ANÁLISE MATEMÁTICA 3 APONTAMENTOS DAS AULAS TEÓRICAS PARTE A ANÁLISE COMPLEXA

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1 ANÁLISE MATEMÁTICA 3 APONTAMENTOS DAS AULAS TEÓRICAS PARTE A ANÁLISE COMPLEXA Maria do Rosário de Pinho e Maria Margarida Ferreira Agosto 2004 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

2 Índice Números Complexos Funções de variável complexa Continuidade Derivabilidade Determinação de funções Holomorfas. Funções Harmónicas Integração Complexa Caminhos e lacetes Integração ao longo de um caminho Homotepias de Lacetes Séries Séries de Números Complexos Testes para Convergência e Divergência de Séries Séries geradas por sucessões de funções Séries de potências Série de Laurent Resíduos. Teorema dos Resíduos

3 Funções de Variável Complexa. Pag. 3 Números Complexos Im b. z z = a + bi = r e i r a Re O conjunto dos números complexos, C, constitui um corpo, com a adição definida por: z + z 2 = (a + a 2 ) + (b + b 2 )i, onde z = a + b i, z 2 = a 2 + b 2 i e o produto definido por: z.z 2 = (a a 2 b b 2 ) + (a b 2 + b a 2 )i O corpo C (= {x+yi}) pode ser identificado com o espaço vectorial R 2. Quando escrevemos C estamos a considerar além da adição a operação produto definida atrás que faz deste conjunto um corpo. Algumas noções topológicas: B r (a) = {z : z a < r} disco aberto (ou bola aberta) de centro a e raio r. D r (a) = {z : z a r} disco fechado de centro a e raio r. U C, U aberto a U r > 0 B r (a) U F C, F fechado C \ F aberto. D C, D convexo Dados 2 pontos quaisquer de D, o segmento que os une ainda está contido em D. A C, A aberto conexo A aberto e dados 2 pontos quaisquer de A, é possível uni-los por uma curva totalmente contida em A.

4 Funções de Variável Complexa. Pag. 4 Sucessão convergente em C Seja {z n } sucessão de elementos de C. z n z 0 def ɛ > 0 p > 0 : n p z n z 0 < ɛ Sendo z n uma sucessão de números complexos, pode ser representada na forma z n = a n + b n i, com a n e b n sucessões de números reais. Seja z 0 = a 0 + b 0 i. Da definição acima resulta que a sucessão z n converge para z 0, se e só se as sucessões reais a n e b n convergirem respectivamente para a 0 e b 0. O estudo da convergência de sucessões de números complexos pode reduzir-se assim ao estudo de convergência de sucessões reais. Exercício: Verificar a afirmação do parágrafo anterior e interpretá-la geometricamente. 2 Funções de variável complexa Seja D um conjunto de números complexos. Uma função f, definida em D, é uma correspondência unívoca, que associa a cada número z em D, um número complexo w. O número w é designado por valor de f em z e é denotado por f(z). O conjunto D é designado por domínio de f. Im f Im. z D Re. w=f(z) Re f : D C D C z f(z) z = x + iy f(z) = Z = X + iy, X = u(x, y) Y = v(x, y) u e v são funções reais, definidas num subconjunto de R 2.

5 Funções de Variável Complexa. Pag. 5 Exemplos: f(z) = z 2 = (x 2 y 2 ) + i2xy Domínio = C x y f(z) = z = i Domínio = C \ {0} x 2 +y 2 x 2 +y 2 f(z) = e z = e x cos y + i e x sin y = zn n! Domínio = C A função e z é uma extensão natural da correspondente função real. Pode ser definida através daquela série, como iremos estudar mais tarde, com uma forma semelhante à correspondente série para a exponencial real. A seguinte propriedade continua a ser satisfeita no conjunto dos números complexos: e z +z 2 = e z e z 2, z, z 2 C No entanto, (e z ) z2 e z z 2 para algum z, z 2 Para o verificarmos basta considerar z = 2πi, z 2 = π: (e z ) z 2 = (cos 2π) π = e e z z 2 = cos 2π 2 + i sin 2π 2 que são diferentes números complexos. A partir da função exponencial complexa definem-se extensões das funções trignométricas reais ao conjunto dos números complexos: sin z = eiz e iz 2i cos z = eiz + e iz 2 Quando z é real (componente imaginária nula), estas funções coincidem com as correspondentes reais. As restantes funções trignométricas complexas podem ser definidas em termos do sen e cos, na forma usual: tan z = sin z cos z, cos z cot z = sin z, sec z = cos z, sec z = sin z Exercício Verifique para estas funções algumas das propriedades conhecidas para as correspondentes funções reais (fórmula da soma, da diferença...).

6 Funções de Variável Complexa. Pag Continuidade Im f Im. z 0 Re. A Re f : D C C, z 0 = x 0 + iy 0 lim f(z) = A z z 0 def ɛ > 0 δ > 0 : 0 < z z 0 < δ e z D f(z) A < ɛ f contínua em z 0 def ɛ > 0 δ > 0 : z z 0 < δ e z D f(z) f(z 0 ) < ɛ f contínua em z 0 lim z z 0 f(z) = f(z 0 ) f contínua em D f contínua em z 0, z 0 D Considerando a representação de f em termos das suas componentes, real e imaginária: f : D C C x + iy u(x, y) + iv(x, y) u e v são funções definidas num subconjunto de R 2 e com valores em R. A continuidade de f pode ainda ser expressa em termos da continuidade das funções u e v: f contínua em z 0 u(x, y) e v(x, y) são contínuas em (x 0, y 0 ) Exercício: Exemplo Verifique este resultado. Interprete-o geométricamente. f : C C z z f é contínua. De facto,

7 Funções de Variável Complexa. Pag. 7 () ɛ > 0 δ = ɛ : z z 0 < δ f(z) f(z 0 ) = z z 0 = (z z 0 ) = z z 0 < δ = ɛ, ou: (2) u(x, y) = x e v(x, y) = y são funções contínuas. 2.2 Derivabilidade Seja f : A C C, A aberto de C. f derivável em z 0 A def f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 existe e é finito. Se existir e for finito, lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = f (z 0 ) Exemplos f(z) = z f (z) =, z C f (z) = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = lim z z0 z z 0 z z 0 = = lim z z0 = f(z) = z 2 f (z) = 2z, z C f (z) = z 2 z0 2 lim = lim z + z 0 = 2z 0 z z 0 z z 0 z z 0 Uma definição alternativa para derivabilidade, equivalente à anteriormente dada, é a seguinte: f derivável em z 0 A α C r : A C contínua em z 0, com r(z 0 ) = 0, tal que f(z) = f(z 0 ) + α(z z 0 ) + r(z) z z 0 z A A constante α da expressão representa a derivada da função no ponto em questão. Exemplos f(z) = z = z 0 +.(z z 0 ) α = r(z) = 0 z C f(z) = z 2 = z z 0 (z z 0 ) + r(z) z z 0 α = 2z 0 r(z) = (z z 0) 2 z z 0 se z z 0 e r(z 0 ) = 0

8 Funções de Variável Complexa. Pag. 8 Como é usual define-se derivabilidade num conjunto através da derivabilidade em cada ponto do conjunto: f derivável em A def f derivável em z, z C A continuidade de uma função de variável complexa é equivalente à continuidade das funções componentes, real e imaginária. E no que se refere à derivabilidade? Antes de responder a esta questão analisemos a seguinte função complexa: f : C C z z ( x + iy x iy) f não é derivável na origem, z = 0. De facto, f(z) f(0) lim z 0 z 0 z = lim z 0 z não existe Im f Im. Re. -. Re lim z 0, z=x, x real z z = lim x 0 x x = lim z 0, z=iy, y real z z = lim y 0 iy iy = lim y 0 = Da existência de limites distintos conclui-se a não existência de limite da função no ponto z = 0. Uma outra forma de obtermos a mesma conclusão seria estudarmos o limite com a variável z expressa na forma polar:

