Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática

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1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CCE Departamento de Matemática Notas de Aulas Disciplina:MAT Fundamentos de Matemática II Simone Maria de Moraes Viçosa Minas Gerais - Brasil Abril/2014 1

2 SUMÁRIO 1 Números Complexos 4 11 Um Pouco de História 4 12 Forma Algébrica de um Número Complexo O Plano Complexo 7 13 Operações com Números Complexos Igualdade Adição Multiplicação 9 14 Conjugado de um Número Complexo Módulo de um Número Complexo O Corpo C dos Números Complexos A Forma Trigonométrica de Número Complexo Potenciação e Radiciação Equações Binômias e Equações Trinômias 26 2 Polinômios Função Polinomial Relações e Operações com Polinômios Igualdade Adição Multiplicação Grau de um Polinômio Divisão de Polinômios Método dos Coeficientes a Determinar de Descartes Método da Chave Divisão de Polinômios por Binômios de 1 o grau Algoritmo de Briot-Ruffini Equações Polinomiais Número de Raízes de uma Equação Polinomial Multiplicidade de uma Raiz de uma Equação Polinomial 54 2

3 SUMÁRIO Relações de Girard Raízes Complexas Raízes Reais Raízes Racionais 61

4 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS Neste capítulo vamos estudar os números complexos Primeiro apresentamos alguns dados históricos a fim de contextualizar o surgimento destes números Em seguida as definições e propriedades referentes a este conjunto 11 Um Pouco de História Resolver equações sempre foi um assunto que fascinou matemáticos ao longo da história Os matemáticos antigos da Babilônia já conseguiam resolver algumas equações do 2 o grau baseados no que hoje chamamos de completamento de quadrado Os matemáticos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da matemática, resolviam alguns tipos de equações do 2 o grau com régua e compasso A conquista da Grécia por Roma praticamente acabou com o domínio da Matemática Grega Com o fim do Império Romano e a ascensão do Cristianismo, a Europa entrou na Idade das Trevas e o desenvolvimento da Matemática ficou nas mãos dos árabes e dos hindus Os matemáticos hindus avançaram nas pesquisas em Álgebra e Bhaskara aprox é o nome que imediatamente vem à nossa memória quando falamos de equações do 2o grau Entretanto a fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele, mas sim pelo matemático hindu Sridhara, no século 11 Relembrando, dada a equação ax 2 + bx + c = 0 com a 0 a fórmula de Bhaskara garante que suas raízes são x 1 = b + b 2 4ac 2a e x 2 = b b 2 4ac 2a Dependendo da equação, poderia acontecer que o número = b 2 4ac fosse negativo Entretanto isso não perturbava muito os matemáticos da época Neste caso eles simplesmente diziam que o problema não tinha solução 4

5 CAP 1 NÚMEROS COMPLEXOS 5 O interesse pelo estudo da Matemática ressurgiu na Europa, mais especialmente na Itália, no século XVI Lá, e no meio da disputa entre Cardano e Tartaglia pela resolução da equação do 3 o grau, é que se percebeu que os números reais não eram suficientes e as primeiras idéias da criação do conjunto dos números complexos surgiram Consta que, por volta de 1510, um matemático italiano de nome Scipione del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equações do tipo x 3 + px + q = 0, mas morreu sem publicar sua descoberta Seu aluno Antonio Maria Fior conhecia tal solução e tentou ganhar notoriedade com ela Na época eram comuns os desafios entre sábios e como Tartaglia era um nome que começava a se destacar nos meios culturais, Fior propôs a Tartaglia um desafio Tartaglia, apesar de não saber resolver ainda tais equações, aceitou o desafio, confiando em seu potencial Sabendo que Fior conhecia a solução das equações acima citadas, não só deduziu a resolução para este caso, como também resolveu as equações do tipo x 3 +px 2 +qx = r Nesta época Cardano estava escrevendo a Pratica Arithmeticae Generalis, que continha ensinamentos sobre Álgebra, Aritmética e Geometria Ao saber que Tartaglia achara a solução geral da equação de grau 3 pediu-lhe que a revelasse, para que fosse publicada em seu próximo livro Tartaglia não concordou, alegando que ele mesmo iria publicar sua descoberta Após muitas conversas e súplicas Cardano, jurando não divulgar tal descoberta, conseguiu que Tartaglia lhe revelasse a solução Porém, Cardano quebrou todas as promessas e, em 1545, fez publicar na Ars Magna a fórmula de Tartaglia No final, como em muitos outros casos, a posteridade não fez justiça a Tartaglia: sua fórmula é até hoje conhecida como Fórmula de Cardano A fórmula de Cardano-Tartaglia permite obter uma raiz de uma equação do tipo x 3 + px + q = 0, a saber: x = q q + 2 p q 2 q p 3 Esta fórmula aplicada a equação x 3 15x 4 = 0 nos dá x 1 = , se poderia aceitar que a equação não tem solução No entanto, 4 é uma raiz da equação e através de alguns cálculos se chega às outras duas raízes 2 ± 3 que são ambas números reais Portanto, algo não se encaixava, que número seria este acima? Não havia como negar que os números reais eram insuficientes para se tratar de equações algébricas Foi Rafael Bombelli, engenheiro hidráulico nascido em Bolonha, Itália, ainda no século XVI, quem conseguiu atravessar a barreira e chegar aos novos números Conforme seu próprio relato em 1572 no livro L Algebra parte maggiore dell Arithmetica, sua idéia foi supor que os números e deveriam ser números da forma a+ b e a b, respectivamente Com algumas contas, ele chegou à conclusão que a = 2 e b = 1

6 SEÇÃO 12 FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO 6 Depois de Bombelli, no século XVI, outros personagens importantes da História da Matemática deram contribuições ao desenvolvimento da teoria dos números complexos, dentre os quais o matemático francês Abraham de Moivre e também os irmãos Jacques e Jean Bernoulli Mas quem fez o trabalho mais importante e decisivo sobre o assunto foi Leonhard Euler Euler foi um dos matemáticos que mais produziu e publicou em todos os tempos, muitas das notações que utilizamos hoje foram introduzidas por ele Dentre as representações propostas por Euler destacamos o i substituindo 1, passando a estudar números da forma z = a + bi com a e b são números reais e i 2 = 1 Esses números são chamados de números complexos Diz-se ainda que o motivo de chamar o número 1 de número imaginário foi por uma frase de Descartes, no século XVII, quando estudava equações algébricas, em uma passagem do Discurso do Método escreveu a seguinte frase: Nem sempre as raízes verdadeiras positivas ou falsas negativas de uma equação são reais Às vezes elas são imaginárias 12 Forma Algébrica de um Número Complexo Definição 11 Um numero complexo qualquer z é um número na forma a + bi, com a e b números reais e i a unidade imaginária que satisfaz i 2 = 1 O conjunto de todos os números complexos é denotado por C Assim temos C = {z = a + bi; a IR e b IR} Observações: 1 A forma z = a + bi do número complexo z é chamada forma algébrica de z 2 O número real a é chamado parte real de z e denotada por Rez 3 O número real b é chamado parte imaginária de z e denotada por Imz 4 Se Imz = 0, então z é um número real 5 Se Rez = 0 dizemos que z é um imaginário puro 6 O conjunto dos números reais é o seguinte subconjunto do conjunto dos números complexos IR = {z = a + bi; a IR e b = 0} 7 O conjunto dos imaginários puros é o seguinte subconjunto do conjunto dos números complexos I = {z = a + bi; a = 0 e b IR}

7 CAP 1 NÚMEROS COMPLEXOS 7 Exemplos: complexo parte real parte imaginária 1 3-i i i O Plano Complexo Já que cada número complexo é constituído por duas componentes: a parte real e a parte imaginária, podemos utilizar o plano cartesiano, que é formado por dois eixos ortogonais, para representar os elementos de C A representação é feita da seguinte maneira: no eixo horizontal representamos o conjunto das partes reais dos complexos e no eixo vertical representamos o conjunto das partes imaginárias dos complexos Assim o número complexo z = a + bi está localizado no plano cartesiano na intersecção das retas y a e x b, com y a é a reta paralela ao eixo y passando por a no eixo x x b é a reta paralela ao eixo x passando por b no eixo y Plano Complexo Observação: Um número complexo z está situado no plano cartesiano no eixo x se, e somente se, z é um número real; e z está situado no plano cartesiano no eixo y se, e somente se, z é um imaginário puro

