1 Primeira lista de exercícios

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1 1 Primeira lista de exercícios Números complexos, derivadas e integrais. 1. Ache todos os valores das seguintes raízes: (a) (2i) 1=2 (b) ( i) 1=3 (c) 8 1=6 2. Descreva geometricamente cada uma das regiões abaixo. Ou seja, desenhe estas regiões no plano complexo (a) < arg z < ; jzj > 2 (b) j2z + 3j > 4 (c) Re 1 z < 1 2 (d) 1 < jz 2ij < 2 (e) Im z 2 > 0 3. Um circuito composto de um resistor R e um capacitor C em série está ligado a uma fonte corrente alternada I = I 0 cos!t = Re (I ) com I 0 constante e I = I 0 e i!t. Lembrando a lei de Ohms (V = R:I) e que a voltagem num capacitor é proporcional a carga entre as placas V C = 1 C o I (t) dt ; use a lei de Kircho para obter uma expressão para a impedância complexa Z. E = ZI ; onde E = Re (E ) é a tensão (FEM) de entrada. O que acontece no regime de altas e baixas freqüências!? 4. Encontre a derivada das seguintes funções indicando explicitamente onde esta derivada existe: (a) f (z) = z 1 2z+1 (b) f (z) = z (c) f (z) = z z 2 4 (d) f (z) = Re (z) (e) f (z) = jzj 2 (f) f (z) = z Im (z) (g) f (z) = z 1=2 1

2 (h) f (z) = z 2 2 e x (cos y i sin y) (i) f (z) = exp z 2 (j) Quais das funções acima são analíticas e quais são inteiras? 5. Partindo das coordenadas cartesianas, obtenha as condições Cauchy-Riemann em coordenadas polares. 6. Veri que se as seguintes funções são harmônicas e ache uma de suas conjugadas (a) u (x; y) = y 3 3x 2 y (b) u (x; y) = 2x (1 y) (c) u (x; y) = sinh (x) sin (y) 7. Se f = u (r; ) + iv (r; ), mostre que em qualquer ponto diferente de zero u e v obedecem a equação de Laplace em coordenadas polares. 8. Sendo f analítica num domínio, mostre que jfj não pode ser constante a menos que f o seja. 9. Cálcule (a) exp 2+i 4 (b) i i 10. Veri que se exp (iz)? = exp (iz); cos (iz)? = cos (iz), sin (iz)? = sin (iz). 11. Calcule a integral da função f (z) = (z + 2) =z pelos seguintes caminhos (a) No sentido anti-horário, a metade do círculo acima do eixo real de raio 2 centrado na origem. (b) No sentido horário, a metade do círculo abaixo do eixo real de raio 2 centrado na origem. (c) Iniciando no eixo real e no sentido anti-horário o círculo de raio 2 centrado na origem. 12. Calcule a integral da função f (z) = exp (z) pelo caminho fechado quadrado z = 0; z = 1; z = 1 + i; z = i. 13. Calcule a integral I C e z (z 2 4) dz ; onde o caminho C é quadrado z = 2; z = 2; z = 2 + 4i; z = 2 + 4i, no sentido horário. 2

3 14. Calcule a integral da função f (z) = (z 2 i) 1 no sentido anti-horário (também chamado positivo) pelo caminho fechado que é a fronteira do retângulo 0 x 3; 0 y Calcule a integral da função f (z) = cos (z=2) pelo caminho formado pelos segmentos retos ligando os pontos z = 0; z = i; z = 1; z = + 2i. 16. Calcule a integral da função f (z) = 1=z, pelos caminho ligando os pontos z = 3; z = 2i; z = Veri que se o seguinte campo vetorial é conservativo e, caso a rmativo, encontre o potencial que gera tal campo ~V (x; y) = e x2 y 2 (x cos 2xy y sin 2xy) ^x e x2 y 2 (x sin 2xy + y cos 2xy) ^y : 18. Calcule a integral da função multivalente f (z) = z 1=2 pelo semicírculo positivo (anti-horário) e negativo (horário) de z = 1 até z = 1. Obtenha o mesmo resultado utilizando a anti-derivada (i.e., a primitiva) de f. Obs.: Esta última parte do exercício eu vou resolver em sala na próxima aula. 3

