1.1 Teorema fundamental da álgebra

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1 Motivação. Teorema fundamental da álgebra Vivamos num mundo sem os complexos. Um dia, resolvendo um problema real do nosso mundo, nos deparamos com a equação 3x + : () Fácil ver que, neste nosso mundo onde só existem os reais, esta equação não possui soluções. Obviamente, a incapacidade de tratar uma expressão matemática qualquer, além de frustrante, implica numa série de limitações práticas no tratamento de problemas do mundo real. A inexistência de soluções reais da equação () é uma manifestação do fato do conjunto dos números reais não formar um corpo algebricamente fechado. Um corpo F diz-se algebricamente fechado se qualquer polinômio de uma variável de grau maior ou igual a, com coe cientes em F, tiver pelo menos uma raiz em F. Para não corrermos mais o risco de obter equações polinomiais intratáveis de nimos então um novo conjunto maior, dos quais os R fazem parte, mas que qualquer polinômio neste novo conjunto possua soluções que também sejam elementos deste conjunto. Este processo é chamado de fechar algebricamente o conjunto. Fazendo isso com os reais, o que se obtém é precisamente o conjunto dos números complexos. Disse então que é o fecho algébrico de R. Esta característica dos números complexos é uma conseqüência do Teorema fundamental da álgebra. Theorem Qualquer polinômio p(z), z, com coe cientes complexos e de grau n tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado e, portanto, tal como qualquer outro corpo algebricamente fechado, a equação p(z) possui n soluções não necessariamente distintas.. Teorema da identidade O teorema da identidade (identity theorem) para funções holomor cas (funções de variáveis complexas diferenciáveis) estabelece que: Theorem Dada duas funções holomor cas f e g de nidas num aberto (conexo) D, se f g em alguma vizinhança de z contida em D, então f g em D. Assim, uma função holomor ca está completamente determinada uma vez conhecido seu valor numa vizinhança arbitrariamente pequeno. Esta propriedade não é válida para funções reais diferenciáveis. É graças à propriedade acima que podemos tão facilmente estender uma função real para o plano complexo, por exemplo, e x e z. Além disso, a noção de diferenciabilidade é muito mais forte para funções complexas,

2 pois a existência da diferencial de primeira ordem implica na existência das diferenciais de qualquer ordem. Assim, mostrando-se que uma função complexa possui uma primeira derivada, automaticamente se mostra que ela é in nitamente diferenciável e, conseqüentemente, que ela é uma função analítica (pode ser expandida em série de Taylor). O fato de uma função possuir uma expansão em série de nida em todo seu domínio é de fundamental importância tanto em matemática quanto em física. Assim, dada uma certa função real f (x), se conseguirmos entender esta função para o plano complexo, i.e., encontrar uma função diferenciável f (z) de nida em que para m z seja igual a f (x), esta função será única (pelo teorema da identidade) e analítica. Assim, o estudo das propriedades de funções com variáveis complexas é de fundamental importância não apenas teóricos, mas também práticos. Números complexos Um número complexo é um mapa z : R propriedades algébricas R onde de nimos duas operações (+; ) com as seguintes z i z (x i ; y i ) ; x i ; y i R ; z (x ; y ) + z (x ; y ) z (x + x ; y + y ) z + z ; z (x ; y ) z (x ; y ) z z z (x x y y ; y x + x y ) z z : hamemos o conjunto de todos os z de. arbitrária, é tão importante. Das de nições acima é fácil ver que Vamos ver porque esta escolha de operações, aparentemente z (x; y) + z (; ) z (x; y) ; _x; y ; () z + (z + z 3 ) (z + z ) + z 3 ; (3) _ z (x; y) 9 z ( x; y) j z + z z (; ) : (4) A existência do elemento z z(; ) () e as propriedades (3) e (4) acima fazem deste conjunto um grupo pela primeira operação binária (a soma, +). O fato da soma ser comutativa, faz deste um grupo abeliano. Além disso, podemos ver também que z (x; y) z (; ) z (x; y) ; _x; y ; (5) z (z z 3 ) (z z ) z 3 ; (6) z (z + z 3 ) z z + z z 3 : (7) A existência da segunda operação binária (produto, ), do elemento z(; ) (5) (identidade do produto) acima e da associatividade do produto (6), fazem deste conjunto um monóide. Todas estas propriedade, juntamente

3 com propriedade distributiva da multiplicação (7), fazem deste conjunto um anel. A comutatividade da multiplicação faz deste um anel abeliano. Finalmente, todas estas propriedades, mais o fato do conjunto z (; ) formarem um grupo pela multiplicação, devido às propriedades seguintes z (z z 3 ) (z z ) z 3 ; x _ z (x; y) ; x + y 6 9 z x + y ; y x + y j z z z (; ) ; fazem deste anel abeliano um corpo. É pelo fato de ser um corpo que podemos fazer com z tudo que fazemos com os números reais. Assim, polinômios estão bem de nidos, bem como as séries in nitas. Destarte podemos de nir funções trigonométricas, exponenciais etc. E, o mais importante, podemos procurar pelo inverso de todas estas funções.. Realização ou representação de Vamos começar de nindo o seguinte símbolo para nos referirmos aos elementos de : z (x; y) x + iy ; x; y R ; onde x é chamado parte real de z (x Re z) e y parte imaginária (y m z). É importante ter em mente que a quantidade acima é apenas um símbolo, não representando nenhuma soma, ou qualquer coisa parecida. Para efetivamente trabalharmos (manipularmos) este símbolo, precisamos encontrar uma de nição baseada em entidades que já saibamos trabalhar. Ou seja, precisamos realizar esta quantidade em algum espaço conhecido. Vejamos três possibilidades para esta realização... Representação matricial Podemos de nir o símbolo introduzido acima como uma matriz x y x + iy y x ; e especi carmos que a soma e o produto deste símbolo respeita a álgebra usual de matrizes. Exercise 3 Veri que que o símbolo assim de nido obedece às propriedades de soma e multiplicação de nidas na seção anterior. 3

4 Agora que temos uma representação concreta para o nosso símbolo, podemos efetuar cálculos completos. Por exemplo, podemos calcular e i : e i exp " # n X n X () n n n + n + () n + () ::: observando que temos e i Da mesma forma ; 3 () () X ( ) n () n + X ( ) n () n+ (n) (n + ) n n cos + sin + i i : e i + i : ; ::: + ::: Observe que o símbolo da igualdade acima não tem o mesmo signi cado (apesar de compartilhar as mesmas propriedades) do símbolo como elemento dos reais. Mais especi camente, o nosso aqui é uma matriz. Exercise 4 Podemos escrever e z+z e z e z? De forma geral, " # e x+iy e x cos y + sin y e x cos y sin y e x (cos y + i sin y) : (8) sin y cos y 4

5 Exercise 5 Obtenha a relação acima... Representação algébrica Outra forma de se representar um elemento de (talvez a mais conhecida) é a rmar que estas quantidades respeitam a álgebra usual dos reais acrescida da seguinte de nição i:i : Exercise 6 Veri que que esta de nição reproduz as operações de soma e produto de nidas na seção anterior. A veri cação da compatibilidade desta de nição com a anterior é imediata i:i + :i :..3 Representação geométrica Uma terceira forma de se representar os elementos de é a rmar que estes são pontos no plano x y e identi car a operação de soma com a álgebra (usual) dos vetores que partem da origem até o ponto x; y. Neste caso é conveniente utilizar a representação polar deste ponto z r (^x cos + ^y sin ) ; r x + y ; y x tan : Neste caso costuma-se ainda introduzir a notação ^y i ; ^x ) z r (cos + i sin ) : Usando o resultado (8), que deve ser válido em qualquer representação, temos z r (cos + i sin ) re i : Nesta notação r é a magnitude de z (r jzj) e a fase ou argumento ( arg z). A operação de múltimplicação de dois números z r e i e z r e i é identi cada como o aumento da magnitude de z por um fator r seguido de uma rotação deste vetor de um ângulo. O que na representação polar possui uma forma bastante simples z z r e i r e i r r e i(+) : 5

6 Exercise 7 Veri que que a introdução dos símbolos acima é compatível com a representação algébrica. Todas as representações apresentadas são, obviamente, equivalentes. A utilização de uma certa representação depende apenas das conveniências do problema.. Funções Uma função W (z) de uma variável complexa é também um número complexo, cuja parte real U Re W e imaginária V m W dependem, na nossa representação geométrica, da posição de z no plano xy. Usando as notações introduzidas anteriormente escrevemos W (z) U (x; y) + iv (x; y) : Podemos escolher duas diferentes representações grá cas para W. A primeira é representar U (x; y) e V (x; y) como superfícies sobre o plano complexo x y. Esta representação, que é útil em certas ocasiões, possui o inconveniente de não explicitar a relação das duas funções U e V como elementos de. Outra possibilidade é representar o próprio número complexo W como um ponto no plano U V. Neste último caso, a função W (z) fornece um mapa (R R ) do plano z x y no plano W U V e, para cada ponto no plano z, pode corresponder mais de um valor ponto no plano W. Exemplo W (z) z (x + iy) x y + ixy r e i ; U x y ; V xy : O semi-circulo no plano z é mapeado num círculo no plano W e a linha x é mapeada na parábola 4U 4 V. Exercise 8 O que acontece com um circulo de raio R centrado em (a; b)? Rint: use a equação do circulo em coordenadas polares r ar cos br sin R a b : 6

7 Esta gura foi retirada do livro Mathematical Methods of Physics, J. Mathews, R.L. Walker (nd. Edition Addison Wesley, 97) Exercise 9 Estude a função z. No exemplo W (z) z os pontos z e z são mapeados no mesmo ponto W. sto implica em problemas na de nição do mapa inverso W (z) z p re i : Este é um exemplo de uma função multivalente. Uma vez que na função acima z arg z (arg W ) W, os pontos z e z +, que representam os mesmos pontos no plano z, são dois pontos distintos W e W +. Assim, uma curva fechada no plano z que circule a origem ( z ) não retornará para o mesmo ponto no plano W. De outra forma, qualquer curva fechada que circule a origem no plano z não gera uma curva fechada no plano W. Um 7

8 Figure : Esta gura foi retirada do livro Mathematical Methods of Physics, J. Mathews, R.L. Walker (nd. Edition Addison Wesley, 97) ponto com esta característica é chamado ponto de rami cação. Por exemplo, a função W p z a tem um ponto de rami cação em a. Assim as funções multivalentes estarão bem de nidas apenas se não circularmos um ponto de rami cação. Para garantir isso, traçamos uma linha deste ponto até o in nito, chamada linha de rami cação (ou corte de rami cação) e, ao trabalharmos com a função, concordamos em nunca cruzar esta linha. No caso da rami cação na origem é conveniente tomar como linha de rami cação o semi-eixo real positivo ou negativo. O plano z cortado desta forma é chamado uma folha de Riemann da função em consideração. Esta folha é mapeada de forma unívoca numa parte do plano W (no nosso caso a metade deste plano) chamada ramo da função. A outra metade do plano W (o outro ramo da função) também é mapeada em todo o plano z. Podemos evitar o problema da multivalência do mapa (ou da função ) dizendo que existem várias cópias (ou folhas) do plano z e, ao cruzar a linha de rami cação, passamos de uma folha para outra. As curvas se comportam como se estas folhas fossem ligadas na linha de rami cação. As folhas assim ligadas formam uma superfície de Riemann. Esta superfície mapeia sem ambiguidade todo o plano W. Agora uma curva fechada no plano W é também uma curva fechada na superfície de Riemann S. Então, quando escrevemos W (z) z, precisamos ser bem claros se estamos falando de W : ou W : S. Estas são duas funções diferentes. A segunda possui uma inversa (raiz quadrada), enquanto a segunda não. Neste exemplo, na verdade, estamos falando mais especi camente de um ponto de rami cação algébrica. 8