8 SEÇÃO 13 OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS 8 13 Operações com Números Complexos 131 Igualdade Definição 12 Dizemos que dois números complexos z 1 = a + bi e z 2 = c + { di são iguais a = c se, e somente se, os números reais a, b, c, d satisfazem ambas as igualdades b = d Neste caso usamos a notação z 1 = z 2 Exemplo: É claro que 3 + 2i = i 132 Adição Definição 13 A operação adição em C, denotada por +, é dada por: + : C C C a + bi, c + di a + bi + c + di = a + c + b + di Assim, para adicionarmos dois números complexos basta adicionarmos as partes reais e as partes imaginárias, respectivamente Exemplo: Se z 1 = 4 3i e z 2 = 5 + 7i então z 1 + z 2 = i = 9 + 4i Propriedades: A adição em C satisfaz as seguintes propriedades: A 1 A 2 A 3 A 4 Para quaisquer z 1, z 2, z 3 C, z 1 + z 2 + z 3 = z 1 + z 2 + z 3, associativa Para quaisquer z 1, z 2 C, z 1 + z 2 = z 2 + z 1, comutativa Existe z 0 C tal que para todo z C temos z + z 0 = z, existência de elemento neutro Para todo z C existe w C tal que z + w = 0 + 0i, existência de elemento simétrico Demonstração: A 1 Sejam z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i e z 3 = a 3 + b 3 i números complexos quaisquer, então, z 1 + z 2 + z 3 = a 1 + b 1 i + a 2 + b 2 i + a 3 + b 3 i = a 1 + b 1 i + a 2 + a 3 + b 2 + b 3 i = a 1 +a 2 +a 3 b 1 +b 2 +b 3 assoc de + em IR = = a 1 + b 1 i + a 2 + b 2 i a 1 + a 2 + a 3 + a 1 +a 2 +b 1 +b 2 i + i = + a 3 + b 3 i = z 1 + z 2 + z 3 A 2 Sejam z 1 = a 1 + b 1 i e z 2 = a 2 + b 2 i números complexos quaisquer, então, z 1 + z 2 = a 1 + b 1 i + a 2 + b 2 i = a 1 + a 2 + b 1 + b 2 i b 1 + b 2 + b 3 i +a 3 +b 3 i comut de + em IR = a 2 + a 1 + b 2 + b 1 i = a 2 + b 2 i + a 1 + b 1 i = z 2 + z 1

9 CAP 1 NÚMEROS COMPLEXOS 9 A 3 A 4 Dado z = a +bi um número complexo qualquer devemos determinar o número complexo z 0 = c + di tal que z + z 0 = z, mas isto é equivalente a dizer que { { a + c = a c = 0 a + c + b + di = a + bi b + d = b d = 0 Portanto, o elemento neutro é z 0 = 0 + 0i, ou seja, o número real zero Dado z = a + bi um número complexo qualquer devemos determinar um número complexo w = c + di tal que z + w = 0 + 0i, mas isto é equivalente a dizer que { { a + c = 0 c = a a + c + b + di = 0 + 0i b + d = 0 d = b Portanto, o elemento simétrico de z = a + bi é o número complexo w = a bi Observações: 1 Segue da demonstração acima que o elemento neutro da adição em C é único 2 Segue da demonstração acima que dado z C, z tem um único simétrico 3 Denotamos o simétrico de z por z 4 A subtração de um número complexo z por um número complexo w, denotada por z w, é feita utilizando o simétrico de w como segue: z w = z + w Logo, a + bi c + di = a + bi + c di = a c + b di 133 Multiplicação Definição 14 A operação multiplicação em C, denotada por, é dada por: : C C C a + bi, c + di a + bi c + di = ac bd + ad + bci Assim, para multiplicarmos dois números complexos basta aplicarmos a distributiva da multiplicação em relação à soma e lembrar que i 2 = 1 De fato: Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma definida em IR temos: a + bi c + di = ac + adi + bci + bdi 2 usando i 2 = 1 = ac bd + ad + bci Exemplo: Se z 1 = 2 + 5i e z 2 = 3 i então z 1 z 2 = 2+5i 3 i = i = 1+17i No que segue vamos denotar C = C \ {0}

10 SEÇÃO 13 OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS 10 Propriedades: A multiplicação em C satisfaz as seguintes propriedades: M 1 M 2 M 3 M 4 Para quaisquer z 1, z 2, z 3 C, z 1 z 2 z 3 = z 1 z 2 z 3, associativa Para quaisquer z 1, z 2 C, z 1 z 2 = z 2 z 1, comutativa Existe z 1 C tal que para todo z C, temos z z 1 = z, existência de elemento neutro Para todo z C, existe w C, tal que z w = 1 + 0i, existência de elemento inverso D Para quaisquer z 1, z 2, z 3 C, z 1 z 2 + z 3 = z 1 z 2 + z 1 z 3, distributiva da multiplicação em relação à adição Demonstração: M 1 Sejam z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i e z 3 = a 3 + b 3 i números complexos quaisquer, então, z 1 z 2 z 3 = a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i a 3 + b 3 i [ ] = a 1 + b 1 i a 2 a 3 b 2 b 3 + a 2 b 3 + a 3 b 2 i = a 1 a 2 a 3 b 2 b 3 b 1 a 2 b 3 + a 3 b 2 + a 1 a 2 b 3 + a 3 b 2 + b 1 a 2 a 3 b 2 b 3 i = a 1 a 2 a 3 a 1 b 2 b 3 b 1 a 2 b 3 b 1 a 3 b 2 + a 1 a 2 b 3 + a 1 a 3 b 2 + b 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 i Por outro lado, z 1 z 2 z 3 = a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i [ = = a 3 + b 3 i ] a 1 a 2 b 1 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 1 i a 3 + b 3 i a 1 a 2 b 1 b 2 a 3 a 1 b 2 +a 2 b 1 b 3 + a 1 b 2 +a 2 b 1 a 3 +a 1 a 2 b 1 b 2 b 3 i = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 a 3 a 1 b 2 b 3 b 1 a 2 b 3 +a 1 b 2 a 3 +a 2 b 1 a 3 +a 1 a 2 b 3 b 1 b 2 b 3 i M 2 Sejam z 1 = a 1 + b 1 i e z 2 = a 2 + b 2 i números complexos quaisquer, então, z 1 z 2 = a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i = a 1 a 2 b 1 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 1 i comut de em IR = a 2 a 1 b 2 b 1 + a 2 b 1 + a 1 b 2 i = a 2 + b 2 i a 1 + b 1 i = z 2 z 1 M 3 Dado z = a + bi C, devemos determinar o número complexo z 1 = c + di, z 1 0, tal que z z 1 = z, mas isto é equivalente a dizer que { ac bd = a ac bd + ad + bci = a + bi bc + ad = b, multiplicando a 1 a equação por b e a 2 a por a obtemos { abc b 2 d = ab abc + a 2 d = ab Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos a equação da 2 + b 2 = 0, como z = a + bi 0, então a 2 + b 2 0 Dai, segue que d = 0, substituindo este resultado na primeira equação do sistema obtemos a equação ac = a, como a é um número real qualquer, segue que c = 1 Portanto, o elemento neutro é z 1 = 1 + 0i, ou seja, o número real um

