Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática
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- Ivan Canto Furtado
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1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CCE Departamento de Matemática Notas de Aulas Disciplina:MAT Fundamentos de Matemática II Simone Maria de Moraes Viçosa Minas Gerais - Brasil Março/2011 1
2 SUMÁRIO 1 Números Complexos Um Pouco de História Forma Algébrica de um Número Complexo O Plano Complexo Operações com Números Complexos Igualdade Adição Multiplicação O Corpo C dos Números Complexos Conjugado e Módulo de um Número Complexo A Forma Trigonométrica de Número Complexo Potenciação e Radiciação Equações Binômias e Equações Trinômias Polinômios Função Polinomial Relações e Operações com Polinômios Igualdade Adição Multiplicação Grau de um Polinômio Divisão de Polinômios Método dos Coeficientes a Determinar (de Descartes Método da Chave Divisão de Polinômios por Binômios de 1 o grau Algoritmo de Briot-Ruffini Equações Polinomiais Número de Raízes de uma Equação Polinomial Multiplicidade de uma Raiz de uma Equação Polinomial Relações de Girard
3 SUMÁRIO Raízes Complexas Raízes Reais Raízes Racionais Noções de Lógica Um pouco da História da Lógica O que é Lógica Enunciados Categóricos Argumento Validade de um Argumento Verdade e Validade Cálculo Proposicional Conectivos Tabela-verdade Operações Lógicas sobre Proposições Construção de Tabela-verdade de Proposições Compostas Tautologia e Contradição Implicações e Equivalências Relação de Implicação Relação de Equivalência Sentenças Abertas Conjunto-verdade de uma Sentença Aberta Operações Lógicas sobre Sentenças Aberta Quantificadores Técnicas de Demonstração Estratégias de Provas
4 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS Neste capítulo vamos estudar os números complexos. Primeiro apresentamos alguns dados históricos a fim de contextualizar o surgimento destes números. Em seguida as definições e propriedades referentes a este conjunto. 1.1 Um Pouco de História Resolver equações sempre foi um assunto que fascinou matemáticos ao longo da história. Os matemáticos antigos da Babilônia já conseguiam resolver algumas equações do 2 o grau baseados no que hoje chamamos de completamento de quadrado. Os matemáticos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da matemática, resolviam alguns tipos de equações do 2 o grau com régua e compasso. A conquista da Grécia por Roma praticamente acabou com o domínio da Matemática Grega. Com o fim do Império Romano e a ascensão do Cristianismo, a Europa entrou na Idade das Trevas e o desenvolvimento da Matemática ficou nas mãos dos árabes e dos hindus. Os matemáticos hindus avançaram nas pesquisas em Álgebra e Bhaskara ( aprox. é o nome que imediatamente vem à nossa memória quando falamos de equações do 2o grau. Entretanto a fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele, mas sim pelo matemático hindu Sridhara, no século 11. Relembrando, dada a equação ax 2 + bx + c = 0 com 0 a fórmula de Bhaskara garante que suas raízes são x 1 = b + b 2 4ac 2a e x 2 = b b 2 4ac. 2a Dependendo da equação, poderia acontecer que o número = b 2 4ac fosse negativo. Entretanto isso não perturbava muito os matemáticos da época. Neste caso eles simplesmente diziam que o problema não tinha solução. 4
5 CAP. 1 NÚMEROS COMPLEXOS 5 O interesse pelo estudo da Matemática ressurgiu na Europa, mais especialmente na Itália, no século XVI. Lá, e no meio da disputa entre Cardano e Tartaglia pela resolução da equação do 3 o grau, é que se percebeu que os números reais não eram suficientes e as primeiras idéias da criação do conjunto dos números complexos surgiram. Consta que, por volta de 1510, um matemático italiano de nome Scipione del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equações do tipo x 3 + px + q = 0, mas morreu sem publicar sua descoberta. Seu aluno Antonio Maria Fior conhecia tal solução e tentou ganhar notoriedade com ela. Na época eram comuns os desafios entre sábios e como Tartaglia era um nome que começava a se destacar nos meios culturais, Fior propôs a Tartaglia um desafio. Tartaglia, apesar de não saber resolver ainda tais equações, aceitou o desafio, confiando em seu potencial. Sabendo que Fior conhecia a solução das equações acima citadas, não só deduziu a resolução para este caso, como também resolveu as equações do tipo x 3 +px 2 +q = 0. Nesta época Cardano estava escrevendo a Pratica Arithmeticae Generalis, que continha ensinamentos sobre Álgebra, Aritmética e Geometria. Ao saber que Tartaglia achara a solução geral da equação de grau 3 pediu-lhe que a revelasse, para que fosse publicada em seu próximo livro. Tartaglia não concordou, alegando que ele mesmo iria publicar sua descoberta. Após muitas conversas e súplicas Cardano, jurando não divulgar tal descoberta, conseguiu que Tartaglia lhe revelasse a solução. Porém, Cardano quebrou todas as promessas e, em 1545, fez publicar na Ars Magna a fórmula de Tartaglia. No final, como em muitos outros casos, a posteridade não fez justiça a Tartaglia: sua fórmula é até hoje conhecida como Fórmula de Cardano. A fórmula de Cardano-Tartaglia permite obter uma raiz de uma equação do tipo x 3 + px + q = 0, a saber: ( x = q 2 ( q + 2 p q 2 ( q ( 3 p. 3 Esta fórmula aplicada a equação x 3 15x 4 = 0 nos dá x 1 = , se poderia aceitar que a equação não tem solução. No entanto, 4 é uma raiz da equação e através de alguns cálculos se chega às outras duas raízes 2 ± 3 que são ambas números reais. Portanto, algo não se encaixava, que número seria este acima? Não havia como negar que os números reais eram insuficientes para se tratar de equações algébricas. Foi Rafael Bombelli, engenheiro hidráulico nascido em Bolonha, Itália, em 1530, quem conseguiu atravessar a barreira e chegar aos novos números. Conforme seu próprio relato em 1572 no livro L Algebra parte maggiore dell Arithmetica, sua idéia foi supor que os números e deveriam ser números da forma a + b e a b, respectivamente. Com algumas contas, ele chegou à conclusão que a = 2 e b = 1.
6 SEÇÃO 1.2 FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO 6 Depois de Bombelli, em 1530, outros personagens importantes da História da Matemática deram contribuições ao desenvolvimento da teoria dos números complexos, dentre os quais o matemático francês Abraham de Moivre e também os irmãos Jacques e Jean Bernoulli. Mas quem fez o trabalho mais importante e decisivo sobre o assunto foi Leonhard Eule ( Euler foi um dos matemáticos que mais produziu e publicou em todos os tempos, muitas das notações que utilizamos hoje foram introduzidas por ele. Dentre as representações propostas por Euler destacamos o i substituindo 1, passando a estudar números da forma z = a+bi onde a e b são números reais e i 2 = 1. Esses números são chamados de números complexos. Diz-se ainda que o motivo de chamar o número 1 de número imaginário foi por uma frase de Descartes, no século XVII, quando estudava equações algébricas, em uma passagem do Discurso do Método escreveu a seguinte frase: Nem sempre as raízes verdadeiras (positivas ou falsas (negativas de uma equação são reais. Às vezes elas são imaginárias. 1.2 Forma Algébrica de um Número Complexo Definição 1.1. Um numero complexo qualquer z é um número na forma a + bi, com a e b números reais e i a unidade imaginária que satisfaz i 2 = 1. O conjunto de todos os números complexos é denotado por C. Assim temos C = {z = a + bi; a IR e b IR}. Observações: 1. A forma z = a + bi do número complexo z é chamada forma algébrica de z. 2. O número real a é chamado parte real de z e denotada por Re(z. 3. O número real b é chamado parte imaginária de z e denotada por Im(z. 4. Se Im(z = 0, então z é um número real. 5. Se Re(z = 0 dizemos que z é um imaginário puro. 6. O conjunto dos números reais é o seguinte subconjunto do conjunto dos números complexos IR = {z = a + bi; a IR e b = 0}. 7. O conjunto dos imaginários puros é o seguinte subconjunto do conjunto dos números complexos I = {z = a + bi; a = 0 e b IR}.