9 Exercise Onde está o problema na seguinte demonstração p p e i e i e i??? O número de folhas ligadas de ne a ordem do ponto de rami cação. Outras raizes (r n e in ) podem ser descritas da mesma forma. A função W (z) z 3 necessita de 3 folhas e tem a origem como ponto de rami cação de ordem 3. Exercise Qual o ponto de rami cação e a ordem deste ponto para a função W (z) ln z? No caso de funções com mais de um ponto de rami cação, por exemplo, W (z) p (z a) (z b) ; temos diferentes formas de traçar a linha de rami cação. Na função acima podemos construir duas linhas partindo uma de a e outras de b até o in nito, ou podemos traçar apenas uma linha de a até b. A forma das superfícies de Riemann dependem desta escolha. Esta descrição mostra que, apesar de todos os benefícios vindos da extensão das funções para o plano complexo, este procedimento não é uma tarefa trivial nem mesmo para um caso simples como x..3 Diferenciação Para uma função f : R R ser diferenciável num ponto x R, os seguintes limites f (x) lim dx f (x + dx) dx f (x) ; devem existir e serem iguais. Por exemplo, a função f (x) x jxj ; não tem o limite lim x f (x) de nido no ponto x. Outro exemplo, a função (contínua) f (x) jxj não é diferenciável em x, porque f ( + dx) f () f ( + dx) f () lim ; lim : dx+ dx dx dx O mesmo critério pode ser usado para se analisar a diferenciabilidade de uma função complexa. Precisamos 9

10 assim analisar o limite lim f (z) u ; w; z; u : zw A única diferença entre este limite e o conceito usual na reta real e que, sendo w um ponto no plano (f : R R ), existem várias formas diferentes de se aproximar do ponto w. Um problema semelhante ao que ocorre em uma dimensão, onde os limites pela direita e pela esquerda podem ser diferentes. Quando isso ocorre dizemos que este limite não existe. Da mesma forma, se o limite para w depender do caminho escolhido no plano, dizemos que o limite não existe. Uma função f é diferenciável num ponto z se existir o limite f (z) lim dz f (z + dz) dz f (z) df dz (9) e este for independente do caminho pelo qual dz se aproxima de zero. Uma função é analítica (regular ou holomor ca) numa região E se for diferenciável nesta região. Praticamente toda a teoria de funções de uma variável complexa se aplica apenas a funções analíticas. Exemplo: a função f (z) jzj. Precisamos analisar jz + dzj dz jzj (z + dz) (z + dz) zz dz zdz + zdz + dzdz dz z dz + z + dz dz zz + zdz + zdz + dzdz zz dz z dz dz dz + z + dz dz dz dz Fazendo dz pelo eixo real dz dx dz df dz z dx + z + dx z + z dx Fazendo dz pelo eixo imaginário dz idy dz df dz z ( idy) idy + z + dz z + z Para ser diferenciável devemos ter z + z z + z ) z z : Esta função só pode ser difereciável em z. O que é verdade, porque neste ponto df dz dz + + dz dz ; z dz Para funções reais o termo analítica numa região signi ca que a função é igual a sua série de Taylor nesta região.

11 independente do caminho. Assim, f (z) jzj é diferenciável apenas no ponto z e não é analítica em nenhuma região. Da seção anterior temos que a região de regularidade de uma função multivalente deve ser de nida numa superfície de Riemann. Pode-se provar (Knopp Vol.) que se uma função f (z) possui uma derivada numa região, esta derivada é necessariamente contínua. Assim, uma função f (z) sempre pode ser expandidada numa série de Taylor em torno de um ponto z numa região onde esta função é analítica f (z) a + a (z z ) + ::: + a n (z z ) n ; a f (z ) ; a n n f (n) (z ) : () O raio de convergência desta expansão é um circulo cujo raio se estende até o ponto onde a função é singular, i.e., um ponto onde a função deixa de ser analítica. O contrário também é verdade, qualquer série de potência convergente numa região representa uma função analítica nesta região. Se uma função W (z) U (x; y) + iv (x; y) é analítica e fazemos dz dx + idy em (9) podemos fazer dz pela horizontal (dy ) ou pela vertical (dx ). Se a função é analítica devemos obter o mesmo limite (9) para estas duas variações de dz, dw dz dw dz dx dx @x i dy dz ; dx dz ; dy dz ) @x ; () se usarmos agora a nossa representação matricial de W W (z) U @y U V V @y o @x : ()

12 Estas são as equações diferenciais de auchy-riemann (R) e fornecem condições necassárias e su cientes para uma função W U + iv ser analítica numa região, desde que as quatro derivadas parciais existam e sejam contínuas. De outra forma, as condições de R são necessárias, mas não su cientes, para estabelecer a diferenciabilidade da função. omo mapas de R e forem contínuas, mas como mapas de as condições de R. R estas funções são diferenciáveis se as derivadas parciais existirem, estes mapas, além de serem contínuos, precisam satisfazer É muito importante compreender o signi cado das igualdades acima. omo vimos anteriormente, toda função complexa pode ser vista como um mapa de R R. Existe uma in nidade de mapas que são diferenciáveis como funções reais (todas as derivadas parciais acima existem), mas que não satisfazem as relações acima. Estes mapas não são funções complexas diferenciáveis. Para que exista a derivada de uma função complexa (e ser chamada de diferenciável) esta função tem de obedecer as equações de auchy- Riemann. Está é uma restrição bastante forte e implica que várias funções reais diferenciáveis não serão funções complexas diferenciáveis. Exemplo: f (z) jzj x + y ) U x + y as funções U e V acima são diferenciáveis (como funções reais) em qualquer ponto. Mas as condições cd ) y ; ) x ; Que só são satisfeitas na origem x y. Vemos (novamente) que a função f (z) jzj só é diferenciável no sentido complexo (f : ) na origem, mesmo que como uma função de R R ela seja diferenciável em todos os pontos. Assim, se a derivada de uma função W U + iv existe num ponto z, as derivadas parciais de U e V existem neste ponto, obedecem a condição de R, então a derivada W pode ser calculada como () W (z ) dw @ (U + @x + : (3) Ou, usando @y : (4)

13 Dada uma função complexa diferenciável, valem também as regras usuais de diferenciação de somas e produtos de funções. Todos os argumentos usados para demonstrar estas regras para funções reais continuam válidos. Exercise Veri que se e onde é diferenciável a função: W z. Resp: z (x + iy) (x + iy) x y + ixy U x y ; V xy x Esta função é diferenciável em todos os pontos e, consequentemente, analítica em qualquer região. Exercise 3 A conjugação complexa z (ou z ) de um número z de nida por z x + iy ) z z x iy re i Veri que se e onde é diferenciável a função: W z. Exercise 4 Veri que se e onde é diferenciável a função: W jzj zz. Resp: U x + y x esta função só pode ser analítica na origem. Para veri car se esta função é realmente analítica na origem, precisamos veri car se as derivadas parciais são contínuas. O que de fato é verdade. Então, a função acima é diferenciável na origem. Mas esta função não é analítica em nenhuma região. omo vimos, a última função é uma função real perfeitamente diferenciável. omo um mapa R R W U + iv x + y, U x + y ; V ambas as funções perfeitamente diferenciáveis. Assim, a condição de diferenciação complexa é algo mais forte que a diferenciação real. Se uma função f : derivada complexa desta função existe e é dada por satisfaz as equações de R e as derivadas parciais existem e são contínuas, a f (z) U (x; y) + iv (x; y) ) + : Exercise 5 Mostre que, em coordenadas polares, as condições de R se ; r 3

14 e que a derivada de uma função pode ser calculada como: + Resp: Veja o livro do hurchil pg (cos i sin + De nition 6 Se f : possui diferencial complexa em todos os pontos num aberto centrado em z, dizemos que f é analítica, ou holomor ca, em z. : De nition 7 Uma função f : de. é dita inteira (entire function) se for analítica em qualquer ponto De nition 8 Uma função f : possui uma singularidade no ponto z se ela não for analítica neste ponto. sto inclui o caso em que f não está de nida em z. Proposition 9 Se f e g são funções analíticas num domínio E então:. f + g é analítica em E. f g é analítica em E 3. wf é analítica em E para todo w complexo ou real 4. fg é analítica em E 5. fg é analítica em E exceto nos zeros de g. Proposition Se f; g : são funções analíticas, então a composta f g : é analítica. Exercise Veri que que se f (z) e f (z) são ambas analíticas numa região D, então f é constante em D. Resp: pg 73 hurchill. 3 Funções harmônicas omo vimos, a característica de uma função ser diferenciável complexa é uma restrição bastante forte nesta função (bem mais forte que diferenciabilidade real). Estas condições estão relacionadas com a equação de Laplace. A equação de difusão do calor e a equação de onda, no case estacionário se reduz a equação de Laplace. omo veremos nos exemplos a seguir, esta equação possui uma in nidade de aplicações, em especial, no eletromagnetismo e na dinâmica dos uidos. Uma função H : R n R é chamada harmônica num certo domínio D se suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas em D e H satisfaz a equação diferencial nx n 4

15 conhecida como equação de Laplace. No que segue, estamos interessados no caso em duas dimensões H : R R, H xx (x; y) + H yy (x; y) ; (5) Por exemplo, a distribuição de calor num corpo u obedece r u no regime estacionário (@u@t ) em duas dimensões temos a equação (5). Funções harmônicas possuem a notável propriedade de se você traçar um círculo ao redor de um ponto, e encontrar o valor médio da função dentro deste círculo, este valor é sempre igual ao valor da função no centro deste círculo. Desde que a função esteja de nida dentro de todo o círculo e em sua fronteira. Esta propriedade pode ser usada para resolver, de forma iterativa, o problema de Dirichlet, i.e., xada a condição na fronteira, qual o valor da função numa região. Este efeito pode ser observado numa chapa quente. Vejamos como estas funções se relacionam com as funções analíticas. Theorem Se uma função f (z) u (x; y) + iv (x; y) é analítica, então as funções u e v são harmônicas. Assumindo que f é analítica em D, então nesta região ela deve obedecer às condições @x (6) diferenciando ambos os lados destas igualdades em relação a x u u Da mesma forma, diferenciando com relação a y u u Lembrando que a continuidade da derivada parcial garante u v 5

16 Ou seja u e v são harmônicos em v u u v v : Por outro lado, se duas funções u e v são harmônicas em D e suas derivadas parciais satisfazem às condições de R, ou seja, é possível construir uma função complexa analítica u + iv com estas funções, então v é chamada de harmônica conjugada de u. Theorem 3 Uma função f (z) u (x; y) + iv (x; y) é analítica em D apenas se v é a harmônica conjugada de u. É importante notar que se v é a harmônica conjugada de u, isso não garante que u é a harmônica conjugada de v (observe que as condições de R (6) não são simétricas em u e v). Por exemplo, as funções u (x; y) x y ; v (x; y) xy : Enquanto a função é analítica. A função f u + iv z f v + iu ; não é analítica em nenhum ponto. Exercise 4 Veri que a a rmação acima. É possível mostrar (ver hurchill) que se uma função u é harmônica em D, então ela é a parte real de alguma função analítica em D. Além disso, se a harmônica conjugada existe, ela é única a menos de uma constante aditiva. Assim, dada uma função harmônica, podemos sempre construir uma função analítica. Por exemplo, u (x; y) y 3 3x y é harmônica. Pela primeira relação de R (6) sua harmônica conjugada ) 6xy ) v (x; y) 3xy + (x) 6

