, π/4 < argz < π/}, f(z) = z 3 4

5 b) R = {z C : z < }, f(re(iθ)) = 3 re(iθ/3) com π < θ π c) R = {z C : z < }, f(z) = z+ Resposta: { z C : Rz > } d) R = {z C : z < }, f(z) = iz+ z Resposta: { z C : I( i)z > 0 } e) R = {z C : < Rz <, 0 < Iz <, z > }, f(z) = Resposta: { z C : 0 < Rz <, z+ i >, z > } f) R = {z C : Rz >,Iz < 0}, f(z) = z+i Resposta: { z C : z <, z+ i > } 6 Sejam a e b números complexos Prove usando complexos que ( ) z a R = 0 z b z representa a equação de uma circunferência com diâmetro de extremidades em a e b 5

6 III Transformações conformes e diferenciabilidade de funções complexas (-6/0/07) Calcule as imagens das regiões R pelas funções f: a) R = {z C : Rz > 0}, f(z) = z z+ um semiplano num disco) (transformação conforme de b) R = {z C : z < e Iz > 0}, f(z) = ( z z+) (transformação conforme de um semidisco num semiplano) z+ c) R = C\{z = x+i0 C : x,}, f(z) = z (transformação conforme do complemento de um segmento de reta num semiplano) Estude a diferenciabilidade de x+iy e x E(iy) Resposta: A função é diferenciável em qualquer z = x+iy C e com derivada igual à função 3 Estude a diferenciabilidade da função f : C C, definida por f(x+iy) = (x y )+i(xy+cosy) Resposta: f é diferenciável quando y = kπ, com k Z Neste caso, f (z) = z 4 Estude a diferenciabilidade das funções z z, z z z e z z z Resposta: Qualquer das funções é diferenciável apenas em z = 0 e com derivada nula 5 Estude a diferenciabilidade da função f : C C, definida por f(x+iy) = 3 (x+)3 +y +iy Resposta: f (,0) = e f (0,0) = 6 Determineoconjunto dospontos ondeafunção f : C C, definida por f(x+iy) = (x+)e(iy)+i(x )E( iy), é diferenciável Resposta: f é diferenciável quando x = 0 ou quando y = π 4 +kπ com k Z 6

7 IV Diferenciabilidade de funções complexas em coordenadas polares, séries de potências complexas, exponencial, logaritmo (9-3/0/06) Usando a equação de Cauchy-Riemann na forma polar, prove a diferenciabilidade e calcule a derivada de a) z /z n com n N ; b) z n z onde n re iθ = n re iθ/n com π < θ π, onde n N Esta função é diferenciável no eixo real negativo? E em zero? Estude a diferenciabilidade e calcule a derivada da função f : C C, definida por f(re iθ ) = r +iθ para r > 0 e π < θ π, e por f(0) = 0 3 Considere a função f : C\{0} C, definida por f(re iθ ) = (rlnr r )e iθ a) Estude a diferenciabilidade e calcule a derivada de f b) Determine se f pode ser prolongada por continuidade à origem Em caso afirmativo, estude a diferenciabilidade do prolongamento na origem 4 Determine o raio de convergência de a) n=0 zn, Resposta: R =, b) n=0 nzn, Resposta: R =, c) n=0 en z n, Resposta: R = e, d) n=0 n!zn, Resposta: R = 0, e) n=0 n z n, Resposta: R = 4, f) n=0 n ( ) n z n, Resposta: R = 0, g) n= n n 3 z n, Resposta: R = / 5 Esboce a imagem de {z C : 0 < Rz <, 0 < Iz < π} por z e z 6 Obtenha o desenvolvimento em série de potências de sen z 7

8 7 Estude a diferenciabilidade de z log z, onde log(re iθ ) = lnr+iθ com π < θ π é o logaritmo principal 8 Esboce a imagem de {z C : Rz < 0, z > } por z logz onde log designa o logaritmo principal 9 Calcule a) log( i), Resposta: iπ/, b) log( i), Resposta: ln / iπ/4, c) log ( + 3 i), Resposta: iπ/3, d) i i Resposta: e π/, 0 Estabeleça as seguintes identidades (onde z C): a) cos z+sen z =, b) cos(iz) = cosh(z), c) sen(iz) = isenhz, d) sen(z+w) = senz cosw +cosz senw ( e) sen ilog ( iz+ z )) = z Mostre que a função senz é ilimitada em qualquer reta não paralela ao eixo real Resolva as seguintes equações: a) e z =, Resposta: z = i(k+)π, b) log(i z) =, Resposta: z = e+i, ( c) senz cosz = i, Resposta: z = 3π ) 4 +πk iln + 3 ou ( ) z = π 4 +πk iln 3 com k Z 8