7 CAP. 1 NÚMEROS COMPLEXOS 7 Exemplos: complexo parte real parte imaginária 1. 3-i i i O Plano Complexo Já que cada número complexo é constituído por duas componentes: a parte real e a parte imaginária, podemos utilizar o plano cartesiano, que é formado por dois eixos ortogonais, para representar os elementos de C. A representação é feita da seguinte maneira: no eixo horizontal representamos o conjunto das partes reais dos complexos e no eixo vertical representamos o conjunto das partes imaginárias dos complexos. Assim o número complexo z = a + bi está localizado no plano cartesiano na intersecção das retas y a e x b, onde y a é a reta paralela ao eixo y passando por a no eixo x x b é a reta paralela ao eixo x passando por b no eixo y. Observação: Um número complexo z está situado no plano cartesiano no eixo x se, e somente se, z é um número real; e z está situado no plano cartesiano no eixo y se, e somente se, z é um imaginário puro.
8 SEÇÃO 1.3 OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS Operações com Números Complexos Igualdade Definição 1.2. Dizemos que dois números complexos z 1 = a + bi e z 2 = c + { di são iguais a = c se, e somente se, os números reais a, b, c, d satisfazem ambas as igualdades b = d. Neste caso usamos a notação z 1 = z 2. Exemplo: É claro que 3 + 2i = i Adição Definição 1.3. A operação adição em C, denotada por +, é dada por: + : C C C (a + bi, c + di (a + bi + (c + di = (a + c + (b + di. Assim, para adicionarmos dois números complexos basta adicionarmos as partes reais e as partes imaginárias, respectivamente. Exemplo: Se z 1 = 4 3i e z 2 = 5 + 7i então z 1 + z 2 = ( ( 3 + 7i = 9 + 4i. Propriedades: A adição em C satisfaz as seguintes propriedades: A 1 A 2 A 3 A 4 Para quaisquer z 1, z 2, z 3 C, z 1 + (z 2 + z 3 = (z 1 + z 2 + z 3, associativa. Para quaisquer z 1, z 2 C, z 1 + z 2 = z 2 + z 1, comutativa. Existe z 0 C tal que para todo z C temos z + z 0 = z, existência de elemento neutro. Para todo z C existe w C tal que z + w = 0 + 0i, existência de elemento simétrico. Demonstração: A 1 Sejam z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i e z 3 = a 3 + b 3 i números complexos quaisquer, então, ( z 1 + (z 2 + z 3 = (a 1 + b 1 i + (a 2 + b 2 i + (a 3 + b 3 i ( = (a 1 + b 1 i + (a 2 + a 3 + (b 2 + b 3 i = ((a 1 +a 2 +a 3 ((b 1 +b 2 +b 3 assoc. de + em IR = = ( (a 1 + b 1 i + (a 2 + b 2 i ( ( a 1 + (a 2 + a 3 + ( (a 1 +a 2 +(b 1 +b 2 i + i = + (a 3 + b 3 i = (z 1 + z 2 + z 3. A 2 Sejam z 1 = a 1 + b 1 i e z 2 = a 2 + b 2 i números complexos quaisquer, então, z 1 + z 2 = (a 1 + b 1 i + (a 2 + b 2 i = (a 1 + a 2 + (b 1 + b 2 i b 1 + (b 2 + b 3 i +(a 3 +b 3 i comut. de + em IR = (a 2 + a 1 + (b 2 + b 1 i = (a 2 + b 2 i + (a 1 + b 1 i = z 2 + z 1.
9 CAP. 1 NÚMEROS COMPLEXOS 9 A 3 A 4 Dado z = a +bi um número complexo qualquer devemos determinar o número complexo z 0 = c + di tal que z + z 0 = z, mas isto é equivalente a dizer que { { a + c = a c = 0 (a + c + (b + di = a + bi b + d = b d = 0. Portanto, o elemento neutro é z 0 = 0 + 0i, ou seja, o número real zero. Dado z = a + bi um número complexo qualquer devemos determinar um número complexo w = c + di tal que z + w = 0 + 0i, mas isto é equivalente a dizer que { { a + c = 0 c = a (a + c + (b + di = 0 + 0i b + d = 0 d = b. Portanto, o elemento simétrico de z = a + bi é o número complexo w = a bi. Observações: 1. Segue da demonstração acima que o elemento neutro da adição em C é único. 2. Segue da demonstração acima que dado z C, z tem um único simétrico. 3. Denotamos o simétrico de z por z. 4. A subtração de um número complexo z por um número complexo w, denotada por z w, é feita utilizando o simétrico de w como segue: z w = z + ( w. Logo, (a + bi (c + di = (a + bi + ( c di = (a c + (b di Multiplicação Definição 1.4. A operação multiplicação em C, denotada por, é dada por: : C C C (a + bi, c + di (a + bi (c + di = (ac bd + (ad + bci. Assim, para multiplicarmos dois números complexos basta aplicarmos a distributiva da multiplicação em relação à soma e lembrar que i 2 = 1. De fato: Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma definida em IR temos: (a + bi (c + di = ac + adi + bci + bdi 2 usando i 2 = 1 = (ac bd + (ad + bci. Exemplo: Se z 1 = 2 + 5i e z 2 = 3 i então z 1 z 2 = ( (( 2 3 ( 5 ( 1 + ( (( 2 ( 1 + ( 5 3 i = i. No que segue vamos denotar C = C \ {0}. Propriedades: A multiplicação em C satisfaz as seguintes propriedades:
10 SEÇÃO 1.3 OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS 10 M 1 M 2 M 3 M 4 Para quaisquer z 1, z 2, z 3 C, z 1 (z 2 z 3 = (z 1 z 2 z 3, associativa. Para quaisquer z 1, z 2 C, z 1 z 2 = z 2 z 1, comutativa. Existe z 1 C tal que para todo z C, temos z z 1 = z, existência de elemento neutro. Para todo z C, existe w C, tal que z w = 1 + 0i, existência de elemento inverso. D Para quaisquer z 1, z 2, z 3 C, z 1 (z 2 + z 3 = z 1 z 2 + z 1 z 3, distributiva da multiplicação em relação à adição. Demonstração: M 1 Sejam z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i e z 3 = a 3 + b 3 i números complexos quaisquer, então, ( z 1 (z 2 z 3 = (a 1 + b 1 i (a 2 + b 2 i (a 3 + b 3 i [( ] = (a 1 + b 1 i (a 2 a 3 b 2 b 3 + (a 2 b 3 + a 3 b 2 i ( ( = a 1 (a 2 a 3 b 2 b 3 b 1 (a 2 b 3 + a 3 b 2 + a 1 (a 2 b 3 + a 3 b 2 + b 1 (a 2 a 3 b 2 b 3 i = (a 1 a 2 a 3 a 1 b 2 b 3 b 1 a 2 b 3 b 1 a 3 b 2 + (a 1 a 2 b 3 + a 1 a 3 b 2 + b 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 i. Por outro lado, ( (z 1 z 2 z 3 = (a 1 + b 1 i (a 2 + b 2 i [( = = (a 3 + b 3 i ] (a 1 a 2 b 1 b 2 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 i (a 3 + b 3 i ((a 1 a 2 b 1 b 2 a 3 (a 1 b 2 +a 2 b 1 b 3 + ((a 1 b 2 +a 2 b 1 a 3 +(a 1 a 2 b 1 b 2 b 3 i = (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 a 3 a 1 b 2 b 3 b 1 a 2 b 3 +(a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 +a 1 a 2 b 3 b 1 b 2 b 3 i. M 2 Sejam z 1 = a 1 + b 1 i e z 2 = a 2 + b 2 i números complexos quaisquer, então, z 1 z 2 = (a 1 + b 1 i (a 2 + b 2 i = (a 1 a 2 b 1 b 2 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 i comut. de em IR = (a 2 a 1 b 2 b 1 + (a 2 b 1 + a 1 b 2 i = (a 2 + b 2 i (a 1 + b 1 i = z 2 z 1. M 3 Dado z = a + bi C, devemos determinar o número complexo z 1 = c + di, z 1 0, tal que z z 1 = z, mas isto é equivalente a dizer que (ac bd + (ad + bci = a + bi multiplicando a 1 a equação por b e a 2 a por a obtemos { ac bd = a bc + ad = b, { abc b 2 d = ab abc + a 2 d = ab. Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos a equação d(a 2 + b 2 = 0, como z = a + bi 0, então a 2 + b 2 0. Dai, segue que d = 0, substituindo este resultado na primeira equação do sistema obtemos a equação ac = a, como a é um número real qualquer, segue que c = 1. Portanto, o elemento neutro é z 1 = 1 + 0i, ou seja, o número real um.
