Funções do Plano Complexo(MAT162) Notas de Aulas Prof Carlos Alberto S Soares

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1 Funções do Plano Complexo(MAT62) Notas de Aulas Prof Carlos Alberto S Soares O Plano Complexo Considerando a nossa definição de número complexo, é claro que existe uma correspondênca biunívoca entre o conjunto C e o plano 2 Logo é natural utilizarmos a representação de um número complexo z = a + bi através do ponto (x, y) no planonesta correspondência, o número real x = x + 0i corresponde ao ponto (x, 0) no eixo x e o imaginário puro yi = 0 + yi corresponde ao ponto (0, y) no eixo y e, portanto, chamamos os eixos x e y, neste caso, de eixos real e imaginário, respectivamente Um plano, com os eixos real e imaginário é chamado plano complexo ou plano Gaussiano ou, ainda, plano de Argand-Gauss Vide figura abaixo b z=a+bi a Consideremos, agora, a soma de dois números complexos no plano Gaussiano É claro que, tal como no caso de vetores, a soma de dois complexos é obtida via a regra do paralelogramo, isto é, a soma dos números complexos é dada pelo vetor diagonal do paralelogramo cujos lados são os vetores definidos pelos complexos z e w

2 z w z+w Vale ressaltar as interpretações geométricas para z, z e z Temos que o complexo z é o simétrico de z em relação à origem Já z é o simétrico de z em relaço ao eixo real e z é o comprimento do segmento de reta determinado por z e 0 (módulo do vetor determinado por z) Estas interpretações estão representadas abaixo z = z = z b z z=a+bi -a a -z=-a-bi -b z = a bi Figura 3 2 epresentação Polar de um Número Complexo A interpretação geométrica para o produto e divisão de números complexos se tornará clara após introduzirmos uma nova representação para um número complexo z = a + bi, qual seja a chamada representação trigonométrica ou polar Sabemos que a representação de um ponto no plano, além de ser dada por suas coordenadas cartesianas(abscissa e ordenada) também pode ser dada em coordenadas polares No caso do plano Gaussiano, a nova representação de um número complexo z será caracterizada pela distância ponto à origem e um ângulo, dito argumento de z(arg(z)) medido a partir do semi-eixo positido real até o segmento de reta determinado pelo número z e 0 Tal como em trigonometria, estes ângulos serão considerados positivos quando tomados no sentido anti-horário e negativo caso contrário Vide figura a seguir 2

3 b z=a+bi r ϕ a Figura 4 É importante dizer que o argumento de um número complexo z = a + bi não é único, mas diferem entre si por múltiplos inteiros de 2π e, portanto, o argumento de um número complexo z assume infinitos valores! Para o número 0(zero) não definimos o argumento, já que neste caso, o número fica definido somente pelo módulo, 0 = 0 É claro que, pela representação polar de um ponto, ou mesmo, usando a figura anterior, sendo z = a + bi 0, teremos: onde r = a 2 + b 2 Logo, teremos a = rcos ϕ e b = rsen ϕ z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ) e cada número complexo estará representado de maneira única na forma acima Esta representação é denominada representação trigonométrica ou representação polar de z = a + bi Exemplo Determine a forma polar do número z = +i 3 2 Solução 2 Em sala! O teorema abaixo enfatiza a importância da representação trigonométrica de um número complexo Teorema 3 Sejam z, z 2 dois números complexos não-nulos cujas representações trigonométricas são dadas por z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) e z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) Então ou ainda, z z 2 = r r 2 [cos(ϕ + ϕ 2 ) + i sin(ϕ + ϕ 2 )], z z 2 = z z 2 e arg(z z 2 ) = arg(z ) + arg(z 2 ) Alguns autores tomam como argumento principal de z o ângulo ϕ tal que 0 ϕ < 2π 3