9 Funções de Variável Complexa. Pag. 9 lim z 0 z z = re iθ re iθ = e 2iθ Para cada θ = θ 0, a função é constante. Geométricamente isto significa que a função é constante ao longo de semi-rectas com origem na origem dos eixos ( excluindo a origem). É possível considerarmos pontos tão próximos da origem quanto quisermos, com ângulos polares muito distintos, e portanto onde a função toma também valores muito distintos. Assim, não pode haver limite. Conclusão: Do exemplo anterior somos levados a concluir que, ao contrário do que acontecia com a continuidade, a diferenciabilidade das funções componentes u(x, y) e v(x, y) não garante a derivabilidade da função complexa f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). No caso analisado, f(z) = z, vem u(x, y) = x e v(x, y) = y que são diferenciáveis em (0, 0). No entanto f não é derivável em z = 0, como foi verificado. Será que outras ou mais algumas propriedades de u(x, y) e v(x, y) permitem obter conclusões sobre a derivabilidade de f? Relações de Cauchy-Riemann Teorema 2. f : A C C, A aberto de C, z 0 A A função f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) é derivável em z 0 = x 0 + iy 0 se e só se: u(x, y) e v(x, y) são diferenciáveis em (x 0, y 0 ), u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) [ Relações de Cauchy-Riemann] No caso de existir, f (x + iy) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) Outras Expressões para a Derivada f (z) = u x i u y = v y + i v x = v y i u y Demonstração. = Suponhamos f(z) derivável em z 0. Isto equivale a afirmar que, f(z) = f(z 0 ) + α(z z 0 ) + r(z) z z 0 z A ()

10 Funções de Variável Complexa. Pag. 0 para alguma constante α C e alguma função, r : A C, contínua em z 0, com r(z 0 ) = 0. Sejam, α = α + iα 2 e r(z) = r(x + iy) = r (x, y) + i r 2 (x, y). Separando as componentes real e imaginária da equação que define f(z), vem: u(x, y) = u(x 0, y 0 ) + α (x x 0 ) α 2 (y y 0 ) + r (x, y) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 v(x, y) = v(x 0, y 0 ) + α 2 (x x 0 ) + α (y y 0 ) + r 2 (x, y) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 Ou, de forma equivalente: () u(x, y) = u(x 0, y 0 ) + (α, α 2 )(x x 0, y y 0 ) + r (x, y) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 (2) v(x, y) = v(x 0, y 0 ) + (α 2, α )(x x 0, y y 0 ) + r 2 (x, y) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 com lim r (x, y) = (x,y) (x 0, y 0 ) lim r 2(x, y) = 0 (x,y) (x 0, y 0 ) Mas as equações () e (2) afirmam que u e v são diferenciáveis com derivadas parciais: u x (x 0, y 0 ) = α u y (x 0, y 0 ) = α 2 v x (x 0, y 0 ) = α 2 v y (x 0, y 0 ) = α E portanto, f (z 0 ) = α = α +iα 2 = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). As relações de Cauchy-Riemann estão também verificadas. = Suponha-se agora que as funções u e v são diferenciáveis em (x 0, y 0 ) e as equações de Cauchy- Riemann são satisfeitas. tomando valores em R, tem-se: Por definição de diferenciabilidade para funções definidas em R 2 e r (x, y), r 2 (x, y) contínuas em (x 0, y 0 ), com r (x 0, y 0 ) = r 2 (x 0, y 0 ) = 0, tais que: ( u (3) u(x, y) = u(x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 ), u ) y (x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ) + r (x, y) (x, y) (x 0, y 0 ) ( v (4) v(x, y) = v(x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 ), v ) y (x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ) + r 2 (x, y) (x, y) (x 0, y 0 ) Designando por α = u x (x 0, y 0 ) e α 2 = v x (x 0, y 0 ), as relações de Cauchy-Riemann permitem escrever as expressões (3) e (4) para u e v na forma anterior () e (2). Multiplicando a equação

11 Funções de Variável Complexa. Pag. (2) por i e somando à equação () obtém-se a equação para f(z), provando desta forma que f é diferenciável em z = z 0. Exemplos u f(z) = z = x iy x = v = (x, y) y f não é derivável em qualquer ponto z C. f(z) = z 2 é derivável z C. Exercício:. Seja f : A C C, onde A aberto de C, f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Considere z 0 A, z 0 = x 0 + iy 0 0. (a) Suponha que f é derivável em z 0. Considere as funções u e v expressas em coordenadas polares usando para isso as igualdades x = r cos(θ) e y = r sin(θ). Mostre que estas funções são ainda diferenciáveis, como funções de r e θ, e que onde z 0 = r 0 exp(iθ 0 ). u r (z 0) = u x (z 0) cos(θ 0 ) + u y (z 0) sin(θ 0 ) u θ (z 0) = u x (z 0)r 0 sin(θ 0 ) + u y (z 0)r 0 cos(θ 0 ) v r (z 0) = v x (z 0) cos(θ 0 ) + v y (z 0) sin(θ 0 ) v θ (z 0) = v x (z 0)r 0 sin(θ 0 ) + v y (z 0)r 0 cos(θ 0 ) (b) Mostre que se as funções u e v são diferenciáveis e se as derivadas parciais de u e v, expressas em coordenadas cartesianas (como funções de x e y) satisfazem as Relações de Cauchy-Riemann, então u r (z 0) = r 0 v θ (z 0), r 0 u θ (z 0) = v r (z 0) (2)

12 Funções de Variável Complexa. Pag. 2 (c) Mostre ainda que se as funções u e v, expressas em coordenadas polares, são diferenciáveis e as condições (2) são verificadas, então as funções u e v, expressas em coordenadas cartesianas, são diferenciáveis e as Relações de Cauchy Riemann em coordenadas cartesianas são também verificadas. (d) Verifique que a função f(z) = z (2). é derivável para todo o z 0, utilizando as condições 2. Considere a função ln(z) = ln z +i arg(z), onde arg(z) toma um valor do intervalo [α, α + 2π), para algum α R fixo, definido previamente. Esta função está bem definida para todo o z C\{0}. Considere agora a restricção desta função ao conjunto {z = r exp(iθ) : r > 0, θ (α, α + 2π)}. A função pode ser expressa como ln(z) = u(r, θ)+iv(r, θ) onde u(r, θ) = ln(r) e v(r, θ) = θ. Utilizando o exercício, mostre que d dz ln(z) = z Para funções reais de variável real, e mais geralmente para funções vectoriais de variável vectorial, verificou-se que a diferenciabilidade implica continuidade. estabelecido para funções complexas. A demonstração é semelhante. Resultado similar pode ser f(z) derivável em z = z 0 f(z) contínua em z = z 0 Exercício: Verifique a última implicação. Regras de Cálculo para a derivação de funções complexas de variável Complexa Sejam A, B conjuntos abertos de C. f : A C e g : B C deriváveis em z = z 0 A B. Então: f + g é derivável em z 0 e (f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ) f.g é derivável em z 0 e (f.g) (z 0 ) = f (z 0 ).g(z 0 ) + f(z 0 ).g (z 0 ) f : A C, f(z) 0 z A. Então g(z) = f(z) é derivável em A, e g (z) = f (z) (f(z)) 2 z A