4 Respostas 1. (a) (1 + i), (b) i; p 3 i =2, (c) p 2; 1 i p 3 = p Desenhos 3. E = V R + V C V R = R:I = Re VR = R:I V C = 1 C V C = 1 C 0 0 I (t) dt = Re VC = 1 I (t) dt C 0 I 0 e i!t dt = 1 1 C I 0 e i! i! 1 = 1 i!c (I 1) Como queremos apenas a parte real de VC podemos ignorar a parte 1=i!C (que é puramente imaginária). Assim V C = 1 i!c I E = Re E ; E = V R + V C = Z = R + 1 i!c Z é a impedância do circuito. Z (!! 0)! 1 R + 1 I = ZI i!c A impedância vai para in nito e (assim como no caso de uma resistência in nita) o circuito se comporta como um circuito aberto. Z (!! 1)! R O capacitor se comporta como um curto e apenas o resistor é relevante. 4. As expressões das derivadas são as mesmas para funções reais, mas estão de nidas apenas onde a função é analítica: (a) região z 6= 1=2, (b) não existe em nenhum ponto, (c) região z 6= 0, (d) não existe em nenhum ponto, (e) só existe em z = 0, só existe em z = 0 com f 0 (0) = 0, (f) existe em todos os pontos, exceto num corte, e.g., nos pontos do semi-eixo real não negativo, (g) Todos os pontos, (h) Todos os pontos, (j) h,i é inteira; a,g,h,i são analíticas. 5. Basta fazer uma transformação de variáveis nas equações de CR z = u (x; y) + iv (x; y) x = r cos ; y = @x =) @r ; @r 4

5 6. Todas são harmônicas (a) nas notas de aula, (b) v = x 2 y 2 + 2y + C, (c) v = cosh (x) cos (y). 7. Basta usar as equações de CR em coordenadas polares e equação equação de Laplace em coordenadas polares r = 0 8. Vamos supos que jfj é constante, logo f (z) 6= 0. Assim jfj 2 = c 2 =) f = c2 f (z) Sendo f analítica e diferente de zero, então f também é analítica. Fazendo f = u + iv f = u iv = U + iv ; U = u ; V = v Se f é analítica em D, pelas equações @x mas se f também é @y = =) = u x = 0 ; v x = 0 usando uma das expressões para a derivada de f f = 0 : Vemos que se jfj é constante, isso implica que f é uma constante. 9. (a) p e 1+i p 2, (b) e 2 ' 0; Não a menos que z = n; sim; não a menos que z = ni: 11. (a) 4 + 2i, (b) 4 2i, (c) 4i, (d) 4 (e 1) (e 1). 5

6 13. Apenas a singularidade z = 2i está dentro do caminho de integração. Assim, use diretamente a formula integrau de Cauchy, I e z I C (z 2 4) dz = e z I C (z 2i) (z + 2i) dz = e z 1 C (z + 2i) (z 2i) dz e z I f (z) = (z + 2i) ; e z (z 2 dz = 2if (2i) : 4) C 14. 2i, é o mesmo que a integral do círculo. Ou ainda, use a fórmula integral de Cauchy (exercício 13). 15. e + 1=e, a função é inteira, pode-se usar a antiderivada. 16. Calcule através do circulo de raio 3 centrado na origem, pois a função é analítica entre as duas regiões. 17. A função da lista anterior estava errada! Este campo é equivalente a função complexa f (z) = ze z2. Basta usar F = e z2 =2 ; F 0 = f =) = Re F = xe x2 +y 2 y sin 2xy. 18. Pelo semi-eixo positivo 2 3 e0 e 3i=2, use (r > 0; =2 < < 3=2) : Para o negativo 2 3 e3i e 3i=2, use (r > 0; =2 < < 5=2). 6