1.1 Teorema fundamental da álgebra

Transcrição

1 Motivação. Teorema fundamental da álgebra Vivamos num mundo sem os complexos. Um dia, resolvendo um problema real do nosso mundo, nos deparamos com a equação 3x + : () Fácil ver que, neste nosso mundo onde só existem os reais, esta equação não possui soluções. Obviamente, a incapacidade de tratar uma expressão matemática qualquer, além de frustrante, implica numa série de limitações práticas no tratamento de problemas do mundo real. A inexistência de soluções reais da equação () é uma manifestação do fato do conjunto dos números reais não formar um corpo algebricamente fechado. Um corpo F diz-se algebricamente fechado se qualquer polinômio de uma variável de grau maior ou igual a, com coe cientes em F, tiver pelo menos uma raiz em F. Para não corrermos mais o risco de obter equações polinomiais intratáveis de nimos então um novo conjunto maior, dos quais os R fazem parte, mas que qualquer polinômio neste novo conjunto possua soluções que também sejam elementos deste conjunto. Este processo é chamado de fechar algebricamente o conjunto. Fazendo isso com os reais, o que se obtém é precisamente o conjunto dos números complexos. Disse então que é o fecho algébrico de R. Esta característica dos números complexos é uma conseqüência do Teorema fundamental da álgebra. Theorem Qualquer polinômio p(z), z, com coe cientes complexos e de grau n tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado e, portanto, tal como qualquer outro corpo algebricamente fechado, a equação p(z) possui n soluções não necessariamente distintas.. Teorema da identidade O teorema da identidade (identity theorem) para funções holomor cas (funções de variáveis complexas diferenciáveis) estabelece que: Theorem Dada duas funções holomor cas f e g de nidas num aberto (conexo) D, se f g em alguma vizinhança de z contida em D, então f g em D. Assim, uma função holomor ca está completamente determinada uma vez conhecido seu valor numa vizinhança arbitrariamente pequeno. Esta propriedade não é válida para funções reais diferenciáveis. É graças à propriedade acima que podemos tão facilmente estender uma função real para o plano complexo, por exemplo, e x e z. Além disso, a noção de diferenciabilidade é muito mais forte para funções complexas,

2 pois a existência da diferencial de primeira ordem implica na existência das diferenciais de qualquer ordem. Assim, mostrando-se que uma função complexa possui uma primeira derivada, automaticamente se mostra que ela é in nitamente diferenciável e, conseqüentemente, que ela é uma função analítica (pode ser expandida em série de Taylor). O fato de uma função possuir uma expansão em série de nida em todo seu domínio é de fundamental importância tanto em matemática quanto em física. Assim, dada uma certa função real f (x), se conseguirmos entender esta função para o plano complexo, i.e., encontrar uma função diferenciável f (z) de nida em que para m z seja igual a f (x), esta função será única (pelo teorema da identidade) e analítica. Assim, o estudo das propriedades de funções com variáveis complexas é de fundamental importância não apenas teóricos, mas também práticos. Números complexos Um número complexo é um mapa z : R propriedades algébricas R onde de nimos duas operações (+; ) com as seguintes z i z (x i ; y i ) ; x i ; y i R ; z (x ; y ) + z (x ; y ) z (x + x ; y + y ) z + z ; z (x ; y ) z (x ; y ) z z z (x x y y ; y x + x y ) z z : hamemos o conjunto de todos os z de. arbitrária, é tão importante. Das de nições acima é fácil ver que Vamos ver porque esta escolha de operações, aparentemente z (x; y) + z (; ) z (x; y) ; _x; y ; () z + (z + z 3 ) (z + z ) + z 3 ; (3) _ z (x; y) 9 z ( x; y) j z + z z (; ) : (4) A existência do elemento z z(; ) () e as propriedades (3) e (4) acima fazem deste conjunto um grupo pela primeira operação binária (a soma, +). O fato da soma ser comutativa, faz deste um grupo abeliano. Além disso, podemos ver também que z (x; y) z (; ) z (x; y) ; _x; y ; (5) z (z z 3 ) (z z ) z 3 ; (6) z (z + z 3 ) z z + z z 3 : (7) A existência da segunda operação binária (produto, ), do elemento z(; ) (5) (identidade do produto) acima e da associatividade do produto (6), fazem deste conjunto um monóide. Todas estas propriedade, juntamente

3 com propriedade distributiva da multiplicação (7), fazem deste conjunto um anel. A comutatividade da multiplicação faz deste um anel abeliano. Finalmente, todas estas propriedades, mais o fato do conjunto z (; ) formarem um grupo pela multiplicação, devido às propriedades seguintes z (z z 3 ) (z z ) z 3 ; x _ z (x; y) ; x + y 6 9 z x + y ; y x + y j z z z (; ) ; fazem deste anel abeliano um corpo. É pelo fato de ser um corpo que podemos fazer com z tudo que fazemos com os números reais. Assim, polinômios estão bem de nidos, bem como as séries in nitas. Destarte podemos de nir funções trigonométricas, exponenciais etc. E, o mais importante, podemos procurar pelo inverso de todas estas funções.. Realização ou representação de Vamos começar de nindo o seguinte símbolo para nos referirmos aos elementos de : z (x; y) x + iy ; x; y R ; onde x é chamado parte real de z (x Re z) e y parte imaginária (y m z). É importante ter em mente que a quantidade acima é apenas um símbolo, não representando nenhuma soma, ou qualquer coisa parecida. Para efetivamente trabalharmos (manipularmos) este símbolo, precisamos encontrar uma de nição baseada em entidades que já saibamos trabalhar. Ou seja, precisamos realizar esta quantidade em algum espaço conhecido. Vejamos três possibilidades para esta realização... Representação matricial Podemos de nir o símbolo introduzido acima como uma matriz x y x + iy y x ; e especi carmos que a soma e o produto deste símbolo respeita a álgebra usual de matrizes. Exercise 3 Veri que que o símbolo assim de nido obedece às propriedades de soma e multiplicação de nidas na seção anterior. 3

4 Agora que temos uma representação concreta para o nosso símbolo, podemos efetuar cálculos completos. Por exemplo, podemos calcular e i : e i exp " # n X n X () n n n + n + () n + () ::: observando que temos e i Da mesma forma ; 3 () () X ( ) n () n + X ( ) n () n+ (n) (n + ) n n cos + sin + i i : e i + i : ; ::: + ::: Observe que o símbolo da igualdade acima não tem o mesmo signi cado (apesar de compartilhar as mesmas propriedades) do símbolo como elemento dos reais. Mais especi camente, o nosso aqui é uma matriz. Exercise 4 Podemos escrever e z+z e z e z? De forma geral, " # e x+iy e x cos y + sin y e x cos y sin y e x (cos y + i sin y) : (8) sin y cos y 4