11 CAP 1 NÚMEROS COMPLEXOS 11 M 4 Dado z = a + bi C, devemos determinar um número complexo w = c + di, w 0, tal que z w = 1 + 0i, mas isto é equivalente a dizer que { ac bd = 1 ac bd + ad + bci = 1 + 0i bc + ad = 0, multiplicando a 1 a equação por b e a 2 a por a obtemos { abc b 2 d = b abc + a 2 d = 0 Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos a equação da 2 + b 2 = b, como z = a + bi 0, então a 2 + b 2 0 Dai, segue que d = b a 2 + b 2 Se b = 0, então a 0 e substituindo este resultado na equação ac bd = 1 obtemos c = 1 e se b 0 da segunda equação do sistema obtemos a equação bc = ad e a a portanto, c = a 2 + b 2 Portanto, o elemento inverso de z = a + bi, para z 0, é o número complexo a w = a 2 + b b 2 a 2 + b i = 1 a bi 2 a 2 + b2 D Sejam z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i e z 3 = a 3 + b 3 i números complexos quaisquer, então, z 1 z 2 + z 3 = a 1 + b 1 i a 2 + a 3 + b 2 + b 3 i = a 1 a 2 + a 3 b 1 b 2 + b 3 + a 1 b 2 + b 3 + a 2 + a 3 b 1 i = a 1 a 2 + a 1 a 3 b 1 b 2 b 1 b 3 + a 1 b 2 + a 1 b 3 + a 2 b 1 + a 3 b 1 i = a 1 a 2 b 1 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 1 i + a 1 a 3 b 1 b 3 + a 1 b 3 + a 3 b 1 i = a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i + a 1 + b 1 i a 3 + b 3 i = z 1 z 2 + z 1 z 3 Observações: 1 Na propriedade M 3 excluímos z = 0, pois para todo w C temos 0 w = 0, e o elemento deve ser único Como consideramos z C segue da demonstração acima a unicidade do elemento neutro da multiplicação em C 2 Na propriedade M 4 excluímos z = 0, pois a equação 0 w = 1 + 0i 0 = 1 não faz sentido 3 Segue da demonstração acima que dado z C, o inverso de z é único 4 Denotamos o inverso de z por z 1 5 A divisão de um número complexo z por um número complexo w, com w 0, denotada por z w, é feita utilizando o inverso de w como segue: z w = z w 1 Logo, a + bi c + di = a + bi c c 2 + d 2 d c 2 + d i = 2 1 ac + bd + bc adi c 2 + d 2

12 SEÇÃO 14 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO 12 Multiplicação por Escalar Como caso particular da multiplicação temos também definida a multiplicação de um complexo por um escalar real Definição 15 A multiplicação por escalar real em C dada por: : IR C C λ, a + bi λ a + bi = λ a + λ bi Exemplo: Se λ = 3 e z = 7 2i então λ z = 3 7 2i = i Propriedades: Para quaisquer λ, µ IR e quaisquer z, w C valem as seguintes propriedades: ME 1 λ z + w = λ z + λ w ME 2 λ + µ z = λ z + µ z ME 3 µ λ z = µ λ z A demonstração destas propriedades segue das propriedades da operações + e em IR Exercícios: 1 Encontre as partes real e imaginária dos seguintes números complexos: a z = 1 + i 2 ; b z = 1 + i 1 i ; c z = 1 + 2i i; d z = 5 + 4i1 i ii; e z = 5i 3 + 4i 2 Determine todos os valores de a IR tal que o número a + i 1 + ai seja real 14 Conjugado de um Número Complexo Definição 16 Dado um número complexo z = a + bi o conjugado de z, denotado por z, o seguinte número complexo z = a bi Exemplos: 1 Se z = 4 + 3i, então z = 4 3i 2 Se z = 6, então z = 6

13 CAP 1 NÚMEROS COMPLEXOS 13 3 Se z = 5i, então z = 5i 4 Se z = 3 + 7i, então z = 3 7i Propriedades: Para todo z C valem propriedades: C 1 z = z C 2 C 3 C 4 z + z = 2 Rez z z = 2 Imz z = z z IR C 5 Se z = a + bi, então z z = a 2 + b 2 Demonstração: Consideremos z = a + bi, então: C 1 z = a bi, dai que z = a bi = a + bi C 2 z + z = a + bi + a bi = 2a = 2 Rez C 3 z z = a + bi a bi = 2bi = 2i Imz C 4 z = z a + bi = a bi { { a = a a = a b = b b = 0 z IR C 5 z z = a + bi a bi = a 2 + b 2 + 2abi 2abi = a 2 + b 2 Teorema 17 Dados z e w números complexos quaisquer valem: i z + w = z + w ii z w = z w Demonstração: Suponhamos que z = a + bi e w = c + di, então: i z + w = a + bi + c + di = a + c + b + di Logo, z + w = a + c b + di = a bi + c di = z + w ii z w = a + bi c + di = ac bd + ad + bci Logo, z w = ac bd ad + bci = ac di bic di = a bi c di = z w Observações: 1 Geometricamente, o conjugado z de z é o simétrico de z relativamente ao eixo x

14 SEÇÃO 14 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO 14 2 Dados z = a + bi e w = c + di 0, temos: z w = z a + bi = w w w c + di c di c di ac + bd bc ad = + c 2 + d2 c 2 + d i 2 Exercício: 1 Mostre que dados z e w em C então z w + zw = 2Rez w Solução: Suponhamos que z = a + bi e w = c + di, então z w = a + bic di = ac + bd + bc adi Rez w = ac + bd Por outro lado, z w + zw = a + bic di + a bic + di = 2ac + bd = 2Rez w 2 Resolva a equação iz + 2 z + 1 i = 0, com z C 3 Determine todos os números complexos cujo quadrado seja igual ao conjugado

15 CAP 1 NÚMEROS COMPLEXOS Módulo de um Número Complexo Definição 18 Dado um número complexo z = a + bi o módulo de z, denotado por z, é o seguinte número real não-negativo: z = a 2 + b 2 Exemplos: 1 Se z = 4 + 3i, então z = = 25 = 5 2 Se z = 6, então z = 6 2 = 36 = 6 3 Se z = 5i, então z = 5 2 = 25 = 5 4 Se z = 3 + 7i, então z = = 58 Propriedades: Para todo z C valem propriedades: MO 1 z 0 e z = 0 z = 0 MO 2 MO 3 MO 4 z = z Rez Rez z Imz Imz z MO 5 z z = z 2 Demonstração: Consideremos z = a + bi, então: } a 2 0 MO 1 b 2 a 2 + b 2 0 a b 2 0 z 0 Além disso, z = 0 a 2 + b 2 = 0 a 2 + b 2 = 0 a = b = 0 z = 0 MO 2 MO 3 z = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 = z Se a 0, então a = a, se a < 0, então a < a Por outro, lado a 2 a 2 + b 2 a 2 a a 2 + b 2 2 = a Logo, a = Rez Rez z a a 2 + b 2 = z MO 4 Se b 0, então b = b, se b < 0, então b < b Por outro, lado b 2 a 2 + b 2 b 2 b a 2 + b 2 2 = b Logo, b = Imz Imz z b a 2 + b 2 = z MO 5 z z = a + bi a bi = a 2 + b 2 + ab + abi = a 2 + b 2 = z 2

16 SEÇÃO 15 MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO 16 Teorema 19 Dados z e w números complexos quaisquer valem: i z w = z w z ii Se w 0, w = z w iii z + w z + w Desigualdade Triangular iv z w z w Demonstração: Suponhamos que z = a + bi e w = c + di, então: i z w 2 MO 5 = zw zw M 1 e M = 2 z z w w = z 2 w 2 = z w 2 Logo, como z w 0 e z w 0 extraindo a raiz quadrada na igualdade acima obtemos: z w = z w ii Primeiro observemos que se w 0, então 1 w = 1 c + di = c di MO 5 c = c + dic di c 2 + d di 2 c 2 + d = c d c 2 + d 2 + = c 2 + d 2 c 2 + d 2 c 2 + d 2 = 2 z Logo, w = z 1 w = z 1 w = z 1 w = z w c2 + d 2 c 2 + d 2 = 1 c2 + d = 1 2 w iii z + w 2 MO = 5 T eo14i z + wz + w = z + w z + w = z z + z w + zw + w w Exerc acima e MO 5 = z 2 + 2Rez w + w 2 MO 3 z z w + w 2 MO 2 e i z z w + w 2 = z + w 2 Como z + w 0 e z + w 0, extraindo a raiz quadrada da desigualdade acima obtemos: z + w z + w iv Por um lado temos Analogamente, z = z w + w iii z w + w w = w z + z iii w z + z = z w + z Portanto, z w z w e z w z w z w z w