9 V Integrais de Funções Complexas, Teorema Fundamental do Cálculo, Teorema de Cauchy, Fórmula Integral de Cauchy (6-0/0/07) Calcule usando a definição a) γzdz onde γ é o segmento de reta que une a +3i r: 6+3i b) γ z dz, onde γ é o arco de circunferência que une 3 a i e que passa por +i r: ( i) c) γ zdz onde γ é o troço de parábola {x+iy C : y = x } com início em 0 e fim em +i r: + i 3 d) z =rargz dz, onde argz designa o argumento principal r: 0 Calcule ao longo de uma curva no primeiro quadrante: a) +i zdz; r: +i b) i (+ z)dz, onde zdesignaaraizprincipal; r: i + 3 c) +iπ/ 0 e z dz; r: +e d) i z dz; r: iπ 3 Justifique que a) z z 0 esenw dw, b) z z 0 sen(w )dw, e c) z senz 0 e w dw são funções bem definidas Calcule as suas derivadas r: e senz, zsen(z 4 ), e cosze senz 4 Calcule a) z = z dz; r: πi; b) z = c) z =3 z dz; r: 0; (z ) (z+4) z πi dz; r: (z ) (z+4) 9 ; 9 ( + i );

10 d) z z =5 dz; r: 0 (z ) (z+4) 5 Calcule a) z =5 b) z = c) z = d) z = e) z =3π dz; r: πi; z +5z+6 (z+) n dz, n Z; r: 0 se n =, πi se n = ; e z (z+) n dz, n Z; r: 0 se n 0, πi (n )! n e se n > 0; dz; r: πi (z ) ; senz z dz; r: 0 6 Seja λ R e considere a função u(x,y) = x 3 λ 3 3xy λ (i) Determine para que valores de λ a função u é harmónica Resposta: λ = 0 ou λ = ± (ii) Considere λ = Determine uma função inteira f tal que f(0) = i e a parte real de f é u Resposta: f(x+iy) = x 3 3xy +i(3x y y 3 +) (iii) Calcule o integral z = f(z) z 4 dz onde a circunferência é percorrida uma vez no sentido direto Resposta: πi 7 Seja f uma função inteira que satisfaz f(z) c(+ z 3 ) para determinado c em R + O que pode afirmar quanto a f? Sugestão: Prove uma generalização do Teorema de Liouville 8 Sejam a C e r > 0 Suponha f é inteira e que o seu contradomínio não intersecta a bola aberta de raio r centrada em a Prove que f é constante 0

11 VI Séries de Taylor e de Laurent, Teorema dos Resíduos (3-7/0/07) Calcule o desenvolvimento em série de Taylor ou Laurent em torno do ponto zero, indicando a maior região onde é válido: a) z z ; r: n=0 zn para z < ; b) z +z ; r: n=0 ( z)n para z < ; c) z +z ; r: n=0 ( )n z n para z < ; d) z ( z) ; r: n= nzn para z < ; e) z log(+z); r: n= f) z e z ; r: n=0 zn n! para todo o z; g) z senz; r: zn+ n=0 ( )n (n+)! h) z cosz 3 ; r: z6n n=0 ( )n (n)! i) z e z r: n=0 ( ) n+ z n n para z < ; para todo o z; para todo o z; n!z n para todo o z = 0; Calcule o desenvolvimento em série de Taylor ou Laurent em torno do ponto a, indicando a maior região onde é válido: a) z z em torno de a; r: n=0 ( )n (z a) n a n+ para z a < a ; b) z z em torno de a = ; r: n=0 (n +)( )n (z ) n para z < ; c) z z (z )(z 3) em torno de a = ; d) z z 3 em torno de a = ; r: (z ) 3 +3(z ) +3(z )+ para todo o z; e) z ez (z a) em torno de a; r: n=0 ea f) z z 5z+6 em torno de a = ; r: n=0 z < ; n! (z a)n para z a > 0; ( ) (z ) n para n+ g) z log(z +z + ) em torno de a = ; r: n=0 ) n+ para z+ < ( ) n n+ (z +