11 CAP. 1 NÚMEROS COMPLEXOS 11 M 4 Dado z = a + bi C, devemos determinar um número complexo w = c + di, w 0, tal que z w = 1 + 0i, mas isto é equivalente a dizer que { ac bd = 1 (ac bd + (ad + bci = 1 + 0i bc + ad = 0, multiplicando a 1 a equação por b e a 2 a por a obtemos { abc b 2 d = b abc + a 2 d = 0. Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos a equação d(a 2 + b 2 = b, como z = a + bi 0, então a 2 + b 2 0. Dai, segue que d = b a 2 + b. 2 Se b = 0, então a 0 e substituindo este resultado na equação ac bd = 1 obtemos c = 1 e se b 0 da segunda equação do sistema obtemos a equação bc = ad e a a portanto, c = a 2 + b. 2 Portanto, o elemento inverso de z = a + bi, para z 0, é o número complexo a w = a 2 + b b 2 a 2 + b i = 1 (a bi. 2 a 2 + b2 D Sejam z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i e z 3 = a 3 + b 3 i números complexos quaisquer, então, ( z 1 (z 2 + z 3 = (a 1 + b 1 i (a 2 + a 3 + (b 2 + b 3 i ( ( = a 1 (a 2 + a 3 b 1 (b 2 + b 3 + a 1 (b 2 + b 3 + (a 2 + a 3 b 1 i = (a 1 a 2 + a 1 a 3 b 1 b 2 b 1 b 3 + (a 1 b 2 + a 1 b 3 + a 2 b 1 + a 3 b 1 i ( ( = (a 1 a 2 b 1 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 1 i + (a 1 a 3 b 1 b 3 + a 1 b 3 + a 3 b 1 i = (a 1 + b 1 i (a 2 + b 2 i + (a 1 + b 1 i (a 3 + b 3 i = z 1 z 2 + z 1 z 3 Observações: 1. Na propriedade M 3 excluímos z = 0, pois para todo w C temos 0 w = 0, e o elemento deve ser único. Como consideramos z C segue da demonstração acima a unicidade do elemento neutro da multiplicação em C. 2. Na propriedade M 4 excluímos z = 0, pois a equação 0 w = 1 + 0i 0 = 1 não faz sentido. 3. Segue da demonstração acima que dado z C, o inverso de z é único. 4. Denotamos o inverso de z por z A divisão de um número complexo z por um número complexo w, com w 0, denotada por z w, é feita utilizando o inverso de w como segue: z w = z w 1. Logo, a + bi c + di = (a + bi ( c c 2 + d 2 d c 2 + d i = 2 1 ( (ac + bd + (bc adi. c 2 + c 2
12 SEÇÃO 1.4 O CORPO C DOS NÚMEROS COMPLEXOS 12 Multiplicação por Escalar Como caso particular da multiplicação temos também definida a multiplicação de um complexo por um escalar real. Definição 1.5. A multiplicação por escalar real em C dada por: : IR C C (λ, a + bi λ (a + bi = (λ a + (λ bi. Exemplo: Se λ = 3 e z = 7 2i então λ z = ( 3 (7 2i = i. Propriedades: Para quaisquer λ, µ IR e quaisquer z, w C valem as seguintes propriedades: ME 1 λ (z + w = λ z + λ w. ME 2 (λ + µ z = λ z + µ z. ME 3 (µ λ z = µ (λ z. A demonstração destas propriedades segue das propriedades da operações + e em IR. Exercícios: 1. Encontre as partes real e imaginária dos seguintes números complexos: (a z = (1 + i 2 ; (b z = 1 + i 1 i ; (c z = (1 + 2i2 (3 + 4i; (d z = (5 + 4i(1 i + (2 + ii; (e z = 5i 3 + 4i. 2. Determine todos os valores de a IR tal que o número a + i 1 + ai seja real. 1.4 O Corpo C dos Números Complexos Pelo exposto acima vemos que existe uma relação biunívoca entre os elementos do plano cartesiano e os números complexos. Para estabelecer esta bijeção consideremos IR 2 = {(a, b; a IR e b IR}, o conjunto dos elementos do plano cartesiano, que também pode ser considerando como o produto cartesiano IR IR. { a = c Dados (a, b e (c, d em IR 2 dizemos que (a, b = (c, d b = d. Consideremos em IR 2 a adição + e a multiplicação definidas abaixo:
13 CAP. 1 NÚMEROS COMPLEXOS Adição: (a, b + (c, d = (a + c, b + d, com elemento neutro (0, 0 e simétrico de (a, b o elemento ( a, b. 2. Multiplicação: (a, b (c, d = (ac bd, ad + bc, com ( elemento neutro (1, 0 e inverso de (a, b, quando (a, b (0, 0, o elemento a a 2 + b, b. 2 a 2 + b 2 Agora consideremos a aplicação: f : IR 2 C (a, b f ( (a, b = a + bi, que identifica C com IR 2, pois f é uma bijeção que preserva a adição e a multiplicação. Verificação: f é injetora, pois: f ( (a, b = f ( (c, d { a = c a+bi = c+di (a, b = (c, d. b = d f é sobrejetora, pois: dado a+bi C considerando (a, b IR 2 temos f ( (a, b = a+bi. f é preserva a soma, pois: f ( (a, b + (c, d = f ( (a + c, b + d = (a + c + (b + di = (a + bi + (c + di. f é preserva o produto, pois: f ( (a, b (c, d = f ( (ac bd, ad + bc = (ac bd + (ad + bci = (a + bi (c + di. Assim, indicamos a identificação por: C IR 2. Observações: 1. A aplicação f acima é chamada na Álgebra de isomorfismo, pois é uma bijeção que preserva as operações dos conjuntos. 2. A adição e multiplicação definidas acima satisfazem as propriedades A 1, A 2, A 3, A 4, M 1, M 2, M 3, M 4 e D, munindo C da estrutura de corpo comutativo, por este motivo se adota a nomenclatura de que C é o corpo dos números complexos. Na configuração acima temos ainda que: A unidade imaginária i = (0, 1. IR, o conjunto dos números complexos reais, pode ser identificado com IR = {(a, 0; a IR}, esta identificação é também chamada de imersão de IR em C I, o conjunto dos números complexos imaginários puros, pode ser identificado com I = {(0, b; b IR }.