17 usando agora a 3y 3y 3x ) 3y (x) 3y 3x ) (x) 3x ) (x) x 3 + Assim v (x; y) 3xy + x 3 + é a harmônica conjugada de u e a seguinte função é analítica f (z) y 3 3x y + i 3xy + x 3 + : Utilizando as propriedades das funções analíticas é possível concluir uma série de propriedades para as funções harmônicas quando estas são conjugadas. Por exemplo, se f é analítica então f u + iv ) f u v + i (uv) também será. Assim o produto e a diferença do quadrado de duas funções harmônicas conjugadas também são funções harmônicas. Remark 5 O produto de duas funções harmônicas não é em geral uma função harmônica. Remark 6 Toda solução da eq. de Laplace pode ser expandida em série de potências numa região sem singularidades. Encontrar soluções da equação de Laplace (e de equações diferenciais em geral) não é uma tarefa trivial. Por isso as soluções conhecidas são compiladas em tabelas que possam ser consultadas por quem deseje resolver um determinado problema prático. aracterísticas e o método de construção da conjugada descrito acima permite, a partir do conhecimento de uma solução, contruir um par de soluções conjugadas e, consequentemente, encontrar vários outros elementos para compor estas tabelas. Remark 7 Se f : R é harmônica e g : é analítica então f g é harmônica. Dizemos que mapas analíticos preservam soluções da equação de Laplace, ou que a equação de Laplace é invariante por transformações analíticas. 3. ampos irrotacionais de divergência nula Uma grande quantidade de problemas em física envolve a presença de campos conservativos, i.e., campos cujo trabalho necessário para se movimentar sob sua ação independe do caminho seguido. Por exemplo, o movimento de uma massa num campo gravitacional, ou de uma carga num campo elétrico constante (r Estes campos são irrotacionais. Se estes campos não possuírem fontes ou sorvedouros (e.g., num campo elétrico estamos tratando uma região sem cargas r:e " ) eles também possuem a sua divergência nula. 7

18 Por exemplo, um uido newtoniano incompressível de viscosidade constante é descrito pela seguinte particularização da equação de + v:rv rp + r v ; no caso estacionário onde não há nenhum tipo de aceleração (@v@t + v:rv ) e não há gradiente de pressão (rp ) temos a equação de Laplace para as componentes de v. A incompressibilidade implica ainda r:v, e se não houver rodamoinhos no uído r v. onsideremos então campo vetorial num plano, que pode ser tanto um problema de mecânica dos uidos, como de eletromagnetismo, onde o uido poderia ser o campo elétrico. Podemos descrever este campo vetorial como V (x; y) u (x; y) ^x + w (x; y) ^y : Se este uído é irrotacional (um campo conservativo ou um uído sem rodamoinhos) r V y @y (7) Se não houver nenhuma fonte ou sorvedouro do nosso uído (sem cargas, ou um uido incompressível), então sua divergência também será nula r V (x; @x (8) Assim, a função f V u iw obedece as condições de R (7) e (8). Assim, se V descreve um campo irrotacional sem fontes nem sorvedouros, então a função f V : é diferenciável. Além disso, se as derivadas parciais de V forem contínuas, f será uma função analítica. pois Ademais temos que as componentes de f são funções harmônicas. Lembrando que um campo irrotacional sempre pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, V (x; y) r ^x + ^y ) (onde para trocarmos as derivadas precisamos que : R tenha derivadas parciais contínuas) podemos 8

19 escrever V (x; y) r (x; y) f @y Lembrando a expressão (4) que obtivemos anteriormente F u + iv ) F i i ) Re F (9) Vemos que, nas condições acima, a função é a parte real da antiderivada de f. Este resultado também é bastante útil. Por exemplo, vamos encontrar o potencial que gera o campo V (x; y) x^x y^y ) V x iy f V x + iy (x + iy) f (z) z Fácil que f é analítica (veri que). Assim V descreve um campo irrotacional sem fontes nem sorvedouros que, consequentemente, pode ser descrito por um escalar. Observando que F z ) F z f Do fato de F ser também analítica e usando a relação (9) temos Re F x y : O estudo da equação de Laplace, ou o estudo das funções harmônicas, é chamado de teoria dos potenciais. Toda função analítica corresponde a um campo irrotacional de divergência nula. Um uido incompressível sem rodamoinhos, um campo elétrico sem cargas etc. 4 ntegral omo f : pode ser vista como composta por um par de funções R R (mais algumas propriedades) é natural supor que, assim como ocorre na diferenciação, o conceito de integral de uma função complexa também se relacione com a integral de funções no plano. 9

20 Observe que, a princípio, poderíamos tentar de nir a integral de uma função complexa como a integral da parte imaginária e real, i.e., como a integral de duas funções no plano f (z) dz? (U (x; y) + iv (x; y)) dx dy U (x; y) dx dy + i V (x; y) dx dy ; () ou seja, a integral de uma função complexa seria uma integral de área. Mas, neste caso, a integral da função f (z) z seria x dx dy + i f (z) z (x + iy) y dx dy x dx dy + i y dy dx yx + ixy : Mas observe que desta forma a derivada desta "primitiva" F yx + ixy não corresponde a cuja derivada complexa de novamente f (z), pois yx + ixy 6 z ; d dz z z Ou seja, a de nição () não corresponde a uma opreração inversa a nossa de nição de diferenciação. Este é um argumento de porque não de nimos a integral desta forma. Além disso, lembrando da nossa representação grá ca dos números complexos, temos que dz dx + idy pode ser visto como um vetor in nitesimal no plano x; y, ou seja, se comporta como dr ^{dx + ^ dy. Todos estes argumentos indicam que a de nição de integral que queremos não se relaciona com integrais de áreas, mas sim com integrais de curvas. omo vimos acima, o conceito de limite no plano complexo deve levar em conta que temos vários caminhos possíveis para nos aproximarmos do ponto em questão. Da mesma forma, o conceito de integrar entre dois pontos, possui a mesma questão de qual caminho percorremos para chegar de um ponto a outro. problema também existe na integral de linha de funções no plano. acontece neste último caso. Este Assim, vamos primeiro rever o que 4. Teorema de Green Um campo vetorial num plano é uma função que a cada ponto deste plano associa um vetor. Tal campo pode ser usado, por exemplo, para descrever o comportamento de um uido, um campo eletromagnético etc. Um dos grandes interesses no estudo de problemas práticos é saber qual o trabalho realizado para se mover neste campo vetorial. Por exemplo, queremos mover uma carga elétrica por um campo elétrico, ou uma massa num campo gravitacional, ou ainda um barco por um rio.

21 Em todos estes casos, o trabalho realizado será: W F:dr () onde F (x; y) U (x; y)^{ + V (x; y) ^ é o campo vetorial (neste caso a força) e dr ^{dx + ^ dy um elemento de deslocamento na trajetória. Em geral este trabalho depende, não apenas do caminho, mas também do sentido que este caminho é seguido. Exemplo: Vamos calcular a integral de linha do campo F (3x y) i + (x + 5y) j sobre a circunferência unitária. Este caminho pode ser parametrizado como x cos t ; y sin t ; t ;

22 onde está relacionado com a velocidade que percorremos a curva. Assim W F:dr (U (x; y) dx + V (x; y) dy) x x (t) ; y y (t) ) dx dx dy dt ; dy W dx dt sin t ; (3x y) dx dt dy dt dt + (x + 5y) dy dt cos t dt dt dt ; W ((3 cos t sin t) ( sin t) + (cos t + 5 sin t) ( cos t)) dt ( (3 cos t sin t) sin t + (cos t + 5 sin t) cos t) dt 3 cos t sin t + sin t + cos t + 5 sin t cos t dt (( 3 + 5) sin t cos t + ) dt sin t cos tdt + sin t dt + sin t dt + : dt cos t ( sin t cos t + ) dt sin t cos tdt + Observe como o valor calculado não depende de, a velocidade com que percorremos a curva. Vamos calcular a integral () para um campo F arbitrário, mas para um caminho especí co, por exemplo, um retângulo: (; ) (a; ) (a; b) (; b) (; ) + W F:dr (U (x; y)^{ + V (x; y) ^ ) : (^{dx + ^ dy) (U (x; y) dx + V (x; y) dy) :

23 Na primeira parte do caminho (; ) (a; ) ; dr ^{dx ) dy : (a;) W j (a;) (;) (U (x; y) dx + V (x; y) dy) (;) Enquanto na segunda parte (a; ) (a; b) ; dr ^ dy ) dx Da mesma forma (a;b) W j (a;b) (a;) (U (x; y) dx + V (x; y) dy) (a;) a b U (x; ) dx V (a; y) dy W j (;b) (a;b) W j (;) (;b) a b U (x; y) dx V (x; y) dy a b U (x; b) dx V (; y) dy O trabalho total é a soma do trabalho de cada parte: W W j (a;) (;) + W j(a;b) (a;) + W j(;b) (a;b) + W j(;) (;b) a [U (x; ) U (x; b)] dx + b [V (a; y) V (; y)] dy () Um ponto importante é que cada uma das integrais acima é uma integral ordinária em apenas uma variável. Assim, no cálculo de qualquer das integrais acima a função integrada pode ser tratada como uma função de uma única variável. Assim, podemos fazer, por exemplo: U (x; y) f x (y) ) f x (y) df x (y) dy ) b f x (y) dy f x (b) f x () f x (y) df x dy lim dy* f x (y + dy) dy f (y) U (x; y + dy) U (x; y) dy* Da mesma forma b f x (y) dy f x (b) f x () ) a dx V (a; y) V dy U (x; b) U (x; 3

24 Substituindo em () temos W a b a dy @x b dx Assim, para o nosso caminho quadrado W F:dr (U (x; y) dx + V (x; y) da Suponha agora que o nosso quadrado tenha sido dividido, por exemplo, por uma linha vertical no ponto x h < a e clculamos o trabalho para percorrer cada um dos dois quadrados: onde W W (h;) (;) + W (h;b) (h;) + W (;b) (h;b) + W (;) (;b) W W (a;) (h;) + W (a;b) (a;) + W (h;b) (a;b) + W (h;) (h;b) W (h;b) (h;) W (h;) (h;b) b b V (h; y) dy V (h; y) dy b V (h; y) dy W (h;b) (h;) Então W + W W (h;) (;) + W (;b) (h;b) + W (;) (;b) + W (a;) (h;) + W (a;b) (a;) + W (h;b) (a;b) Agora observamos que W (h;) (;) + W (a;) (h;) h W (h;b) (a;b) + W (;b) (h;b) W (;b) (a;b) U (x; ) dx + a h U (x; ) dx a U (x; ) dx W (a;) (;) Assim W + W W j (a;) (;) + W j(a;b) (a;) + W j(;b) (a;b) + W j(;) (;b) W Ou seja, não importa que divisão façamos no nosso quadrado todas as contribuições das partes internas irão se cancelar (porque são percorridas na ordem inversa) e sobrará apenas as bordas. Assim, para uma superfície fechada qualquer, podemos subdividi-la em quadrados, somar todas as contribuições dos quadrados e o que teremos será a integral de linha nas bordas da região interna do caminho. 4