4 Prova Em sala! Corolário 4 Sendo z, z 2,, z n números complexos não nulos, teremos z z 2 z n = z z 2 z n e arg(z z 2 z n ) = arg(z ) + arg(z 2 ) + + arg(z n ) Prova ndução sobre n Corolário 5 (DeMoivre - Primeira Fórmula) Sendo z 0 um número complexo tal que z = r(cos ϕ + i sin ϕ) e n Z temos z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ), isto é, z n = z n e arg(z n ) = n arg(z) Prova Em sala! Corolário 6 Sendo z, z 2 números complexos não nulos temos z = z ( ) z e arg = arg(z ) arg(z 2 ) z 2 z 2 Prova Exercício! z 2 3 adiciação Definição 7 Sejam z um número complexo e n 2 um número natural Um número complexo w é dito uma raíz enésima de z, indicado por n z, se w n = z, isto é, n =w w n = z 2 nicialmente, trataremos o caso z =,isto é, fixado n 2 um número natural determinemos os números complexos w tais que w n = Como w é um número não nulo, podemos supor w = r(cos ϕ + i sin ϕ) e, daí, teremos w n = r n (cos nϕ + i sin nϕ) Para que tenhamos w n = devemos ter r n = e nϕ = 2kπ para algum k inteiro, isto é, r = e ϕ = 2kπ Mostremos que n existem exatamente n valores para k que nos levam a n raízes enésimas distintas da unidade, ou seja, temos o teorema abaixo Teorema 8 Existem exatamente n números complexos distintos w, w 2,, w n tais que w n k = z para k =, 2,,, ou seja, possui exatamente n raízes enésimas as quais são dadas por w k = cos k 2π n + i sin k 2π n, k = 0,, 2,, n 2 Note a diferença entre a definição de radiciação neste caso e no caso real, por exemplo, em, temos a = b b 2 = a e b 0 4

5 Prova É simples verificar que cada w k dado pela fórmula acima é tal que wk n = Note que, sendo 0 k < n, teremos 0 k 2π < 2π e, portanto, os números w n k são distintos para valores de k distintos no intervalo considerado Suponhamos k um número inteiro maior que n, isto é, k = qn + j com 0 j < n e q N Daí, teremos, k 2π n = (qn + j)2π n = 2qπ + j 2π n o que nos leva ao mesmo número complexo de argumento j 2π n segue com 0 j < n e, daí, o resultado Antes de considerarmos o caso geral, vejamos a interpretação geométrica das raízes enésimas da unidade Comecemos observando que, independente de n, todas as raízes estarão sobre um círculo de raio e centro na origem Além disso, w = sempre será uma raíz enésima(k = 0 na fórmula acima) Como obtemos as demais raízes? Simplesmente, a partir da raíz e estando sobre o círculo unitário, somamos o ângulo 2π sucessivas vezes até retornarmos ao ponto inicial n (, 0) obtendo assim um polígono regular de n lados inscrito no círculo de raio As figuras abaixo ilustram os casos n = 3, n = 4, n = 5 e n = 6 2π/3 4π/3 Figura Figura 6-2π/5-2π/6 - Figura 7 - Figura 7 Feito o caso das raízes da unidade, o caso geral se torna simples Teorema 9 (DeMoivre - Segunda Fórmula) Sejam z um número complexo não nulo e n um número inteiro positivo Existem exatamente n números complexos distintos w, w 2,, w n tais que w n k = z para k =, 2,, n, 5

6 ou seja, z possui exatamente n raízes enésimas distintas Além disso, se z = r(cos ϕ + i sin ϕ) as raízes enésimas de z são dadas por w k = n r[cos( ϕ n + k 2π n ) + i sin(ϕ n + k 2π n )], k = 0,, 2,, n 3 Prova Tal como o anterior! Observação 0 É simples ver que se desejamos encontrar as raízes enésimas de um número complexo z, e conhecemos as raízes enésimas da unidade, basta determinarmos uma raíz enésima de z e obtemos as demais multiplicando esta raíz conhecida por cada raíz enésima da unidade Tal como no caso das raízes da unidade, temos que as raízes enésimas de um número complexo z estão localizadas sobre um círculo de raio r = n z e os argumentos podem ser obtidos partindo de uma dada raíz e somando sempre 2π/n Abaixo temos representadas as raízes de ordem 4 de z = 8 + i8 3 z 4 k = 8 + i8 3-2 z 2 2 π/2 z π/6 2 z 3-2 z 4 Figura 9 Definição Sendo θ um número real, definimos e iθ = cos θ + i sin θ Exemplo 2 e i π 4 = cos π 4 + i sin π 4 = 3 Aqui, n r significa a raíz no sentido dos números reais! i sin 2 6