5 Exercise 5 Obtenha a relação acima... Representação algébrica Outra forma de se representar um elemento de (talvez a mais conhecida) é a rmar que estas quantidades respeitam a álgebra usual dos reais acrescida da seguinte de nição i:i : Exercise 6 Veri que que esta de nição reproduz as operações de soma e produto de nidas na seção anterior. A veri cação da compatibilidade desta de nição com a anterior é imediata i:i + :i :..3 Representação geométrica Uma terceira forma de se representar os elementos de é a rmar que estes são pontos no plano x y e identi car a operação de soma com a álgebra (usual) dos vetores que partem da origem até o ponto x; y. Neste caso é conveniente utilizar a representação polar deste ponto z r (^x cos + ^y sin ) ; r x + y ; y x tan : Neste caso costuma-se ainda introduzir a notação ^y i ; ^x ) z r (cos + i sin ) : Usando o resultado (8), que deve ser válido em qualquer representação, temos z r (cos + i sin ) re i : Nesta notação r é a magnitude de z (r jzj) e a fase ou argumento ( arg z). A operação de múltimplicação de dois números z r e i e z r e i é identi cada como o aumento da magnitude de z por um fator r seguido de uma rotação deste vetor de um ângulo. O que na representação polar possui uma forma bastante simples z z r e i r e i r r e i(+) : 5

6 Exercise 7 Veri que que a introdução dos símbolos acima é compatível com a representação algébrica. Todas as representações apresentadas são, obviamente, equivalentes. A utilização de uma certa representação depende apenas das conveniências do problema.. Funções Uma função W (z) de uma variável complexa é também um número complexo, cuja parte real U Re W e imaginária V m W dependem, na nossa representação geométrica, da posição de z no plano xy. Usando as notações introduzidas anteriormente escrevemos W (z) U (x; y) + iv (x; y) : Podemos escolher duas diferentes representações grá cas para W. A primeira é representar U (x; y) e V (x; y) como superfícies sobre o plano complexo x y. Esta representação, que é útil em certas ocasiões, possui o inconveniente de não explicitar a relação das duas funções U e V como elementos de. Outra possibilidade é representar o próprio número complexo W como um ponto no plano U V. Neste último caso, a função W (z) fornece um mapa (R R ) do plano z x y no plano W U V e, para cada ponto no plano z, pode corresponder mais de um valor ponto no plano W. Exemplo W (z) z (x + iy) x y + ixy r e i ; U x y ; V xy : O semi-circulo no plano z é mapeado num círculo no plano W e a linha x é mapeada na parábola 4U 4 V. Exercise 8 O que acontece com um circulo de raio R centrado em (a; b)? Rint: use a equação do circulo em coordenadas polares r ar cos br sin R a b : 6

7 Esta gura foi retirada do livro Mathematical Methods of Physics, J. Mathews, R.L. Walker (nd. Edition Addison Wesley, 97) Exercise 9 Estude a função z. No exemplo W (z) z os pontos z e z são mapeados no mesmo ponto W. sto implica em problemas na de nição do mapa inverso W (z) z p re i : Este é um exemplo de uma função multivalente. Uma vez que na função acima z arg z (arg W ) W, os pontos z e z +, que representam os mesmos pontos no plano z, são dois pontos distintos W e W +. Assim, uma curva fechada no plano z que circule a origem ( z ) não retornará para o mesmo ponto no plano W. De outra forma, qualquer curva fechada que circule a origem no plano z não gera uma curva fechada no plano W. Um 7

8 Figure : Esta gura foi retirada do livro Mathematical Methods of Physics, J. Mathews, R.L. Walker (nd. Edition Addison Wesley, 97) ponto com esta característica é chamado ponto de rami cação. Por exemplo, a função W p z a tem um ponto de rami cação em a. Assim as funções multivalentes estarão bem de nidas apenas se não circularmos um ponto de rami cação. Para garantir isso, traçamos uma linha deste ponto até o in nito, chamada linha de rami cação (ou corte de rami cação) e, ao trabalharmos com a função, concordamos em nunca cruzar esta linha. No caso da rami cação na origem é conveniente tomar como linha de rami cação o semi-eixo real positivo ou negativo. O plano z cortado desta forma é chamado uma folha de Riemann da função em consideração. Esta folha é mapeada de forma unívoca numa parte do plano W (no nosso caso a metade deste plano) chamada ramo da função. A outra metade do plano W (o outro ramo da função) também é mapeada em todo o plano z. Podemos evitar o problema da multivalência do mapa (ou da função ) dizendo que existem várias cópias (ou folhas) do plano z e, ao cruzar a linha de rami cação, passamos de uma folha para outra. As curvas se comportam como se estas folhas fossem ligadas na linha de rami cação. As folhas assim ligadas formam uma superfície de Riemann. Esta superfície mapeia sem ambiguidade todo o plano W. Agora uma curva fechada no plano W é também uma curva fechada na superfície de Riemann S. Então, quando escrevemos W (z) z, precisamos ser bem claros se estamos falando de W : ou W : S. Estas são duas funções diferentes. A segunda possui uma inversa (raiz quadrada), enquanto a segunda não. Neste exemplo, na verdade, estamos falando mais especi camente de um ponto de rami cação algébrica. 8

9 Exercise Onde está o problema na seguinte demonstração p p e i e i e i??? O número de folhas ligadas de ne a ordem do ponto de rami cação. Outras raizes (r n e in ) podem ser descritas da mesma forma. A função W (z) z 3 necessita de 3 folhas e tem a origem como ponto de rami cação de ordem 3. Exercise Qual o ponto de rami cação e a ordem deste ponto para a função W (z) ln z? No caso de funções com mais de um ponto de rami cação, por exemplo, W (z) p (z a) (z b) ; temos diferentes formas de traçar a linha de rami cação. Na função acima podemos construir duas linhas partindo uma de a e outras de b até o in nito, ou podemos traçar apenas uma linha de a até b. A forma das superfícies de Riemann dependem desta escolha. Esta descrição mostra que, apesar de todos os benefícios vindos da extensão das funções para o plano complexo, este procedimento não é uma tarefa trivial nem mesmo para um caso simples como x..3 Diferenciação Para uma função f : R R ser diferenciável num ponto x R, os seguintes limites f (x) lim dx f (x + dx) dx f (x) ; devem existir e serem iguais. Por exemplo, a função f (x) x jxj ; não tem o limite lim x f (x) de nido no ponto x. Outro exemplo, a função (contínua) f (x) jxj não é diferenciável em x, porque f ( + dx) f () f ( + dx) f () lim ; lim : dx+ dx dx dx O mesmo critério pode ser usado para se analisar a diferenciabilidade de uma função complexa. Precisamos 9