25 É importante notar que qualquer buraco na nossa área, i.e., regiões que não pertencem ao domínio das funções geraram bordas e contribuirão para a integral. Assim, de forma geral, para um caminho fechado que encerre uma superfície simplesmente conexa (sem buracos) temos: F:dr (U (x; y) dx + V (x; y) da (3) Este é o teorema de Green e permite, através do cálculo de integrais de áreas, que não envolve produtos vetoriais, calcular uma integral de linha. Exemplo: Vamos voltar ao nosso exemplo anterior F:dr R F (3x y) i + (x + 5y) j U (3x y) ; V (x @y Este teorema também permite ver que, ) F:dr ; R [ + ] da R da : para qualquer curva fechada. Ou seja, F é um campo conservativo. Veja que esta expressão concorda com (7) que obtivemos porque F é um campo gradiente. Se F é um campo conservativo temos F:dr para A e B os limites de. Assim dy ^y ) rf:dr F:dr ^y : (^{dx + ^ dy) df f (B) f (A) f (A) é uma generalização do Teorema Fundamental do álculo para funções de várias variáveis. omo veremos a seguir, todo o material desenvolvido acima está intimamente ligado com o cálculo de integrais de funções complexas. 5

26 4. ntegrais complexas omo vimos na seção anterior podemos escrever um campo vetorial conservativo como as funções conjugadas de uma função complexa. Assim, a integral de funções sobre o plano complexo nada mais é que a integral de campos vetoriais conservativos. Agora se tratarmos a integral f (z) dz como uma integral de linha sobre uma curva no plano complexo, podemos, assim como na integral de linha, parametrizar esta curva por um parâmetro t qualquer e escrever (t) x (t) + iy (t) ) dx dx dy dt _xdt ; dy dt _ydt dt dt f (z) dz f (x (t) + iy (t)) ( _x + i _y) dt Para o caso de caminhos sobre o eixo dos reais (d y ) a integral acima é da forma b a w (t) dt ; a; b R : Vamos ver o que acontece com a integral da função w (z (t)) w (t) u + iv. fundamental do cálculo para funções reais temos Usando o teorema b a w (t) dt b (u + iv) dt b u dt + i b a a a v dt [U (t)] b a + i [V (t)]b a [W (t)]b a U du dt ; V dv dt ; W U + iv Da expressão acima vemos que b a w (t) dt [W (t)] b a ; W w (4) onde, obviamente, a mesma parametrização z (t) deve ser usada para w e W. O resultado acima diz que, para funções complexas com argumentos reais, temos uma generalização do teorema fundamental do cálculo. Exemplo: calcular 4 e it dt ie it 4 p + i p 6

27 4.3 ontornos Usando as de nições e os resultadoas acima podemos calcular a inegrau de funções complexas no plano complexo. Estas integrais são chamadas de integrais de contorno. Exemplo: vamos integrar f (z) z de até i por duas linhas retas de e i linha reta z dz (x iy) (dx + idy) + x dx + + y dy i (x iy) (dx + idy) E ao longo do arco z dz e i (i) d i e i d i ie i (i ) Do resultado acima vemos que a integral, em geral depende do caminho de integração. Exemplo : Vamos integrar a nossa função f (z) z como uma integral de linha, por exemplo, do ponto ao ponto + i por uma linha reta f (z) dz E por duas linhas retas e ( + i) x y ) x t ; y t ) _x _y (t + it) ( + i) dt ( + i) tdt ( + i) t f (z) dz x dx + (x + iy) (dx + idy) + +i ( + iy) (idy) x dx + (idy) + i x dx + idy i idy y dy ( + i) i (x + iy) (dx + idy) y (idy) Repetindo este processo in nitas vezes podemos ver que, neste caso, a integral não depende do caminho. 7

28 Observe também que se assumirmos que a integral é uma antiderivada temos z dz z +i ( + i) i : Então neste caso, e isso pode ser veri cado para qualquer pontos iniciais e nais, nossa de nição concorda com a ideia de antiderivação. Vamos agora cálcular a integral de uma função analítica. Vamos agora usar a nossa de nição de integral complexa como uma integral de linha, temos f u + iv ) f (z) dz (5) (u + iv) (dx + idy) [(u dx v dy) + i (u dy + v dx)] A existência da integral acima depende da existência da integral de u e v e, assim como no caso dos campos, a curva deve ser lisa por partes. Lembrando que é um caminho sobre o plano complexo, i.e., o plano x; y cada uma das duas integrais acima é da forma (u (x; y) dx + v (x; y) dy) ou seja, temos duas integrais de caminho (reais) para os campos vetoriais F u^x v^y ; F v^x + u^y Podemos então agora usar o teorema de Green (3) para cálcular F :dr F :dr R da Usando agora as relações de ) F ) F @u @v @y R Assim, o teorema de Green para funções no R, as condições de R e a nossa de nição das intergrais 8

29 complexas como integrais de linha no plano complexo, garantem que cada um dos termos em (5) é zero. De outra forma, se f é uma função analíitica num domínio E a integral sobre qualquer curva fechada em E, lisa por pedaços (uma exigência para que a integral dos campos esteja bem de nida), então f (z) dz : Este é o teorema de auchy-goursat. omo consequencia, a integral de f de um ponto z até um ponto z depende apenas dos pontos e independe do caminho. f (z) dz z z f (z) dz : Obviamente toda a discução acima dependem do fato da função ser analítica e, consequentemente, não possuir singularidades na região em consideração. Em geral a integral de uma curva fechada que envolva uma singularidade não será igual a zero. 4.4 Antiderivada O resultado acima pode ser usado para se de niar a integral inde nida de uma função complexa, sua primitiva ou a antiderivada. Se f é analítica, sabemos que para qualquer caminho temos z z f (z) dz f (z (t)) ( _x + i _y) dt com z () z e z () z terá o mesmo valor. Usando (4) temos mas para qualquer função F (z (t)) b a w (t) dt [W (t)] b a ; W w () f ( _x + i _y) dt [F ] ; F f ( _x + i _y) f _z F (z) df dz _z f _z ) df dz f : Assim, se para uma função analítica f de nirmos um caminho qualquer z (t) ; t [; ] F (z) z f (z (t)) dz f (z (t)) ( _x + i _y ) dt 9

30 com z (t ) e z (t ) z teremos F f e podemos dizer que F é a antiderivada de f. Observer que isso só é possível porque f é analítica e, consequentemente, a integral só depende dos extremos do caminho. O resultado acima é o nosso teorema fundamental do cálculo complexo para funções analíticas. Do nosso estudo de derivadas é fácil ver que, assim como no caso de funções reais F está de nido a menos de uma constante. Exemplo: A utilização da antiderivada é no cálculo de integraia é identico ao cálculo nos reais +i z z 3 dz 3 +i ( + i)3 3 (i ) : ntegrais de contorno Vamos agora integrar a função f (z) z num caminho que seja um circulo de raio unitário começando e terminando em. Podemos parametrizar o circulo fazendo x cos t ; y sin t ) (t) cos t + i sin t dx sin t dt ; dy cos t dt z dz z zz dz como no circulo zz z dz z dz (x iy) (dx + idy) (cos t i sin t) ( sin t + i cos t) dt i dt i : Diferente de zero. Porque f não é analítica em todos os pontos dentro do contorno. Alternativamente poderíamos ter feito simplesmente feito z e it ) dz dt ieit z dz e it dz dt dt e it ie it dt i dt i : 3

31 Figure : Figura 3 A parametrização acima mostra ainda que qualquer circulo em torno da origem daria o mesmo resultado. Observe agora que se zermos a integral pelo caminho da gura abaixo Ou seja, de A até D pelo circulo, depois de D até então de até B pela gura externa e, nalmente de B de volta para A teremos percorrido um caminho fechado que não contem nenhuma singularidade, i.e., nesta região a função é analítica. Assim, neste contor z dz Mas a integral sobre o caminho D é igual ao negativo da integral B A e, consequentemente, a integual na curva externa é igual a integral da curva interna. Este resultado mostra que: se f é uma função analítica com uma singularidade num ponto, qualquer integual ao redor desta singularidade (percorrida na mesma direção), tem o mesmo valor independente da curva. Assim, para qualquer curva que circule a origem. z dz i De nition 8 Dizemos que a função f tem um pólo no ponto w se lim jf (z)j z w 3

32 Vamos calcular a integral (z z ) n dz : num contorno que circule z. Esta função tem uma singularidade em z z. Mas sabemos que qualquer caminho dará o mesmo resultado. Assim, escolhemos o caminho que é um circulo unitário centrado em z, i.e., é o circulo z z + e i. om isso (z z ) n dz z z + e i ; _z ie i i (e i ) n ie i d e in ie i d ( e i( n) i para n d para n 6 (6) Exemplo: alcule a integral com um círculo centrado na origem de raio. z z Primeiro se veri ca-se quantas singularidades estão no interior do circuito. No caso, as duas. Depois se faz a decomposição z (z ) dz z (z + ) (z ) (z + ) + (z ) (z + ) (z + ) (z ) (z + ) (z ) + (z ) (z + ) (z ) (z ) + (z + ) com isso z z dz (z ) + dz (z + ) (z ) dz + (z + ) dz [i + i] i : Exemplo: alcular f (z) z em torno do círculo de raio unitário e em torno do quadrado i Em torno do círculo temos e i ie i d i d i 3

33 Ao redor do quadrado z + ti ) z ti ) z t i ) z t + i ) ( ti) i dt i (( + ti) i) dt i (t + i) dt i ( t i) i dt i Num caso i no outro 8i. Resumindo: ntegrais de funções não analíticas devem ser calculadas em todos os pontos da curva. ntegrais de funções inteiras (analíticas em todo o plano complexo) sobre domínios fechados são zero. ntegrais de funções inteiras não depende do caminho (podemos escolher de acordo com a conveniência). ntegrais de funções analíticas com singularidades podem ser calculadas por qualquer caminho que não contorne a singularidade ntegrais fechadas de funções analíticas que envolvem singularidades só precisam ser calculadas ao redor dos pontos de singularidade. 4.6 A formula integral de auchy Se f é uma função analítica num domínio E pelos resultados acima temos que para qualquer caminho uma singularidade). f (z) z w dz que não contorne o ponto z w (pois f é analítica, mas o integrando tem Vamos imaginar uma curva como a da gura com w no centro do círculo interno (observe que há um circulo interno que circunda a singularidade, mas há o caminho externo que não circunda). O ponto crucial é que o cálculo da integral na gura, por qualquer caminho, independe do tamanho (raio) do círculo interno. sso signi ca que, se é o circulo interno, que circunda a singularidade em w, esta integral terá o mesmo valor para qualquer círculo, em especial (a seguir eu usei o símbolo? do círculo tende a zero) f (z) z w f (z) dz lim? z w 33 para indicar que o diâmetro dz : (7)