7 Observação 3 É simples ver que: () e iθ e iθ 2 = cos(θ + θ 2 ) + i sin(θ + θ 2 ) (2) e iθ = (3) Multiplicar um número complexo z por e iθ significa, geometricamente, girar o número complexo de um ângulo θ, sem alterar seu módulo ze iθ θ + ϕ z - θ ϕ e iθ - Figura 0 Exercício 4 ) Determine a representação polar dos números: (a) + i (b) 4 3 (c) 2 5i 2) Assinale, no plano complexo, as raízes de ordem 4 de 8 3) epresente, no plano complexo, as oluções da equação (z = i) 4 = 4) Mostre que a soma das raízes de ordem 2n(n N) de um número complexo qualquer é zero 5) (a) Escrever o número + i 3 na forma polar (b) Determine ( + i 3) 99 + ( i 3) 99 6) Sendo z um número complexo tal que z 5 =, mostre que: (a) z +z 2 + z2 +z 4 + z3 +z + z4 +z 3 = 2 z (b) + z2 + z3 + z4 = 0(z ) z 2 z 4 z z 3 7) esolva as equações: (a) z 3 = 0 (b) z 4 + = 0 (c) z = 0 (d) z 6 = 0 7

8 8) Prove que: (a) Se z é raíz de um polinômio com coeficientes reais, então z é também uma raíz deste polinômio (b) Um polinômio de grau ímpar com coeficientes reais possui pelo menos uma raíz real 9) esolva as seguintes equações: (a) 2 z2 + ( i)z + i = 0 (b) ( i)z 2 3z ( + i) = 0 0) Sejam z, w, z números complexos tais que z = w = z = e z + w + z 0 Mostre que: (a) zw+wz +z z z+w+z = (b) (w+z )(w+z)(z+z ) zwz ) epresente no plano complexo os seguintes conjuntos: (a) (z) (z) (b) z + 3i < 4 (c) z + z + i = 2 2) Sendo w < e z, mostre que z + w + wz 4 etas e Semirretas no Planos Complexo No que se segue, dados os números complexos z e w no plano complexo, indicaremos por: zw, o segmento de reta definido por z e w; zw, a semirreta tendo origem em z e passando por w, zw, a reta que passa pelos pontos z e w Proposição 5 Sejam z w dois números complexos segmento zw Então z w = comprimento do Prova d b z a k c-a w d-b c d f b z a w z e c Figura 3 Figura 32 8

9 Seja k=comprimento do segmento zw(4) Então, temos k 2 = (d b) 2 + (c a) 2 k = (d b) 2 + (c a) 2 = z w Proposição 6 Seja z um número complexo não nulo Um número complexo w pertence à reta Oz(as retas 0z e 0w são coincidentes) se, e somente se, existe t tal que w = tz, isto é, se, e somente se, w z Prova Sejam z = z (cos ϕ + i sin ϕ) e w = w (cos θ + i sin θ) É claro que w 0z se, e somente se, w 0z ou w 0( z), isto é, θ = ϕ + kπ para k um número inteiro Então, temos w = w (cos(ϕ + kπ) + i sin(ϕ + kπ)) = w w z (cos ϕ + i sin ϕ)(cos kπ + i sin kπ) = ( )k z z z Proposição 7 Sejam z e w números complexos distintos não nulos As retas 0z e 0w são perpendiculares se, e somente se, existe t tal que w = itz, isto é, se, e somente se, w é z um imaginário puro Prova Sejam z = z (cos ϕ + i sin ϕ) e w = w (cos θ + i sin θ) É claro que 0w 0z se, e somente se, θ = ϕ + 2kπ ± π/2 para k um número inteiro Então, temos w = w (cos(ϕ + 2kπ ± π/2) + i sin(ϕ + 2kπ ± π/2)) = = w w z (cos ϕ + i sin ϕ)(cos(2kπ ± π/2) + i sin(2kπ ± π/2)) = (±)i z z z A prova da próxima proposição será deixada como exercício Proposição 8 Sejam z w dois números complexos não nulos As retas zw e 0(z w) são paralelas Proposição 9 Sejam z z 2 e w w 2 números complexos As retas z z 2 e w w 2 são paralelas se, e somente se, existe t tal que z z 2 = t(w w 2 ), isto é, se, e somente se, z z 2 w w 2 Prova Pela proposição anterior, as retas z z 2 e w w 2 são paralelas se, e somente se, as retas 0(z z 2 ) e 0(w w 2 ) são paralelas Usando a proposição 2, temos que as retas 0(z z 2 ) e 0(w w 2 ) são paralelas se, e somente se, z z 2 w w 2 Corolário 20 Três números complexos distintos z, z, w são colineares se, e somente se, z z = t(w z ), t ou ainda, z z w z 9