14 SEÇÃO 1.5 CONJUGADO E MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO Conjugado e Módulo de um Número Complexo Definição 1.6. Dado um número complexo z = a + bi o conjugado de z, denotado por z, o seguinte número complexo z = a bi. Exemplos: 1. Se z = 4 + 3i, então z = 4 3i. 2. Se z = 6, então z = Se z = 5i, então z = 5i. 4. Se z = 3 + 7i, então z = 3 7i. Propriedades: Para todo z C valem propriedades: C 1 z = z. C 2 C 3 C 4 z + z = 2 Re(z. z z = 2 Im(z z = z z IR. Demonstração: Consideremos z = a + bi, então: C 1 z = a bi, dai que z = a ( bi = a + bi. C 2 z + z = (a + bi + (a bi = 2a = 2 Re(z. C 3 z z = (a + bi (a bi = 2b = 2 Im(z. C 4 z = z a + bi = a bi { { a = a a = a b = b b = 0 z IR. Teorema 1.7. Dados z e w números complexos quaisquer valem: (i z + w = z + w. (ii z w = z w. Demonstração: Suponhamos que z = a + bi e w = c + di, então: (i z + w = (a + bi + (c + di = (a + c + (b + di. Logo, z + w = (a + c (b + di = (a bi + (c di = z + w.
15 CAP. 1 NÚMEROS COMPLEXOS 15 (ii z w = (a + bi (c + di = (ac bd + (ad + bci. Logo, z w = (ac bd (ad + bci = a(c di bi(c di = (a bi (c di = z w. Observação: Geometricamente, o conjugado z de z é o simétrico de z relativamente ao eixo x. Exercício: 1. Mostre que dados z e w em C então z w + zw = 2Re(z w. Solução: Suponhamos que z = a + bi e w = c + di, então z w = (a + bi(c di = (ac + bd + (bc adi Re(z w = ac + bd. Por outro lado, z w + zw = (a + bi(c di + (a bi(c + di = 2(ac + bd = 2Re(z w. 2. Resolva a equação iz + 2 z + 1 i = 0, onde z C. 3. Determine todos os números complexos cujo quadrado seja igual ao conjugado. Definição 1.8. Dado um número complexo z = a + bi o módulo de z, denotado por z, é o seguinte número real não-negativo: z = a 2 + b 2.
16 SEÇÃO 1.5 CONJUGADO E MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO 16 Exemplos: 1. Se z = 4 + 3i, então z = = 25 = Se z = 6, então z = ( 6 2 = 36 = Se z = 5i, então z = ( 5 2 = 35 = Se z = 3 + 7i, então z = ( = 58. Propriedades: Para todo z C valem propriedades: MO 1 z 0 e z = 0 z = 0. MO 2 MO 3 MO 4 z = z. Re(z Re(z z. Im(z Im(z z. MO 5 z z = z 2. Demonstração: Consideremos z = a + bi, então: } a 2 0 MO 1 b 2 a 2 + b 2 0 a b 2 0 z 0. Além disso, z = 0 a 2 + b 2 = 0 a 2 + b 2 = 0 a = b = 0 z = 0. MO 2 MO 3 z = a 2 + b 2 = a 2 + ( b 2 = z. Se a 0, então a = a, se a < 0, então a < a. Por outro, lado a 2 a 2 + b 2 a 2 a a 2 + b 2 2 = a Logo, a = Re(z Re(z z. a a 2 + b 2 + z. MO 4 Se b 0, então b = b, se b < 0, então b < b. Por outro, lado b 2 a 2 + b 2 b 2 b a 2 + b 2 2 = b Logo, b = Im(z Im(z z. b a 2 + b 2 = z. MO 5 z z = (a + bi (a bi = (a 2 + b 2 + ( ab + abi = a 2 + b 2 = z 2. Teorema 1.9. Dados z e w números complexos quaisquer valem: (i z w = z w. z (ii Se w 0, w = z w.
17 CAP. 1 NÚMEROS COMPLEXOS 17 (iii z + w z + w. (iv z w z w. Demonstração: Suponhamos que z = a + bi e w = c + di, então: (i z w 2 MO 5 = (zw (zw M 1 e M = 2 (z z (w w = z 2 w 2 = ( z w 2. Logo, como z w 0 e z w 0 extraindo a raiz quadrada na igualdade acima obtemos: z w = z w. (ii Primeiro observemos que se w 0, então 1 w = 1 c + di = c di MO 5 c = (c + di(c di c 2 + d di 2 c 2 + d 2 ( 2 ( 2 = c d c 2 + d 2 + = c 2 + d 2 c 2 + d 2 (c 2 + d 2 = 2 z Logo, w = z 1 w = z 1 w = z 1 w = z w. c2 + d 2 c 2 + d 2 = 1 c2 + d = 1 2 w. (iii z + w 2 MO = 5 T eo.1.5(i (z + w(z + w = (z + w( z + w = z z + z w + zw + w w Exerc. acima e MO 5 = z 2 + 2Re(z w + w 2 MO 3 z z w + w 2 MO 2 e (i z z w + w 2 = ( z + w 2. Como z + w 0 e z + w 0, extraindo a raiz quadrada da desigualdade acima obtemos: z + w z + w. (iv Por um lado temos Analogamente, z = z w + w (iii z w + w. w = w z + z (iii w z + z = z w + z. Portanto, z w ( z w e z w ( z w z w z w. Observações: 1. Geometricamente, o módulo z de z representa a distância de z à origem do plano cartesiano.
18 SEÇÃO 1.6 A FORMA TRIGONOMÉTRICA DE NÚMERO COMPLEXO Podemos utilizar a propriedade MO 5 para fazer a divisão de números complexos. De fato: dados z C e w C, então: z w = z z w = w w w w w = z w w. 2 Exemplo: Calcule 1 + 3i 2 i. Solução: 1 + 3i 2 i = (1 + 3i (2 + i 2 + i 2 = 1 + 7i 5 = i 5. Exercício: Resolva a equação iz + 2 z + 1 i = 0, onde z C. 1.6 A Forma Trigonométrica de Número Complexo Dado um número complexo z 0 podemos representá-lo em coordenadas polares como z = ρ cos θ + i ρ sen θ = ρ(cos θ + i sen θ, ( onde ρ = z e θ é o ângulo que o vetor representado por z forma com o eixo real, medido no sentido anti-horário em radianos. Definição Dado z C, o argumento de z, denotado por arg(z é dado por: arg(z = { 0, se z = 0 θ, se θ satisfaz (.
19 CAP. 1 NÚMEROS COMPLEXOS 19 { cos θ = cos(θ + 2kπ Da periodicidade das funções seno e cosseno sabemos que sen θ = sen (θ + 2kπ, com z Z. Assim um número complexo z, com z 0, admite infinitos argumentos, isto nos sugere a seguinte definição. Definição Seja z = x + yi C o argumento principal de z é o ângulo θ 0 tal que cos θ 0 = x z e sen θ 0 = y z Observações: 1. Se θ 0 é argumento principal de z, então é claro que θ 0 também satisfaz ( e 0 θ 0 < 2π. 2. Se θ 0 é o argumento principal de z C, então temos o seguintes: (a Se z = x é real e x > 0, então θ 0 = 0. (b Se z = x é real e x < 0, então θ 0 = π. (c Se z = iy é imaginário puro e y > 0, então θ 0 = π 2. (d Se z = iy é imaginário puro e y < 0, então θ 0 = 3π 2. (e Se z = x + iy com x 0 e y 0, então tan θ 0 = y x. Exemplos: Determine o argumento principal dos seguintes números complexos: (1 3 + i; (2 5 5i; (3 2 + i 2; (4 7; (5 4i. Solução: ( i = + 12 = 4 = 2. cos θ 0 = 3 2 Logo, θ 0 = π sen θ 0 = 1 6 ou ( (2 5 5i = ( 51 2 = 5 2. cos θ 0 = = 2 Logo, sen θ 0 = = 2 θ 0 = 5π 4 ou (225. (3 2 + i = + 2 = 4 = 2. 2 cos θ 0 = 2 Logo, θ 0 = π 4 ou (45. 2 sen θ 0 = 2 (4 7, então θ 0 = π. (5 4i, então θ 0 = π 2.