10 assim analisar o limite lim f (z) u ; w; z; u : zw A única diferença entre este limite e o conceito usual na reta real e que, sendo w um ponto no plano (f : R R ), existem várias formas diferentes de se aproximar do ponto w. Um problema semelhante ao que ocorre em uma dimensão, onde os limites pela direita e pela esquerda podem ser diferentes. Quando isso ocorre dizemos que este limite não existe. Da mesma forma, se o limite para w depender do caminho escolhido no plano, dizemos que o limite não existe. Uma função f é diferenciável num ponto z se existir o limite f (z) lim dz f (z + dz) dz f (z) df dz (9) e este for independente do caminho pelo qual dz se aproxima de zero. Uma função é analítica (regular ou holomor ca) numa região E se for diferenciável nesta região. Praticamente toda a teoria de funções de uma variável complexa se aplica apenas a funções analíticas. Exemplo: a função f (z) jzj. Precisamos analisar jz + dzj dz jzj (z + dz) (z + dz) zz dz zdz + zdz + dzdz dz z dz + z + dz dz zz + zdz + zdz + dzdz zz dz z dz dz dz + z + dz dz dz dz Fazendo dz pelo eixo real dz dx dz df dz z dx + z + dx z + z dx Fazendo dz pelo eixo imaginário dz idy dz df dz z ( idy) idy + z + dz z + z Para ser diferenciável devemos ter z + z z + z ) z z : Esta função só pode ser difereciável em z. O que é verdade, porque neste ponto df dz dz + + dz dz ; z dz Para funções reais o termo analítica numa região signi ca que a função é igual a sua série de Taylor nesta região.

11 independente do caminho. Assim, f (z) jzj é diferenciável apenas no ponto z e não é analítica em nenhuma região. Da seção anterior temos que a região de regularidade de uma função multivalente deve ser de nida numa superfície de Riemann. Pode-se provar (Knopp Vol.) que se uma função f (z) possui uma derivada numa região, esta derivada é necessariamente contínua. Assim, uma função f (z) sempre pode ser expandidada numa série de Taylor em torno de um ponto z numa região onde esta função é analítica f (z) a + a (z z ) + ::: + a n (z z ) n ; a f (z ) ; a n n f (n) (z ) : () O raio de convergência desta expansão é um circulo cujo raio se estende até o ponto onde a função é singular, i.e., um ponto onde a função deixa de ser analítica. O contrário também é verdade, qualquer série de potência convergente numa região representa uma função analítica nesta região. Se uma função W (z) U (x; y) + iv (x; y) é analítica e fazemos dz dx + idy em (9) podemos fazer dz pela horizontal (dy ) ou pela vertical (dx ). Se a função é analítica devemos obter o mesmo limite (9) para estas duas variações de dz, dw dz dw dz dx dx @x i dy dz ; dx dz ; dy dz ) @x ; () se usarmos agora a nossa representação matricial de W W (z) U @y U V V @y o @x : ()

12 Estas são as equações diferenciais de auchy-riemann (R) e fornecem condições necassárias e su cientes para uma função W U + iv ser analítica numa região, desde que as quatro derivadas parciais existam e sejam contínuas. De outra forma, as condições de R são necessárias, mas não su cientes, para estabelecer a diferenciabilidade da função. omo mapas de R e forem contínuas, mas como mapas de as condições de R. R estas funções são diferenciáveis se as derivadas parciais existirem, estes mapas, além de serem contínuos, precisam satisfazer É muito importante compreender o signi cado das igualdades acima. omo vimos anteriormente, toda função complexa pode ser vista como um mapa de R R. Existe uma in nidade de mapas que são diferenciáveis como funções reais (todas as derivadas parciais acima existem), mas que não satisfazem as relações acima. Estes mapas não são funções complexas diferenciáveis. Para que exista a derivada de uma função complexa (e ser chamada de diferenciável) esta função tem de obedecer as equações de auchy- Riemann. Está é uma restrição bastante forte e implica que várias funções reais diferenciáveis não serão funções complexas diferenciáveis. Exemplo: f (z) jzj x + y ) U x + y as funções U e V acima são diferenciáveis (como funções reais) em qualquer ponto. Mas as condições cd ) y ; ) x ; Que só são satisfeitas na origem x y. Vemos (novamente) que a função f (z) jzj só é diferenciável no sentido complexo (f : ) na origem, mesmo que como uma função de R R ela seja diferenciável em todos os pontos. Assim, se a derivada de uma função W U + iv existe num ponto z, as derivadas parciais de U e V existem neste ponto, obedecem a condição de R, então a derivada W pode ser calculada como () W (z ) dw @ (U + @x + : (3) Ou, usando @y : (4)

13 Dada uma função complexa diferenciável, valem também as regras usuais de diferenciação de somas e produtos de funções. Todos os argumentos usados para demonstrar estas regras para funções reais continuam válidos. Exercise Veri que se e onde é diferenciável a função: W z. Resp: z (x + iy) (x + iy) x y + ixy U x y ; V xy x Esta função é diferenciável em todos os pontos e, consequentemente, analítica em qualquer região. Exercise 3 A conjugação complexa z (ou z ) de um número z de nida por z x + iy ) z z x iy re i Veri que se e onde é diferenciável a função: W z. Exercise 4 Veri que se e onde é diferenciável a função: W jzj zz. Resp: U x + y x esta função só pode ser analítica na origem. Para veri car se esta função é realmente analítica na origem, precisamos veri car se as derivadas parciais são contínuas. O que de fato é verdade. Então, a função acima é diferenciável na origem. Mas esta função não é analítica em nenhuma região. omo vimos, a última função é uma função real perfeitamente diferenciável. omo um mapa R R W U + iv x + y, U x + y ; V ambas as funções perfeitamente diferenciáveis. Assim, a condição de diferenciação complexa é algo mais forte que a diferenciação real. Se uma função f : derivada complexa desta função existe e é dada por satisfaz as equações de R e as derivadas parciais existem e são contínuas, a f (z) U (x; y) + iv (x; y) ) + : Exercise 5 Mostre que, em coordenadas polares, as condições de R se ; r 3

