Cálculo Diferencial e Integral II

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral II Teste 1 (versão 1) - 13 de Abril de 19-11: Duração: 9 minutos Todos os cursos excepto LMAC e MEFT Aprete e justifique todos os cálculos 1 Preencha o nome, número de aluno e curso abaixo Numere as páginas do seu caderno de respostas e, à medida que resolver a prova, indique as páginas de resolução de cada pergunta na coluna Páginas da tabela Caso não o faça as suas respostas poderão não ser consideradas 3 Não é permitido o uso de máquinas de calcular durante o teste Nome: Número: Curso: Pergunta Cotação Páginas Classificação 1 (a), 1 (b), 1 (c) 1, 1 (d),, 3, 4 (a), 4 (b), 5, 6 3, Boa Sorte!

2 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral II Teste 1 (versão 1) - 13 de Abril de 19-11: Duração: 9 minutos Todos os cursos excepto LMAC e MEFT Aprete e justifique todos os cálculos 1 Considere a função f : R R definida por ( ) se (x, y) (, ) f(x, y) x + y se (x, y) (, ) a) Indique os pontos de R nos quais a função f é contínua Resposta: A função definida pela expressão é um quociente de polinómios e por ( isso é contínua ) em todos os pontos do seu domínio Portanto a função composta também é contínua nesses pontos, uma vez que é contínua Por fim, as desigualdades seguintes mostram que ( ) x y (x,y) (,) e que portanto f também é contínua em (, ): ( ) x y x y y (x, y) x + y b) Calcule D v f(, ) para um vector arbitrário v (a, b) Resposta: Se v (, ) a função f((, ) + tv) f(at, bt) é dada por ( ) (at) bt se t f(at, bt) (at) + (bt) se t e portanto para qualquer t R temos ( ) a bt f(at, bt) a + b Logo, D v f(, ) d dt f((, ) + tv) t [ ( ) ] a bt a b cos a + b a + b t a b a + b Se v (, ) então f((, ) + tv) f(, ), pelo que D v f(, )

3 [1,] c) Indique em que pontos de R a função f é diferenciável Resposta: A função definida pela expressão é um quociente de polinómios e por ( isso é diferenciável ) em todos os pontos do seu domínio Portanto a função composta também é diferenciável nesses pontos, uma vez que é diferenciável Se no ponto (, ) f fosse diferenciável ter-se-ia de ter, para qualquer v (a, b), D v f(, ) Df(, )v e portanto D v f(, ) teria de ser uma expressão linear em a e b, ao contrário do que se viu na aĺınea anterior Logo, o domínio de diferenciabilidade de f é R \ {(, )} d) Verifique se a função f é contínua no ponto (, ) y Resposta: Nos pontos (x, y) (, ) temos ( ) ( ) f x y cos y x x + y x y ( ) Portanto para quaisquer x e y temos f f f (x, ) 1 e (, y), pelo que y y y não pode ser uma função contínua no ponto (, ) [ ] 5 3 Seja g : R 3 R uma função diferenciável tal que Dg(,, 1) Seja ainda 1 F : R 3 R 3 a função definida por F (x, y, z) (x cos y, x y, z) Calcule a derivada de g F no ponto (, π/, 1) Resposta: A matriz Jacobiana de F num ponto arbitrário (x, y, z) R 3 é e portanto Logo, DF DF (, π/, 1) cos y x y y x cos y 1 D(g F )(, π/, 1) Dg(F (, π/, 1))DF (, π/, 1) Dg(,, 1)DF (, π/, 1) [ ] [ ] Determine e classifique os pontos críticos da função f(x, y) x + xy x Resposta: A matriz Jacobiana de f é Df [ x + y x ] e por isso o único ponto crítico é (, 1), que é a solução do sistema { x + y x

4 A matriz Hessiana num ponto arbitrário (x, y) R é [ ] D f e por isso det D f(, 1) 4 Como o determinante é o produto dos valores próprios, conclui-se que estes têm sinais opostos Logo, D f(, 1) é uma matriz indefinida e por isso (, 1) é um ponto de sela 4 Considere o conjunto A {(x, y, z) R 3 : 1 < x < 1, < y < 1, < z < 1, > 1}, e seja f : R 3 R uma função contínua Escreva uma expressão para f em termos de A integrais iterados da forma: (a) ( ( f(x, y, z) dz)dy)dx; 1 ( 1 ( 1 ) ) Resposta: f f(x, y, z)dz dy dx A 1 1 x (b) ( ( f(x, y, z)dx)dy)dz ( 1 ( 1 1 y ) ) 1 Resposta: f f(x, y, z) dx + f(x, y, z) dx dy dz 1 y A 1 5 Calcule o volume da intersecção de uma bola de raio R > em R 3 com um cilindro de raio r < R cujo eixo passa pelo centro da bola Resposta: Podemos assumir sem perda de generalidade que o centro da bola é a origem e que o eixo do cilindro é o eixo dos zz Em coordenadas ciĺındricas, o volume da intersecção é então dado por V (r) π r π [ 3 R ρ ρ dz dρ dϕ π R ρ ( R ρ ) ] ρr 3 ρ 4π 3 r ρ R ρ dρ [ R 3 ( R r ) 3 Note-se que, como seria de esperar, V () e V (R) 4 3 πr3 ] [3,] 6 Seja g : R n R uma função contínua tal que g (a) existe para qualquer j 1,, n Diga, x j justificando, se é verdadeira a afirmação g é diferenciável em a se e só se D v g(a) Dg(a)v para qualquer v R n [Sugestão: considere uma função que em R x 3 y \ {(, )} seja definida pela expressão x 4 + y ] Resposta: Seja então g : R R a função definida por x 3 y se (x, y) (, ) g(x, y) x 4 + y se (x, y) (, ) Trata-se de uma função contínua, pois x 3 y x 4 + y x y x x4 + y x4 + y x 4 y x x x4 + y x4 + y

5 e portanto (x,y) (,) x 3 y x 4 + y É também claro que e Por outro lado, g g(x, ) g(, ) (, ) x x x g g(, y) g(, ) (, ) y y y x x y y D (a,b) g(, ) t g(ta, tb) g(, ) t t a 3 bt a 4 t + b para qualquer vector (a, b) R \{(, )}, onde os casos b e b devem ser considerados separadamente Deste modo, a função g satisfaz todas as condições da afirmação acima No entanto, g não é diferenciável, uma vez que o ite (x,y) (,) não pode existir e ser zero: g(x, y) x + y (x,y) (,) x 3 y (x 4 + y ) x + g(x, x ) x + x 4 x + x 5 (x 4 + x 4 ) x + x 4 1