20 SEÇÃO 1.6 A FORMA TRIGONOMÉTRICA DE NÚMERO COMPLEXO 20 Definição Seja z = x + yi C sua representação na forma z = ρ(cos θ + i sen θ, onde ρ = z e θ é um argumento de z, é chamada forma trigonométrica ou polar z. de Observação: Para efeito de cálculos vamos considerar sempre a representação trigonométrica utilizando o argumento principal. Exemplos: Represente os números complexos do exemplo anterior na forma trigonométrica. Solução: (1 ( 3 + i = 2 cos π 6 + i sen π ; (2 5 5i = 5 ( 2 cos 7π i sen 7π 4 (3 2 + i ( 2 = 2 cos π 4 + i sen π ; (4 7 = 7(cos π + i sen π; 4 ( (5 4i = 4 cos π 2 + i sen π. 2 ; Proposição Se z C e θ é um argumento de z, então θ é um argumento de z. Demonstração: Escrevendo z = ρ cos θ + i ρ sen θ, temos que z = ρ cos θ i ρ sen θ cos θ=cos( θ e sen ( θ= sen θ = ρ cos( θ + i ρ sen ( θ.
21 CAP. 1 NÚMEROS COMPLEXOS Potenciação e Radiciação Teorema Sejam z 1 e z 2 números complexos, com representações trigonométricas z 1 = ρ 1 (cos θ 1 + i sen θ 1 ez 2 = ρ 2 (cos θ 2 + i sen θ 2, onde ρ 1, ρ 2 e argumentos θ 1 e θ 2 são, respectivamente, os módulos e os argumentos de z 1 e z 2, então número complexo z 1 z 2 tem módulo ρ 1 ρ 2 e argumento θ 1 + θ 2. Demonstração: z 1 z 2 = [ρ 1 (cos θ 1 + i sen θ 1 ][ρ 2 (cos θ 2 + i sen θ 2 ] = ρ 1 ρ 2 ((cos θ 1 cos θ 2 sen θ 1 sen θ 2 + i(cos θ 1 sen θ 2 + cos θ 2 sen θ 1 ( = ρ 1 ρ 2 cos(θ 1 + θ 2 + i sen (θ 1 + θ 2. Corolário Sejam z 1 e z 2 números complexos, com representações trigonométricas como no Teorema1.14, se z 2 0, então número complexo z 1 tem módulo ρ 1 e argumento z 2 ρ 2 θ 1 θ 2. Demonstração: Primeiro lembramos que se arg(z 2 = θ 2, então arg(z 2 = θ 2. Logo, z 1 = z 1z 2 z 2 z 2 = 1 ( ρ 2 ρ 2 1 ρ 2 cos(θ 1 θ 2 + i sen (θ 1 θ 2 = ρ ( 1 cos(θ 1 θ 2 + i sen (θ 1 θ 2. 2 ρ 2 Exemplos: Escreva os seguintes números na forma trigonométrica: (1 ( 2 + i i 4i; (2. 5 5i Solução: (1 Vimos que ( ( 3 + i = 2 cos π 6 + i sen π e 4i = 4 cos π i sen π. 2 Logo, ( 3 + i 4i = 8 ( cos 2π 3 + i sen 2π 3. (2 Vimos que 5 5i = 5 2 ( cos 7π 4 + i sen 7π 4 e 2 + i ( 2 = 2 cos π 4 + i sen π. 4 Logo, 2 + i 2 5 5i ( = 5 2 cos 3π i sen 2π 2. O Teorema1.14 se estende, por indução finita, da seguinte maneira:
22 SEÇÃO 1.6 A FORMA TRIGONOMÉTRICA DE NÚMERO COMPLEXO 22 Teorema Sejam z 1, z 2,..., z n números complexos, com representações trigonométricas z k = ρ k (cos θ k + i sen θ k, para k + 1,..., n. Então número complexo z 1 z 2... z n tem módulo ρ 1 ρ 2... ρ n e argumento θ 1 + θ θ n. Assim tomando z = z 1 = z 2 =... = z n obtemos o seguinte resultado que nos fornece a n-ésima potência de z na forma trigonométrica. Corolário (A n-ésima potência de z Se o número complexo z tem representação trigonométrica z = ρ(cos θ + i sen θ, então para todo n IN temos z n = ρ n( cos(nθ + i sen (nθ. Além disso, se z 0, a fórmula é válida para todo n Z. Exemplos: Calcule: (1 ( 3 + i 4 ; (2 (5 5i 3. Solução: (1 Vimos que 3 + i = 2 ( cos π 6 + i sen π 6. Logo, ( 3 + i 4 = 2 4 ( cos 4π 6 + i sen 4π 6 ( = 16 cos 2π 3 + i sen 2π 3. (2 Vimos que 5 5i = 5 2 ( cos 7π 4 + i sen 7π 4. Logo, (5 5i 3 = E portanto, (5 5i 3 = = 1 (5 5i 3 = ( ( cos 21π cos 21π 4 ( 21π + i sen. 4 cos 21π 4 i sen 21π 4 + i sen 21π 4. Se z C e z = 1, então geometricamente z está no círculo de centro na origem e raio 1. Além disso, sua representação na forma trigonométrica é dada por z = cos θ + i sen θ. O próximo corolário estabelece as potências de z.
