Números Complexos. Matemática Básica. Números Complexos. Números Complexos: Um Pouco de História. Humberto José Bortolossi.

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1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Números Complexos Parte 8 Parte 08 Matemática Básica 1 Parte 08 Matemática Básica 2 Números Complexos Gerolamo Cardano (1545): [os números complexos] são tão sutis como são inúteis. Rafael Bombelli (1572): o problema todo parece repousar mais em sofismas do que a verdade. Gottfried Wilhelm Leibniz (1702): i, a raiz quadrada de 1, é aquele anfíbio entre existência e não existência. Observação: o termo número real foi introduzido precisamente para distinguir um tal número de um número imaginário. Parte 08 Matemática Básica 3 Parte 08 Matemática Básica 4

2 Muitos acreditam erroneamente que os números complexos surgiram por conta das equações quadráticas (x 2 mx + c). x m ± m c 2 (Fórmula de Bháskara ) x 2 mx + c interseção do gráfico de y x 2 e a reta y mx + c x 3 3 px + 2 q interseção do gráfico de y x 3 e a reta y 3 px + 2 q x m ± m c 2 x q 3 + q 2 p 3 + q 3 q 2 p 3 Na verdade, os números complexos apareceram em virtude das equações cúbicas (x 3 3 px + 2 q). x 3 q + q 2 p 3 + q 3 q 2 p 3 (Fórmula Cardano) Parte 08 Matemática Básica 5 Parte 08 Matemática Básica 6 x 2 mx + c interseção do gráfico de y x 2 e a reta y mx + c x m ± m c 2 x 3 3 px + 2 q interseção do gráfico de y x 3 e a reta y 3 px + 2 q x q 3 + q 2 p 3 + q 3 q 2 p 3 Se Δm c < 0, a fórmula de Bháskara não produz soluções reais e, geometricamente, a reta y m x +c não intercepta o gráfico de y x 2, então está tudo bem! Parte 08 Matemática Básica 7 Geometricamente, a reta y 3 px + 2q sempre vai interceptar o gráfico de y x 3. O que acontece do ponto de vista algébrico se q 2 p 3 < 0? Parte 08 Matemática Básica 8

3 x 3 6 x ( 2 ) x + 2 ( 3 ), p 2eq 3. p q x 3 q + q 2 p 3 + q 3 q 2 p Parte 08 Matemática Básica 9 Parte 08 Matemática Básica 10 x 3 15 x ( 5 ) x + 2 ( 2 ), p 5eq 2. p q x 3 q + q 2 p 3 + q 3 q 2 p (121)( 1)+ 2 3 (121)( 1) i i. (2 + i) 3 (2) (2) 2 (i)+3 (2)(i) 2 +(i) i 6 i i (2 i) 3 (2) 3 3 (2) 2 (i)+3 (2)(i) 2 (i) i 6 + i 2 11 i Moral: i 2 + i e i 2 i. x i i (2 + i)+(2 i) 4 é solução real da equação x 3 15 x + 4. Números complexos foram usados para calcular números reais que são soluções de equações! Parte 08 Matemática Básica 11 Parte 08 Matemática Básica 12

4 80 60 Como tornar os numéricos complexos menos imaginários? Wessel, Argand e Gauss: a + bi representa o par ordenado (a, b), com a, b R i (0, 3), 4 (4, 0), 4+ 3 i (4, 3) Parte 08 Matemática Básica 13 Parte 08 Matemática Básica 14 Números Complexos: Operações Números Complexos: Nomeclatura Básica (a, b)+(c, d) (a + c, b + d), a, b, c, d R. isto é, (a + bi)+(c + di)(a + c)+(b + d) i, a, b, c, d R. (a, b) (c, d) (ac bd, ad + bc), a, b, c, d R. isto é, (a + bi) (c + di)(ac bd)+(ad + bc) i, a, b, c, d R. eixo imaginário r z módulo de z arg(z) argumento de z z x + y i y Im(z) parte imaginária de z Por que a multiplicação tem que ser definida deste jeito? x Re(z) parte real de z eixo real Resposta: (a+bi) (c +d i)ac +ad i +bc i +bd(i) 2 (ac bd)+(ad +bc) i. z conjugado de z x - y i Exercício: C com estas operações formam um corpo! Forma polar: z r [cos(θ)+sen(θ) i] Parte 08 Matemática Básica 15 Parte 08 Matemática Básica 16

5 Números Complexos: Praticando Interpretação Geométrica das Operações x Re(z) z + z z, y Im(z) z 2 2, z x 2 + y 2, se Re(z) 0, então tg(arg(z)) Im(z) Re(z), zz z 2, 1 z 1 x + yi x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 i z z 2, A B r A [cos(θ A )+sen(θ A ) i] r B [cos(θ B )+sen(θ B ) i] z 1 + z 2 z 1 + z 2, z 1 z 2 z 1 z 2, z 1 z 2 z 1 z 2, z 1 + z 2 z 1 + z 2. r A r B [(cos(θ A ) cos(θ B ) sen(θ A ) sen(θ B )+(sen(θ A ) cos(θ B )+cos(θ A ) sen(θ B )) i] r A r B [cos(θ A + θ B )+sen(θ A + θ B ) i] Parte 08 Matemática Básica 17 Parte 08 Matemática Básica 18 Interpretação Geométrica das Operações Interpretação Geométrica das Operações Moral: se A r[cos(θ) +sen(θ) i], então A z (multiplicar z à esquerda por A) tem o efeito de girar z em torno da origem por um ângulo θ e, então, fazer uma homotetia (ampliação/redução) de fator r. Em particular, multiplicar um número complexo z à esquerda por i 1 (cos(π/2)+sen(π/2) i) tem o efeito de girar z de π/2 no sentido anti-horário! Parte 08 Matemática Básica 19 Parte 08 Matemática Básica 20

6 Números Complexos: Praticando Números Complexos e Geometria Plana (1 + i) 4 4, (1 + i) (1 + i), (1 + 3 i) Parte 08 Matemática Básica 21 Parte 08 Matemática Básica 22