17 CAP 1 NÚMEROS COMPLEXOS 17 Observações: 1 Geometricamente, o módulo z de z representa a distância de z à origem do plano cartesiano 2 Podemos utilizar a propriedade MO 5 para fazer a divisão de números complexos De fato: dados z C e w C, então: z w = z z w = w w w w w = z w w 2 Exemplo: Calcule 1 + 3i 2 i Solução: 1 + 3i 2 i = 1 + 3i 2 + i 2 + i 2 = 1 + 7i 5 = i 5 Exercício: Resolva a equação iz + 2 z + 1 i = 0, com z C 16 O Corpo C dos Números Complexos Pelo exposto acima vemos que existe uma relação biunívoca entre os elementos do plano cartesiano e os números complexos Para estabelecer esta bijeção consideremos IR 2 = {a, b; a IR e b IR},

18 SEÇÃO 16 O CORPO C DOS NÚMEROS COMPLEXOS 18 o conjunto dos elementos do plano cartesiano, que também pode ser considerando como o produto cartesiano IR IR { a = c Dados a, b e c, d em IR 2 dizemos que a, b = c, d b = d Consideremos em IR 2 a adição + e a multiplicação definidas abaixo: 1 Adição: a, b + c, d = a + c, b + d, com elemento neutro 0, 0 e simétrico de a, b o elemento a, b 2 Multiplicação: a, b c, d = ac bd, ad + bc, com elemento neutro 1, 0 e inverso de a, b, quando a, b 0, 0, o elemento a a 2 + b, b 2 a 2 + b 2 Agora consideremos a aplicação: f : IR 2 C a, b f a, b = a + bi, que identifica C com IR 2, pois f é uma bijeção que preserva a adição e a multiplicação Verificação: f é injetora, pois: f a, b = f c, d a+bi = c+di { a = c b = d a, b = c, d f é sobrejetora, pois: dado a+bi C considerando a, b IR 2 temos f a, b = a+bi f é preserva a soma, pois: f a, b + c, d = f a + c, b + d = a + c + b + di = a + bi + c + di f é preserva o produto, pois: f a, b c, d = f ac bd, ad + bc = ac bd + ad + bci = a + bi c + di Assim, indicamos a identificação por: C IR 2 Observações: 1 A aplicação f acima é chamada na Álgebra de isomorfismo, pois é uma bijeção que preserva as operações dos conjuntos 2 A adição e multiplicação definidas acima satisfazem as propriedades A 1, A 2, A 3, A 4, M 1, M 2, M 3, M 4 e D, munindo C da estrutura de corpo comutativo, por este motivo se adota a nomenclatura de que C é o corpo dos números complexos

19 CAP 1 NÚMEROS COMPLEXOS 19 Na configuração acima temos ainda que: A unidade imaginária i = 0, 1 IR, o conjunto dos números complexos reais, pode ser identificado com IR = {a, 0; a IR}, esta identificação é também chamada de imersão de IR em C I, o conjunto dos números complexos imaginários puros, pode ser identificado com I = {0, b; b IR } 17 A Forma Trigonométrica de Número Complexo Dado um número complexo z 0 podemos representá-lo em coordenadas polares como z = ρ cos θ + i ρ sen θ = ρcos θ + i sen θ, com ρ = z e θ é o ângulo que o vetor representado por z forma com o eixo real, medido no sentido anti-horário em radianos Definição 110 Dado z C, o argumento de z, denotado por argz é dado por: argz = { 0, se z = 0 θ, se θ satisfaz { cos θ = cosθ + 2kπ Da periodicidade das funções seno e cosseno sabemos que senθ = senθ + 2kπ, com z Z Assim um número complexo z, com z 0, admite infinitos argumentos, isto nos sugere a seguinte definição: Definição 111 Seja z = x + yi C o argumento principal de z é o ângulo θ 0 tal que cos θ 0 = x z e senθ 0 = y z Observações: 1 Se θ 0 é argumento principal de z, então é claro que θ 0 também satisfaz e 0 θ 0 < 2π 2 Se θ 0 é o argumento principal de z C, então temos o seguintes: a Se z = x é real e x > 0, então θ 0 = 0 b Se z = x é real e x < 0, então θ 0 = π c Se z = iy é imaginário puro e y > 0, então θ 0 = π 2 d Se z = iy é imaginário puro e y < 0, então θ 0 = 3π 2

20 SEÇÃO 17 A FORMA TRIGONOMÉTRICA DE NÚMERO COMPLEXO 20 e Se z = x + iy com x 0 e y 0, então tan θ 0 = y x Exemplos: Determine o argumento principal dos seguintes números complexos: i; 2 5 5i; i 2; 4 7; 5 4i Solução: i = + 12 = 4 = 2 3 cos θ 0 = 2 Logo, θ 0 = π senθ 0 = 1 6 ou i = = 5 2 cos θ 0 = = 2 Logo, sen θ 0 = = 2 θ 0 = 5π 4 ou i = + 2 = 4 = 2 2 cos θ 0 = 2 Logo, θ 0 = π 4 ou 45 2 sen θ 0 = 2 4 7, então θ 0 = π 5 4i, então θ 0 = π 2 Definição 112 Seja z = x + yi C sua representação na forma z = ρcos θ + isenθ, com ρ = z e θ é um argumento de z, é chamada forma trigonométrica ou polar de z Observação: Para efeito de cálculos vamos considerar sempre a representação trigonométrica utilizando o argumento principal Exemplos: Represente os números complexos do exemplo anterior na forma trigonométrica Solução: i = 2 cos π 6 + i senπ ; 2 5 5i = 5 2 cos 7π i sen7π i 2 = 2 cos π 4 + i senπ ; 4 7 = 7cos π + i senπ; 4 5 4i = 4 cos π 2 + i senπ 2 ;

21 CAP 1 NÚMEROS COMPLEXOS 21 Proposição 113 Se z C e θ é um argumento de z, então θ é um argumento de z Demonstração: Escrevendo z = ρ cos θ + i ρ senθ, temos que z = ρ cos θ i ρ senθ cos θ=cos θ e sen θ= senθ = ρ cos θ + i ρ sen θ 171 Potenciação e Radiciação Teorema 114 Sejam z 1 e z 2 números complexos, com representações trigonométricas z 1 = ρ 1 cos θ 1 + i senθ 1 ez 2 = ρ 2 cos θ 2 + i senθ 2, com ρ 1, ρ 2 e argumentos θ 1 e θ 2 são, respectivamente, os módulos e os argumentos de z 1 e z 2, então número complexo z 1 z 2 tem módulo ρ 1 ρ 2 e argumento θ 1 + θ 2 Demonstração: z 1 z 2 = [ρ 1 cos θ 1 + i senθ 1 ][ρ 2 cos θ 2 + i senθ 2 ] = ρ 1 ρ 2 cos θ 1 cos θ 2 senθ 1 senθ 2 + icos θ 1 senθ 2 + cos θ 2 senθ 1 = ρ 1 ρ 2 cosθ 1 + θ 2 + i senθ 1 + θ 2 Corolário 115 Sejam z 1 e z 2 números complexos, com representações trigonométricas como no Teorema114, se z 2 0, então número complexo z 1 tem módulo ρ 1 e argumento z 2 ρ 2 θ 1 θ 2