34 Mas como f é analítica, quando o círculo tente ao ponto z w temos lim f (z) f (w) z w para qualquer caminho do limite (lembrando que para funções analíticas o limite acima não depende do caminho). Assim temos f (z) lim? z w Usamos agora a integral de contorno (6) e calculamos dz f (w) z w dz : z w dz i Retornando este resultado em (7) temos f (z) z w dz f (z) lim? z w f (w) i dz f (w) z w dz ou ainda f (w) f (z) i z w dz (8) onde lembramos que é qualquer curva que circunde a singularidade (i.e., que circunde w). Esta é a fórmula integral de auchy. A fórmula acima mostra a característica bastante peculiar das funções analíticas de que seu valor numa certa região é totalmente determinado pelo valor nas bordas desta região. Assim, uma vez de nido as condições da função na fronteira, não há mais nenhuma liberdade na de nição dos seus valores internos. Ou ainda, qualquer alteração em qualquer ponto da fronteira, altera todos os demais valores da função. Este comportamento pode ser visto, por exemplo, no estado de equilíbrio de uma chapa aquecida, onde o valor da temperatura nos pontos da borda da chapa determina seu valor em toda a chapa (lembrando que a parte real e imaginária de uma função analítica obedece, cada uma, a equação de Laplace). Exemplo de aplicação: alcule a integral z (9 z ) (z + i) dz onde o caminho é um circulo de raio (jzj ) centrado no ponto z ter uma singularidade no interior do caminho, observe que a função i. Solução: Apesar do integrando f (z) z (9 z ) 34

35 é analítica em toda a região de interesse. Assim, podemos usar a fórmula integral de auchy para escrever f ( i) z i (9 z ) z (9 z ) (z + i) dz ( i) ) 9 ( i) (z + i) dz i ( i) 9 ( i) 5 : 4.7 Derivadas de funções analíticas Vamos voltar à integral f (z) z w dz para uma curva que circunda a singularidade w. Vamos agora parametrizar esta curva por z (t), t [; ], com isso f (z) z w dz f (z (t)) z (t) w Usando agora a fórmula integral de auchy (8) temos _z dt : f (w) f (z (t)) i z (t) w _z (t) dt : Vamos calcular agora a derivada da função f (w) d f (w) f (w) dw i d dw f (z (t)) z (t) w _z dt : Observe que a quantidade dentro do sinal de integral pode ser considerada como uma função de w e t. Usando agora a regra de Leibniz (que garante que, para integrais reais, nós podemos diferenciar através do sinal de integral) temos f f (z (t)) z (t) w (observe que a integral é uma função apenas de w mas o integrando é uma função de w e t por isso, quando _z dt entra na integral a derivada total vira uma derivada parcial). Efetuando agora a diferenciação f (w) i f (z) _z dt (z w) i : f (z) (z w) dz : 35

36 Repetindo este procedimento n vezes temos que f (n) (w) n i f (z) n+ dz ; (z w) esta é a fórmula de auchy para as derivadas. Do resultado acima temos o importante: Theorem 9 Se f é uma função analítica numa região E ; e é uma curva simples (cujo percurso não se cruza) fechada em E, então para um ponto z dentro da curva, a n-ésima derivada de f existe e é dada por f (n) (z ) n i f (z) n+ dz : (9) (z z ) Este resultado garante que, se a função é analítica, além de ser diferenciável (como já sabíamos), ela pode ser in nitamente diferenciável. Além disso, como esta derivada estará de nida para todos os pontos z dentro do contorno, todas estas derivadas também serão funções analíticas na mesma região E, pois se f (n+) existe em todos os pontos de E, enão f (n) é analítica em E (lembre que uma função f é analítica em z se, e somente se, existe uma vizinhança deste ponto onde a derivada de f existe em cada ponto desta vizinhança). A existência de todas estas derivadas garante que podemos expandir uma função analítica em série de Taylor (que é a de nição de funções analíticas para funções de variáveis reais). O resultado acima é mais uma diferença gritante entre funções reais diferenciáveis e funções complexas diferenciáveis. (Obviamente, se uma função real possui uma derivada de ordem n isso não garante a existência da derivada de ordem n + e, conseqüentemente, a função pode não ser expansível em série de Taylor.) omo corolário do teorema acima temos: orollary 3 Se u : R R é uma função harmônica, então ela possui derivadas de todas as ordens, e cada uma destas derivadas também são funções harmônicas, pois se f u + iv é analítica, e portanto contínua, segue + e, portanto as derivadas de u e v também são contínuas e assim sucessivamente para as demais derivadas. Existe também uma versão inversa do teorema de auchy-goursat. Theorem 3 Se f u + iv é dada por funções u e v contínuas numa região e satisfaz a condição f (z) dz ; para qualquer contorno fechado, então f é analítica nesta região. Este é o teorema de Morera. Os resultados acima são essenciais para o estudo de série de potências de funções analíticas. exemplos de aplicação destes resultados serão dados diretamente no desenvolvimento das seções seguintes. Assim, 36

37 5 Séries de Taylor A decomposição em série de funções possui uma in nidade de aplicações práticas, por exemplo, para se estimar o valor de certas funções (quando se pressiona o botão seno da calculadora o que ela faz é calcular a série do seno até uma certa ordem e assim em todos os cálculos numéricos). Para funções complexas, além desta aplicação prática, uma série de outras propriedades das funções (além do seu valor) podem ser obtidas pela sua expansão em série de potências. Para funções complexas, se f (z) é uma função in nitamente diferenciável num ponto z, então (como no caso de funções reais) de nimos sua série de Taylor em torno de um ponto z como onde f f e. X k f (k) (z ) k (z z ) k Observe que para funções reais, em geral, esta série não é igual a f. Por exemplo a função f (x) (, para x : e exp x, para x > Esta função é in nitamente diferenciável em qualquer ponto x e todas as derivadas são zero na origem. Assim, a série de Taylor desta função em torno da origem calculada no ponto vale, o que, obviamente é bem diferente de f () e e e. Além disso, uma série de Taylor pode não convergir. E do exemplo acima vemos que, mesmo que ela convirja, pode convergir para algo que não se relaciona com a nossa função. De forma geral, a questão da convergência desta série é um ponto bastante intrincado. Entretanto, como veremos, esta questão se torna muito mais simples quando nos restringimos apenas a funções analíticas. Se f (z) é uma função analítica numa região E, para qualquer ponto em z E podemos usar a formula integral de auchy (8) para escrever f (z) f (z ) i z z dz onde é um caminho fechado interior a E que tomaremos como um círculo de raio r. Vamos tomar dentro de E de sorte que possamos traçar um novo circulo maior que. Observe agora que z z (z z ) (z z ) (z z ) z z (3) z z 37

38 mas para qualquer complexo com 6 temos Para ver isso, multiplique ambos os lados por ( ) ::: + n + n ( ) ::: + n + n ::: + n + + ::: + n + n + n n + n Assim, podemos escrever (3) como " z z z + z z n z z z z + ::: + z z + z z z z z z z z z n # multiplicando por f (z ) temos f (z ) z z f (z ) z z + f (z ) (z z ) (z z ) + ::: + f (z ) (z z ) n (z z ) n f (z ) + (z z ) (z z ) n z z (z z ) n z z f (z ) z z + f (z ) (z z ) (z z ) + ::: + f (z ) (z z ) n (z z ) n + f (z ) (z z ) n (z z) (z z ) n 38

39 Dividindo cada termo por i e integrando ao longo de temos f (z ) i z z dz f (z ) dz + i z z i +::: + i Usando agora a fórmula de auchy para a derivada (9) temos que Podemos então escrever (3) como onde f (z ) (z z ) (z z ) dz + f (z ) (z z) (z z ) n (z z ) n dz (3) f (z ) i (z z ) k+ dz k f (k) (z ) f (z) f (z ) + f (z ) (z z ) + ::: + f (n ) (z ) (n ) R n (z z ) n i f (z ) (z z) (z z ) n dz : (z z ) n + R n (3) Vamos chamar de r o raio da nossa curva. Pegando agora um ponto z dentro da curva e um ponto z na curva, i.e., jz z j r e jz z j r < r. om isso temos jz zj j~r ~rj r r (lembre que z é o caminho sobre o circulo de raio r ). Assim jr n j rn r M (r r) r n r n M r ; r r r onde M é o valor máximo do módulo de f (jf (z )j M ; z E), este valor existe porque f é analítica em E. Mas rr < e, com isso, lim R n : n Assim, quando n tende a in nito o limite da soma dos n termos do segundo membro da igualdade (3) converge. f (z) f (z ) + X n a n (z z ) n ; a n f (n) (z) n omo resultado, quando f é analítica no interior do circulo a convergência da sua série de Taylor está garantida. De outra forma, a convergência da série de Taylor em torno de um ponto z de uma função analítica está garantida até o primeiro ponto de singularidade da função (i.e., onde a função deixa de ser zz analítica). Este é o raio de convergência da série de Taylor de uma função analítica. 39

40 Para o caso especial em que z esta série é chamada de série de Maclaurin f (z) f () + X n f (n) () z n : n Exemplo: Vamos desenvolver a série de Maclaurin da função f (z) e z Veri que que f é inteira (exercício). Para esta função temos f (n) () Assim, temos Exemplo : f (z) f () e z + X n z n n para jzj < : " # + z ; f () ( + z) z " # " # ( + z) 3 ; f (n) () ( ) n n ( + z) n+ z z ( ) n n : a série de Maclaurin vale + z X ( ) n z n n Observe que o raio de convergência desta série é jzj <. 4

41 Exemplo: uso da antiderivada no cálculo da integral de funções multivalentes. Vamos calcular a integral da função f (z) p z do ponto até através de um semi-circulo acima do eixo real, e i ;. omo vimos anteriormente, esta função possui vários ramos. Apesar de todos estes ramos possuírem a mesma forma funcional, seus domínios de de nição são diferentes para cada corte escolhido. Por exemplo, suponha que se escolheu o seguinte corte: f (z) [z (r; )] p r exp (i) ; r > ; < < Neste corte não podemos efetuar a integral pelo método da anti-derivada, porque a função não é analítica no caminho (este ramo não é analítico, não está de nido, em z ). Podemos resolver este problema fazendo o corte em outro lugar. Por exemplo, fazendo o corte f (z) [z (r; )] p r exp (i) ; r > ; < < 3 Neste caso, como nosso caminho não cruza a linha de corte e, conseqüentemente, o ramo escolhido é analítico em todo o percurso, podemos calcular F 3 z3 ) F z z dz 3 3 z3 exp r; r; 3 i pr 3 exp 3 i 3 exp 3 i 3 [ i ] ( + i) 3 Qualquer caminho acima do eixo real pode ser calculado da mesma maneira. r; r; exp () Agora, se quisermos efetuar o mesmo cálculo por um caminho que liga o mesmo ponto, mas passa pela parte abaixo do eixo real, devemos escolher um novo ramo da função. Por exemplo, podemos fazer o corte em f 3 (z) [z (r; )] p r exp (i) ; r > ; < < 5 observe que não está no domínio desta função. 4

42 F 3 z3 ) F z r; z dz 3 z3 pr 3 exp r; 3 i 3 exp 3 i 3 3 exp i 3 exp 3 i exp (3i) 3 [ i ( )] 3 [ i] r; Observe que, mesmo tendo a mesma forma funcional, o resultado é diferente. Falar da convergência de R n. r; exp 3 i Exemplo: Voltando para o problema das séries de Taylor, vamos calcular a série de Maclaurin da função calculando as derivadas temos e a série toma a forma f (n) (z) f z n ( z) n+ ) f (n) () n f (z) X f (n) () z n ) n z X coju raio de convergência vale jzj < (até o ponto de singularidade z ). Exempo: alcule a série de Maclaurin da função f + z para jzj < Vamos usar aqui a importante característica de que a série, se existir, é única. Diferente do exemplo anterior, o ponto de singularidade desta função é z. Entretanto, como jzj j zj os pontos de interesse também estão no raio de convergência do exemplo anterior. n z n De outra forma, podemos usar a 4