13 Funções de Variável Complexa. Pag. 3 f : A C, g : B C, f(a) B e z 0 A. f derivável em z 0 e g derivável em f(z 0 ) = g f derivável em z 0 e (g f) (z 0 ) = g (f(z 0 )).f (z 0 ) f : A B, f bijecção de A em B. f derivável em z 0 e f (z 0 ) 0 = g(w) = f (w) derivável em w 0 = f(z 0 ) e (f ) (w 0 ) = f (f (w 0 )) = f (z 0 ) f : A C, : I R C e (t 0 ) = z 0. derivável em t 0 e f derivável em z 0 = f derivável em t 0 e (f ) (t 0 ) = f (z 0 ). (t 0 ) ((t) = (t) + i 2 (t), com e 2 funções reais de variável real. Neste caso, (t) = (t) + i 2 (t) Apresentamos em seguida uma definição que caracteriza funções deriváveis em vizinhanças de pontos, excluindo, desta forma, pontos onde a função é isoladamente derivável. Definição 2. Seja f : A C, A aberto conexo de C. f Holomorfa em z 0 A f Holomorfa em A def f é derivável numa vizinhança do ponto z 0. def f é holomorfa em todos os pontos de A (como A é um conjunto aberto, equivale a afirmar que f é derivável em todos os pontos de A). NOTA: Existe uma grande divergência de nomenclatura acerca deste conceito, entre os vários autores que o apresentam. Para alguns, na definição de Holomorfa exigem ainda que a derivada seja contínua. O termo Analítica surge muitas vezes na vez de Holomorfa. Outros designam por função Analítica uma função desenvolvível em série de potências. Todos estes conceitos acabam por ser equivalentes como veremos. Por exemplo, se a derivada existe em cada ponto de A veremos que a derivada será necessariamente contínua. 2.3 Determinação de funções Holomorfas. Funções Harmónicas. Seja f : A C, A aberto conexo de C. f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

14 Funções de Variável Complexa. Pag. 4 Se f(z) é holomorfa em A, tem-se u x = v y e u y = v x Suponha-se que u e v admitem derivadas de segunda ordem contínuas. Derivando a primeira equação em ordem a x, a segunda equação em ordem a y e somando membro a membro as equações obtidas vem: 2 u x u y 2 = 0 e 2 v x v y 2 = 0 ou seja, os Laplacianos das funções u e v são nulos. u e v dizem-se funções Harmónicas. Inversamente, se u é harmónica (real) num conjunto convexo Ω, existe uma outra função harmónica (real), v, definida no mesmo conjunto Ω tal que f = u(x, y) + iv(x, y) é holomorfa em Ω. (Na verdade basta que tal conjunto seja simplesmente conexo. A definição deste conceito será apresentada em breve). Neste caso, v diz-se conjugada de u e fica definida a menos de uma constante. v : v x = u y v = u y x x = v(x, y) = x 0 u y + C(y) Exemplos u(x, y) = x 2 y 2 u x = 2x e u y = 2y. Portanto 2 u x u y 2 = 0. u é uma função harmónica, definida em R 2, convexo. v, conjugada de u: v x v y = 2y = v(x, y) = 2xy + C(y) = 2x

15 Funções de Variável Complexa. Pag. 5 v Derivando a expressão obtida para v(x, y), vem: y = 2x + C (y). Comparando esta expressão com a expressão dada para v y, resulta C (y) = 0. Portanto, C(y) = c, constante. Assim v(x, y) = 2xy + c, e f(z) = (x 2 y 2 ) + i(2xy + c) é uma função holomorfa, para cada valor da contante c. (Importância do domínio de definição) u(x, y) = ln (x 2 + y 2 ) Ω = R 2 \ {(0, 0)} Ω não é convexo (também não é simplesmente conexo) então, 2 u x 2 u x = 2x x 2 + y 2 u y = 2y x 2 + y u y 2 = 2(x2 + y 2 ) 4x 2 (x 2 + y 2 ) 2 + 2(x2 + y 2 ) 4y 2 (x 2 + y 2 ) 2 = 0 A função u é harmónica mas o conjunto Ω não é convexo nem simplesmente conexo. O que falhará na existência de v, conjugada de u? Tentemos determinar v: v : v x = 2y x 2 + y 2 v(x, y) = 2 arctan x y + C(y) v 2x = y x 2 + y 2 Derivando a expressão obtida, por integração, para v(x, y) com a já disponível, podemos concluir que C(y) = c, constante. Portanto v(x, y) = 2 arctan x y + c. Esta função não está definida em Ω como o pretendido. Não é de facto uma conjugada de u nesse conjunto. Questão: Encontrar todas as funções holomorfas cuja parte real depende apenas de x. Pretende-se que u(x, y) dependa apenas de x. Como a função pedida é holomorfa, a sua componente real será harmónica, e portanto: 2 u x u y 2 = 0 2 u = 0 u(x, y) = ax + b, a, b R x2 e a componente imaginária terá então de satisfazer: v : v x = 0 v y = a

16 Funções de Variável Complexa. Pag. 6 Daqui resulta que v(x, y) = ay + c, c constante real. As funções holomorfas pretendidas serão então: f(z) = ax + b + i(ay + c) a, b, c R = a(x + iy) + b + ic = az + D D C Solução: f(z) = az + D a R D C 3 Integração Complexa 3. Caminhos e lacetes. (a) Im. (b) a t b. (t) (t) Re Caminho def aplicação contínua, : I = [a, b] C, de um intervalo fechado I, não reduzido a um ponto, tomando valores em C, continuamente derivável por bocados. Muitas vezes o termo caminho é usado designando não a função em si, tal como foi definido, mas a imagem da função no plano complexo. Na verdade, é possível definir diferentes funções com a mesma imagem. Para muitas aplicações práticas tal confusão não tem consequências. Embora usando diferentes funções para representar uma mesma imagem, os resultados não se alteram. Exemplos Circunferência centrada na origem, de raio : : [0, ] C t e2π it

17 Funções de Variável Complexa. Pag. 7 Im (0) = () =. 0 Re Segmento de recta unindo 2 pontos do plano complexo: : [0, ] C t z 0 + t(z z 0 ) Im. z (0) = z 0 () = z 0. z 0 Re Segmento de recta unindo 2 pontos do plano complexo, percorrido nos dois sentidos: : [0, 2] C t z 0 + t(z z 0 ) 0 t t z + (t )(z 0 z ) t 2 Im. z = () 0 2. z 0 = (0) = (2) Re

18 Funções de Variável Complexa. Pag. 8 As seguintes definições associadas a um caminho surgem naturalmente: (a) (b) origem do caminho extremidade do caminho Um caminho : I = [a, b] C, com (a) = (b) diz-se um lacete. Lacete de origem (a), neste caso. Lacete simples: lacete sem intersecções, excepto origem e extremidade do lacete. Exemplo: Lacete constante : I C t z 0 Se : [a, b] C e 2 : [c, d] C são caminhos que satisfazem 2 (c) = (b), ou seja, a origem de 2 coincide com a extremidade de, chama-se justaposição de e 2, e escreve-se 2, ao caminho: : [a, d + b c] C t (t) a t b t 2 (t b + c) b t b c + d Nota: b t b c + d c t b + c d A imagem do caminho 2 será a reunião das imagens de e 2. A origem de 2 será a origem de e a sua extremidade será a extremidade de 2. (a). Im. (b) = (c).. (t ) (t 2 ) a t t 2 b c b+d-c d Re. (d)

19 Funções de Variável Complexa. Pag. 9 Comprimento de um caminho : [a, b] C Im (a).. (t ).. (t 2 ) (t 3 ). t t 2 t 3... t 0 = a tn = b Re L() = sup a=t 0 <t < <t n=b j (t j ) (t j ) = b a (t) dt Para uma curva qualquer caso exista o supremo, a curva diz-se rectificável. Como um caminho tem, por definição, derivada contínua por bocados, este supremo existe sempre. Comprimento do caminho = L() 3.2 Integração ao longo de um caminho Seja : I = [a, b] C um caminho. Seja f, função complexa, contínua em (I). Então t f((t)). (t) é uma função contínua por bocados em I e é, portanto, integrável.