23 CAP. 1 NÚMEROS COMPLEXOS 23 Corolário (Primeira Fórmula de Moivre Para todo θ IR e todo n Z temos: (cos θ + i sen θ n = cos(nθ + i sen (nθ. Demonstração: Basta notar que cos θ + i sen θ = 1 e aplicar o corolário acima. Radiciação Agora vamos resolver as equações do tipo z n = z 0, ( onde z 0 é um número complexo dado e n IN. Se z 0 = 0, então é claro que a única solução de ( é z = 0. Se z 0 0 para resolver ( vamos usar a forma trigonométrica. Escrevendo z 0 = ρ 0 (cos ϕ 0 + i sen ϕ 0 e z = ρ(cos θ + i sen θ e usando o corolário1.17 vemos que a equação ( é equivalente à seguinte: ρ n( cos(nθ + i sen (nθ = ρ 0 ( cos ϕ0 + i sen ϕ 0, que por sua vez é equivalente a: ρ n = ρ 0 cos(nθ = cos ϕ 0 sen (nθ = sen ϕ 0 ρ n = ρ 0 nθ = ϕ 0 + 2kπ, k Z ρ = n ρ 0 θ = ϕ 0 n + 2kπ. n, k Z Observações: 1. Como ρ 0 > 0, então ρ = n ρ 0 representa a n-ésima raiz (positiva do número real ρ Na equação θ = ϕ 0 n +2kπ para cada z IN temos um valor diferente de θ, designaremos n esta dependência colocando θ k no lugar de θ, ou seja, θ k = ϕ 0 n + 2kπ, assim as soluções n de ( são z k = n ( ρ 0 cos θk + i sen θ k. 3. Para quaisquer k, l Z podemos verificar que: ou seja, z k+ln = z k. cos(θ k+ln + i sen (θ k+ln = cos θ k + i sen θ k, Portanto, podemos nos restringir às soluções de ( : z 0,..., z n 1. Admitindo que ϕ 0 é o argumento principal de z 0, ou seja, que 0 ϕ 0 < 2π, então o argumentos de z 0,..., z n 1 são: θ 0 = ϕ 0 n, θ 1 = ϕ 0 n + 2π n,..., θ n 1 = ϕ 0 n 2(n 1π +. n
24 SEÇÃO 1.6 A FORMA TRIGONOMÉTRICA DE NÚMERO COMPLEXO 24 O desenvolvimento acima é a demonstração do seguinte resultado: Teorema (Segunda Fórmula de Moivre Se z = ρ(cos θ + i sen θ é um número complexo não-nulo e n IN, com n 2, então existem n raízes n-ésimas de z e estas são da forma: z k = n ρ [ cos onde n ρ IR + e k varia de 0 a n 1. ( θ n + 2kπ n + i sen Exemplos: Encontre as raízes de: (1 z 3 = 7; (2 z 4 = 2 + i 2. Solução: ( ] θ n + 2kπ, n (1 Como 7 = 7(cos π + i sen π, as raízes da equação são: ( ( z 0 = 3 7 cos π 3 + i sen π 3, z 1 = 3 7 ( cos π + i sen π e z 2 = 3 7 cos 5π 3 + i sen 5π 3 (2 Como 2 + i 2 = 2 ( z 0 = 4 2 z 2 = 4 2 ( cos π 4 + i sen π 4 ( cos π 16 + i sen π 16 cos 17π 16 as raízes da equação são: 17π + i sen 16, z 1 = 4 2 e z 3 = 4 2 ( cos 9π 9π + i sen ( cos 25π 16 25π + i sen. 16
25 CAP. 1 NÚMEROS COMPLEXOS 25 Observações: 1. O teorema acima nos diz que todo número complexo não-nulo admite n raízes n-ésimas distintas, para n 2, e todas elas têm módulo n z e os argumentos principais formam uma progressão aritmética de primeiro termo é θ n e a razão é 2π n. Figura 1.1: Solução da equação z 12 = Em virtude das raízes n-ésimas terem todas módulo n z, então elas estão situadas no plano complexo na circunferência de centro na origem e raio r = n z. Pelo fato dos argumentos formarem uma P. A. de 1 o termo θ n e razão 2π as n raízes n dividem a circunferência em n partes congruentes. Assim, se n = 2 as duas raízes são diametralmente opostas e se n 3 as n raízes são vertices de um polígono regular de n lados inscrito na circunferência supra citada. 1.7 Equações Binômias e Equações Trinômias Definição Uma equação binômia é uma equação do tipo az n + b = 0, onde a, b, C a 0 textrme n IN. (
26 SEÇÃO 1.7 EQUAÇÕES BINÔMIAS E EQUAÇÕES TRINÔMIAS 26 Como az n + b = 0 az n = b x n = b b a z = n a, então as n-soluções da equação binômia ( são os n valores de n b a. Exemplo: Resolva a equação binômia z i = 0. Solução: Devemos encontrar ( os 4 valores de 4 1 i. Como 1 i = 2 cos 7π 4 + isen 7π, segue que as 4 soluções são: 4 ( ( z 0 = 8 2 cos 7π 4 + i sen 7π = i, 2 ( ( ( z 1 = 8 2 cos 9π 4 + i sen 9π = 8 2 cos π i sen π = i 2 ( ( ( z 2 = 8 2 cos 11π 11π + i sen = 8 2 cos 3π i sen 3π = i, 2 ( ( ( z 3 = 8 2 cos 13π 13π + i sen = 8 2 cos 5π i sen 5π = i. 2 Definição Uma equação trinômia é uma equação do tipo az 2n + bz n + c = 0, onde a, b, c C a 0 e n IN. ( Fazendo y = z n a equação acima se escreve assim: ay 2 + by + c = 0, resolvendo esta equação do segundo grau encontramos y 1 = b + b 2 4ac 2a Resolvendo as equações binômias e y 2 = b b 2 4ac. 2a encontramos as 2n-soluções de (. z n = y 1 e z n = y 2 Exemplo: Resolva a equação trinômia 27z z = 0. Solução: Fazendo y = z 3 obtemos a equação 27y y + 8 =, cujas soluções são y 1 = 1 e y 2 = Agora resolvendo as equações z 3 = 1 e z 3 = 8 27 encontramos as 6 soluções da equação, que são: z 0 = cos π + i sen π = 1,
27 CAP. 1 NÚMEROS COMPLEXOS 27 z 1 = cos 5π 3 + i sen 5π 3 = 1 2 i 3 2, z 2 = cos 7π 3 + i sen 7π 3 = cos π 3 + i sen π 3 = i 2, ( 8 8 z 3 = 3 cos π + i sen π = = 2 3, ( ( 8 z 4 = 3 cos 5π i sen 5π = i = i 3 ( ( ( 8 z 5 = 3 cos 7π i sen 7π = 2 cos π i sen π = i 2 = i 3 3.
28 CAPÍTULO 2 POLINÔMIOS No ensino médio vemos muitas expressões do tipo x + x 2, 5 + x 3, 19 + x 2 + 2x 3. Essas expressões são conhecidas como polinômios, mais exatamente, polinômios de uma variável. Nesses exemplos, os coeficientes que aparecem pertencem ao conjunto dos números reais. Neste texto, começaremos a estudar essas expressões considerando os coeficientes no conjunto números complexos, tais como x 2 i, 1 + 3i x 1 x 2 + 2ix 3. Para estudarmos essas expressões, definiremos as operações de soma e produto de polinômios e veremos, nesse contexto, como proceder a divisão de polinômios. 2.1 Função Polinomial Definição 2.1. Um polinômio na variável complexa z com coeficientes em C é uma soma da forma a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a n z n, onde cada a i C e a n 0. Também dizemos que uma função f : C C dada por f(z = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a n z n é uma função polinomial. Exemplos: 1. f(z = z 4 16iz 2 é um polinômio com coeficientes a 0 = a 1 = a 3 = 0, a 2 = 16i e a 4 = g(z = 1 + 3i + 3z (1 + 2iz 2 + iz 3 + z 4 é um polinômio com coeficientes a 0 = 1 + 3i, a 1 = 3, a 2 = 1 2i, a 3 = i e a 4 = 1. 28
29 CAP. 2 POLINÔMIOS h(z = 5z 3z 2 + (3 iz 5 é um polinômio com coeficientes a 0 = a 3 = a 4 = 0, a 2 = 3 e a 5 = 3 i. Observações: 1. As parcelas a 0, a 1 z, a 2 z 2,..., a n z n são chamadas termos do polinômio. 2. Os números complexos a i são chamados de coeficientes do polinômio. Logo, a 0 é o coeficiente constante; a 1 é o coeficiente do termo linear z; a 2 é o coeficiente do termo quadrático z 2 ; a 3 é o coeficiente do termo cúbico z 3, e assim sucessivamente. 3. Dado um polinômio f(z = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a n z n, o valor numérico de f em c C é a imagem de a pela função f, ou seja, é o número complexo f(c = a 0 + a 1 c + a 2 c a n c n. 4. Seja f um polinômio se f(a = 0, para algum a C, dizemos que a é uma raíz de f. 5. Se f(z = a 0 + a 1 z + a 2 z a m z m + a m+1 z m a n z n é um polinômio tal que a k = 0 para todo k > m, então escrevemos simplesmente f(z = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a m z m. 6. Dado um polinômio f(z = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a n z n os termos a 0, a 1 z, a 2 z 2, a 3 z 3,..., a n z n são chamados monômios do polinômio. Exemplos: Nos polinômios dos exemplos anteriores temos: 1. f(1 + i = (1 + i 4 16i(1 + i 2 = 4 16i(2i = = g(1 = 1 + 3i (1 + 2i1 2 + i = 1 + 3i + 3 (1 + 2i + i + 1 = 4 + 2i. 3. h( i = 5( i 3( i 2 + (3 i( i 5 = 5i i + 1 = ( i. 2.2 Relações e Operações com Polinômios Igualdade A primeira relação que vamos estabelecer entre polinômios é a igualdade, veremos que a igualdade de dois polinômios pode ser verificada examinando os seus respectivos coeficientes, antes porém vamos definir polinômios nulos.