43 expanção anterior para os pontos para cálcular f ( z) f (z) ; f (z) + z X X z n ) f ( z) ( z) n + z f ; n n X ( ) n z n ; jzj < : ontinuando com o exemplo, podemos fazer a substituição z z + n no raio de convergência da série acima z z tanto ná série quanto + z + z X ( ) n z n ; jzj < ) n z X n n ( ) n z z ; < Temos assim a série de Taylor em torno do ponto z da função f 3 (z) z. 5. Serie de Laurent Exemplo: Vamos calcular a série para a função Para isso, vamos escrever esta função na forma f (z) + z z 3 + z 5 : f (z) + z z 3 + z + z + z 3 + z z + z 3 + z z3 + z Esta função não pode ser expandida em torno de z. Mas o segundo membro dentro do parêntezes pode, + z X ( ) n z n ; jzj < ) + (z ) X ( ) n z n ; jzj < n n 43

44 Então, nos pontos jzj <, onde a série acima está de nida, e para o ponto z 6 onde z 3 também está de nido tempos z 3 + z z 3 X ( ) n z n n z 3 + z z 4 + z 6 + ::: z 3 + z 3 z z + z 3 + ::: < jzj < Assim, apesar de ter uma singularidade na origem nós conseguimos expandir a função em série na região entre dois círculos concêntricos jzj > e jzj <. Esta é uma série (num anel) em torno de um ponto singular z. Diferente das séries de Taylor, a série acima contém potências negativas de z. Ou seja, é possível tomar em conta a singularidade da função se adicionarmos a série potências negativas do termo de expansão. Uma série de potências com potências negativas é chamada de série de Laurent. Se a função f é analítica na região entre os círculos r < jz integral de auchy f (z) f (z ) f (z ) i z z dz i z z dz : z j < r da gura, temos pela fórmula 44

45 Na segunda integral fazemos z z (z z ) (z z ) (z z ) z z z z usando temos assim mudando n n z z z z ) com o que, a segunda integral ca, f (z ) i z z dz N X n + N n n z z z z NX n (z z ) n (z z ) n + (z z ) N (z z ) N (z z ) N z z X (z z ) n (z z ) n+ + (z z ) N (z z ) (z z ) N N z z X n i i NX i n + i NX n (z z ) n (z z ) n + z n (z z ) (z z ) N (z z ) N f (z ) dz z NX (z z ) n (z z ) N (z z ) n + (z z ) (z z ) N f (z ) dz NX (z z ) n f (z ) dz (z z ) n n (z z ) b n (z z ) n + Q n (z z ) N (z z ) N f (z ) dz onde b n (z z ) n f (z ) dz i i n ; ; 3; ::: (z N z ) Q N i (z z ) N (z z ) f (z ) dz f (z ) (z n+ dz z ) 45

46 A primeira integral pode ser tratada exatamente como no caso da série de Taylor z z (z z ) (z z ) z z z z z z z z z z ) z z z z NX n (z z ) n (z z ) n + (z z ) N (z z ) N (z z) f (z ) i z z dz i i NX n + i NX n + i f (z ) z z dz i " N f (z X ) z z n f (z (z z ) n ) i (z n+ dz z ) f (z ) (z z N ) (z z ) N (z z) dz a n (z z ) n f (z ) f (z ) z z z z dz z z # (z z ) n (z z ) n + (z z ) N (z z ) N (z z) (z z ) N z z (z z ) N (z z) dz dz a n f (z ) i (z z ) n+ dz ; n ; ; :::: R N (z z ) N i f (z ) (z z) (z z ) N dz Tanto os coe cientes a n quanto R N são os mesmos obtidos para a série de Taylor. Sabemos que lim N jr N j. De forma análoga (só trocando > por <) é possível mostrar que jq N j (z N z ) jrj N (z z ) f (z ) dz r N jf (z )j r N r j(z z )j dz r r N r N N (r r ) com r o raio do circulo interno, N max (jf (z)j) lim N jq N j. Além disso, sendo a função analítica 46

47 em todo o domínio r < jz z j < r então, com a devida orientação, onde é qualquer caminho na região anular onde a função é analítica. Temos então o teorema: Theorem 3 Se f é analítica na região entre os círculos de raio r e de raio r, ambos centrados em z então em cada ponto z da região r < jz z j < r, f (z) é representada por uma série convergente de potências positivas e negativas de (z z ), f (z) a n b n X X a n (z z ) n b n + (z z ) n n i i f (z ) (z z ) f (z ) (z z ) n n+ dz n+ dz onde é qualquer caminho simples fechado na região r < jz z j < r. Esta fórmula pode ser escrita na forma mais compacta f (z) X n A n (z z ) n ; A n f (z ) i (z z ) n+ dz : (33) É importante observar que, mesmo no caso dos coe cientes dos termos positivos a n, não podemos mais identi car as integrais com as derivadas da função (usando a fórmula (9)) porque a função não é mais analítica no interior da curva fechada. Assim, no caso geral, os coe cientes devem ser calculados com as técnicas de integração já desenvolvidas. Entretanto, como veremos, estes coe cientes raramente precisam ser calculados explicitamente. Se a função é analítica em todos os pontos (incluindo z ) b n f (z ) i (z z ) n+ dz ; n > porque não há singularidade no integrando. Assim, neste caso, voltamos a ter a série de Taylor. Exemplo: Encontrar a série de Laurent em torno de z da função f (z) ez z ; jzj > Neste caso, como a função é analítica para todo z 6 o circulo é in nito. Para encontrar a série procurada precisamos apenas lembrar que a série de Laurent também é única. Assim, se encontrarmos 47

48 uma expansão em série (qualquer uma) que seja igual a nossa função nos na região de interesse, então esta é a nossa série. Usando a série de Maclaurin da exponencial temos e z X n (que é válida em todo o espaço) basta observar agora que, para qualquer ponto z 6 a seguinte série converge z n n z X n z n n X n z n n z + z + + z 3 + z 4 + ::: como esta série é convergente na região de interesse e, nesta região, ela é igual a nossa função, então esta é a série procurada. A nossa série começa com o coe ciente b (e não de ). Exemplo: Encontre a série de Laurent em torno de z da função f (z ) ; jzj < : Esta expressão já está na forma da série (33) com A e todos os outro A n. Exemplo: Obter a série de Laurent que represente a função f z ( z) na região < jzj < : Resposta: Esta função possui singularidades, então podemos achar sua representação em série em cada uma destas regiões, < jzj < ; região.observando que ( jzj >. Estamos interessados na primeira z) não é singular em z, portanto podemos escrever a série de MacLaurin z X z n observando, é claro, que a série é convergente para jzj <. Observando agora que, para jzj >, z também não é singular. Temos que o produto das séries X z z n X z n z + z + + z + z + ::: < jzj < converge na região de interesse e é a série procurada Exemplo: O mesmo do item anterior na região jzj >. Nesta região a série obtida anteriormente 48

49 não converge. Entretanto podemos escrever z z X n ) z z z X z z n ) z X n z z X ) zn+ z X n z n+ que converge na região de interesse jzj >. Assim z X é a série procurada na região jzj >. n z n+ X n z n++ X n z n+3 X n3 z n Remark 33 Se uma série converge num certo domínio interior ao círculo jz função analítica neste domínio. z j < R esta série é uma Exemplo: Veri que se a seguinte função é inteira ( (sin z) z ; z 6 f (z) ; z A série de Maclaurin do seno vale Podemos então calcular sin z X n ( ) n z n+ (n + ) z sin z z X ( ) n z n+ (n + ) X ( ) n z n (n + ) z 3 + z4 5 + ::: n n Esta série converge em todo espaço, então ela representa uma função analítica em todo o espaço (uma função inteira). Além disso, ela é igual a nossa função em todos os pontos e, como a expansão em série é única, esta é a expansão em série da nossa função. Então a nossa função é inteira. Uma vez que isso garante que nossa função é contínua, podemos calcular O que é válido, em especial, para o eixo real. sin z lim : z z 49

50 6 Pólos e resíduos Vimos anteriormente que (pelo teorema de auchy-goursat) a integral num circuito fechado que encerra uma região onde a função é analítica vale zero. Por outro lado, se a função deixa de ser analítica num ponto, a integral ao longo deste ponto não vale mais zero. Mas, como vimos este valor é o mesmo para qualquer circuito que envolva o ponto (desde que este circuito não englobe outras singularidades da função). Este valor é chamado de resíduo da função no ponto. Obviamente, conhecendo todos os resíduos de uma função, podemos calcular sua integral ao redor de qualquer circuito fechado. Um ponto singular (i.e., um ponto onde uma função deixa de ser analítica) de uma função f (z) é chamado de isolado, se f for analítica em toda uma vizinhança (por menos que seja) deste ponto. De outra forma, um ponto singular z é uma singularidade isolada se for possível encontrar um raio r onde, no círculo < jz z j < r, a função f (z) é analítica. Resíduos são de nidos apenas para singularidades isoladas. Exemplo: A função f (z) z + z 3 (z + ) possui 3 singularidades isoladas nos pontos z i e z. Exemplo: A função é singular em z f (z) sin z e em z n ) z n. A singularidade z não é isolada. Pois, não importa o tamanho do raio r, sempre podemos achar um n su cientemente grande tal que n < r. Então, não existe uma vizinhança do ponto z que não contenha outra singularidade. Assim, para uma singularidade isolada z, sempre podemos expandir f numa série de Laurent X X f (z) a n (z z ) n b n + (z z ) n ; < jz z j < r : n n omo vimos, as singularidades da função estão relacionadas com as potências negativas desta série, ou seja, com os coe cientes b n f (z ) i (z z ) n+ dz ; n > onde é caminho fechado que circunda a singularidade z. Em especial, temos n ) b f (z ) dz ; i ou seja, b é exatamente a integral da nossa função em torno da singularidade. O coe ciente b é chamado 5

51 de resíduo da função f na singularidade isolada z, b Res zz f (z) B : Assim, o resíduo de uma função (i.e., o primeiro termo de uma série de Laurent) fornece uma ferramenta poderosa para o cálculo de integrais em contornos fechados. Exemplo: Vamos calcular a integral onde é o circulo jz z (z ) 4 dz j. O integrando possui duas singularidades isoladas (obviamente todo número nito de singularidades é isolado) z e z. Entretanto, apenas a singularidade z está dentro da região de integração. Vamos determinar a série do integrando. z (z ) 4 (z ) 4 + (z ) (z ) 4 h + (z ) i Usando temos z X z n ; jzj < n (z ) z ) z X z n n + (z ) < ) jz j < como nosso problema está dentro do limite desta série h (z ) i X n (z ) ; n (z ) z (z ) 4 X ( ) n n (z ) n ) n X (z ) n 4 n+ n z (z ) 4 (z ) 4 X ( ) n n (z ) n n (z ) 4 (z ) (z ) 4 (z ) + ::: 5