20 Funções de Variável Complexa. Pag. 20 (a). Im. (b) Re a b f. f( (a)) Im. f( (b)) Re Definição 3. O integral de f ao longo de é o número complexo: f dz = b a f((t)). (t) dt A função integranda, no segundo integral, é uma função de variável real que toma valores complexos. O integral de uma função deste tipo é calculado como a soma dos integrais da parte real e da parte imaginária, ou seja: Se g(t) = g (t) + i g 2 (t), com g (t), g 2 (t) R b a g(t) dt = b a g (t) dt + i b a g 2 (t) dt Exemplos 2π 0 e 2it dt = 2π 0 cos 2t + i sin 2t dt = [ 2 sin 2t]2π 0 + i [ 2 cos 2t]2π 0 = 0 (t) = e it 0 t 2π f(z) = z 2 2π f = (cos t + i sin t) 2 ( sin t + i cos t) dt = = 0 2π 0 2π 0 = [ 3 (cos 2t + i sin 2t)i(cos t + i sin t) dt ( sin 3t + i cos 3t) dt cos 3t]2π 0 + i [ sin 3t]2π 0 = 0 3

21 Funções de Variável Complexa. Pag. 2 Propriedades do integral Se f(z) M z (I) e L = L() é o comprimento do caminho : f(z) dz ML Se = 2, ou seja, é a justaposição dos caminhos e 2, f(z) dz = f(z) dz + 2 f(z) dz Se oposto de 2, então: f(z) dz = 2 f(z) dz Dizer que : [a, b] C é o oposto de 2 : [a, b] C é afirmar que (t) = 2 (a + b t).. Im (a) = (b). (b) = (a) a t b Re Definiu-se do tipo f(z) dz, integral de f ao longo do caminho. Será possível definir um integral z z 0 f(z) dz? Em que sentido? Seja f uma função contínua definida num conjunto aberto, conexo, D e suponhamos que existe uma primitiva de f em D, ou seja, existe uma função F, holomorfa em D, tal que, F (z) = f(z) z D

22 Funções de Variável Complexa. Pag. 22 Neste caso, f(z) dz = b a f((t)). (t) dt = b a (F ) (t) dt = (F )(b) (F )(a) (Verifique!) = F ((b)) F ((a)) = F (z ) F (z 0 ) O integral seria apenas dependente da origem e extremidade do caminho. Assim, se α : [c, d] Cé outro caminho que satisfaz α(c) = (a) = z 0 e α(d) = (b) = z, teríamos f(z) dz = f(z) dz = F (z ) F (z 0 ). α Neste caso, teria sentido definir: z z 0 f(z) dz = f(z) dz = F (z ) F (z 0 ) onde, é um caminho qualquer que satisfaz (a) = z 0, (b) = z Em particular, se é um lacete, f(z) dz = F ((b)) F ((a)) = 0 Contrariamente ao que se poderia prever, uma função contínua não admite necessariamente uma primitiva. Verifiquemos tal afirmação através da análise do seguinte integral: f(z) = z contínua em C \ {0} (t) = e it, 0 t 2π, lacete ([0, 2π]) C \ {0}. f(z) dz = = 2π 0 2π 0. ( sin t + i cos t) dt cos t + i sin t i (cos t + i sin t) cos t + i sin t dt = 2π i Se f(z) = /z admitisse uma primitiva em C \ {0}, o integral calculado seria nulo. Doravante concentraremos a nossa atenção fundamentalmente em funções holomorfas. O resultado que apresentamos de seguida é já estabelecido para funções deste tipo e define uma condição necessária e suficiente para que uma função complexa admita uma primitiva.

23 Funções de Variável Complexa. Pag. 23 Teorema 3. Seja D um conjunto aberto e conexo. Para que uma função f, holomorfa em D, admita uma primitiva em D, é necessário e suficiente que para todo o lacete contido em D ( (t) D, t), se tenha, f(z) dz = 0 Neste caso, toda a primitiva F de f em D pode obter-se da forma seguinte: F (z) = c + α(z) f(u) du onde α(z) é um caminho qualquer contido em D, de origem um ponto fixo, arbitrário, z 0 D e de extremidade z. A diferença entre duas primitivas de f é uma constante. Embora este resultado caracterize o tipo de funções com primitivas, tal caracterização não é nada prática para verificação. Verificar que o integral da função ao longo de todo o lacete é nulo, é tarefa árdua! Funções com primitivas podem ser mais facilmente caracterizadas através do Teorema de Cauchy. Antes de o apresentarmos, e porque tal resultado necessita disso, vamos estudar um novo conceito de características essencialmente geométricas. 3.3 Homotepias de Lacetes Considerem-se dois lacetes e ϕ definidos no mesmo intervalo inicial [a, b]. Im Im Re Re Imagine-se o lacete a deslocar-se no plano complexo, como um todo, continuamente, de forma a no final coincidir com ϕ passando por uma deformação contínua e mantendo sempre a sua condição de lacete.

24 Funções de Variável Complexa. Pag. 24 Im Re (lacete (I), deslocando-se continuamente até coincidir com ϕ(i) sem abandonar a sua condição de lacete, ou seja, qualquer posição intermédia ainda é um lacete.) Se no entanto considerarmos o domínio C \ {i} a passagem de a ϕ sem saltos ou seja, sem descontinuidades, obriga à passagem por um ponto que não pertence ao domínio: i. Im i Re Traduzimos a possibilidade de, por deformação contínua, podermos passar de um lacete a um lacete ϕ num determinado domínio, D, dizendo que ϕ é homotópico, como lacete, de, no conjunto D. Esta ideia geométrica pode ser caracterizada de forma precisa: Definição 3.2 Seja A C, A aberto, e : I C, ( (t) A e 2 (t) A, t I). 2 : I C dois lacetes contidos em A Chama-se Homotepia de lacetes de a 2 em A, a uma aplicação contínua: onde J = [c, d] é um intervalo de R tal que: H : I J A (i) H(t, c) = (t) (ii) H(t, d) = 2 (t) t I

25 Funções de Variável Complexa. Pag. 25 (iii) H(a, s) = H(b, s) s J Neste caso, diz-se que o lacete 2 é homotópico como lacete de. NOTA: Interpretando J como um intervalo de tempo, condições (i), (ii) e (iii) significam respectivamente que, no instante inicial s = c a imagem de H é (t), no instante final é 2 (t) e em cada instante s 0 J, fixo, a imagem de H é ainda um lacete, ou seja s0 (a) = s0 (b). Exemplos A = C (t) = e 2πit 2 (t) = 2e 2πit I = [0, ] Im Re Neste caso 2 é homotópico de e podemos definir a homotepia: H(t, s) = se 2πit t I, s J = [, 2] A Homotepia de lacetes em A é uma relação de equivalência, ou seja: Qualquer lacete é homotópico de si mesmo. 2 homotópico de homotópico de 2 3 homotópico de 2 e 2 homotópico de 3 homotópico de A segunda propriedade permite-nos simplificar a linguagem dizendo apenas, e ϕ são homotópicos como lacetes sem estar a explicitar quem é homotópico de quem. Torna-se indiferente, uma vez que se o primeiro é homotópico do segundo, também o segundo será homotópico do primeiro.