14 e que a derivada de uma função pode ser calculada como: + Resp: Veja o livro do hurchil pg (cos i sin + De nition 6 Se f : possui diferencial complexa em todos os pontos num aberto centrado em z, dizemos que f é analítica, ou holomor ca, em z. : De nition 7 Uma função f : de. é dita inteira (entire function) se for analítica em qualquer ponto De nition 8 Uma função f : possui uma singularidade no ponto z se ela não for analítica neste ponto. sto inclui o caso em que f não está de nida em z. Proposition 9 Se f e g são funções analíticas num domínio E então:. f + g é analítica em E. f g é analítica em E 3. wf é analítica em E para todo w complexo ou real 4. fg é analítica em E 5. fg é analítica em E exceto nos zeros de g. Proposition Se f; g : são funções analíticas, então a composta f g : é analítica. Exercise Veri que que se f (z) e f (z) são ambas analíticas numa região D, então f é constante em D. Resp: pg 73 hurchill. 3 Funções harmônicas omo vimos, a característica de uma função ser diferenciável complexa é uma restrição bastante forte nesta função (bem mais forte que diferenciabilidade real). Estas condições estão relacionadas com a equação de Laplace. A equação de difusão do calor e a equação de onda, no case estacionário se reduz a equação de Laplace. omo veremos nos exemplos a seguir, esta equação possui uma in nidade de aplicações, em especial, no eletromagnetismo e na dinâmica dos uidos. Uma função H : R n R é chamada harmônica num certo domínio D se suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas em D e H satisfaz a equação diferencial nx n 4

15 conhecida como equação de Laplace. No que segue, estamos interessados no caso em duas dimensões H : R R, H xx (x; y) + H yy (x; y) ; (5) Por exemplo, a distribuição de calor num corpo u obedece r u no regime estacionário (@u@t ) em duas dimensões temos a equação (5). Funções harmônicas possuem a notável propriedade de se você traçar um círculo ao redor de um ponto, e encontrar o valor médio da função dentro deste círculo, este valor é sempre igual ao valor da função no centro deste círculo. Desde que a função esteja de nida dentro de todo o círculo e em sua fronteira. Esta propriedade pode ser usada para resolver, de forma iterativa, o problema de Dirichlet, i.e., xada a condição na fronteira, qual o valor da função numa região. Este efeito pode ser observado numa chapa quente. Vejamos como estas funções se relacionam com as funções analíticas. Theorem Se uma função f (z) u (x; y) + iv (x; y) é analítica, então as funções u e v são harmônicas. Assumindo que f é analítica em D, então nesta região ela deve obedecer às condições @x (6) diferenciando ambos os lados destas igualdades em relação a x u u Da mesma forma, diferenciando com relação a y u u Lembrando que a continuidade da derivada parcial garante u v 5

16 Ou seja u e v são harmônicos em v u u v v : Por outro lado, se duas funções u e v são harmônicas em D e suas derivadas parciais satisfazem às condições de R, ou seja, é possível construir uma função complexa analítica u + iv com estas funções, então v é chamada de harmônica conjugada de u. Theorem 3 Uma função f (z) u (x; y) + iv (x; y) é analítica em D apenas se v é a harmônica conjugada de u. É importante notar que se v é a harmônica conjugada de u, isso não garante que u é a harmônica conjugada de v (observe que as condições de R (6) não são simétricas em u e v). Por exemplo, as funções u (x; y) x y ; v (x; y) xy : Enquanto a função é analítica. A função f u + iv z f v + iu ; não é analítica em nenhum ponto. Exercise 4 Veri que a a rmação acima. É possível mostrar (ver hurchill) que se uma função u é harmônica em D, então ela é a parte real de alguma função analítica em D. Além disso, se a harmônica conjugada existe, ela é única a menos de uma constante aditiva. Assim, dada uma função harmônica, podemos sempre construir uma função analítica. Por exemplo, u (x; y) y 3 3x y é harmônica. Pela primeira relação de R (6) sua harmônica conjugada ) 6xy ) v (x; y) 3xy + (x) 6

17 usando agora a 3y 3y 3x ) 3y (x) 3y 3x ) (x) 3x ) (x) x 3 + Assim v (x; y) 3xy + x 3 + é a harmônica conjugada de u e a seguinte função é analítica f (z) y 3 3x y + i 3xy + x 3 + : Utilizando as propriedades das funções analíticas é possível concluir uma série de propriedades para as funções harmônicas quando estas são conjugadas. Por exemplo, se f é analítica então f u + iv ) f u v + i (uv) também será. Assim o produto e a diferença do quadrado de duas funções harmônicas conjugadas também são funções harmônicas. Remark 5 O produto de duas funções harmônicas não é em geral uma função harmônica. Remark 6 Toda solução da eq. de Laplace pode ser expandida em série de potências numa região sem singularidades. Encontrar soluções da equação de Laplace (e de equações diferenciais em geral) não é uma tarefa trivial. Por isso as soluções conhecidas são compiladas em tabelas que possam ser consultadas por quem deseje resolver um determinado problema prático. aracterísticas e o método de construção da conjugada descrito acima permite, a partir do conhecimento de uma solução, contruir um par de soluções conjugadas e, consequentemente, encontrar vários outros elementos para compor estas tabelas. Remark 7 Se f : R é harmônica e g : é analítica então f g é harmônica. Dizemos que mapas analíticos preservam soluções da equação de Laplace, ou que a equação de Laplace é invariante por transformações analíticas. 3. ampos irrotacionais de divergência nula Uma grande quantidade de problemas em física envolve a presença de campos conservativos, i.e., campos cujo trabalho necessário para se movimentar sob sua ação independe do caminho seguido. Por exemplo, o movimento de uma massa num campo gravitacional, ou de uma carga num campo elétrico constante (r Estes campos são irrotacionais. Se estes campos não possuírem fontes ou sorvedouros (e.g., num campo elétrico estamos tratando uma região sem cargas r:e " ) eles também possuem a sua divergência nula. 7