52 o coe ciente da série que multiplica o termo (z Exemplo: ), i.e., o coe ciente b, vale b 4 6 i f (z ) dz i 8 : exp z dz f (z ) dz onde é o círculo jzj. A singularidade (isolada) está em z. Sabendo que esta série converge para exp (z) X z n n ; jzj > ) exp z X n z n < jzj < X n z n n Então a expansão em série do nosso integrando ca Quanto vale b? Remark 34 Do exemplo acima observe que z n. exp z + z + z 4 + ::: b f (z ) dz : i Analiticidade ) f dz : Suponha agora que o contorno envolva uma quantidade nita (portanto isoladas) de singularidades Fazendo então uma integral na região que não engloba nenhum ponto singular, i.e., onde a função é analítica, temos f dz X lembrando agora que, em torno de cada singularidade temos n n f dz f (z ) dz Res f (z) i zz n 5

53 Figure 3: Figura tirada do livro do hurchill. temos f dz X n n f dz i X n Res f (z) : zz n Este é o teorema dos resíduos de auchy. Exemplo: alcule a integral 5z z (z ) dz onde é o círculo de raio centrado na origem, jzj. O integrando possui duas singularidades, z e z, ambas dentro da região de integração. Vamos primeiro calcular o resíduo em z, z (z ) z 5z z (z ) z (z ) X z n ; jzj < n lembre que para cálculo do resíduo o círculo em torno da singularidade pode ser quão pequeno quanto se 53

54 queira. (5z ) z (z ) (5z ) X X z n (5z ) z n n X X 5 z n + n n m ) n z n (5z ) z (z ) X m m z m 5 z n X n z + X X z m 5 z n z + ( n z n 5) X z n z n 3 X n z n Agora, para o resíduo z temos Res z f (z) B z (z ) + z (z ) z (z ) + (z ) X ( ) n z n ; jzj < ) + (z ) X ( ) n ((z )) n ; jz j < n n com isso 5z (5z ) z (z ) (z ) z (5z ) (z ) X ( ) n (z ) n n 5z 5 (z ) + 5 5z X 5 (z ) + ( ) n (z ) n z (z ) 5 5 " (z ) n X ( ) n (z ) n + n " X 5 ( ) n (z ) n + 5 n X ( ) n (z ) n + 3 (z ) + ::: n Res z f (z) 3 B # X ( ) n (z ) n 5 n # X ( ) n (z ) n 5 n 54

55 Pelo teorema dos resíduos f dz i X Res f (z) i (B + B ) zz n n i ( + 3) i Exemplo (continuação): No exemplo acima, podemos também desenvolver uma única série de Laurent em torno da origem, mas que seja válida para r >, 5z z (z ) z 5z z (z ) Logo o resíduo vale z 5z z X z n ; jzj < ) z X n ; z z z < ) jzj > n z n X (5z ) (5z z n+ ) z + (5z ) z 3 + ::: n B 5 ) 5z z (z ) dz i5 i : 6.. ntegrais de funções da forma g (z) (z z ) m Para integrais da forma onde circunda a singularidade z temos g (z) (z z ) b g (z) i (z z ) dz : dz (34) Mas se g é analítica em z e o raio de for pequeno o su ciente, podemos usar a fórmula integral de auchy para escrever de onde temos Exemplo: Vamos voltar para a integral g (z ) g (z) dz i z z b g (z) i (z z ) dz g (z ) : (35) 5z z (z ) dz 55

56 onde é o círculo de raio centrado na origem, jzj. Usando uma decomposição em frações parciais: 5z z (z ) (A + B) z A z (z ) A z + B A (z ) + Bz (z ) z (z ) ) A ; B 3 temos 5z z (z ) z + 3 (z ) ) 5z z (z ) dz z dz + 3 (z ) dz ada uma das integrais acima é da forma (34) em torno das singularidades z e z z dz 3 (z ) dz Usando a fórmula (35) e o teorema dos resíduos Exemplo: 5z z (z ) g (z) dz ; g (z) z g (z) dz ; g (z) 3 z dz i ( + 3) i : exp (z) z + dz onde é o círculo de raio centrado na origem, jzj. As singularidades estão em z i, ambas dentro do caminho. Observando que z i são as raízes do denominador do integrando, podemos escrever z + (z + i) (z i) Se quisermos então calcular o resíduo em torno do ponto z i fazemos exp z z + dz exp (z) (z + i) (z i) dz onde é um caminho (pequeno o su ciente para não englobar z i) esta integral é da forma (34) exp z (z + i) (z i) dz g (z) (z i) dz ; g (z) exp z (z + i) 56

57 observe que g (z) é analítica dentro do caminho de integração. Assim o resíduo vale Da mesma forma, para o resíduo em z i, B g (z i) exp i i exp z (z i) (z + i) dz i i : g (z) (z + i) dz ; g (z) exp z (z i) B g (z i) exp i i i i onde é um caminho (pequeno o su ciente para não englobar z i). Pelo teorema dos resíduos exp (z) z + dz i + i Remark 35 O procedimento acima pode ser usado para o cálculo de resíduos da forma f (z) (z n f (z) analítica nas raízes do denominador. z ), com Vamos tentar generalizar este resultado para a integral de funções na forma f (z) g (z) (z z ) m com g (z) analítica em z e g (z ) 6. omo g é analítica na região de interesse ela pode ser decomposta em série de Taylor em torno do ponto z (onde f é singular) g (z) X n g (n) (z ) n (z z ) n : Numa região arbitrariamente próxima de z a seguinte série converge (z z ) m X n g (n) (z ) n (z z ) n X n g (n) (z ) n (z z ) n m ; < jz z j < " Então, nesta região, este é o desenvolvimento em série de Laurent da função f o coe ciente b desta série (i.e., o termo que multiplica (z z )) vale b g(m ) (z ) (m ) 57

58 Este resultado, juntamente com (35) mostra que ( g (z) g (z ) ; m Res zz (z z ) m g (m ) (z ) (m ) ; m (36) para g (z) analítica em z e g (z ) 6. Exemplo: Encontre o resíduo da função f (z) z3 + z (z i) 3 g (z) (z i) 3 ; g (z) z3 + z Esta função tem uma singularidade em z i. Neste ponto g é analítica e g (i) 6 então b g(3 ) (z i) (3 ) g (z) 3z + ; g (z) 3 b 3 : [g (z)] zi 6. Razões de funções analíticas Para o cálculo do resíduo de funções na forma f (z) p (z) q (z) ; com p e q funções analíticas num ponto z e q (z ) (i.e., z é um ponto singular de f) podemos proceder como no caso anterior. Assim, usando o fato das funções serem analíticas em z podemos expandi-las em série de Taylor e tomar a razão (aqui estamos usando o fato de que se q (z) é analítica e q (z ), então existe uma vizinhança em torno de z tal que q (z) 6 para jz hurchill Sec. 65) z j < ", ou q (z) é uma constante, veja, e.g., p (z) q (z) p (z ) + p (z ) (z z ) + ::: (q (z ) ) + q (z ) (z z ) + q (z ) (z z ) + ::: p (z ) + p (z ) (z z ) + ::: (z z ) q (z ) + q ; < jz z j < " (z ) (z z ) + ::: Agora, se q (z ) 6 a expressão entre colchetes está de nida também em z, assim se de nirmos g (z) (z z ) p (z) q (z) p (z ) + p (z ) (z z ) + ::: q (z ) + q (z ) (z z ) + ::: (37) 58

59 a função g será analítica em z, alem disso g (z) (z z ) p (z) q (z) (z z ) f (z) ; ou ainda f (z) g (z) (z z ) ; com g (z) analítica em z. Usando agora o resultado (36) temos e, voltando a série (37) temos f (z) g (z) g (z) ) Resf (z) Res (z z ) zz zz (z z ) g (z ) g (z ) p (z ) + p (z ) (z z ) + ::: q (z ) + q (z ) (z z ) p (z ) q (z ) : oncluindo, se p (z) e q (z) são analíticas em z com q (z ) e q (z ) 6, então Exempo: alcule os resíduos da função p (z) Res zz q (z) p (z ) q (z ) : f (z) cos z sin z As funções seno e cosse são inteiras. As singularidades de f estão nos pontos sin z ) z n n (exercício: mostre isso). Além disso, para cada um destes pontos d d sin z cos z ) dz dz sin z ( ) n 6 zz n Então nossos resíduos são cos z Res zz n sin z cos z n : cos z n 6. aminhos que englobam todas as singularidades Os resultados acima podem ser simpli cados quando o caminho engloba todas as singularidades da função. Se a função f (z) é analítica em toda uma região fora do circuito fechado da gura, podemos então traçar um círculo, de raio R e centrado em z, sendo a função analítica na região entre e, a integral por ambos os caminhos é a mesma. 59

60 Figure 4: Figura tirada do livro do hurchill f (z) dz f (z) dz : Agora, na região exterior a a função é analítica e, portanto, pode ser expandida numa série de Laurent f (z) A n X n i A n z n ; R < jzj < f (z) dz (38) zn+ omo no caso anterior, o coe ciente A fornece A f (z) dz (39) i Entretanto, como a função engloba várias singularidades, este coe ciente não é mais o resíduo da função. Para que o coe ciente A sejá o resíduo de uma função, é necessário que o domínio de validade da expansão seja algo como < jz isolada. z j < r, pois assim podemos garantir que a singularidade em z z é uma singularidade 6

61 Agora, se na expansão (38) trocarmos z por z temos z z ; X f z O coe ciente que multiplica z série por z temos z f n A n z n ; R < < ) > jz j > R z nesta nova série é A e não mais A. Entretanto, se multiplicarmos a z X n A n z n+ ; R > jzj > lembrando que jzj > está nova série também esta bem de nida. O domínio de validade desta nova série R > jzj > mostra que z é uma singularidade isolada da função a esquerda da igualdade, portanto A Res z z f z Usando agora (39) e lembrando que podemos integrar tanto ao longo de como, temos f (z) dz ires z z f z Assim a integral da função f numa região envolvendo várias singularidades, pode ser calculada através de um único resíduo de uma determinada função. Exemplo: Vamos agora voltar ao cálculo da integral 5z z (z ) dz onde é o círculo de raio centrado na origem, jzj. omo vimos anteriormente este caminho engloba as duas singularidades da função. Usando a gora o resultado desenvolvido acima, podemos calcular z f f (z) z 5z z (z ) 5z z (z ) ) f z z 5 z z z 5 z ( z) 5 z z ( z) A z + B A + (B A) z ) ; A 5 ( z) z ( z) dz ires z z f i5 i : z : 6

62 6.3 Tipos de singularidade omo vimos, na série de Laurent a parte com potências negativas b n f (z ) i (z z ) n+ dz ; n > é responsável por reproduzir a singularidade da função. Estes termos são chamados parte principal da série. Assim, o estudo dos diferentes tipos de singularidade está relacionado com o estudo da parte principal da série da função. Podemos identi car 3 diferentes tipos de parte singularidade isoladas. Se a parte principal é nita b m 6 ; b m+ b m+ ::: a singularidade isolada é chama de um pólo de ordem m. Um pólo de ordem m é chamado um pólo simples. Exemplo: como vimos antes f (z) ez z X jzj > n z n n z + z + + z 3 + z 4 + ::: ; esta função tem um pólo de ordem em z. Se z é um pólo temos lim f (z) : zz. O segundo tipo de singularidade ocorre quanto todos os termos da parte principal da série são zero. Este tipo de singularidade é chamado de removível. Por exemplo, a função f (z) sin z z ; possui uma singularidade isolada em z. O desenvolvimento em série desta função fornece sin z X ( ) n z n+ (n + ) ) z sin z X ( ) n z n (n + ) n z 3 + z4 5 + ::: n 6