22 SEÇÃO 17 A FORMA TRIGONOMÉTRICA DE NÚMERO COMPLEXO 22 Demonstração: Primeiro lembramos que se argz 2 = θ 2, então argz 2 = θ 2 Logo, z 1 = z 1z 2 z 2 z 2 = 1 ρ 2 ρ 2 1 ρ 2 cosθ 1 θ 2 + i senθ 1 θ 2 = ρ 1 cosθ 1 θ 2 + i senθ 1 θ 2 2 ρ 2 Exemplos: Escreva os seguintes números na forma trigonométrica: i i 4i; 2 5 5i Solução: 1 Vimos que 3 + i = 2 cos π 6 + i senπ e 4i = 4 cos π i senπ 2 Logo, 3 + i 4i = 8 cos 2π 3 + isen2π 3 2 Vimos que 5 5i = 5 2 cos 7π 4 + i sen7π 4 e 2 + i 2 = 2 cos π 4 + i senπ 4 Logo, 2 + i 2 5 5i = 5 2 cos 3π isen2π 2 O Teorema114 se estende, por indução finita, da seguinte maneira: Teorema 116 Sejam z 1, z 2,, z n números complexos, com representações trigonométricas z k = ρ k cos θ k + isenθ k, para k + 1,, n Então número complexo z 1 z 2 z n tem módulo ρ 1 ρ 2 ρ n e argumento θ 1 + θ θ n Assim tomando z = z 1 = z 2 = = z n obtemos o seguinte resultado que nos fornece a n-ésima potência de z na forma trigonométrica Corolário 117 A n-ésima potência de z Se o número complexo z tem representação trigonométrica z = ρcos θ + i senθ, então para todo n IN temos z n = ρ n cosnθ + i sen nθ Além disso, se z 0, a fórmula é válida para todo n Z

23 CAP 1 NÚMEROS COMPLEXOS 23 Exemplos: Calcule: i 4 ; 2 5 5i 3 Solução: 1 Vimos que 3 + i = 2 cos π 6 + i senπ 6 Logo, 3 + i 4 = 2 4 cos 4π 6 + i sen4π 6 = 16 cos 2π 3 + i sen2π 3 2 Vimos que 5 5i = 5 2 cos 7π 4 + isen7π 4 Logo, 5 5i 3 = cos 21π 4 + i sen21π 4 E portanto, 5 5i 3 = = 1 5 5i 3 = cos 21π 4 cos 21π 4 i sen21π 4 + isen 21π 4 Se z C e z = 1, então geometricamente z está no círculo de centro na origem e raio 1 Além disso, sua representação na forma trigonométrica é dada por z = cos θ + i senθ O próximo corolário estabelece as potências de z Corolário 118 Primeira Fórmula de Moivre Para todo θ IR e todo n Z temos: cos θ + i sen θ n = cosnθ + isennθ Demonstração: Basta notar que cos θ + isenθ = 1 e aplicar o corolário acima Radiciação Agora vamos resolver as equações do tipo z n = z 0, com z 0 é um número complexo dado e n IN Se z 0 = 0, então é claro que a única solução de é z = 0 Se z 0 0 para resolver vamos usar a forma trigonométrica Escrevendo z 0 = ρ 0 cos ϕ 0 + i senϕ 0 e z = ρcos θ + i sen θ e usando o corolário117 vemos que a equação é equivalente à seguinte: ρ n cosnθ + isennθ = ρ 0 cos ϕ0 + isenϕ 0,

24 SEÇÃO 17 A FORMA TRIGONOMÉTRICA DE NÚMERO COMPLEXO 24 que por sua vez é equivalente a: ρ n = ρ 0 ρ n = ρ 0 cosnθ = cos ϕ 0 sennθ = senϕ 0 nθ = ϕ 0 + 2kπ, k Z ρ = n ρ 0 θ = ϕ 0 n + 2kπ n, k Z Observações: 1 Como ρ 0 > 0, então ρ = n ρ 0 representa a n-ésima raiz positiva do número real ρ 0 2 Na equação θ = ϕ 0 n +2kπ para cada z IN temos um valor diferente de θ, designaremos n esta dependência colocando θ k no lugar de θ, ou seja, θ k = ϕ 0 n + 2kπ, assim as soluções n de são z k = n ρ 0 cos θk + i sen θ k 3 Para quaisquer k, l Z podemos verificar que: ou seja, z k+ln = z k cosθ k+ln + isenθ k+ln = cos θ k + isenθ k, Portanto, podemos nos restringir às soluções de : z 0,, z n 1 Admitindo que ϕ 0 é o argumento principal de z 0, ou seja, que 0 ϕ 0 < 2π, então o argumentos de z 0,, z n 1 são: θ 0 = ϕ 0 n, θ 1 = ϕ 0 n + 2π n,, θ n 1 = ϕ 0 n O desenvolvimento acima é a demonstração do seguinte resultado: 2n 1π + n Teorema 119 Segunda Fórmula de Moivre Se z = ρcos θ + i sen θ é um número complexo não-nulo e n IN, com n 2, então existem n raízes n-ésimas de z e estas são da forma: z k = n ρ [ cos com n ρ IR + e k varia de 0 a n 1 θ n + 2kπ n + i sen Exemplos: Encontre as raízes de: 1 z 3 = 7; 2 z 4 = 2 + i 2 Solução: 1 Como 7 = 7cos π + i sen π, as raízes da equação são: z 0 = 3 7 cos π 3 + i sen π 3 ] θ n + 2kπ, n, z 1 = 3 7 cos π + i sen π e z 2 = 3 7 cos 5π 3 + i sen 5π 3

25 CAP 1 NÚMEROS COMPLEXOS 25 2 Como 2 + i 2 = 2 cos π 4 + i sen π as raízes da equação são: 4 z 0 = 4 2 cos π 16 + isen π, z 1 = 4 2 cos 9π isen9π 16 z 2 = 4 2 cos 17π 16 + isen17π e z 3 = 4 2 cos 25π isen25π 16 Observações: 1 O teorema acima nos diz que todo número complexo não-nulo admite n raízes n-ésimas distintas, para n 2, e todas elas têm módulo n z e os argumentos principais formam uma progressão aritmética de primeiro termo é θ n e a razão é 2π n Figura 11: Solução da equação z 12 = Em virtude das raízes n-ésimas terem todas módulo n z, então elas estão situadas no plano complexo na circunferência de centro na origem e raio r = n z Pelo fato dos argumentos formarem uma P A de 1 o termo θ n e razão 2π as n raízes n dividem a circunferência em n partes congruentes Assim, se n = 2 as duas raízes são diametralmente opostas e se n 3 as n raízes são vertices de um polígono regular de n lados inscrito na circunferência supra citada

26 SEÇÃO 18 EQUAÇÕES BINÔMIAS E EQUAÇÕES TRINÔMIAS Equações Binômias e Equações Trinômias Definição 120 Uma equação binômia é uma equação do tipo Como az n + b = 0, com a, b, C a 0 e n IN az n + b = 0 az n = b x n = b b a z = n a, então as n-soluções da equação binômia são os n valores de n b a Exemplo: Resolva a equação binômia z i = 0 Solução: Devemos encontrar os 4 valores de 4 1 i Como 1 i = 2 cos 7π 4 + i sen 7π, segue que as 4 soluções são: 4 z 0 = 8 2 cos 7π 16 + i sen7π, z 1 = 8 2 cos 15π i sen15π 16 z 2 = 8 2 cos 23π 16 + i sen23π, z 3 = 8 2 cos 31π i sen31π 16 Definição 121 Uma equação trinômia é uma equação do tipo az 2n + bz n + c = 0, com a, b, c C a 0 e n IN Fazendo y = z n a equação acima se escreve assim: ay 2 + by + c = 0, resolvendo esta equação do segundo grau encontramos y 1 = b + b 2 4ac 2a Resolvendo as equações binômias e y 2 = b b 2 4ac 2a encontramos as 2n-soluções de z n = y 1 e z n = y 2 Exemplo: Resolva a equação trinômia 27z z = 0 Solução: Fazendo y = z 3 obtemos a equação 27y y + 8 =, cujas soluções são y 1 = 1 e y 2 = 8 27 Agora resolvendo as equações z 3 = 1 e z 3 = 8 27 encontramos as 6 soluções da equação, que são: z 0 = cos π 3 + i senπ 3 = i 3 2, z 1 = cos π + i senπ = 1,