18 Por exemplo, um uido newtoniano incompressível de viscosidade constante é descrito pela seguinte particularização da equação de + v:rv rp + r v ; no caso estacionário onde não há nenhum tipo de aceleração (@v@t + v:rv ) e não há gradiente de pressão (rp ) temos a equação de Laplace para as componentes de v. A incompressibilidade implica ainda r:v, e se não houver rodamoinhos no uído r v. onsideremos então campo vetorial num plano, que pode ser tanto um problema de mecânica dos uidos, como de eletromagnetismo, onde o uido poderia ser o campo elétrico. Podemos descrever este campo vetorial como V (x; y) u (x; y) ^x + w (x; y) ^y : Se este uído é irrotacional (um campo conservativo ou um uído sem rodamoinhos) r V y @y (7) Se não houver nenhuma fonte ou sorvedouro do nosso uído (sem cargas, ou um uido incompressível), então sua divergência também será nula r V (x; @x (8) Assim, a função f V u iw obedece as condições de R (7) e (8). Assim, se V descreve um campo irrotacional sem fontes nem sorvedouros, então a função f V : é diferenciável. Além disso, se as derivadas parciais de V forem contínuas, f será uma função analítica. pois Ademais temos que as componentes de f são funções harmônicas. Lembrando que um campo irrotacional sempre pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, V (x; y) r ^x + ^y ) (onde para trocarmos as derivadas precisamos que : R tenha derivadas parciais contínuas) podemos 8

19 escrever V (x; y) r (x; y) f @y Lembrando a expressão (4) que obtivemos anteriormente F u + iv ) F i i ) Re F (9) Vemos que, nas condições acima, a função é a parte real da antiderivada de f. Este resultado também é bastante útil. Por exemplo, vamos encontrar o potencial que gera o campo V (x; y) x^x y^y ) V x iy f V x + iy (x + iy) f (z) z Fácil que f é analítica (veri que). Assim V descreve um campo irrotacional sem fontes nem sorvedouros que, consequentemente, pode ser descrito por um escalar. Observando que F z ) F z f Do fato de F ser também analítica e usando a relação (9) temos Re F x y : O estudo da equação de Laplace, ou o estudo das funções harmônicas, é chamado de teoria dos potenciais. Toda função analítica corresponde a um campo irrotacional de divergência nula. Um uido incompressível sem rodamoinhos, um campo elétrico sem cargas etc. 4 ntegral omo f : pode ser vista como composta por um par de funções R R (mais algumas propriedades) é natural supor que, assim como ocorre na diferenciação, o conceito de integral de uma função complexa também se relacione com a integral de funções no plano. 9

20 Observe que, a princípio, poderíamos tentar de nir a integral de uma função complexa como a integral da parte imaginária e real, i.e., como a integral de duas funções no plano f (z) dz? (U (x; y) + iv (x; y)) dx dy U (x; y) dx dy + i V (x; y) dx dy ; () ou seja, a integral de uma função complexa seria uma integral de área. Mas, neste caso, a integral da função f (z) z seria x dx dy + i f (z) z (x + iy) y dx dy x dx dy + i y dy dx yx + ixy : Mas observe que desta forma a derivada desta "primitiva" F yx + ixy não corresponde a cuja derivada complexa de novamente f (z), pois yx + ixy 6 z ; d dz z z Ou seja, a de nição () não corresponde a uma opreração inversa a nossa de nição de diferenciação. Este é um argumento de porque não de nimos a integral desta forma. Além disso, lembrando da nossa representação grá ca dos números complexos, temos que dz dx + idy pode ser visto como um vetor in nitesimal no plano x; y, ou seja, se comporta como dr ^{dx + ^ dy. Todos estes argumentos indicam que a de nição de integral que queremos não se relaciona com integrais de áreas, mas sim com integrais de curvas. omo vimos acima, o conceito de limite no plano complexo deve levar em conta que temos vários caminhos possíveis para nos aproximarmos do ponto em questão. Da mesma forma, o conceito de integrar entre dois pontos, possui a mesma questão de qual caminho percorremos para chegar de um ponto a outro. problema também existe na integral de linha de funções no plano. acontece neste último caso. Este Assim, vamos primeiro rever o que 4. Teorema de Green Um campo vetorial num plano é uma função que a cada ponto deste plano associa um vetor. Tal campo pode ser usado, por exemplo, para descrever o comportamento de um uido, um campo eletromagnético etc. Um dos grandes interesses no estudo de problemas práticos é saber qual o trabalho realizado para se mover neste campo vetorial. Por exemplo, queremos mover uma carga elétrica por um campo elétrico, ou uma massa num campo gravitacional, ou ainda um barco por um rio.

21 Em todos estes casos, o trabalho realizado será: W F:dr () onde F (x; y) U (x; y)^{ + V (x; y) ^ é o campo vetorial (neste caso a força) e dr ^{dx + ^ dy um elemento de deslocamento na trajetória. Em geral este trabalho depende, não apenas do caminho, mas também do sentido que este caminho é seguido. Exemplo: Vamos calcular a integral de linha do campo F (3x y) i + (x + 5y) j sobre a circunferência unitária. Este caminho pode ser parametrizado como x cos t ; y sin t ; t ;

22 onde está relacionado com a velocidade que percorremos a curva. Assim W F:dr (U (x; y) dx + V (x; y) dy) x x (t) ; y y (t) ) dx dx dy dt ; dy W dx dt sin t ; (3x y) dx dt dy dt dt + (x + 5y) dy dt cos t dt dt dt ; W ((3 cos t sin t) ( sin t) + (cos t + 5 sin t) ( cos t)) dt ( (3 cos t sin t) sin t + (cos t + 5 sin t) cos t) dt 3 cos t sin t + sin t + cos t + 5 sin t cos t dt (( 3 + 5) sin t cos t + ) dt sin t cos tdt + sin t dt + sin t dt + : dt cos t ( sin t cos t + ) dt sin t cos tdt + Observe como o valor calculado não depende de, a velocidade com que percorremos a curva. Vamos calcular a integral () para um campo F arbitrário, mas para um caminho especí co, por exemplo, um retângulo: (; ) (a; ) (a; b) (; b) (; ) + W F:dr (U (x; y)^{ + V (x; y) ^ ) : (^{dx + ^ dy) (U (x; y) dx + V (x; y) dy) :

23 Na primeira parte do caminho (; ) (a; ) ; dr ^{dx ) dy : (a;) W j (a;) (;) (U (x; y) dx + V (x; y) dy) (;) Enquanto na segunda parte (a; ) (a; b) ; dr ^ dy ) dx Da mesma forma (a;b) W j (a;b) (a;) (U (x; y) dx + V (x; y) dy) (a;) a b U (x; ) dx V (a; y) dy W j (;b) (a;b) W j (;) (;b) a b U (x; y) dx V (x; y) dy a b U (x; b) dx V (; y) dy O trabalho total é a soma do trabalho de cada parte: W W j (a;) (;) + W j(a;b) (a;) + W j(;b) (a;b) + W j(;) (;b) a [U (x; ) U (x; b)] dx + b [V (a; y) V (; y)] dy () Um ponto importante é que cada uma das integrais acima é uma integral ordinária em apenas uma variável. Assim, no cálculo de qualquer das integrais acima a função integrada pode ser tratada como uma função de uma única variável. Assim, podemos fazer, por exemplo: U (x; y) f x (y) ) f x (y) df x (y) dy ) b f x (y) dy f x (b) f x () f x (y) df x dy lim dy* f x (y + dy) dy f (y) U (x; y + dy) U (x; y) dy* Da mesma forma b f x (y) dy f x (b) f x () ) a dx V (a; y) V dy U (x; b) U (x; 3