30 SEÇÃO 2.2 RELAÇÕES E OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 30 Definição 2.2. Seja f : C C um polinômio, dizemos que f é um polinômio nulo (ou identicamente nulo, e indicamos por f 0, se para todo z C tivermos f(z = 0, ou seja, f 0 f(z = 0, z C. Observação: Sejam α 1, α 2,..., α n, α n+1 números complexos a matriz 1 α 1 α α1 n 1 α 2 α α n 2 A = n 1 α n α n... α n 1 α n+1 αn αn+1 n é chamada matriz de Vandermond de elementos característicos α 1, α 2,..., α n e α n+1. O determinante desta matriz é o produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos (α i α k com a condição de que i > k Por exemplo a matriz A = é uma matriz de Vandermond tal que det(a = (5 3 (5 2 (5 4 (3 2 (3 4 (2 4 = ( 1 ( 2 = 12. Teorema 2.3. Um polinômio f : C C dado por f(z = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a n z n é nulo se, e somente se, todos os coeficientes de f são nulos, ou seja, f 0 a 0 = a 1 = a 2 =... = a n = 0. Demonstração: Suponhamos que f é um polinômio nulo, então existem n + 1 números complexos α 1, α 2,..., α n, α n+1, distintos dois a dois, tais que f(α 1 = f(α 2 =... = f(α n = f(α n+1 = 0, ou seja, f(α 1 = a 0 + a 1 α 1 + a 2 α a n α 1 n = 0 f(α 2 = a 0 + a 1 α 2 + a 2 α a n α 2 n = f(α n = a 0 + a 1 α n + a 2 α n a n α n n = 0, f(α n+1 = a 0 + a 1 α n+1 + a 2 α 2 n a n α n n+1 = 0 Assim, estamos diante de um sistema linear e homogêneo (n+1 (n+1 cujas incógnitas são a 0, a 1, a 2,..., a n e a matriz dos coeficientes é 1 α 1 α α1 n 1 α 2 α α n 2 A = n 1 α n α n... α n 1 α n+1 αn αn+1 n
31 CAP. 2 POLINÔMIOS 31 uma matriz de Vandermond, com elementos característicos são α 1, α 2,..., α n e α n+1, todos distintos. Assim, o det(a 0 e portanto sistema tem apenas a solução trivial: a 0 = a 1 = a 2 =... = a n = 0. Reciprocamente, suponhamos que a 0 = a 1 = a 2 =... = a n = 0 é claro que f(z = 0 + 0z + 0z z n = 0, z C. Definição 2.4. Sejam f : C C e g : C C dois polinômios, dizemos f e G são iguais (ou idênticos, e indicamos por f g, se f e g assumem valores numéricos iguais para todo z complexo, ou seja, f g f(z = g(z, z C Adição Definição 2.5. Sejam f(z = a 0 +a 1 z +a 2 z a n z n e g(z = b 0 +b 1 z +b 2 z b m z m polinômios a soma de f com g, denotada por f + g, é o seguinte polinômio (f+g(z = (a 0 +b 0 +(a 1 +b 1 z+(a 2 +b 2 z (a m +b m z m +a m+1 z m a n z n se m < n ou (f +g(z = (a 0 +b 0 +(a 1 +b 1 z+(a 2 +b 2 z (a n +b n z n +b b+1 z b b m z m se n < m ou (f + g(z = (a 0 + b 0 + (a 1 + b 1 z + (a 2 + b 2 z (a n + b n z n se m = n. Observação: Para fazer a soma de polinômios identificamos os termos de mesmo expoente e somamos os respectivos coeficientes. Exemplos: Efetue as seguintes somas f + g, f + h e g + h considerando os polinômios dos exemplos acima. 1. (f + g(z = (z 4 16iz 2 + (1 + 3i + 3z (1 + 2iz 2 + iz 3 + z 4 = 1 + 3i + 3z (1 + 18iz 2 + iz 3 + 2z (f + h(z = (z 4 16iz 2 + (5z 3z 2 + (3 iz 5 = 5z ( iz 2 + z 4 + (3 iz (g + h(z = (1 + 3i + 3z (1 + 2iz 2 + iz 3 + z 4 + (5z 3z 2 + (3 iz 5 = 1 + 3i + 8z ( iz 2 + iz 3 + z 4 + (3 iz 5.
32 SEÇÃO 2.2 RELAÇÕES E OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 32 Propriedades: Dados f, g e h polinômios complexos arbitrários valem as seguintes propriedades: A 1 A 2 A 3 Para quaisquer f, g e h polinômios f + (g + h = (f + g + h, associativa Para quaisquer f e g polinômios f + g = g + f, comutativa Existe e 0 tal que para todo polinômio f temos f +e 0 = f = e 0 +f, existência de elemento neutro A 4 Para todo polinômio f existe um polinômio g tal que f +g = 0, existência de elemento simétrico em relação à soma. Demonstração: A demonstração destas propriedades segue da definição de soma de polinômios e das propriedades de soma de números complexos. Observações: 1. O elemento neutro da soma de polinômios é o polinômio nulo, ou seja, e Denotamos o simétrico de f por f, e se f(z = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n, então f(z = ( a 0 + ( a 1 z + ( a 2 z ( a n z n. 3. A subtração de um polinômio f por um polinômio g, denotada por f g, é feita utilizando o simétrico de g como segue: f g = f + ( g. Logo, se f(z = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n e g(z = b 0 + b 1 z + b 2 z b m nz m, com m < n, então (f g(z = (a 0 b 0 + (a 1 b 1 z (a m b m z m + ( a m+1 z m ( a n z n. Os casos m > n e m = n se definem de maneira análoga. Com a noção de subtração de polinômios estabelecida podemos dar um resultado que caracteriza a igualdade de polinômios através de seus coeficientes. Teorema 2.6. Sejam f : C C e g : C C dois polinômios dados por f(z = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a n z n e g(z = b 0 + b 1 z + b 2 z 2 + b 3 z b m z m, então f e g são iguais se, e somente se, os respectivos coeficientes de f e de g são idênticos, ou seja, f n = m e a 1 = b 1, a 2 = b 2,..., a n = b m. Demonstração: Basta observar que f g h = f g é o polinômio nulo, e pelo Teo. 2.3 isto ocorre se, e somente se, os coeficientes de h são todos nulos. Supondo m < n teremos h(x = (a 0 b 0 + (a 1 b 1 z + (a 2 b 2 z (a m b m z m + a m+1 z m a n z n. Logo, h 0 a 0 = b 0, a 1 = b 1,..., a m = bm e a k = 0 se k > m. O caso m > n se verifica de maneira análoga. Portanto, f g n = m e a 1 = b 1, a 2 = b 2,..., a n = b m.