27 CAP 1 NÚMEROS COMPLEXOS 27 z 2 = cos 5π 3 + i sen5π 3 = i 2, 8 z 3 = 3 cos π i senπ = i = i z 4 = 3 cos π + i senπ = = 2 3, 8 z 5 = 3 cos 5π i sen5π = i = i 3

28 CAPÍTULO 2 POLINÔMIOS No ensino médio vemos muitas expressões do tipo x + x 2, 5 + x 3, 19 + x 2 + 2x 3 Essas expressões são conhecidas como polinômios, mais exatamente, polinômios de uma variável Nesses exemplos, os coeficientes que aparecem pertencem ao conjunto dos números reais Neste texto, começaremos a estudar essas expressões considerando os coeficientes no conjunto números complexos, tais como x 2 i, 1 + 3i x 1 x 2 + 2ix 3 Para estudarmos essas expressões, definiremos as operações de soma e produto de polinômios e veremos, nesse contexto, como proceder a divisão de polinômios 21 Função Polinomial Definição 21 Um polinômio na variável complexa z com coeficientes em C é uma soma da forma a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a n z n, onde cada a i C e a n 0 Também dizemos que uma função f : C C dada por fz = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a n z n é uma função polinomial Exemplos: 1 fz = z 4 16iz 2 é um polinômio com coeficientes a 0 = a 1 = a 3 = 0, a 2 = 16i e a 4 = 1 2 gz = 1 + 3i + 3z 1 + 2iz 2 + iz 3 + z 4 é um polinômio com coeficientes a 0 = 1 + 3i, a 1 = 3, a 2 = 1 2i, a 3 = i e a 4 = 1 28

29 CAP 2 POLINÔMIOS 29 3 hz = 5z 3z iz 5 é um polinômio com coeficientes a 0 = a 3 = a 4 = 0, a 2 = 3 e a 5 = 3 i Observações: 1 As parcelas a 0, a 1 z, a 2 z 2,, a n z n são chamadas termos do polinômio 2 Os números complexos a i são chamados de coeficientes do polinômio Logo, a 0 é o coeficiente constante; a 1 é o coeficiente do termo linear z; a 2 é o coeficiente do termo quadrático z 2 ; a 3 é o coeficiente do termo cúbico z 3, e assim sucessivamente 3 Dado um polinômio fz = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a n z n, o valor numérico de f em c C é a imagem de a pela função f, ou seja, é o número complexo fc = a 0 + a 1 c + a 2 c a n c n 4 Seja f um polinômio se fa = 0, para algum a C, dizemos que a é uma raíz de f 5 Se fz = a 0 + a 1 z + a 2 z a m z m + a m+1 z m a n z n é um polinômio tal que a k = 0 para todo k > m, então escrevemos simplesmente fz = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a m z m 6 Dado um polinômio fz = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a n z n os termos a 0, a 1 z, a 2 z 2, a 3 z 3,, a n z n são chamados monômios do polinômio Exemplos: Nos polinômios dos exemplos anteriores temos: 1 f1 + i = 1 + i 4 16i1 + i 2 = 4 16i2i = = 28 2 g1 = 1 + 3i i1 2 + i = 1 + 3i i + i + 1 = 4 + 2i 3 h i = 5 i 3 i i i 5 = 5i i + 1 = i 22 Relações e Operações com Polinômios 221 Igualdade A primeira relação que vamos estabelecer entre polinômios é a igualdade, veremos que a igualdade de dois polinômios pode ser verificada examinando os seus respectivos coeficientes, antes porém vamos definir polinômios nulos

30 SEÇÃO 22 RELAÇÕES E OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 30 Definição 22 Seja f : C C um polinômio, dizemos que f é um polinômio nulo ou identicamente nulo, e indicamos por f 0, se para todo z C tivermos fz = 0, ou seja, f 0 fz = 0, z C Observação: Sejam α 1, α 2,, α n, α n+1 números complexos a matriz 1 α 1 α1 2 α1 n 1 α 2 α2 2 α n 2 A = 2 n 1 α n α n α n 1 α n+1 αn+1 2 αn+1 n é chamada matriz de Vandermond de elementos característicos α 1, α 2,, α n e α n+1 O determinante desta matriz é o produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos α i α k com a condição de que i > k Por exemplo a matriz A = é uma matriz de Vandermond tal que deta = = = 12 Teorema 23 Um polinômio f : C C dado por fz = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a n z n é nulo se, e somente se, todos os coeficientes de f são nulos, ou seja, f 0 a 0 = a 1 = a 2 = = a n = 0 Demonstração: Suponhamos que f é um polinômio nulo, então existem n + 1 números complexos α 1, α 2,, α n, α n+1, distintos dois a dois, tais que fα 1 = fα 2 = = fα n = fα n+1 = 0, ou seja, fα 1 = a 0 + a 1 α 1 + a 2 α a n α 1 n = 0 fα 2 = a 0 + a 1 α 2 + a 2 α a n α 2 n = 0 fα n = a 0 + a 1 α n + a 2 α n a n α n n = 0, fα n+1 = a 0 + a 1 α n+1 + a 2 α 2 n a n α n n+1 = 0 Assim, estamos diante de um sistema linear e homogêneo n+1 n+1 cujas incógnitas são a 0, a 1, a 2,, a n e a matriz dos coeficientes é 1 α 1 α1 2 α1 n 1 α 2 α2 2 α n 2 A = 2 n 1 α n α n α n 1 α n+1 αn+1 2 αn+1 n

31 CAP 2 POLINÔMIOS 31 uma matriz de Vandermond, com elementos característicos são α 1, α 2,, α n e α n+1, todos distintos Assim, o deta 0 e portanto sistema tem apenas a solução trivial: a 0 = a 1 = a 2 = = a n = 0 Reciprocamente, suponhamos que a 0 = a 1 = a 2 = = a n = 0 é claro que fz = 0 + 0z + 0z z n = 0, z C Definição 24 Sejam f : C C e g : C C dois polinômios, dizemos f e G são iguais ou idênticos, e indicamos por f g, se f e g assumem valores numéricos iguais para todo z complexo, ou seja, f g fz = gz, z C 222 Adição Definição 25 Sejam fz = a 0 +a 1 z +a 2 z 2 + +a n z n e gz = b 0 +b 1 z +b 2 z 2 + +b m z m polinômios a soma de f com g, denotada por f + g, é o seguinte polinômio f+gz = a 0 +b 0 +a 1 +b 1 z+a 2 +b 2 z 2 + +a m +b m z m +a m+1 z m+1 + +a n z n se m < n ou f +gz = a 0 +b 0 +a 1 +b 1 z+a 2 +b 2 z 2 + +a n +b n z n +b b+1 z b+1 + +b m z m se n < m ou f + gz = a 0 + b 0 + a 1 + b 1 z + a 2 + b 2 z a n + b n z n se m = n Observação: Para fazer a soma de polinômios identificamos os termos de mesmo expoente e somamos os respectivos coeficientes Exemplos: Efetue as seguintes somas f + g, f + h e g + h considerando os polinômios dos exemplos acima 1 f + gz = z 4 16iz i + 3z 1 + 2iz 2 + iz 3 + z 4 = 1 + 3i + 3z iz 2 + iz 3 + 2z 4 2 f + hz = z 4 16iz 2 + 5z 3z iz 5 = 5z iz 2 + z iz 5 3 g + hz = 1 + 3i + 3z 1 + 2iz 2 + iz 3 + z 4 + 5z 3z iz 5 = 1 + 3i + 8z iz 2 + iz 3 + z iz 5