24 Substituindo em () temos W a b a dy @x b dx Assim, para o nosso caminho quadrado W F:dr (U (x; y) dx + V (x; y) da Suponha agora que o nosso quadrado tenha sido dividido, por exemplo, por uma linha vertical no ponto x h < a e clculamos o trabalho para percorrer cada um dos dois quadrados: onde W W (h;) (;) + W (h;b) (h;) + W (;b) (h;b) + W (;) (;b) W W (a;) (h;) + W (a;b) (a;) + W (h;b) (a;b) + W (h;) (h;b) W (h;b) (h;) W (h;) (h;b) b b V (h; y) dy V (h; y) dy b V (h; y) dy W (h;b) (h;) Então W + W W (h;) (;) + W (;b) (h;b) + W (;) (;b) + W (a;) (h;) + W (a;b) (a;) + W (h;b) (a;b) Agora observamos que W (h;) (;) + W (a;) (h;) h W (h;b) (a;b) + W (;b) (h;b) W (;b) (a;b) U (x; ) dx + a h U (x; ) dx a U (x; ) dx W (a;) (;) Assim W + W W j (a;) (;) + W j(a;b) (a;) + W j(;b) (a;b) + W j(;) (;b) W Ou seja, não importa que divisão façamos no nosso quadrado todas as contribuições das partes internas irão se cancelar (porque são percorridas na ordem inversa) e sobrará apenas as bordas. Assim, para uma superfície fechada qualquer, podemos subdividi-la em quadrados, somar todas as contribuições dos quadrados e o que teremos será a integral de linha nas bordas da região interna do caminho. 4

25 É importante notar que qualquer buraco na nossa área, i.e., regiões que não pertencem ao domínio das funções geraram bordas e contribuirão para a integral. Assim, de forma geral, para um caminho fechado que encerre uma superfície simplesmente conexa (sem buracos) temos: F:dr (U (x; y) dx + V (x; y) da (3) Este é o teorema de Green e permite, através do cálculo de integrais de áreas, que não envolve produtos vetoriais, calcular uma integral de linha. Exemplo: Vamos voltar ao nosso exemplo anterior F:dr R F (3x y) i + (x + 5y) j U (3x y) ; V (x @y Este teorema também permite ver que, ) F:dr ; R [ + ] da R da : para qualquer curva fechada. Ou seja, F é um campo conservativo. Veja que esta expressão concorda com (7) que obtivemos porque F é um campo gradiente. Se F é um campo conservativo temos F:dr para A e B os limites de. Assim dy ^y ) rf:dr F:dr ^y : (^{dx + ^ dy) df f (B) f (A) f (A) é uma generalização do Teorema Fundamental do álculo para funções de várias variáveis. omo veremos a seguir, todo o material desenvolvido acima está intimamente ligado com o cálculo de integrais de funções complexas. 5

26 4. ntegrais complexas omo vimos na seção anterior podemos escrever um campo vetorial conservativo como as funções conjugadas de uma função complexa. Assim, a integral de funções sobre o plano complexo nada mais é que a integral de campos vetoriais conservativos. Agora se tratarmos a integral f (z) dz como uma integral de linha sobre uma curva no plano complexo, podemos, assim como na integral de linha, parametrizar esta curva por um parâmetro t qualquer e escrever (t) x (t) + iy (t) ) dx dx dy dt _xdt ; dy dt _ydt dt dt f (z) dz f (x (t) + iy (t)) ( _x + i _y) dt Para o caso de caminhos sobre o eixo dos reais (d y ) a integral acima é da forma b a w (t) dt ; a; b R : Vamos ver o que acontece com a integral da função w (z (t)) w (t) u + iv. fundamental do cálculo para funções reais temos Usando o teorema b a w (t) dt b (u + iv) dt b u dt + i b a a a v dt [U (t)] b a + i [V (t)]b a [W (t)]b a U du dt ; V dv dt ; W U + iv Da expressão acima vemos que b a w (t) dt [W (t)] b a ; W w (4) onde, obviamente, a mesma parametrização z (t) deve ser usada para w e W. O resultado acima diz que, para funções complexas com argumentos reais, temos uma generalização do teorema fundamental do cálculo. Exemplo: calcular 4 e it dt ie it 4 p + i p 6

27 4.3 ontornos Usando as de nições e os resultadoas acima podemos calcular a inegrau de funções complexas no plano complexo. Estas integrais são chamadas de integrais de contorno. Exemplo: vamos integrar f (z) z de até i por duas linhas retas de e i linha reta z dz (x iy) (dx + idy) + x dx + + y dy i (x iy) (dx + idy) E ao longo do arco z dz e i (i) d i e i d i ie i (i ) Do resultado acima vemos que a integral, em geral depende do caminho de integração. Exemplo : Vamos integrar a nossa função f (z) z como uma integral de linha, por exemplo, do ponto ao ponto + i por uma linha reta f (z) dz E por duas linhas retas e ( + i) x y ) x t ; y t ) _x _y (t + it) ( + i) dt ( + i) tdt ( + i) t f (z) dz x dx + (x + iy) (dx + idy) + +i ( + iy) (idy) x dx + (idy) + i x dx + idy i idy y dy ( + i) i (x + iy) (dx + idy) y (idy) Repetindo este processo in nitas vezes podemos ver que, neste caso, a integral não depende do caminho. 7

28 Observe também que se assumirmos que a integral é uma antiderivada temos z dz z +i ( + i) i : Então neste caso, e isso pode ser veri cado para qualquer pontos iniciais e nais, nossa de nição concorda com a ideia de antiderivação. Vamos agora cálcular a integral de uma função analítica. Vamos agora usar a nossa de nição de integral complexa como uma integral de linha, temos f u + iv ) f (z) dz (5) (u + iv) (dx + idy) [(u dx v dy) + i (u dy + v dx)] A existência da integral acima depende da existência da integral de u e v e, assim como no caso dos campos, a curva deve ser lisa por partes. Lembrando que é um caminho sobre o plano complexo, i.e., o plano x; y cada uma das duas integrais acima é da forma (u (x; y) dx + v (x; y) dy) ou seja, temos duas integrais de caminho (reais) para os campos vetoriais F u^x v^y ; F v^x + u^y Podemos então agora usar o teorema de Green (3) para cálcular F :dr F :dr R da Usando agora as relações de ) F ) F @u @v @y R Assim, o teorema de Green para funções no R, as condições de R e a nossa de nição das intergrais 8