33 CAP. 2 POLINÔMIOS Multiplicação Definição 2.7. Dados f(z = a 0 +a 1 z +a 2 z a n z n e g(z = b 0 +b 1 z +b b m nz m dois polinômios o produto de f e g, denotado por f g, é o seguinte polinômio (f g(z = (a 0 + b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 z + (a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 + b 2 z a n b m z n+m. Observações: 1. Escrevendo temos que cada coeficiente c k é dado por (f g(z = c 0 + c 1 z + c 2 z c m+n z m+n c k = a 0 b k + a 1 b k a k b 0 = k a i b k i. 2. O polinômio f g pode ser obtido multiplicando-se cada termo a i z i de f por cada termo b j x j de g, segundo a regra (a i z i (b j z j = a i b j z i+j, e somando os resultados obtidos. i=0 Exemplos: Efetue os seguintes produtos f g, f h e g h considerando os polinômios dos exemplos acima. 1. (f g(z = (z 4 16iz 2 (1 + 3i + 3z (1 + 2iz 2 + iz 3 + z 4 = 16(3 iz 2 48iz 3 +[(1+3i (32+16i]z 4 = 16(3 iz 2 48iz 3 (31+13iz (f h(z = (z 4 16iz 2 (5z 3z 2 + (3 iz 5 = 80iz iz 4 + 5z 5 3z 6 ( iz 7 + (3 iz 9. Propriedades: Dados f, g e h polinômios complexos arbitrários valem as seguintes propriedades: M 1 M 2 M 3 Para quaisquer f, g e h polinômios f (g h = (f g h, associativa Para quaisquer f e g polinômios f g = g f, comutativa Existe e 1 tal que para todo polinômio f temos f e 1 = f = e 1 f, existência de elemento neutro D Para quaisquer f, g e h polinômios f (g + h = f g + f h. Demonstração: A demonstração destas propriedades segue da definição de produto de polinômios e das propriedades de multiplicação de números complexos. Métodos para Multiplicar Polinômios: 1 o Método Para determinar o produto dos polinômios f(z = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n e g(z = b 0 + b 1 z + b b m nz m, fazemos uma tabela com m + 3 linhas, onde a tabela deve ser preenchida da seguinte forma:
34 SEÇÃO 2.2 RELAÇÕES E OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 34 (i f na 1 a linha polinômio; (ii g na 2 a linha polinômio; (iii O polinômio f multiplicado pelo monômio b 0 de g na 3 a linha; (vi (v O polinômio f multiplicado pelo monômio b m z m de g na (m + 2-ésima linha (vi A soma dos polinômios da m linhas anteriores obtendo-se o produto f g na (m + 2- ésima linha. (vii Da 3 a até a última as colunas devem ser preenchidas por monômios de mesmo expoente. a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n f b 0 + b 1 z + b 2 z b m z m g a 0 b 0 + a 1 b 0 z + a 2 b 0 z a n b 0 z n b 0 f a 0 b 1 z + a 1 b 1 z a n b 1 z n+1 b 1 f a 0 b mz m a nb mz n+m b m f c 0 + c 1 z + c 2 z c n+m z n+m g f onde c k = a 0 b k + a 1 b k a k b 0 = k a i b k i para k {0, 1,..., n + m}. i=0 Exemplo: Calcule o produto de f( = z + 2z 2 + 3z 3 por g(z = 4 + 5z + 6z 2. z + 2z 2 + 3z 3 f 4 + 5z + 6z 2 g 4z + 8z z 3 4 f + 5z z z 4 5z f 6z z z 5 6z 2 f 4z + 13z z z z 5 f g 2 o Método Para determinar o produto dos polinômios f(z = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n e g(z = b 0 + b 1 z + b b m nz m, construímos uma tabela na qual colocamos os coeficientes a i de f na primeira linha e os coeficientes b j de g na primeira coluna e preenchemos os outros campos da tabela fazendo a multiplicação dos respectivos elementos, como segue:
35 CAP. 2 POLINÔMIOS 35 Ao somar os elementos de cada diagonal, da direita para a esquerda, obtemos os coeficientes do polinômio f g g \ f a 0 a 1 a 2 a 3... a n b 0 a 0 b 0 a 1 b 0 a 2 b 0 a 3 b 0 a nb 0 b 1 a 0 b 1 a 1 b 1 a 2 b 1 a 3 b 1 b 2 a 0 b 2 a 1 b 2 a 2 b 2 a 3 b 2 a n b 1 a n b 2 b 3 a 0 b 3 a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 a n b b m a 0 b m a 1 b m a 2 b m a 3 b m a nb m Exemplo: Calcule o produto de f( = z + 2z 2 + 3z 3 por g(z = 4 + 5z + 6z 2. g \f Portanto, (f g(z = 4z + 13z z z z Grau de um Polinômio Definição 2.8. Seja f(z = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n um polinômio não nulo, o grau de f, denotado por f ou gr f, é o número natural p tal que a p 0 e a i = 0 para todo i > p, ou seja, { ap 0 f = p a i = 0, para todo i > p. Observação: O grau de um polinômio f é o índice do último monômio não nulo de f. Exemplo: Determine o grau dos seguintes polinômios: 1. f(z = 5 7z 3 + 8z 6 f = 6 2. g(z = 2 + 7z 3z 2 + z 9 g = 9 3. h(z = 5 + 4z + 9z 3 + (a + 5z 5 { h = 3, se a = 5 h = 5, se a 5.
36 SEÇÃO 2.3 GRAU DE UM POLINÔMIO 36 Observações: 1. Por convenção não definimos o grau do polinômio nulo, assim f = 0 f a 0, com a Se o grau do polinômio f é n, então a n é chamado coeficiente dominante de f. 3. Se o coeficiente dominante a n é igual a 1, dizemos que f é um polinômio unitário. Teorema 2.9. Sejam f e g então valem: (i (f + g máx { f, g}, ou seja, e o grau de f + g é menor ou igual ao maior dos números f e g. (ii (f g = f + g, ou seja, o grau de f g é igual a soma dos graus de f e g. Demonstração: Suponhamos que f(z = g = m. n a i z i, g(z = i=0 m b j z j, e portanto f = n e j=0 (i Temos três possibilidade para n e m: m < n, ou n < m ou n = m. Se m < n então c n = a n + b n = a n + 0 = a n 0, e portanto (f + g = f = máx { f, g}. Se m > n então c m = a m + b m = 0 + b m = b m 0, e portanto (f + g = g = máx { f, g}. Se m = n então c n = a n + b n, se an + b n 0, então teremos (f + g = f = g = máx { f, g}, mas se a n + b n = 0, então teremos (f + g < f = g = máx { f, g}. Assim, concluímos que (f + g máx{ f, g}. (ii Por definição cada coeficiente do produto f g é dado por c k = a 0 b k + a 1 b k a k 1 b 1 + a k b 0, para k = 0,..., n + m e c k = 0 para todo k > m + n. Portanto, c m+n = a n b m 0, pois a n 0 e b m 0. Logo, (f g = m + n = f + g
37 CAP. 2 POLINÔMIOS 37 Exemplos: Determine (f + g e (f g nos casos abaixo: 1. f(x = 1 + x + x 2 e g(x = 2 + 3x. 2. f(x = 1 + x 2x 2 e g(x = 2 + 3x + 2x f(x = 2 + ix + 5x 2 e g(x = 3 + 5x x 4 4. f(x = i + 3x 3 e g(x = 1 + 2ix + 5x f(x = 1 + 2x x 2 + 4x 5 e g(x = 3 5x + 2x 2 + 9x 4. Solução: 1. f = 2 e g = 1 (f + g = 2 e (f g = f = 2 = g, como a 2 + b 2 = 0 e a 1 + b 1 = 4 0 segue que (f + g = 1 e (f g = f = 2 e g = 4 (f + g = 4 e (f g = f = 3 e g = 3 (f + g = 5 e (f g = f = 5 e g = 4 (f + g = 5 e (f g = Divisão de Polinômios Definição Sejam f e g polinômios com g 0 a divisão de f por g consiste em determinar dois polinômios q e r tais que f = q g + r e r < g ou r 0 (. Observações: Na equação ( da divisão de f por g.adotamos a seguinte nomenclatura: 1. O polinômio f é o dividendo. 2. O polinômio g é o divisor. 3. O polinômio q é o quociente. 4. O polinômio r é o resto. Exemplos: Determine o quociente e o resto da divisão de f por g nos seguintes casos: 1. f(z = 5z 3 + z 2 10z 24 e g(z = z f(z = 4z 5 + 3z 3 2z e g(z = z 3 + 3z f(z = z e g(z = z + i.
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