32 SEÇÃO 22 RELAÇÕES E OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 32 Propriedades: Dados f, g e h polinômios complexos arbitrários valem as seguintes propriedades: A 1 A 2 A 3 Para quaisquer f, g e h polinômios f + g + h = f + g + h, associativa Para quaisquer f e g polinômios f + g = g + f, comutativa Existe e 0 tal que para todo polinômio f temos f +e 0 = f = e 0 +f, existência de elemento neutro A 4 Para todo polinômio f existe um polinômio g tal que f +g = 0, existência de elemento simétrico em relação à soma Demonstração: A demonstração destas propriedades segue da definição de soma de polinômios e das propriedades de soma de números complexos Observações: 1 O elemento neutro da soma de polinômios é o polinômio nulo, ou seja, e Denotamos o simétrico de f por f, e se fz = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n, então fz = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n 3 A subtração de um polinômio f por um polinômio g, denotada por f g, é feita utilizando o simétrico de g como segue: f g = f + g Logo, se fz = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n e gz = b 0 + b 1 z + b 2 z b m nz m, com m < n, então f gz = a 0 b 0 + a 1 b 1 z + + a m b m z m + a m+1 z m a n z n Os casos m > n e m = n se definem de maneira análoga Com a noção de subtração de polinômios estabelecida podemos dar um resultado que caracteriza a igualdade de polinômios através de seus coeficientes Teorema 26 Sejam f : C C e g : C C dois polinômios dados por fz = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z a n z n e gz = b 0 + b 1 z + b 2 z 2 + b 3 z b m z m, então f e g são iguais se, e somente se, os respectivos coeficientes de f e de g são idênticos, ou seja, f g n = m e a 1 = b 1, a 2 = b 2,, a n = b m Demonstração: Basta observar que f g h = f g é o polinômio nulo, e pelo Teo 23 isto ocorre se, e somente se, os coeficientes de h são todos nulos Supondo m < n teremos hx = a 0 b 0 + a 1 b 1 z + a 2 b 2 z 2 + a m b m z m + a m+1 z m+1 + a n z n Logo, h 0 a 0 = b 0, a 1 = b 1,, a m = bm e a k = 0 se k > m O caso m > n se verifica de maneira análoga Portanto, f g n = m e a 1 = b 1, a 2 = b 2,, a n = b m

33 CAP 2 POLINÔMIOS Multiplicação Definição 27 Dados fz = a 0 +a 1 z +a 2 z 2 + +a n z n e gz = b 0 +b 1 z +b b m nz m dois polinômios o produto de f e g, denotado por f g, é o seguinte polinômio f gz = a 0 + b 0 + a 0 b 1 + a 1 b 0 z + a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 + b 2 z a n b m z n+m Observações: 1 Escrevendo temos que cada coeficiente c k é dado por f gz = c 0 + c 1 z + c 2 z c m+n z m+n c k = a 0 b k + a 1 b k a k b 0 = k a i b k i 2 O polinômio f g pode ser obtido multiplicando-se cada termo a i z i de f por cada termo b j z j de g, segundo a regra a i z i b j z j = a i b j z i+j, e somando os resultados obtidos i=0 Exemplos: Efetue os seguintes produtos f g, f h e g h considerando os polinômios dos exemplos acima 1 f gz = z 4 16iz i + 3z 1 + 2iz 2 + iz 3 + z 4 = 163 iz 2 48iz 3 +[1+3i 32+16i]z 4 = 163 iz 2 48iz iz 4 2 f hz = z 4 16iz 2 5z 3z iz 5 = 80iz iz 4 + 5z 5 3z iz iz 9 Propriedades: Dados f, g e h polinômios complexos arbitrários valem as seguintes propriedades: M 1 M 2 M 3 Para quaisquer f, g e h polinômios f g h = f g h, associativa Para quaisquer f e g polinômios f g = g f, comutativa Existe e 1 tal que para todo polinômio f temos f e 1 = f = e 1 f, existência de elemento neutro D Para quaisquer f, g e h polinômios f g + h = f g + f h Demonstração: A demonstração destas propriedades segue da definição de produto de polinômios e das propriedades de multiplicação de números complexos Métodos para Multiplicar Polinômios: 1 o Método Para determinar o produto dos polinômios fz = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n e gz = b 0 + b 1 z + b b m nz m, fazemos uma tabela com m + 3 linhas, onde a tabela deve ser preenchida da seguinte forma:

34 SEÇÃO 22 RELAÇÕES E OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 34 i f na 1 a linha polinômio; ii g na 2 a linha polinômio; iii O polinômio f multiplicado pelo monômio b 0 de g na 3 a linha; vi v O polinômio f multiplicado pelo monômio b m z m de g na m + 2-ésima linha vi A soma dos polinômios da m linhas anteriores obtendo-se o produto f g na m + 2- ésima linha vii Da 3 a até a última as colunas devem ser preenchidas por monômios de mesmo expoente a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n f b 0 + b 1 z + b 2 z b m z m g a 0 b 0 + a 1 b 0 z + a 2 b 0 z a n b 0 z n b 0 f a 0 b 1 z + a 1 b 1 z a n b 1 z n+1 b 1 f a 0 b m z m + + a n b m z n+m b m f c 0 + c 1 z + c 2 z c n+m z n+m g f onde c k = a 0 b k + a 1 b k a k b 0 = k a i b k i para k {0, 1,, n + m} i=0 Exemplo: Calcule o produto de f = z + 2z 2 + 3z 3 por gz = 4 + 5z + 6z 2 z + 2z 2 + 3z 3 f 4 + 5z + 6z 2 g 4z + 8z z 3 4 f + 5z z z 4 5z f 6z z z 5 6z 2 f 4z + 13z z z z 5 f g 2 o Método Para determinar o produto dos polinômios fz = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n e gz = b 0 + b 1 z + b b m nz m, construímos uma tabela na qual colocamos os coeficientes a i de f na primeira linha e os coeficientes b j de g na primeira coluna e preenchemos os outros campos da tabela fazendo a multiplicação dos respectivos elementos, como segue:

35 CAP 2 POLINÔMIOS 35 Ao somar os elementos de cada diagonal, da direita para a esquerda, obtemos os coeficientes do polinômio f g g \ f a 0 a 1 a 2 a 3 a n b 0 a 0 b 0 a 1 b 0 a 2 b 0 a 3 b 0 a n b 0 b 1 a 0 b 1 a 1 b 1 a 2 b 1 a 3 b 1 b 2 a 0 b 2 a 1 b 2 a 2 b 2 a 3 b 2 a n b 1 a nb 2 b 3 a 0 b 3 a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 a nb 3 b m a 0 b m a 1 b m a 2 b m a 3 b m a n b m Exemplo: Calcule o produto de fz = z + 2z 2 + 3z 3 por gz = 4 + 5z + 6z 2 g \f Portanto, f gz = 4z + 13z z z z 5 23 Grau de um Polinômio Definição 28 Seja fz = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n um polinômio não nulo, o grau de f, denotado por f ou gr f, é o número natural p tal que a p 0 e a i = 0 para todo i > p, ou seja, { ap 0 f = p a i = 0, para todo i > p Observação: O grau de um polinômio f é o índice do último monômio não nulo de f Exemplo: Determine o grau dos seguintes polinômios: 1 fz = 5 7z 3 + 8z 6 f = 6 2 gz = 2 + 7z 3z 2 + z 9 g = 9 3 hz = 5 + 4z + 9z 3 + a + 5z 5 { h = 3, se a = 5 h = 5, se a 5

36 SEÇÃO 23 GRAU DE UM POLINÔMIO 36 Observações: 1 Por convenção não definimos o grau do polinômio nulo, assim f = 0 f a 0, com a Se o grau do polinômio f é n, então a n é chamado coeficiente dominante de f 3 Se o coeficiente dominante a n é igual a 1, dizemos que f é um polinômio unitário Teorema 29 Sejam f e g então valem: i f + g máx { f, g}, ou seja, e o grau de f + g é menor ou igual ao maior dos números f e g ii f g = f + g, ou seja, o grau de f g é igual a soma dos graus de f e g Demonstração: Suponhamos que fz = g = m n a i z i, gz = i=0 m b j z j, e portanto f = n e j=0 i Temos três possibilidade para n e m: m < n, ou n < m ou n = m Se m < n então c n = a n + b n = a n + 0 = a n 0, e portanto f + g = f = máx { f, g} Se m > n então c m = a m + b m = 0 + b m = b m 0, e portanto f + g = g = máx { f, g} Se m = n então c n = a n + b n, se an + b n 0, então teremos f + g = f = g = máx { f, g}, mas se a n + b n = 0, então teremos f + g < f = g = máx { f, g} Assim, concluímos que f + g máx{ f, g} ii Por definição cada coeficiente do produto f g é dado por c k = a 0 b k + a 1 b k a k 1 b 1 + a k b 0, para k = 0,, n + m e c k = 0 para todo k > m + n Portanto, c m+n = a n b m 0, pois a n 0 e b m 0 Logo, f g = m + n = f + g