29 complexas como integrais de linha no plano complexo, garantem que cada um dos termos em (5) é zero. De outra forma, se f é uma função analíitica num domínio E a integral sobre qualquer curva fechada em E, lisa por pedaços (uma exigência para que a integral dos campos esteja bem de nida), então f (z) dz : Este é o teorema de auchy-goursat. omo consequencia, a integral de f de um ponto z até um ponto z depende apenas dos pontos e independe do caminho. f (z) dz z z f (z) dz : Obviamente toda a discução acima dependem do fato da função ser analítica e, consequentemente, não possuir singularidades na região em consideração. Em geral a integral de uma curva fechada que envolva uma singularidade não será igual a zero. 4.4 Antiderivada O resultado acima pode ser usado para se de niar a integral inde nida de uma função complexa, sua primitiva ou a antiderivada. Se f é analítica, sabemos que para qualquer caminho temos z z f (z) dz f (z (t)) ( _x + i _y) dt com z () z e z () z terá o mesmo valor. Usando (4) temos mas para qualquer função F (z (t)) b a w (t) dt [W (t)] b a ; W w () f ( _x + i _y) dt [F ] ; F f ( _x + i _y) f _z F (z) df dz _z f _z ) df dz f : Assim, se para uma função analítica f de nirmos um caminho qualquer z (t) ; t [; ] F (z) z f (z (t)) dz f (z (t)) ( _x + i _y ) dt 9

30 com z (t ) e z (t ) z teremos F f e podemos dizer que F é a antiderivada de f. Observer que isso só é possível porque f é analítica e, consequentemente, a integral só depende dos extremos do caminho. O resultado acima é o nosso teorema fundamental do cálculo complexo para funções analíticas. Do nosso estudo de derivadas é fácil ver que, assim como no caso de funções reais F está de nido a menos de uma constante. Exemplo: A utilização da antiderivada é no cálculo de integraia é identico ao cálculo nos reais +i z z 3 dz 3 +i ( + i)3 3 (i ) : ntegrais de contorno Vamos agora integrar a função f (z) z num caminho que seja um circulo de raio unitário começando e terminando em. Podemos parametrizar o circulo fazendo x cos t ; y sin t ) (t) cos t + i sin t dx sin t dt ; dy cos t dt z dz z zz dz como no circulo zz z dz z dz (x iy) (dx + idy) (cos t i sin t) ( sin t + i cos t) dt i dt i : Diferente de zero. Porque f não é analítica em todos os pontos dentro do contorno. Alternativamente poderíamos ter feito simplesmente feito z e it ) dz dt ieit z dz e it dz dt dt e it ie it dt i dt i : 3

31 Figure : Figura 3 A parametrização acima mostra ainda que qualquer circulo em torno da origem daria o mesmo resultado. Observe agora que se zermos a integral pelo caminho da gura abaixo Ou seja, de A até D pelo circulo, depois de D até então de até B pela gura externa e, nalmente de B de volta para A teremos percorrido um caminho fechado que não contem nenhuma singularidade, i.e., nesta região a função é analítica. Assim, neste contor z dz Mas a integral sobre o caminho D é igual ao negativo da integral B A e, consequentemente, a integual na curva externa é igual a integral da curva interna. Este resultado mostra que: se f é uma função analítica com uma singularidade num ponto, qualquer integual ao redor desta singularidade (percorrida na mesma direção), tem o mesmo valor independente da curva. Assim, para qualquer curva que circule a origem. z dz i De nition 8 Dizemos que a função f tem um pólo no ponto w se lim jf (z)j z w 3

32 Vamos calcular a integral (z z ) n dz : num contorno que circule z. Esta função tem uma singularidade em z z. Mas sabemos que qualquer caminho dará o mesmo resultado. Assim, escolhemos o caminho que é um circulo unitário centrado em z, i.e., é o circulo z z + e i. om isso (z z ) n dz z z + e i ; _z ie i i (e i ) n ie i d e in ie i d ( e i( n) i para n d para n 6 (6) Exemplo: alcule a integral com um círculo centrado na origem de raio. z z Primeiro se veri ca-se quantas singularidades estão no interior do circuito. No caso, as duas. Depois se faz a decomposição z (z ) dz z (z + ) (z ) (z + ) + (z ) (z + ) (z + ) (z ) (z + ) (z ) + (z ) (z + ) (z ) (z ) + (z + ) com isso z z dz (z ) + dz (z + ) (z ) dz + (z + ) dz [i + i] i : Exemplo: alcular f (z) z em torno do círculo de raio unitário e em torno do quadrado i Em torno do círculo temos e i ie i d i d i 3

33 Ao redor do quadrado z + ti ) z ti ) z t i ) z t + i ) ( ti) i dt i (( + ti) i) dt i (t + i) dt i ( t i) i dt i Num caso i no outro 8i. Resumindo: ntegrais de funções não analíticas devem ser calculadas em todos os pontos da curva. ntegrais de funções inteiras (analíticas em todo o plano complexo) sobre domínios fechados são zero. ntegrais de funções inteiras não depende do caminho (podemos escolher de acordo com a conveniência). ntegrais de funções analíticas com singularidades podem ser calculadas por qualquer caminho que não contorne a singularidade ntegrais fechadas de funções analíticas que envolvem singularidades só precisam ser calculadas ao redor dos pontos de singularidade. 4.6 A formula integral de auchy Se f é uma função analítica num domínio E pelos resultados acima temos que para qualquer caminho uma singularidade). f (z) z w dz que não contorne o ponto z w (pois f é analítica, mas o integrando tem Vamos imaginar uma curva como a da gura com w no centro do círculo interno (observe que há um circulo interno que circunda a singularidade, mas há o caminho externo que não circunda). O ponto crucial é que o cálculo da integral na gura, por qualquer caminho, independe do tamanho (raio) do círculo interno. sso signi ca que, se é o circulo interno, que circunda a singularidade em w, esta integral terá o mesmo valor para qualquer círculo, em especial (a seguir eu usei o símbolo? do círculo tende a zero) f (z) z w f (z) dz lim? z w 33 para indicar que o diâmetro dz : (7)