12 3 Calcule a) + b) + c) + 0 d) + 0 x +4 dx = π ; x (x +) dx = π ; x (+x )(4+x ) dx = π 6 dx x 3 + = π 3 3 ; sugestão: integre ao longo de um contorno que contenha um terço de circunferência de raio R e dois segmentos de reta, de zero a R e de zero a Re iπ/3 4 Calcule o desenvolvimento em série de Laurent da função f : C\ {,} C, definida por f(z) = (z )(z ) : a) na região {z C : z < }; resposta: n=0 ( (n+) )z n ; b) na região {z C : < z < }; resposta: n=0 z (n+) + zn n+ ; c) na região {z C : < z }; resposta: n=0 n z n+ d) Calcule z =r f(z)dz para r =, 3 e 5 ; r: 0, πi e 0 5 Em que regiões se pode desenvolver em série z em torno de z i? Resposta: Em 4 regiões, z (+i) <, < z (+ i) < 0, 0 < z (+i) < 3 e z (+i) > 3 6 Calcule z sen z = z dz, com a circunferência descrita no sentido direto Classifique as singularidades da função integrada Resposta: πi 3, singularidade essencial em 0 7 Seja f : C\{0,} C definida por f(z) = log( z), onde log designa o logaritmo principal z 4 a) Desenvolva f emsériedelaurent,emtorno de0 R: n= zn 4 n b) Calcule {z C: Rz <, Iz <} f(z)dz, integrando e série de Laurent e usando a Fórmula Integral de Cauchy R: πi 3

13 VIII Esboço de campos de direções (6-0//07) Esboce os campos de direções e os gráficos das soluções das seguintes equações diferenciais: a) y = y(y ), b) y = y +, c) y = cos(y t), d) y = ty, e) y = y+t y t, f) y = y+t y t, g) y = 4y 6t y 3t Determine as curvas ortogonais às soluções de y = y e esboce-as Resposta: y = t+c 3 Considere y = y Esboce o campo de direções e os gráficos das soluções Determine se as retas y = e y = são assímptotas dos gráficos das soluções ou se as soluções não constantes atingem os valores e Discuta o problema da unicidade de solução Resposta: y = sen(t+c) para t π c, π c As soluções com condição inicial y(t 0 ) = ou com condição inicial y(t 0 ) = não são únicas 4 Esboce o campo de direições de y = y Determine todas as soluções com y(0) = 0 Resposta: Seja c 0,+ Então { 0 se t c, y(t) = (t c) se t c, é solução do problema 5 Esboce o campo de direções e os gráficos das soluções da equação diferencial y = seny Determine as curvas ortogonais aos gráficos das soluções Resposta: cosy = t+c 3

14 IX Edo s escalares de primeira ordem (3-7//07) Determine a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial y(x 0 ) = y 0 a) y xy = xe x Resposta: y = y 0 e x x 0 +e x (x x 0 ) b) y tan(x)y = senx, com x 0 = π + kπ (k inteiro) Resposta: ycosx = y 0 cosx 0 + (sen x sen x 0 ) c) y = e x+y Solução: y = ln(e y 0 e x +e x 0) d) xyy ++y = 0, com x 0 y 0 = 0 Resposta: y = (+y 0 )x 0 x e) (x 3 + xy )+(x y+y 3 )y = 0, com y 0 = 0 Resposta: x 4 + x y +y 4 = x 4 0 +x 0 y 0 +y4 0 f) y +yex +(y+e x )y = 0, com y 0 = e x 0 Resposta: o fator integrante é e x e a solução y ex +ye x = y 0 e x 0 +y 0 e x 0 Considere a equação diferencial ( 4x y+3xy +y 3) ( + x 3 +3x y+4xy ) dy dx = 0 a) Mostre que tem um fator integrante do tipo µ = µ(xy) b) Mostre que a solução com condição inicial y( ) = é dada implicitamente pela expressão x 4 y +x 3 y 3 +x y 4 = 3 Determine a solução de x y xy = xlnx que satisfaz y(e) = e Resposta: y(x) = x (xlnx x+) 4 Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem t+y yy = 0 Verifique que y t é fator integrante Resolva a equação diferencial Resposta: y t 4 3 t3 3 y3 = c 4

15 X Sistemas de edo s lineares de primeira ordem com coeficientes constantes (0-4//07) Calcule a solução de X = AX, com X(0) = X 0, e esboce o retrato de fase dos sistemas: e 3t +e t e 3t e t a) A = Resposta: X(t) = 4 4 e 3t e t e3t +e t X 0 b) A = 4 4 Considere o sistema x y Resposta: X(t) = = a) Determine a solução que vale Resposta: x y = x 0+y 0 e t 4 e 3t 3 e 3t 3 x y x0 y 0 em t = 0 4e 3t 4 3 4e 3t 3 + x 0 y 0 e 3t X 0 () b) Esboce o retrato de fase do sistema, tendo o cuidado de identificar o comportamento assimptótico das soluções quando t tende para + Resposta: 5