26 Funções de Variável Complexa. Pag. 26 Exemplo: Im. Re (t) = e 2 it (t) = e 2πit t [0, ] O lacete (I) pode ser deformado continuamente, de maneira a que no final se obtenha um lacete reduzido a um ponto, a origem. Homotepia: H(t, s) = ( s)e 2πit t I = [0, ], s J = [0, ] s = H(t, ) = 0.e 2πit = 0, t. Diz-se que um lacete contido em A é lacete, em A, a um lacete constante. homotópico a um ponto, em A, se é homotópico como Exemplo: Im. z0 Re A = C \ {0} O lacete (I) não é homotópico, como lacete, a z 0, em A. A deformação contínua de (I), necessária para se reduzir a esse ponto, obriga à passagem pelo ponto 0 que não está em A. Definição 3.3 Um conjunto aberto conexo A C é simplesmente conexo se todo o lacete em A é homotópico a um ponto de A. ( O interior de qualquer lacete simples em A ainda está em A.)

27 Funções de Variável Complexa. Pag. 27 Exemplos Conjuntos simplesmente conexos: C; {z : z < }; C \ {z C : z = x, x R 0 } Conjuntos não simplesmente conexos: C \ {0}; C \ {0, i}; {z : < z < 4} Teorema 3.2 (Teorema de Cauchy) Seja A C, um conjunto aberto conexo. Seja f uma função holomorfa em A. Se e 2 são dois lacetes contidos em A e homotópicos como lacetes em A, então: f(z) dz = f(z) dz Em particular, se A é simplesmente conexo, para todo o lacete contido em A tém-se: f(z) dz = 0 Considerando o que foi dito acerca da existência de primitivas de uma função holomorfa (ver Teorema 3.), podemos concluir: 2 Toda a função holomorfa, definida num conjunto simplesmente conexo, admite uma primitiva O teorema de Cauchy permite ainda, em muitas situações, simplificar o cálculo do integral, como o exemplo seguinte demonstra. Exemplo: Calcular z dz, onde é o quadrado de vértices + i, i, i, + i, orientado no sentido directo (contrário aos ponteiros do relógio). Im i - Re - i

28 Funções de Variável Complexa. Pag. 28 ϕ(t) = e 2πit t [0, ] ϕ (t) = 2πi e 2πit O lacete é a justaposição dos caminhos que constituem os 4 lados do quadrado. Para calcular o integral pretendido, poderíamos determinar os integrais ao longo de cada um destes caminhos e somar os resultados obtidos. Definir 4 caminhos, calcular 4 integrais e somar. Todo este trabalho pode ser evitado, aplicando o Teorema de Cauchy nos seguintes termos: Considere-se a circunferência centrada na origem, raio e orientada no sentido positivo. A função integranda f(z) = /z é holomorfa no conjunto aberto e conexo C \ {0}. Os lacetes, e a circunferência, estão contidos e são homotópicos como lacetes neste conjunto. Portanto, pelo Teorema de Cauchy: z dz = = = ϕ 0 0 z dz ϕ (t) ϕ(t) dt 2πi dt = 2πi Teorema 3.3 (Fórmula de Cauchy) A, aberto conexo de C. f : A C, holomorfa, lacete simples, orientado positivamente, contido em A e cujo interior ainda está em A. Então, z interior f(z) = 2πi z exterior 0 = 2πi f(u) u z du f(u) u z du Im z. A Re

29 Funções de Variável Complexa. Pag. 29 Desta forma, conhecendo os valores que a função toma sobre, posso determinar o valor de f em qualquer ponto interior a. Exemplos Determine o valor do integral: z+i =3 sin z z + i dz = z+i =3 sin z z ( i) dz Im.- i Re f(z) = sin z é holomorfa em C. z + i = 3, lacete, contém i no seu interior. Se considerarmos o lacete percorrido em sentido positivo vem, pela fórmula de Cauchy: z+i =3 sin z z ( i) dz = 2πi sin ( i) = 2πi e e 2i Resolva o integral: z =2 z 2 + dz = z =2 z i z + i dz Im. i i Re

30 Funções de Variável Complexa. Pag. 30 f(z) = z i z =2 z i z + i dz A função f(z) = é holomorfa em A = C \ {i}. z i z = 2, lacete contido em A, mas o seu interior não está aí contido. Não podemos aplicar a fórmula de Cauchy. Situação análoga ocorreria se tomássemos f(z) = z + i Mas, z 2 + = 2i z i 2i z + i Assim, z =2 z 2 + dz = 2i z =2 z i dz 2i = 2i 2πi. 2i 2πi. = 0 z =2 z + i dz Exercício: Calcular o Integral e z z( z) dz, nos seguintes casos: (i) : z = 2 (ii) : z = 2 (iii) : z = 3 2 Demonstração. [Fórmula de Cauchy] Seja z Interior, e g(u) = f(u) u z : I A A função g é holomorfa em A \ {z}, pois é o quociente de funções holomorfas e neste conjunto o denominador nunca se anula. Seja ɛ a circunferência de centro z e raio ɛ, suficientemente pequeno de forma a que: D ɛ (z) Interior (I) (possível, uma vez que (I), imagem por uma função contínua de um conjunto fechado e limitado, é também um conjunto fechado, logo o seu complementar é um aberto.)

31 Funções de Variável Complexa. Pag. 3 A z. Uma vez que e ɛ são homotópicos em A \ {z}, tem-se: f(u) g(u) du = g(u) du ɛ u z du = ɛ f(u) u z du (3) Mas, Vamos verificar que ɛ resultado pretendido. f(u) u z du = ɛ f(u) u z ɛ f(u) f(z) u z du + f(z) ɛ u z du (4) du = 2πif(z), o que, em virtude da equação (3), dará o Para isso, estudemos cada um dos integrais da equação (4): ɛ u z du = 2π 0 ɛie it ɛe it dt = 2πi ɛ : [0, 2π] C t z + ɛe it Podemos então afirmar já, que: f(u) du = 2πif(z) + u z ɛ f(u) f(z) u z du (5) O integral do primeiro membro não depende de ɛ e no segundo membro a expressão 2πif(z) também não. Podemos concluir que o integral no segundo membro é também independente de ɛ, ou seja, é constante em relação a ɛ. Quando se passa ao limite uma função constante ainda se obtém a constante. Vejamos qual o limite: lim ɛ 0 ɛ f(u) f(z) u z du f holomorfa em A = lim u z f(u) f(z) u z = f (z) Assim, a função u f(u) f(z) u z z f (z) u z

32 Funções de Variável Complexa. Pag. 32 é contínua em A e é, portanto, limitada em qualquer conjunto fechado e limitado, contido em A. Podemos então concluir que em particular, existe uma constante M para a qual f(u) f(z) u z M u D ɛ(z) \ {z} = ɛ f(u) f(z) u z du ML = M2πɛ L = comprimento de ɛ = lim ɛ 0 ɛ f(u) f(z) u z du = 0 e, atendendo à equação (5), = f(u) u z du = 2πif(z) = f(z) = 2πi f(u) u z du Se z Exterior, a função f(u) (na variável u), é holomorfa num conjunto aberto e conexo u z que não contém z. No mesmo conjunto, é homotópico a um ponto. Então: f(u) u z du = 0 A.z A fórmula de Cauchy pode ser generalizada, de forma a incluir ainda as derivadas da função, expressas também em termos de um integral ao longo de um lacete. Tal generalização vai permitir, como aplicação directa, calcular de forma simples uma maior gama de integrais. Antes disso, apresentamos um resultado que caracteriza funções definidas por meio de um integral.

33 Funções de Variável Complexa. Pag. 33 Teorema 3.4 Seja : I = [b, c] C, um caminho em C e seja g : (I) C, uma função definida e contínua em (I). Então, a função f(z) = 2πi g(u) u z du está definida e é indefinidamente derivável em C \ (I), com f (n) (z) = n! 2πi g(u) du (u z) n+ A função g é suposta ser apenas contínua em (I), caminho. Se no entanto, g é holomorfa num aberto conexo A, é um lacete simples, contido em A, cujo interior ainda está em A e z Interior (I), estamos perante condições na presença das quais a Fórmula de Cauchy se aplica, e podemos afirmar que g e f coincidem. O seguinte resultado considera exactamente este caso particular. Teorema 3.5 (Generalização da fórmula de Cauchy) A, aberto conexo de C. f : A C, holomorfa. Então, f tem derivadas de todas as ordens em A que são também holomorfas. As derivadas, num ponto z A, são dadas por: f (n) (z) = n! 2πi f(u) du (u z) n+ onde é um lacete simples, orientado positivamente, contido em A, em A e que contém z no seu interior. cujo interior ainda está A. z NOTA: É de salientar aqui o seguinte facto:

34 Funções de Variável Complexa. Pag. 34 A Fórmula de Cauchy é estabelecida para funções apenas holomorfas em conjuntos abertos e conexos. Ou seja, exige só a derivabilidade da função. E conclui acerca da existência de derivadas de qualquer ordem. Conclusão: Qualquer função complexa, definida num aberto conexo, e derivável nesse conjunto, admite derivadas de todas as ordens no mesmo conjunto Exemplo Determine o valor do integral: z =2 sin (2πz) (z i) 3 dz Im 2 i. i Re f(z) = sin (2πz) é holomorfa em C. z = 2, lacete, contém i no seu interior. Se considerarmos o lacete percorrido em sentido positivo vem, pela generalização da fórmula de Cauchy: z =2 sin (2πz) 2πi dz = (z i) 3 2! f (i) onde sinh z = (e z e z )/2. = πi [ (2π) 2 sin (2πz) ] z=i = 4π 3 i e 2π e 2π = 4π 3 sinh 2π 2i Exercício: Calcular o Integral e z dz, nos seguintes casos: z( z) 3 (i) : z = 2 (ii) : z = 2 (iii) : z = 3 2

35 Funções de Variável Complexa. Pag. 35 Demonstração. [ Teorema 3.4 ] Este Teorema pode ser demonstrado pelo método de Indução Matemática. Para n =, vejamos que f(z) é derivável e a derivada num ponto z 0 C \ (I) f (z 0 ) = 2πi g(u) (u z 0 ) 2 du é dada por: Para isso, façamos o seguinte desenvolvimento: f(z) f(z 0 ) z z 0 2πi g(u) du = (6) (u z 0 ) 2 [ = z z 0 2πi = [ g(u) 2πi = 2πi g(u) g(u) u z du z z 0 ( u z u z 0 z z 0 (u z 0 ) 2 (u z) du ] g(u) du u z 0 ) 2πi (u z 0 ) 2 ] du g(u) (u z 0 ) 2 du Sendo contínua, g é limitada em (I) (porque este conjunto é fechado e limitado). Seja M: g M u (I). Defina-se δ = d(z 0, (I)) > 0. z 0.. (b) (c) δ = inf u (I) = inf u (I) z 0 u d(z 0, u) z 0 u u (I). Logo, ( z 0 u ) 2 δ 2

36 Funções de Variável Complexa. Pag. 36 Considere-se z tal que z z 0 δ. Como pretendo verificar que a expressão (6) tende para 0 2 quando z z 0, posso considerar apenas valores z próximos de z 0. Assim, u z = u z 0 + z 0 z u z 0 z z 0 δ δ/2 = δ/2 = u z Voltando ao desenvolvimento da expressão (6), tem-se 2 δ f(z) f(z 0 ) z z 0 2πi g(u) (u z 0 ) 2 du = 2πi z z 0 2π g(u) M δ 2 2 δ L z z 0 (u z 0 ) 2 (u z) du = LM πδ 3 z z 0 0, quando z z 0 Posso concluir então que, lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 2πi g(u) (u z 0 ) 2 du = 0 f(z) f(z 0 ) lim = z z0 z z 0 2πi g(u) (u z 0 ) 2 du Fica assim provado que, para n =, a derivada de primeira ordem da função f(z) existe e toma a expressão apresentada no Teorema para este caso. A demonstração prossegue, supondo agora que para n = k a derivada existe e a sua expressão toma a forma: (Hipótese de Indução) f (k) (z) = k! 2πi g(u) du (u z) k+ e provando que f (k+) (z) = (k + )! 2πi g(u) du (u z) k+2 (Tese de Indução) Esta parte da demonstração ficará como exercício.

37 Funções de Variável Complexa. Pag. 37 Exemplo Sejam, : [0, 2π] C, (t) = e it e g(z) = (3/2)z + /(2z) A função g é contínua em C \ (I). Não é, no entanto, holomorfa no interior do lacete. Vejamos qual a expressão da função f, neste caso: f(z) = 2πi = 2πi [ 3 2 g(u) u z du = 2πi u u z du u + 2u u z du u(u z) du ] Se z Interior (I), aplicando a fórmula de Cauchy, vem: u u z du = 2πiz u(u z) du = z [ u du ] u z du = 2πi( ) = 0 se z 0 z du = 0 se z = 0 u2 e portanto f(z) = 2πi (3zπi + 0) = 3 2 z. Se z Exterior (I), e portanto f(z) = 2πi Conclusão: u (u z) du = 0 u(u z) du = z [ [ ( z 2πi )] f(z) = u du = 2z 3 z se z < 2 2z ] u z du se z > = z 2πi + 0

38 Funções de Variável Complexa. Pag. 38 Consequências da Fórmula de Cauchy Teorema 3.6 (Teorema de Liouville) Se f(z) é holomorfa em C e limitada, isto é, M > 0 f(z) < M z C então f é constante. Demonstração. Sejam a C, R > 0 e o círculo de raio R, centrado em a. Im ạ R Re Da generalização da fórmula de Cauchy, resulta f (a) = 2πi f(z) (z a) 2 dz = f (a) 2π R é qualquer número real maior que 0. M R 2 2πR = M R Como f é holomorfa em todo o plano complexo, a equação e inequação são válidas para todo R > 0. Aplicando limites, quando R, resulta: f (a) 0 = f (a) = 0 Como a era qualquer elemento de C, f (a) = 0 a C = f constante (f (a) = 0, a C = componentes real e imaginária, u(x, y) e v(x, y), de f, têm derivadas parciais nulas. Assim, tais componentes terão de ser constantes e portanto f é constante.) Exercício Mostre que as funções complexas e z, cos z e sin z não são funções limitadas no plano complexo.