34 Mas como f é analítica, quando o círculo tente ao ponto z w temos lim f (z) f (w) z w para qualquer caminho do limite (lembrando que para funções analíticas o limite acima não depende do caminho). Assim temos f (z) lim? z w Usamos agora a integral de contorno (6) e calculamos dz f (w) z w dz : z w dz i Retornando este resultado em (7) temos f (z) z w dz f (z) lim? z w f (w) i dz f (w) z w dz ou ainda f (w) f (z) i z w dz (8) onde lembramos que é qualquer curva que circunde a singularidade (i.e., que circunde w). Esta é a fórmula integral de auchy. A fórmula acima mostra a característica bastante peculiar das funções analíticas de que seu valor numa certa região é totalmente determinado pelo valor nas bordas desta região. Assim, uma vez de nido as condições da função na fronteira, não há mais nenhuma liberdade na de nição dos seus valores internos. Ou ainda, qualquer alteração em qualquer ponto da fronteira, altera todos os demais valores da função. Este comportamento pode ser visto, por exemplo, no estado de equilíbrio de uma chapa aquecida, onde o valor da temperatura nos pontos da borda da chapa determina seu valor em toda a chapa (lembrando que a parte real e imaginária de uma função analítica obedece, cada uma, a equação de Laplace). Exemplo de aplicação: alcule a integral z (9 z ) (z + i) dz onde o caminho é um circulo de raio (jzj ) centrado no ponto z ter uma singularidade no interior do caminho, observe que a função i. Solução: Apesar do integrando f (z) z (9 z ) 34

35 é analítica em toda a região de interesse. Assim, podemos usar a fórmula integral de auchy para escrever f ( i) z i (9 z ) z (9 z ) (z + i) dz ( i) ) 9 ( i) (z + i) dz i ( i) 9 ( i) 5 : 4.7 Derivadas de funções analíticas Vamos voltar à integral f (z) z w dz para uma curva que circunda a singularidade w. Vamos agora parametrizar esta curva por z (t), t [; ], com isso f (z) z w dz f (z (t)) z (t) w Usando agora a fórmula integral de auchy (8) temos _z dt : f (w) f (z (t)) i z (t) w _z (t) dt : Vamos calcular agora a derivada da função f (w) d f (w) f (w) dw i d dw f (z (t)) z (t) w _z dt : Observe que a quantidade dentro do sinal de integral pode ser considerada como uma função de w e t. Usando agora a regra de Leibniz (que garante que, para integrais reais, nós podemos diferenciar através do sinal de integral) temos f f (z (t)) z (t) w (observe que a integral é uma função apenas de w mas o integrando é uma função de w e t por isso, quando _z dt entra na integral a derivada total vira uma derivada parcial). Efetuando agora a diferenciação f (w) i f (z) _z dt (z w) i : f (z) (z w) dz : 35

36 Repetindo este procedimento n vezes temos que f (n) (w) n i f (z) n+ dz ; (z w) esta é a fórmula de auchy para as derivadas. Do resultado acima temos o importante: Theorem 9 Se f é uma função analítica numa região E ; e é uma curva simples (cujo percurso não se cruza) fechada em E, então para um ponto z dentro da curva, a n-ésima derivada de f existe e é dada por f (n) (z ) n i f (z) n+ dz : (9) (z z ) Este resultado garante que, se a função é analítica, além de ser diferenciável (como já sabíamos), ela pode ser in nitamente diferenciável. Além disso, como esta derivada estará de nida para todos os pontos z dentro do contorno, todas estas derivadas também serão funções analíticas na mesma região E, pois se f (n+) existe em todos os pontos de E, enão f (n) é analítica em E (lembre que uma função f é analítica em z se, e somente se, existe uma vizinhança deste ponto onde a derivada de f existe em cada ponto desta vizinhança). A existência de todas estas derivadas garante que podemos expandir uma função analítica em série de Taylor (que é a de nição de funções analíticas para funções de variáveis reais). O resultado acima é mais uma diferença gritante entre funções reais diferenciáveis e funções complexas diferenciáveis. (Obviamente, se uma função real possui uma derivada de ordem n isso não garante a existência da derivada de ordem n + e, conseqüentemente, a função pode não ser expansível em série de Taylor.) omo corolário do teorema acima temos: orollary 3 Se u : R R é uma função harmônica, então ela possui derivadas de todas as ordens, e cada uma destas derivadas também são funções harmônicas, pois se f u + iv é analítica, e portanto contínua, segue + e, portanto as derivadas de u e v também são contínuas e assim sucessivamente para as demais derivadas. Existe também uma versão inversa do teorema de auchy-goursat. Theorem 3 Se f u + iv é dada por funções u e v contínuas numa região e satisfaz a condição f (z) dz ; para qualquer contorno fechado, então f é analítica nesta região. Este é o teorema de Morera. Os resultados acima são essenciais para o estudo de série de potências de funções analíticas. exemplos de aplicação destes resultados serão dados diretamente no desenvolvimento das seções seguintes. Assim, 36

37 5 Séries de Taylor A decomposição em série de funções possui uma in nidade de aplicações práticas, por exemplo, para se estimar o valor de certas funções (quando se pressiona o botão seno da calculadora o que ela faz é calcular a série do seno até uma certa ordem e assim em todos os cálculos numéricos). Para funções complexas, além desta aplicação prática, uma série de outras propriedades das funções (além do seu valor) podem ser obtidas pela sua expansão em série de potências. Para funções complexas, se f (z) é uma função in nitamente diferenciável num ponto z, então (como no caso de funções reais) de nimos sua série de Taylor em torno de um ponto z como onde f f e. X k f (k) (z ) k (z z ) k Observe que para funções reais, em geral, esta série não é igual a f. Por exemplo a função f (x) (, para x : e exp x, para x > Esta função é in nitamente diferenciável em qualquer ponto x e todas as derivadas são zero na origem. Assim, a série de Taylor desta função em torno da origem calculada no ponto vale, o que, obviamente é bem diferente de f () e e e. Além disso, uma série de Taylor pode não convergir. E do exemplo acima vemos que, mesmo que ela convirja, pode convergir para algo que não se relaciona com a nossa função. De forma geral, a questão da convergência desta série é um ponto bastante intrincado. Entretanto, como veremos, esta questão se torna muito mais simples quando nos restringimos apenas a funções analíticas. Se f (z) é uma função analítica numa região E, para qualquer ponto em z E podemos usar a formula integral de auchy (8) para escrever f (z) f (z ) i z z dz onde é um caminho fechado interior a E que tomaremos como um círculo de raio r. Vamos tomar dentro de E de sorte que possamos traçar um novo circulo maior que. Observe agora que z z (z z ) (z z ) (z z ) z z (3) z z 37