16 y x Figura : Retrato de fase do sistema () 3 Considere o sistema x y = a) Determine a solução que vale Resposta: x y = x 0 y 0 e t 5 5 x y x0 y 0 em t = 0 b) Esboce o retrato de fase do sistema Resposta: () + x 0+y 0 e 3t y x Figura : Retrato de fase do sistema () 6

17 4 Considere o sistema x y = a) Determine a solução que vale Resposta: X(t) = x b) Esboce o retrato de fase do sistema Resposta: x y x0 y 0 em t = 0 +(x 0 +y 0 )e t 0 (3) y x Figura 3: Retrato de fase do sistema (3) 5 Para cada uma das seguintes matrizes determine e At e esboce o retrato de fase do sistema X = AX: 0 4 a) A = Resposta: e 4 0 At cos(4t) sen(4t) = sen(4t) cos(4t) 5 3 b) A = Resposta: e At = 3e 4t e t 3e 4t +3e t e 4t e t e 4t +3e t 4 6t 6t c) A = Resposta: e 3 8 At = e t 3t +6t 5 4 cos(t)+sen(t) sen(t) d) A = Resposta: e At = e 3t sen(t) cos(t) sen(t) 7

18 6 Seja Mostre que A = e At = e t cosht 0 senht 0 0 senht 0 cosht 8

19 XI Edo s escalares de primeira ordem, Sistemas de edo s lineares de primeira ordem com coeficientes constantes (7/-0//07) Considere a equação y = t y ty, com y 0t 0 = 0 Seja v = y t Verifique que t y ty = v v e que y = tv +v Determine v e seguidamente y Resposta: 3v = c t 3 e t 3 3ty = c (c = t 3 0 3t 0y 0 ) Considere a equação diferencial ẏ = f(at+by+c) em que a,b,c são constantes reais e f : R R é uma função contínua a) Mostrequeasubstituição v = at+by+c, transformaaequação numa equação separável Resposta: v = bf(v)+a b) Resolva o problema de valor inicial ẏ = e t+y, y(0) = Resposta: y(t) = t ln( t) 3 Calcule as duas primeiras iteradas de Picard para y = t +y com y(0) = 0 Resposta: y 0 (t) = 0, y (t) = t3 3, y (t) = t3 3 + t Considere o problema de valor inicial { y = tany, y(0) = π 4 9

20 Tomando como iterada de Picard de ordem zero y 0 (t) π 4, calcule y (t) e y (t) Qual o domínio de y? Resposta: y 0 (t) = π 4, y (t) = π 4 +t, y (t) = π 4 ( π ) cos ln ln 4 +t, para 3π 4 < t < π 4 5 Considere a equação diferencial dy dx = y 4y +x a) Mostre que esta equação tem um fator integrante µ = µ(y) Resposta: µ(y) = y b) Determine a solução que satisfaz a condição inicial y() = Resposta: y(x) = 6 Considere a matriz A = x+ x +8 cost sent a) Calcule e At Resposta: e At = e t sent cost x x b) Calcule a solução de = A, com y y Resposta: x(t) y(t) = e At x0 y 0 x(0) y(0) = = e t x0 cost y 0 sent x 0 sent+y 0 cost x0 c) Em termos de coordenadas polares, x = rcos θ e y = rsen θ, verifique que o sistema da alínea b) pode ser escrito r = r e θ =, ou seja, dr dθ = r Resolva para r em função de θ Resposta: Substituindo x = rcos θ e y = rsen θ no sistema obtém-se { r cos θ rsen θ θ = rcos θ rsen θ, r sen θ rcos θ θ = rcos θ+rsen θ y 0 0

21 Multiplicando a primeira equação do sistema por cos θ, a segunda equação por sen θ, e adicionando os resultados, vem r = r Finalmente,substituindo r por r numa das equações do sistema, conclui-se que θ = Logo, De dr dθ = r tira-se r = r 0e θ θ 0 dr dθ = dr/dt dθ/dt = r = r y x Figura 4: Esboço da curva descrita por r = r 0 e θ θ 0 no plano (x,y)