10 Prova É claro que os três pontos considerados são colineares se, e somente se, as retas zz e z w são paralelas(coincidentes) O resultado segue diretamente da proposição anterior Proposição 2 Sejam z e w números complexos distintos Um número complexo z pertence ao segmento de reta zw se, e somente se, existe t com 0 t tal que z = tz + ( t)w Prova Seja z zw tal como representado na figura 32 acima Então, temos d b = d f c a c e, ou ainda, 0 < d f d b = c e c a < Seja, então, t = d f = c e É simples ver que f = t(b d) + d e e = t(a c) + e, o que nos d b c a leva a z = t(z w) + w = tz + ( t)w Suponhamos, agora, que z = tz + ( t)w com 0 < t < Então, temos (z ) = t(z) + ( t)(w), o que nos mostra que rez está entre (z) e (w) De maneira análoga mostramos que (z ) está entre (z) e (w), o que nos leva a z zw A demonstração da proposição abaixo será deixada como exercício Proposição 22 Sejam z, w números complexos distintos O ponto médio so segmento de reta zw é o número complexo z = z+w 2 Aplicação 23 Mostre que, num triângulo qualquer, o segmento de reta unindo os pontos médios de dois lados opostos é paralelo ao terceiro lado e mede a metade deste Solução 24 Em sala! Aplicação 25 Sejam z, w números complexos distintos Determine um número complexo z pertence ao segmento de reta zw que divide eeste segmento na razão p, onde p, q são números q reais positivos Solução 26 Em sala! Aplicação 27 Mostre que as medianas de um triângulo qualquer se encontram num ponto Solução 28 Em sala! Exercício 29 ) Sejam z w números complexos não nulos Mostre que as retas 0z e 0w são paralelas, se e somente se, as retas 0z e 0w são paralelas O resultado ainda é verdadeiro se substituímos paralelas por perpendiculares? Justifique! 2) Mostre que três números complexos z, z, w são colineares se, e somente se, existem números reais a, b, c não todos nulos, tais que az + bz + cw = 0 com a + b + c = 0 3) Qual a condição necessária e suficiente para as retas z z 2 e w w 2 serem perpendiculares? Justifique! 0

11 4) Qual a condição necessária e suficiente para que o número complexo z pertença à mediatriz do segmento zw? 5) Fazer a demonstração da proposição 7 no caso dos números z e w pertencerem, respectivamente, ao segundo e terceiro quadrantes (0 zw) 6) epresente no plano complexo o conjuntos dos números z tais que ( z ) < 2 7) epresente no plano complexo o conjuntos dos números z tais que z 4 > z 8) epresente no plano complexo o conjuntos dos números z tais que (z 2 ) > 0 9) Sejam z e w números complexos tais que 0 arg(w) arg(z) < π Mostre que a área do triângulo de vértices 0, z e w é dada por 2 (zw) 0) Para qualquer número complexo z 0, mostre que z, z,,, 0 são colineares z z ) (a) Mostre que + z + z z n = zn+ z (z ) (b) Suponha z um número complexo tal que z 7 = (z ) Mostre que + z k + z 2k + + z 6k = 0 onde k é um número inteiro qualquer não divisível por 7