37 CAP 2 POLINÔMIOS 37 Exemplos: Determine f + g e f g nos casos abaixo: 1 fx = 1 + x + x 2 e gx = 2 + 3x 2 fx = 1 + x 2x 2 e gx = 2 + 3x + 2x 2 3 fx = 2 + ix + 5x 2 e gx = 3 + 5x x 4 4 fx = i + 3x 3 e gx = 1 + 2ix + 5x 5 5 fx = 1 + 2x x 2 + 4x 5 e gx = 3 5x + 2x 2 + 9x 4 Solução: 1 f = 2 e g = 1 f + g = 2 e f g = 3 2 f = 2 = g, como a 2 + b 2 = 0 e a 1 + b 1 = 4 0 segue que f + g = 1 e f g = 4 3 f = 2 e g = 4 f + g = 4 e f g = 6 4 f = 3 e g = 3 f + g = 5 e f g = 8 5 f = 5 e g = 4 f + g = 5 e f g = 9 24 Divisão de Polinômios Definição 210 Sejam f e g polinômios com g 0 a divisão de f por g consiste em determinar dois polinômios q e r tais que f = q g + r e r < g ou r 0 Observações: Na equação da divisão de f por gadotamos a seguinte nomenclatura: 1 O polinômio f é o dividendo 2 O polinômio g é o divisor 3 O polinômio q é o quociente 4 O polinômio r é o resto Exemplos: Determine o quociente e o resto da divisão de f por g nos seguintes casos: 1 fz = 5z 3 + z 2 10z 24 e gz = z 2 2 fz = 4z 5 + 3z 3 2z e gz = z 3 + 3z fz = z e gz = z + i

38 SEÇÃO 24 DIVISÃO DE POLINÔMIOS 38 Solução: 1 Quando dividimos fz = 5z 3 + z 2 10z 24 por gz = z 2 obtemos qz = 5z z + 12 e r 0 De fato, qg + r = 5z z + 12z = 5z 3 + z 2 10z 24 = f 2 Quando dividimos fz = 4z 5 +3z 3 2z 2 +4 por gz = z 3 +3z+1 obtemos qz = 4z 2 9 e rz = 6z z + 13 De fato, qg + r = 4z 2 9z 3 + 3z z z + 13 = 4z 5 + 3z 3 2z = f 3 Quando dividimos fz = z por gz = z + i obtemos qz = z 3 iz 2 z + i e r = 3 De fato, qg + r = z 3 iz 2 z + iz + i + 3 = z = f Observação: Se f 0 ou f < g então a divisão é imediata, pois: a Se f 0 basta tomar q = 0 e r = 0, já qg + r = 0g + 0 = 0 b Se f < g basta q = 0 e r = f, então qg + r = 0g + f = f Considerando a observação acima vamos nos ater aos casos em que a divisão não é imediata, ou seja, vamos supor que f não é o polinômio nulo e que f g 241 Método dos Coeficientes a Determinar de Descartes Sejam f e g polinômios com g não nulo e f g, ao dividirmos f por g devemos obter polinômio q e r tais que f = q g + r e r < g ou r 0 Sabemos que q = f g e pela definição da divisão r < g ou r = 0, assim podemos construir os polinômios q e r com coeficientes indefinidos e após fazer o cálculo de determiná-los Mais precisamente consideremos fz = a 0 +a 1 z + +a n z n e gz = b 0 +b 1 z + +b m z m polinômios conhecidos com g não nulo e f g, coloquemos qz = q 0 + q 1 z + + q k z k, com k = n m e rz = r 0 + r 1 z + + r l z l com l < m, então f = q g + r a 0 + a 1 z + + a n z n = b 0 q 0 + r 0 + b q1 + b 1 q 0 + r 1 z + + b m q k z n a 0 = b 0 q 0 + r 0 a 1 = b 0 q 1 + b 1 q 0 + r 1 a n 1 = b m q k 1 + b m 1 q k + r m 1 a n = b m q k

39 CAP 2 POLINÔMIOS 39 Das equações acima determinamos q k = a n b m Exemplos: Divida f por g nos seguintes casos: 1 fz = 3z 4 2z 3 + 7z + 2 e gz = 3z 3 2z 2 + 4z 1 2 fz = 5z 3 + z 2 10z 24 e gz = z 2 Solução: 1 Temos q = f g = 4 3 = 1 e r < g, então podemos considerar: Logo, qz = az + b e rz = cz 2 + dz + e fz = qzgz+rz 3z 4 2z 3 +7z+2 = az+b3z 3 2z 2 +4z 1+cz 2 +dz+e Desenvolvendo, temos para todo z C: 3z 4 2z 3 + 7z + 2 = 3az 4 + 3b 2az 3 + 4a 2b + cz 2 + 4b a + dz + e b e consequentemente temos: 3a = 3 3b 2a = 2 4a 2b + c = 0 4b a + d = 7 e b = 2 a = 1 3b = = 0 c = 2b 4a d = a 4b + 7 e = b + 2 b = 0 c = 4 d = 8 e = 2 Portanto: qz = z e rz = 4z 2 + 8z Temos q = f g = 3 1 = 2 e r < g, então podemos considerar: qz = az 2 + bz + c e r = d Logo, fz = qzgz + rz 5z 3 + z 2 10z 24 = az 2 + bz + cz 2 + d Desenvolvendo, temos para todo z C: 5z 3 + z 2 10z 24 = az 3 + b 2az 2 + c 2bz + d 2c e consequentemente temos: a = 5 b 2a = 1 c 2b = 10 d 2c = 24 b = 2a + 1 c = 2b 10 d 2c 24 b = 11 c = 12 d = 0 Portanto: qz = 5z z + 12 e r = 0

40 SEÇÃO 24 DIVISÃO DE POLINÔMIOS 40 Teorema 211 Algoritmo de Euclides para divisão de polinômios Sejam f e g polinômios, com g não nulo, então existem únicos polinômios q e r tais que f = q g + r e r < g ou r 0 Demonstração: Existência Se f 0 basta tomar q 0 e r 0 Se f < g basta tomar q 0 e r = f Suponhamos então que f 0 e f g Sejam fz = a 0 + a 1 z + + a n z n e gz = b 0 + b 1 z + + b m z m com m n Vamos construir uma sequência de polinômios r 1, r 2,, r k tais que ou Consideremos então o coeficiente de z n de r 1 é f > r 1 > r 2 > > r k e r k < g f > r 1 > r 2 > > r k 1 e r k 0 r 1 z = fz a n b m z n m gz a n a n b m b m = 0, portanto ou r 1 0 ou r 1 < f Se r 1 0 ou r 1 < g, então tomamos qz = a n b m z n m e r = r 1 Se r 1 0 e r 1 g, digamos que r 1 = α então consideramos então o coeficiente de z α de r 2 é r 2 z = r 1 z a α b m z α m gz a α a α b m b m = 0, portanto ou r 2 0 ou r 2 < r 1 Se r 2 0 ou r 2 < g, então tomamos qz = q 1 z + q 2 z e r = r 2, onde q 1 z = a n z n m e q 2 z = a α z α m b m b m Se r 2 0 e r 2 g, prosseguimos o processo que nos fornecerá a sequência satisfazendo Assim, tomamos q = q 1 + q q k e r = r k Unicidade Mostremos que se f = q 1 g + r 1 = q 2 g + r 2 e r i < g ou r i 0 para i = 1, 2, então q 1 = q 2 e r 1 = r 2 De fato: