Variável Complexa

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1 Variável Complexa

2 Aula1 Utilizamos o símbolo C para denotar o plano real R 2 equipado com as seguintes operações: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) adição z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2,, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) multiplicação para z i = (x i, y i ) C, i = 1, 2. Temos C, o conjunto dos números complexos, satisfaz as as seguintes propriedades as quais o qualificam como um corpo: 1. Comutatividade: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 e z 1 z 2 = z 2 z 1 z 1, z 2 C; 2. Associatividade z 1 +(z 2 +z 3 ) = (z 1 +z 2 )+z 3 e z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3, z 1, z 2, z 3 C; 3. (Neutro aditivo) 0 = (0, 0) satisfaz 0 + z = z, z C; 4. (Identidade multiplicativa ) 1 = (1, 0) satisfaz 1ż = z, z C; 5. (Simétrico aditivo) para cada z = (x, y) C, existe z = ( x, y) satisfaz z + ( z) = 0; 6. (Inverso multiplicativo) para cada z = (x, y) C diferente de zero, existe 1 z = ( x x 2 + y, y 2 x 2 + y ) satisfaz z 1 2 z = 1; 7. Distributividade: z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 z 1, z 2, z 3 C. Denotando x = (x, 0), vemos que o corpo dos números reais R (ou seja, o conjuntos dos números reais equipado com suas operações usuais de adição e multiplicação) pode ser visto como um subcorpo de C. Denotando i = (0, 1), todo número complexo z tem uma única representação da forma z = x + iy com x, y R. Salvo menção em contrário, quando denotarmos um número complexo z por z = x + iy, estaremos supondo que x, y R. Dizemos que x é a parte real de z (x = re(z)) e y é a parte imaginária de z (y = im(z)). Veja que o número complexo i tem seu quadrado i i igual a -1, isto é, a equação X = 0, possui uma solução complexa. Abaixo, mostramos que toda equação do segundo grau (com coeficientes reais) possui solução complexa. De fato, considere a seguinte equação do segundo grau ax 2 + bx + c = 0 a, b, c R e a 0. 1

3 Se o discriminante D = b 2 4ac for não-negativo, sabemos que a eq. acima possui raiz real; então é bastante estudarmos o caso D < 0. Desta forma, temos que b + i D e b i D 2a 2a são raízes da eq. acima. Em momento oportuno, mostraremos um fato muito mais geral, a saber: Toda equação polinomial com coeficientes complexos possui uma solução complexa. Mais notações. Dado um número complexo z = x+iy, z = x iy é chamado de o conjugado de z e o número real z = x 2 + y 2 é chamado de o módulo de z. Facilmente, verifica-se que: zz = z Dados z, w C com w 0 o quociente de z por w é o número complexo z w = z i. Escreva o quociente na forma x + iy. w 2 + 3i 2. Veja que z + w = z + w e z w = z w z, w C. Daí, mostre que um número complexo z é raiz de uma equação polinomial com coeficientes reais se, e somente se, seu conjugado z é raiz da mesma equação. Representação Polar. Dado z C diferente de zero, podemos escrever z = r(cos(θ) + isen(θ)) em que r > 0 e θ R é o ângulo que o vet0r z (z visto como elemento de R 2 ) faz com o eixo-x. Vemos que r está bem definido, pois r = z, todavia, θ está bem definido somente a menos de soma por elementos da forma 2jπ com j Z. O conjunto de ângulos θ que satisfazem z = z (cos(θ) + isen(θ)) é denotado por arg(z) (argumento de z). Exemplos. arg(i) = π 2 + 2jπ; j Z e arg(1 + i) = π 4 + 2jπ; j Z. Proposição. Vale a seguinte equação: arg(zw) = arg(z) + arg(w) z, w C. Em particular, se z = r(cos(θ) + isen(θ)), então z n = r n (cos(nθ) + isen(nθ)) n N. Demonstração. Fazer. Como apicação da proposição acima, descrevemos abaixo todas as raízes da equação Z n = z, onde z 0 = r 0 (cos(θ 0 ) + isen(θ 0 )). 2

4 Com efeito, temos que z = r(cos(θ) + isen(θ)) satisfaz z n = z 0 se, e somente se, r = n r 0 e (cos(θ 0 ) + isen(θ 0 )) = (cos(nθ) + isen(nθ)), ou seja, θ = θ 0 + 2jπ com j Z. Daí n z j = n r 0 (cos( θ 0 + 2jπ n são todas as raízes da eq. Z n = z 0. ) + isen( θ 0 + 2jπ )); j = 0, 1,..., n 1 n Lista de Exercícios Exercícios das pag. 13,14 e 15 Livro Cálculo em uma variável complexa. Márcio G. Soares 2. Mostre que z 1, z 2, z 3 C são colineares se, e somente se, o quociente z 2 z 1 z 3 z 1 é um número real. 3

5 Aula2 Notação. Dados z 0 C e r > 0, o disco de centro z 0 e raio r abaixo será denotado por D(z 0, r). {z z z 0 < r} Como no Cálculo de Funções de Várias Variáveis (no caso, duas variáveis), dizemos que: um subconjunto A C é aberto, quando cada ponto de A é centro de um disco inteiramente contido em A; a fronteira de um subconjunto L C é formado pelos pontos p C com a seguinte propriedade: todo disco centrado em p intersecta L e seu complementar. Utilizamos notação L para designar a fronteira de L; um subconjunto F C é dito fechado, quando F contém a sua fronteira; um ponto z 0 C é dito um ponto de acumulação de um subconjunto M C se: todo disco centrado em z 0 contém infinitos pontos de M. (Fazer muitos exemplos em sala!) Definição. Sejam D C e z 0 um ponto de acumulação de D (z 0 não necessariamente pertencente a D). Seja f : D C uma função. Dizemos que w 0 C é limite de f em z 0 se: Dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que 0 z D(z 0, ɛ) A f(z) D(w 0, δ). Nesse caso, denotamos lim z z0 f(z) = w 0. Exemplos. Seja f(z) = z a função identidade. Então lim z z0 f(z) = z 0 para todo z 0 C. Seja g(z) = z a função conjugado. z 0 C. Então lim z z0 f(z) = z 0 para todo Sejam f, g : D C e z 0 ponto de acumulação de D. Se f é limitada e o limite de g em z 0 vale 0, então o limite da função produto f(z)g(z) em z 0 também vale 0. (Fazer alguns exemplos concretos). 4

6 Obs. Sejam D C, f : D C uma função. Considere as funções u, v : D R definidas por u(z) = re[f(z)] e v(z) = im[f(z)]. Então, para todo z 0 um ponto de acumulação de D: lim f(z) = w 0 se, e somente se lim u(z) = re(w 0 ) e lim v(z) = im(w 0 ). z z 0 z z0 z z0 Propriedades aritméticas de limte. Sejam f, g : D C e z 0 ponto de acumulação de D. Suponha que Então 1. lim z z0 f(z) + g(z) = w 1 + w 2 ; 2. lim z z0 f(z)g(z) = w 1 w 2 ; f(z) 3. lim z z0 g(z) = w 1 se w 2 0. w 2 lim f(z) = w 1 e lim g(z) = w 2. z z 0 z z0 Decorre das propriedades acima que: Se f, g : D C é uma função polinomial (ou mesmo uma função racional) e z 0 ponto de acumulação de D que pertence a D, então lim z z0 f(z) = f(z 0 ). Definição. Uma função f : D C C é dita contínua em um ponto z 0 D se o limite de f em z 0 vale f(z 0 ). Quando f é conínua em todos os pontos de seu domínio, dizemos apenas que f é contínua. Exemplos. Vimos acima que funções racionais são funções contínuas. f(z) = z é uma função contínua. f(z) = z é uma função contínua. Soma, produto e quociente (quando bem definido) de funções contínuas são funções contínuas. (Fazer exemplos concretos) Composição de funções contínua ainda é uma função contínua. (Fazer exemplo concreto) 5

7 Definição. Sejam A C um aberto e z 0 A.Se o limite abaixo existe f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 então dizemos que f tem derivada em z 0 e denotamos o tal limite por f (z 0 ) (a derivada de f em z 0 ). Quando a função f é derivável em todos os pontos de seu domínio, dizemos que f é holomorfa. Exemplos. A função identidade f(z) = z é holomorfa e sua derivada em qualquer ponto vale 1. Toda função constante é holomorfa e sua derivada em qualquer ponto vale 0. A função conjugado g(z) = z 0 não tem derivada em nenhum ponto z 0 C. Seja f(z) = z n. Então f (z) = nz n 1. Soma, produto e quociente (quando bem definido) de funções holomorfas são funções holomorfas. além disso, valem as seguintes regras aritméticas (f + g) (z) = f (z) + g (z) e (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z) e ( f g ) (z) = f (z)g(z) f(z)g (z). (Fazer exemplos concretos) [f(z)] 2 Como conseqência do item acima, funções polinomiais (mais geralmente, funções racionais) são holomorfas. Composição de funções holomorfas ainda é uma função holomorfa. (Fazer exemplo concreto) Lista de Exercícios Prove todas as afirmações feitas na Aula Exercícios 01 da pag. 31 e 01,02,04 e 20 das pag. 55, 57 e 58 Livro Cálculo em uma variável complexa. Márcio G. Soares 6

8 Aula3 Notação. Dados z 0 C e r > 0, o disco de centro z 0 e raio r abaixo será denotado por D(z 0, r). {z z z 0 < r} Uma vez escrevendo números complexos z da seguinte forma: z = x + iy, para cada função complexa f(z), temos duas funções reais de duas variáveis u(x, y) e v(x, y) obtidas da equação f(z) = u(z)+iv(z), isto é, u(z) é a parte real de f(z) e v(z) é a parte imaginária. Dessa forma, é fácil verificar que f(z) é contínua em um ponto z 0 = x 0 + iy 0 se, e somente se, u(x, y) e v(x, y) são contínuas no ponto (x 0, y 0 ). Equações de Cauchy-Riemann Se f(z) é uma função complexa que tem derivada no ponto z 0 = x 0 + iy 0, então u(x, y) e v(x, y) (como definidas acima) são funções reais que possuem derivadas parciais no ponto (x 0, y 0 ) satisfazendo as Equações de Cauchy- Riemann abaixo Demonstração. Fazer. u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) Como consequência da prova, verifica-se, também, que f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ). Como aplicação do resultado acima, por exemplo, verificamos imediatamente que a função f(z) = z não possui derivada em ponto algum. De fato, nesse caso, u(x, y) = x e v(x, y) = y, portanto u x (x 0, y 0 ) = 1 e v y (x 0, y 0 ) = 1 para todo z 0 = x 0 + iy 0. O exemplo a seguir mostra que não há uma recíproca imediata do resultado acima, isto é, não podemos dizer em geral que as Equações de Cachy- Riemann satisfeitas para as funções u(x, y) e v(x, y) garantem que que a função complexa f(z) tem derivada. De fato, Considere a função complexa f(z) que vale 0 nos pontos z fora dos eixos real e imaginário e vale 1 caso 7

9 contrário. Temos que as funções u(x, y) e v(x, y) são constantes iguais a 1, logo satisfazem as Eq. de Cauchy-Riemann. Por outro lado, a função f(z) não é contínua no ponto z 0 = 0, daí f(z) não tem derivada em z 0 = 0. De fato, há uma recíproca para o resutado acima, ao adicionarmos que as funções u(x, y) e v(x, y) são contínuas numa vizinhança do ponto (x 0, y 0 ). Isto é, vale o seguinte. Se u(x, y) e v(x, y) são contínuas numa vizinhança do ponto (x 0, y 0 ) s as Eq. de Cauchy-Riemann abaixo são satisfeitas, em todo ponto (x, y) dessa vizinhança u x u y v (x, y) = (x, y) y (x, y) = v (x, y) x então a função complexa f(z) tem derivada no ponto z 0. Demonstração. Fazer. A função exponencial Para z = x + iy, definimos exp(z) = e x (cos(y) + isen(y)). exp : C C, assim definida, é uma função complexa que possui derivada em todo ponto. De fato, fazendo exp(z) = u(z) + iv(z), temos u(x, y) = e x cos(y) e v(x, y) = e x sen(y). Essas funções reais possuem derivadas parciais contínuas e que satisfazem as condições de Cauchy-Riemann em todo ponto: e u x (x, y) = ex cos(y) u y (x, y) = es en(y) v x (x, y) = ex sen(y) y y (x, y) = ec os(y). Em particular, exp (z) = exp(z) para todo z C. algumas propriedades da função exponencial Abaixo, seguem 8

10 exp(z + w) = exp(z) exp(w); exp(z) = exp(z); A imagem da função exponencial é C \ {0}; A função exponencial envia retas horizontais em semirretas (abertas) partindo de 0; A função exponencial envia retas verticais em círculos centrados em 0. Lista de Exercícios Uma função complexa é dita inteira quando tem derivada em todos os pontos do plano complexo C. Um ponto z 0 C é dito uma singularidade de uma função complexa f(z) se existe um disco D(z 0, ɛ) tal que f(z) tem derivada em todo ponto do disco, exceto em z Exercícios de 01 até 20, pp. 55, 56, 57 Livro Cálculo em uma variável complexa. Márcio G. Soares 9

11 Logaritmo e Potências arbitrárias Ver seções 6 e 7 do livro texto Aula4 Lista de Exercícios Exercícios de 22 a 27 p. 57 Livro Cálculo em uma variável complexa. Márcio G. Soares 10

12 Sequências e Séries Aula 5 Estas notas estão fortemente baseadas no mateiral de apoio sobre sequências e séries de números reais (publicado na webpage do curso) Sequências. Dizemos que uma sequência de números complexos (z n ) converge para a C, ou a C é limite de (sz n ), se para cada ɛ > 0 existe n 0 N tal que z n a < ɛ para todo n > n 0. Notação. Utilizaremos as seguintes notações z n a para dizer que (z n ) converge para a e lim s n = a para dizer que a é limite de (s n ). Obs. 1. Seja (z n ) uma seq. de números complexos. Se (s n ) converge para a e para b, então a = b. 2. Seja (z n ) uma seq. de números complexos. Sejam x n e y n parte real e imaginária de z n respectivamente. Então, z n a se, e somente se, x n x e y n y em que x é a parte real e y é a parte imaginária de a. 3. Toda seq. de números complexos convergente é limitada Seja (z n ) n N uma seq. de números complexos. Seja N = {n 1,..., n k,...} subconjunto de N com n 1 < n 2 <... < n k < n K+1 <... Uma subseqüência de (s n ) com índices em N é, por definição, uma seq (t k ) k N tal que t k = s nk para cada k N. Proposição.Sejam (z n ) uma seq. de números complexos e a C. Então, z n a se, e somente se, toda subseq. de (z n ) converge para a. Bolzano-Weierstrass. Toda seq. limitada de números complexos possui uma subseq. convergente. Propriedades aritméticas. Se z n a e w n b, então 11

13 (a) z n ± w n a ± b; (b) z n w n ab; (c) zn w n a b se b 0. Uma seq. de números complexos (z n ) é dita uma sequência de Cauchy se Proposição. Seja (z n ) uma seq. de números complexos. Então, (z n )é convergente se, e somente se, satisfaz o seguinte Critério de Cauchy: para cada ɛ > 0 existe p N tal que z n z m < ɛ para quaisquer m, n p. Séries. Seja (z n ) uma seq. de números complexos. À expressão formal k=0 z k chamaremos de série (de n-ésimo termo z n ) e diremos que a série k=0 z k converge para um número complexo z se a seq. de somas parciais (S n ) definida por S n = n k=0 z k converge para z. Nesse caso, denotamos z = z k, ou ainda, z = z 0 + +z n +. Obs. A série de número complexos k=0 z k converge se, e somente se, a séries de números reais k=0 Re(z k) e k=0 Im(z k). Neste caso, z k = k=0 k=0 k=0 Re(z k ) + i Im(z k ). k=0 Proposição. Se a série k=0 z k converge, então z k 0. Série Geométrica. Se z C tem módulo menor do que 1, então 1 1 z = 1 + z + z2 + + z n +. Além disso, se z 1, então a s erie k=0 zk não converge. Dizemos que uma série de números complexos k=0 z k é absolutamente convergente quando a série de núremos reais k=0 z k. Proposição. Se z k é absolutamente convergente, então k=1 z k é convergente. k=1 A respeito da recíproca do resultado acima, o seguinte exemplo testefica a não veracidade dessa afirmação. 12

14 Exemplo. A série ( 1) k 1 k é convergente. k=1 Teste da razão. Seja (z k ) uma seq. de números complexos. Se existem um número real 0 a < 1 e um inteiro positivo k 0 tais que a k+1 < a para todo a k k k 0 suficientemente grande, então a série z k é convergente. k=0 Exemplo. k=0 k k é convergente. Teste da raiz. Seja (z k ) uma seq. de números complexos. Se existem um número real 0 a < 1 e um intiero positivo k 0 tais que k z k < a para todo k k 0, então a série z k é convergente. k=0 Exemplo. A série ( ) log(k) k é convergente. k=1 k Lista de Exercícios Exercícios de 01 a 09 pp. 86,87 e Exercício 16 p. 88 Livro Cálculo em uma variável complexa. Márcio G. Soares 13