39 Funções de Variável Complexa. Pag. 39 Teorema 3.7 (Teorema da Média) f holomorfa em A C, A, aberto e conexo. Seja a A e {z C : z a R}, um disco fechado, centrado em a e contido em A. Então, 2π 2π 0 f(a + Re iθ ) dθ = f(a) (isto é, o valor de uma função holomorfa num ponto, é a média dos valores da função sobre uma circunferência centrada nesse ponto.) Demonstração. 2π 2π 0 f(a + Re iθ ) dθ = 2πi f(z) z a dz = f(a) onde : [0, 2π] C, (θ) = a + Re iθ. Teorema 3.8 (Série de Taylor) f holomorfa em A C, aberto e conexo. Seja z 0 A e R : {z : z z 0 R} = D R (z 0 ) A. Então, {c n } n N : z B R (z 0 ) f(z) = c n (z z 0 ) n isto é, f é desenvolvível em série de potências em torno do ponto z = z 0. Além disso, c n = 2πi z z 0 =R f(ξ) dξ (ξ z 0 ) n+ O raio de convergência desta série é igual à distância de z 0 à singularidade mais próxima. A generalização da fórmula de Cauchy permite-nos expressar os coeficientes c n, definidos neste resultado, como: f (n) (z 0 )/n!. Em questão : Séries de números complexos. Singularidades. Vai ser este o próximo tema de conversa.

40 Funções de Variável Complexa. Pag Séries 4. Séries de Números Complexos n= a n (a n ) n=,2,3,..., sucessão de números complexos, designa-se por sucessão geradora da série. n S n = a k, Sucessão das somas parciais da série. k= A série diz-se convergente se for convergente a sucessão das somas parciais. soma da série será lim n S n. Neste caso, a Uma série de números complexos diz-se divergente, se não for convergente, ou seja, se for divergente a sua sucessão das somas parciais. Quando se definiu a convergência de uma sucessão de números complexos, verificou-se que tal convergência era equivalente à convergência das sucessões componentes, real e imaginária, da sucessão original. Uma vez que a convergência de uma série corresponde à convergência de uma determinada sucessão, sucessão das somas parciais, o seguinte resultado é facilmente deduzido. (Verifique!) a n = (x n + iy n ) é convergente n= n= são convergentes as sucessões de termos reais x n e y n n= n= 4.2 Testes para Convergência e Divergência de Séries O último resultado apresentado permite reduzir o estudo de séries de números complexos ao estudo de séries de números reais. No entanto nem sempre é fácil decompor uma sucessão complexa nas suas componentes, real e imaginária. Por exemplo, ( + 2i) n. Testes de convergência para séries de números complexos tornam-se assim úteis. Os resultados apresentados em seguida são generalizações dos já conhecidos para séries de números reais. As demonstrações são análogas ou fácilmente deduzidas dessas.

41 Funções de Variável Complexa. Pag. 4 Teorema 4. A sucessão geradora de uma série convergente é uma sucessão convergente para zero. a n convergente = a n 0 Exemplos n= n= ( n 2 + i ) n Série divergente. De facto, a n = n 2 + i n n= ( n + i ) n 2 não é convergente para 0. Série divergente. Apesar de a n = n + i n 2 ser uma sucessão convergente para 0, a série n, série harmónica real, não é convergente. A condição a n 0, é apenas n= necessária. Não é suficiente. Teorema 4.2 A série n= sucessão de Cauchy, ou seja, a n é convergente se e só se a sucessão das somas parciais é uma ɛ > 0 N N : n > N p N S n+p S n = a n+ + + a n+p < ɛ Série absolutamente convergente A série diz-se abolutamente convergente se for convergente a série de termos reais não negativos n= n= a n a n. Teorema 4.3 Se uma série é absolutamente convergente então é convergente Exemplos n= [( ) n ( ) n ] + i 4 4 Série convergente. ( ) n ( ) n + i = 4 4 n= n= 2 ( 4 ) n que é convergente (geométrica, de razão 4 ).

42 Funções de Variável Complexa. Pag. 42 n= i n n Série convergente. i n n = i 2 i i 5 = n= n= [ ( ) n ] 2n + i( )n+ 2n As séries de termos reais : ( ) n 2n e ( ) n+ são convergentes e portanto 2n n= n= a série é convergente. No entanto não é absolutamente convergente: i n n = n divergente n= Absolutamente convergente é uma condição suficiente, não necessária. n= Teorema 4.4 ( Teste de Comparação ) a n série de termos complexos. n= Seja Então, n= n= Exemplo: n= b n a n (2n + i) n uma série de termos reais não negativos, convergente e tal que a n b n n =, 2, é absolutamente convergente. (e portanto, simplesmente convergente) Série convergente. De facto, ( ) (2n + i) n = 2n + i n = n ( 4n 2 + ) n 2 ( ) n 2 e = 2 = série real, geométrica, de razão 2. 2 n= Teorema 4.5 ( Séries Geométricas ) A série geométrica q n = + q + q 2 + q 3 + q 4 + converge se q < e diverge se q. Se q <, a soma da série é q.

43 Funções de Variável Complexa. Pag. 43 Exemplo: ( + i 2 ) n Série convergente, com soma + i. q = + i 2 ; q = 2 2 = 2 2 < ; soma = +i 2 = + i Teorema 4.6 ( Teste do Quociente ) Se a série pode afirmar-se o seguinte: lim n a n+ a n n= = L a n, com a n 0 n, é tal que (a) L < = n= a n (b) L > ou L = = Exemplos converge absolutamente. n= a n diverge. n= ( + i)n n 3 n Série convergente. n= (2i) n n! n n Série convergente. n= i n n Teste não conclusivo. outro teste. A série é de facto convergente, como foi já verificado utilizando Teorema 4.7 ( Teste da Raíz ) Considere-se a série n= a n e suponha-se, lim n n an = L Pode então afirmar-se o seguinte:

44 Funções de Variável Complexa. Pag. 44 (a) L < = n= a n (b) L > ou L = = Exemplos converge absolutamente. n= a n diverge. n= ( ) i n n Série convergente. ( ) + in n n n= Série divergente. ( + i ) n n n= Teste não conclusivo. A série é de facto divergente, como pode ser verificado através doutro teste. Dadas duas séries de números complexos, n= Produto de Cauchy das referidas séries como sendo a série a n e n= b n, define-se o n= c n, onde c n = a b n + a 2 b n + + a n b = n k= a k b n k+ n =, 2,... Teorema 4.8 Se n= a n de Cauchy das duas séries, e n= n= b n são absolutamente convergentes, então também o Produto c n, é absolutamente convergente e ( ) ( ) c n = a n b n n= n= n= Exercício: Mostre que ( ) i n (n + ) é convergente e calcule a sua soma. 2 n=

45 Funções de Variável Complexa. Pag. 45 NOTA: O último Teorema pode ainda ser generalizado da seguinte forma: Se uma das séries, ou b n, é absolutamente convergente e a outra é simplesmente a n n= n= convergente, então o Produto de Cauchy das duas séries, n= c n é simplesmente convergente. Teorema 4.9 ( Propriedade das séries absolutamente convergentes ) u n absolutamente convergente = n= N u n n= u n n=n+ u n n= u n n= Demonstração. A demonstração deste resultado obtém-se facilmente das propriedades da função módulo: n N S n = u k = S N = S n = k= n k= u k S = lim n S n = n= u n () S n S n n n= (2) S N S N S + S k= u n n=n+ u k n= u n u n + S 4.3 Séries geradas por sucessões de funções Para cada n N, defina-se uma função f n (z) com domínio num subconjunto E C e tomando valores em C. Constroi-se desta forma uma sucessão de funções. f n : E C E C z f n (z) n =, 2,...

46 Funções de Variável Complexa. Pag. 46 A partir da sucessão {f n }, considere-se: S = f S 2 = f + f 2. S n = f + + f n S n : E C Fixado z E a sucessão de números complexos S n (z) pode ou não ser convergente. Daqui resulta a convergência ou divergência da série f n (z). n= n= f n (z) Série gerada pela sucessão de funções {f n } A sucessão S n, definida atrás, é designada por sucessão das somas parciais. sucessão de funções. É ainda uma Para cada valor da variável z obtém-se uma série de números complexos. Associada a uma série de funções surge agora um domínio de convergência da série, ou seja, um subconjunto do conjunto E tal que, para cada concretização da variável z por um elemento do subconjunto, obtém-se uma série de números complexos convergente. Exemplo: f n : C C z z n n= z n Para cada z que fixemos, obtém-se uma série de números complexos, geométrica. A série será convergente se z < e será divergente se z. Assim, f(z) = z n é uma função complexa bem definida no conjunto {z : z < }. n= Convergência Uniforme Diz-se que a série f n (z) n= f : B (0) C z z z converge uniformemente num conjunto E C, para a função f(z) se a sucessão das somas parciais, S n (z), converge uniformemente para a função f(z), isto é, ɛ > 0 N N : n N, n N z E S n (z) f(z) < ɛ

47 Funções de Variável Complexa. Pag. 47 Exemplo: n= z n unif. f(z) = z z no conjunto E = {z C : z r}, onde 0 < r <. De facto, n S n (z) f(z) = z k z z = z z n+ z k= = z n+ z z z z r = z z r > 0 z r = z n+ r n+ Logo, S n (z) f(z) rn+ r < ɛ, desde que n > ln (ɛ( r)) ln r Está provada a convergência uniforme no conjunto dado. No entanto a série não é uniformemente convergente no disco aberto {z : z < }. Teste para Convergência Uniforme Teorema 4.0 Considere-se a série (α n ) n=,2,... α n R α n 0 α n convergente n= sup z E f n (z) α n f n (z), z E C. n= = f n (z) n= uniformemente convergente em E As condições do lado esquerdo da última implicação traduzem-se dizendo que a série f n (z) é normalmente convergente. n= Exemplo: Seja 0 < r <, r R e f n (z) = z n E = {z : z < r}

48 Funções de Variável Complexa. Pag. 48 Tome-se α n = r n. Então, α n 0 e α n = Logo, n= sup z E n= n= f n (z) = sup z E r n = r r z n r n = α n z n é uniformemente convergente em E = {z : z < r} Exercício: Verifique que a série é uniformemente convergente no disco z. z n + n 2 + cosh (n z ) Propriedades das séries uniformemente convergentes Teorema 4. Seja n= uniformemente para a função f(z). f n (z), uma série de funções contínuas em E C, que converge Então, a soma da série, f(z), é uma função contínua em E. Demonstração. Seja z 0 E. f contínua em z 0 ɛ > 0 δ > 0 : z z 0 < δ f(z) f(z 0 ) < ɛ Tome-se ɛ > 0. f n (z) uniformemente convergente em E = n= N N : n N, z E S n (z) f(z) < ɛ 3 Em particular, para n = N, S N (z) f(z) < ɛ 3 z E. A função S N (z), soma de funções contínuas, é contínua em z 0. Logo δ > 0 : z z 0 < δ S N (z) S N (z 0 ) < ɛ 3 Assim, para este valor de δ, tem-se: f(z) f(z 0 ) f(z) S N (z) + S N (z) S N (z 0 ) + S N (z 0 ) f(z 0 ) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ

49 Funções de Variável Complexa. Pag. 49 ficando assim demonstrada a continuidade de f. Exercício: Considere a série x 2 + x2 + x 2 + x 2 ( + x 2 ) 2 + x 2 ( + x 2 ) 3 + Verifique que a série não é uniformemente convergente em qualquer intervalo que contenha a origem. Teorema 4.2 (Integração termo a termo de uma série unif. convergente) Seja f n (z), série de funções contínuas em E C, que converge uniformemente para a função f(z). Seja um caminho em E. Então a série f n (z) dz, de números complexos, é convergente e a sua soma é f(z) dz. Demonstração. Seja I n = f 0 (z) dz + f (z) dz + + f n (z) dz = f 0 (z) + f (z) + + f n (z) dz = S n (z) dz onde S n (z) é a sucessão das somas parciais de f n (z). Pretende-se provar: ɛ > 0 N N : n N = I n f(z) dz < ɛ Seja ɛ > 0. I n f(z) dz = S n (z) f(z) dz S n (z) unif. f(z) = [ N N : n N z E S n (z) f(z) < ɛ ] L onde L é o comprimento de.

50 Funções de Variável Complexa. Pag. 50 Logo, n N = Tomando este valor N tem-se, I n S n (z) f(z) dz < f(z) dz < ɛ. ɛ L L = ɛ Exercício: Considere a série n= x [(n + )e (n+)x2 ne nx2] Verifique que n= 0 f n (x) dx 0 n= uniformemente convergente no intervalo dado. f n (x) dx, e portanto que a série inicial não é Teorema 4.3 ( Derivação termo a termo de uma série unif. conv. ) Seja f n (z) convergente em E C, e f(z) a sua soma. Suponha-se que a série g. Então, f (z) = g(z) = f n(z) converge uniformemente em E para uma função contínua f n(z). Caso particular de séries geradas por sucessões de funções: séries de potências. a n (z z 0 ) n a n C, z 0 C constantes 4.4 Séries de potências De uma forma geral, dada uma série convergente, ou seja, E C : n= f n (z), existe um subconjunto de C no qual a série é f n (z) = f(z), z E n= Este conjunto pode ser mais ou menos complexo. No entanto, para séries de potências a n (z z 0 ) n n=

51 Funções de Variável Complexa. Pag. 5 este conjunto é bem simples. z n é convergente em E = {z : z < } e divergente em C \ E n= Im i Re n= ( ) z n z0 é convergente em E = {z : z z 0 < 3} 3i Im 3 ż 0 Re Vamos verificar que a região de convergência de uma série de potências é sempre um disco no conjunto C, que pode coincidir com C, ou reduzir-se a um ponto (casos limite). Exemplos n!z n. Região de convergência: {0} z n. Região de convergência: C n! Teorema 4.4 (Convergência de uma Série de Potências) Considere-se a série de potências a n (z z 0 ) n. Se a série é convergente em z = z z 0, então

52 Funções de Variável Complexa. Pag. 52 (a) Converge absolutamente se z : z z 0 < z z 0 (b) Converge uniformemente se z : z z 0 r < z z 0 Se a série diverge num ponto z = z 2, então diverge se z : z z 0 > z 2 z 0 Im.z Convergente z. 0. z2 Divergente Re Demonstração. a n (z z 0 ) n convergente = a n (z z 0 ) n 0 Toda a sucessão convergente é limitada e portanto M R + : a n (z z 0 ) n < M n N Logo, a n (z z 0 ) n = ( ) z n a n(z z 0 ) n z0 M z z 0 z z 0 z z 0 (a) Para z : z z 0 < z z 0, tem-se z z 0 z z 0 <. A série de termo geral M z z 0 n z z 0 é convergente (série geométrica de razão menor que ). Logo a série de termo geral a n (z z 0 ) n é também convergente (Critério de comparação). Conclui-se (a). (b) Seja r : r < z z 0 ( z z 0 r = a n (z z 0 ) n M r z z 0 n ) n def. = α n