22 XII Edo s lineares escalares de ordem superior a um (4-8//07) Determine as soluções de a) y y = 0 Resposta: y = c e t +c e t ; b) y 3y 4y = 0, y(0) =, y (0) = 0 Resposta: y = 5 e4t e t ; c) y +y = 0 Resposta: y = c cos(t)+c sen(t); d) y y +5y = 0 Resposta: y = e t (c cos(t)+c sen(t)); e) y +y +y = 0 Resposta: y = c e t +c te t Determine as soluções de a) y 5y +6y = e t Resposta: y = et +c e t +c e 3t ; b) y 5y +6y = e t Resposta: y = te t +c e t +c e 3t ; c) y 5y +6y = t+te t + Resposta: y = t + 4 (3+t)et +c e t +c e 3t e o aniquilador do o membro é D (D ) ; d) y 5y +6y = sen(t) Resposta: y = sent+cost 0 +c e t +c e 3t eoaniquiladordo o membro é D +; e) y 5y +6y = sen (t) = ( cos(t)) Resposta: y = 04 +c e t +c e 3t e o aniquilador do o membro é D(D +4); + 5sen(t) cos(t) f) y +y 6y = sent+te t Resposta: y = 5 tet + 0 t e t 7sent+cost 04 +c e t +c e 3t e o aniquilador do o membro é (D +)(D ) ; g) y 5y +6y = te t sen(3t) Resposta: o aniquilador do o membro é ((D ) +9)

23 XIII Séries de Fourier, equação do calor, equação das ondas, equação de Laplace (-5//07) Determine a série de Fourier da função f no intervalo especificado: a) f(x) = x; x Resposta: f(x) = π b) f(x) = x ; x π ( ) sen(πx) sen(πx) + sen(3πx) 3 Resposta: primitivando por partes, obtém-se x cos(nx)dx = x n sen(nx)+ n xcos(nx) n 3 sen(nx) Isto conduz a f(x) = π 3 4 cos(x) cos(x) + cos(3x) 3 Seja g : 0, π R, definida por g(s) = sens Determineaexpansão de g em série de cossenos Nota: senscos(ns) = sen((n+)s) sen((n )s) Resposta: sens = 4 π cos(s) 4 cos(4s) 6 cos(6s)+ 3 Determine os valores próprios e as funções próprias do operador D definido no espaço {y C 0,l : y (0) = 0 e y (l) = 0} Resposta: Os valores próprios são λ n = n π, com n N l 0, as funções próprias próprias correspondentes são y n (t) = a n cos ( ) nπt l, com a n C\{0} 4 Determine a solução de u t = 9u xx para (x,t) 0, 0,+, u x (0,t) = 0, u x (,t) = 0 para t 0,+, u(x,0) = 3cos(πx) 5cos(4πx) para x 0, Resposta: u(x,t) = 3e 9 π t cos(πx) 5e 9 4 π t cos(4πx) 3

24 5 Determine a solução de u(x,y) = u xx +u yy = 0 para (x,y) 0,a 0,b, u(0,y) = 0 para y 0,b, u(a,y) = 0 para y 0,b, u(x,0) = 0 para x 0,a, u(x,b) = f(x) para x 0,a Resposta: com u(x,y) = d n = d n senh n= senh ( nπb a ) a a 0 ( nπy a ) sen ( nπx a ), ( nπx ) f(x)sen dx a 6 Resolva o problema u t = u xx +e t senx para (x,t) 0, π 0,+, u(0,t) = u(π,t) = 0 para t 0,+, u(x,0) = u 0 (x) para x 0, π Resposta: com u(x,t) = (c e t +te t )senx+ c n = π π 0 c n e nt sen(nx) n= u 0 (x)sen(nx)dx 7 Determine a solução de u t = u xx +u para (x,t) 0,0 0,+, u(0,t) = u(0,t) = 0 para t 0,+, u(x,0) = 3sen(πx) 7sen(4πx) para x 0,0 Resposta: u(x,t) = 3sen(πx)e ( 4π )t 7sen(4πx)e ( 6π )t 8 Determine a solução de u tt = c u xx para (x,t) 0,l 0,+, u x (0,t) = u x (l,t) = 0 para t 0,+, u(x,0) = f(x), u t (x,0) = g(x) para x 0,l no caso 4

25 a) f(x) = cos ( ) ( 4πx l e g(x) = cos 6πx ) l Resposta: u(x,t) = cos ( 4πct l ) ( cos 4πx ) l + l 6πc sen( 6πct l b) f C 3, g C, f (0) = g (0) = f (l) = g (l) = 0 ) ( cos 6πx ) l Referências LV Ahlfors Complex Analysis, 3rd ed, McGraw-Hill, 979 M Braun Differential Equations and their Applications, An Introduction to Applied Mathematics, 4th ed, Springer, PM Girão Introdução à Análise Complexa, Séries de Fourier e Equações Diferenciais, IST Press, 04 4 LT Magalhães Análise Complexa em Uma Variável e Aplicações, IST, Fevereiro de LT Magalhães Teoria Elementar de Equações Diferenciais, IST, Junho de LV Pessoa Introdução à Análise Complexa, IST, Maio de 008 5