63 Esta série descreve a nossa função para z 6. Observe agora que se de nirmos f () a série passa a descrever a nossa função em todos os pontos do espaço. omo esta série converge em todo espaço, ela descreve uma função analítica em todo espaço. Assim, a função f (z) ( sin z z ; jzj > ; z é inteira. Por ser inteira, sabemos que esta função é contínua e os limites não dependem do caminho, assim podemos a rmar que sin z lim lim f (z) f () : z z z Observe que de nindo f () nós removemos a singularidade da função. Este processo sempre pode ser realizado para este tipo de singularidade, por isso este tipo de singularidade é chamado de removível. 3. Quando existem in nitos termos na parte principal da série, a singularidade é chamada de essencial. Exemplo: omo vimos exp z X n z n ; < jzj < n A identi cação do tipo de singularidade da função permite simpli car a determinação de seus resíduos e, conseqüentemente, o cálculo de suas integrais em contornos fechados, além de informar sobre o comportamento da função próximo a singularidade:. Se a função possui um pólo simples de ordem m, resíduo de funções com este tipo de singularidade usualmente pode ser calculado usando o resultado (36) ( g (z) g (z ) ; m Res zz (z z ) m g (m ) (z ) (m ) ; m : Se z é um pólo temos lim zz f (z) :. Se a singularidade da função é removível, o resíduo desta singularidade é, obviamente, nulo. Se z é um pólo removível temos lim zz f (z) c ; c 3. Se a singularidade é essencial, praticamente todas as técnicas desenvolvidas não se aplicam e o cálculo dos resíduos deve ser feito diretamente pelo desenvolvimento da série de Laurent da função. Se z é 63

64 uma singularidade essencial, então, em cada vizinhança de z a função assume todos os valores nitos, com a possível exceção de um valor, este é o teorema de Picard. 7 álculo de integrais reais Nosso objetivo é calcular uma integral da forma f (x) dx : No cálculo diferencial para funções reais a integral imprópria de uma função f (x), contínua para x pode ser de nida como f (x) dx lim R R f (x) dx ; (4) esta integral está de nida quando o limite acima existe. De forma análoga, se f (x) é contínua em todo o plano f (x) dx lim f (x) dx + R R lim R R Entretanto, mesmo para funções contínuas, o limite acima pode não existir. Exemplo: x dx lim x dx + R R x lim R mas nenhum dos dois limites acima está de nido. lim R + lim R R R lim R + lim R R ; R R x f (x) dx : (4) x dx Outra de nição possível é dada pelo chamado valor principal (P.V.) de auchy R P.V. f (x) dx lim f (x) dx : (4) R R Por esta de nição, um conjunto maior de funções passa a ser integrável. Exemplo: x P.V. x dx lim R R R : 64

65 É importante lembrar que se a integral (4) converge, então o valor principal existe. Entretanto, se o valor principal de uma integral existe, isso não garante que a integral (4) esteja de nida. Quando a função f (x) é par, i.e., f ( além disso, R x) f (x) então f (x) dx f (x) dx R f (x) dx f (x) dx Assim, neste caso, a existência do valor principal implica na existência da integral imprópria (4). O método que vamos desenvolver está intimamente relacionado com o cálculo do valor principal de auchy. Assim, para garantirmos que estes resultados se aplicam a integrais impróprias, vamos nos restringir a funções pares. Estamos interessados no cálculo de integrais impróprias de funções da forma f (x) p (x) q (x) ; f ( x) f (x) com p e q polinômios sem fatores em comum e com q (x) 6 em todo o eixo. Exemplo: alcule a integral A função complexa x + dx x + dx : f (z) z + é igual a f (x) para m z. Vamos então calcular a integral onde é o caminho da gura.om isso, é fácil ver que f (z) dz f (z) dz f (z) dz + R x + dx Para estimar a contribuição da integral em R precisamos do seguinte resultado: Se é uma curva em e f : contínua, então f (z) dz ML 65

66 Figure 5: Figura tirada do livro do hurchill onde L é o comprimento da curva e M o valor máximo do jfj. Para ver isso, basta observar que e que, do cálculo de funções reais f (z) dz f (z) _z dt jf (z)j : j _zj dt jf (z)j : j _zj dt M j _zj dt ML : om isso pois Mas lim R R R z + dz (R) R R z + z R : ) lim R z + dz R conseqüentemente x + dx f (z) dz Assim, basta calcular a integral de f (z) no caminho que se resume ao cálculo dos resíduos em z i. Observe que o resíduo z estamos calculando é o valor principal da integral. Pelo procedimento acima, observe que i não está no interior do caminho de integração. Observe também que o que z m dz + z R Rn R m Rn+ z R m z R z n lim Rn+ R R m lim z R Rn+ m 66

67 Assim, a integral sobre o caminho R desaparece sempre que n + < m, i.e., o grau de q deve exceder o grau de p em pelo menos duas unidades. Exemplo: alcule a integral x (x + 9) (x + 4) dx. Veri que que o integrando é simétrico: então podemos usar o valor principal.. Depois veri que o grau do denominador é, pelo menos, duas vezes maior que a do numerador: sso garante que a integral sobre o circuito R não contribua. Estando satisfeitas estas duas condições partimos para a função complexa z f (z) (z + 9) (z + 4) Esta função possui quatro pólos: z 3i e z i. Usando o caminho que vai pela parte superior do plano z, apenas os pólos z 3i e z i estão dentro do nosso caminho de integração. A integral pela parte inferior do plano seria diferente? Para calcular o resíduo em z 3i fazemos Usando o resultado (36) f (z) Para o cálculo do resíduo em z i, f (z) z (z + 3i) (z 3i) (z + 4) (z 3i) z (z + 3i) (z + 4) Res z3i g (3i) ; g (z) (z + 3i) (z + 4) g (3i) i 3 5 z (z + 9) [(z + i) (z i)] (z i) z (z + 9) (z + i) z 67

68 e usamos novamente o resultado (36) (com m ) g (z) Res zz (z z ) g (z ) : g (z) g (z) g (i) z (z + 9) (z + i) ) z z (z + 9) (z + i) z (z + 9) + (z + i) i + i + 3 i Assim, o resultado da nossa integral vale x (x + 9) (x dx i i 3 + 4) 5 i 3 : 7.. ntegrais impróprias com funções trigonométricas. Tanto no desenvolvimento de problemas envolvendo séries de Fourie, quanto em problemas de envolvendo ondas (eletromagnetismo, MQ etc.) encontramos integrais da forma: f (x) sin (ax) dx ; f (x) cos (ax) dx Vamos, por exemplo, calcular a integral No lugar das integrais acima, vamos calcular a integral cos 3x (x dx (43) + ) f (x) cos (ax) dx + i f (x) sin (ax) dx f (x) exp (iax) dx Seguindo os passos anteriores, e lembrando que este integrando é par, vamos então calcular o ponto aqui é observar que exp (i3z) R (z + ) dz exp (i3x) R (x + ) dx + exp (i3z) R (z + ) dz jexp (iaz)j jexp (iax) exp ( ay)j jexp ( ay)j jexp ( ay)j e lim jexp ( ay)j ; a > : y 68

69 Ou seja vai a zero mais rápido que R exp (i3z) (z + ) dz R (z + ) dz enquanto esta última vai a zero pelas razões mostradas anteriormente. Assim R R exp (i3x) (x + ) dx exp (i3z) (z + ) dz ; a > : A integral da direita pode ser facilmente calculada pelos métodos anteriores. Possui os pólos z i e apenas o pólo z i está dentro do caminho de integração exp (i3z) exp (i3z) Res zi (z + ) Res zi (z i) (z + i) d dz exp (i3z) (z dz i ( i exp ( 3)) + ) e 3 : exp (i3z) (z + i) zi i exp ( 3) Para obter a integral desejada basta tomar a parte real deste valor (que é ele mesmo, mas, no caso geral, teremos uma parte imaginária relacionada ao seno e outra real relacionada ao cosseno) cos 3x (x dx + ) e 3 : Para usar este método, assim como no caso anterior, devemos ter a função f na forma pq com p e q polinômios sem fatores comuns e o grau de q pelo menos duas vezes maior do que o grau de p e a >. Além disso, para que o valor principal concorde com a de nição de integral imprópria devemos trabalhar, novamente, apenas com funções pares. ntegrais inde nidas de funções trigonométricas também podem ser facilmente calculadas pelo método dos resíduos. onsidere uma integral do tipo F (sin ; cos ) d (44) onde F é um quociente de polinômios de senos e cossenos. Utilizando a representação polar dos números complexo, podemos considerar como o argumento de z e usar a parametrização z exp (i), com isso, 69

70 podemos escrever sin z z ; cos z + z i F (sin ; cos ) F (z) e escrever (44) como dz _z d ie i d ) d dz iei iz dz F (sin ; cos ) d F (z) dz ; jzj iz Exemplo: Vamos calcular a integral fazendo Nossa integral se torna 5 d 4 + sin sin z z i 4iz 5iz + z 5 d 4 + sin 4iz (5iz + z ) (z + i) z + i iz dz dz 4 (5iz + z ) dz observando que apenas a singularidade z i está dentro do caminho de integração temos Res z i z + i (z + i) 4 3i ; sin d i 4 3i 8 3 : 7

71 8 Funções ortogonais 8. Operadores, autovetores e autofunções Para o conjunto de todas as funções i : [a; b] R de nimos a seguinte operação binária h j i b a (x) (x) dx (45) O conjunto das funções com a propriedade h j i b a (x) (x) dx < formam um espaço vetorial no corpo dos complexos com produto interno (45). Este é chamado do espaço das funções de quadrado integrável no intervalo (a; b), ou L (a; b). Ou seja, c (x) + c (x) 3 (x) L (a; b) ; 8 ; L (a; b) ; c ; c : A quantidade real p M p h j i é chamada a norma de j j. Observe que h j i não é, em geral, um número real. Este espaço vetorial, juntamente com uma condição técnica de completeza 3 forma um espaço de Hilbert. Um operador diferencial linear tem a forma ^L a (x) + a (x) d dx + a (x) d dx + ::: mx a n (x) dn dx n (46) onde m é chamado a ordem do operador. Estes operadores são lineares n ^L (c + c ) c ^L + c ^L ; c ; c se exigirmos que ^L L. Obviamente nem todas as funções em L possuem sua derivada de ordem m em L, além disso, condições de contorno (ou considerações físicas) podem impor certas restrições nas funções nas fronteiras, i.e., xar o valor de (a) e (b). Assim, um operador não atua em todo L, mas sim num subconjunto D (L) L. D (L) é chamado o domínio do operador ^L. Remark 36 Para especi carmos um operador ^L devemos sempre informar sua expressão diferencial (46) e seu domínio de atuação. 3 onvergência de todas as seqüências de auchy j n l j. 7

72 Uma equação diferencia linear tem a forma ^L f (x) O caso com f é chamado de homogênea. Pela condição linearidade, vemos que, se e são soluções da equação homogênea para o operador ^L então qualquer combinação c + c também será solução da equação homogênea de ^L. De forma mais geral, uma combinação arbitrária de soluções da equação homogênea também é uma solução. Este é o princípio da superposição. O hermitiano conjugado de um operador ^L, chamado de ^L +, é de nido através do produto interno (45) através da expressão b D^L+ i h^l+ (x)i a (x) dx h j ^L E b a i (x) h^l (x) dx : Exemplo: Se ^L d dx e D (L) são as funções L (a; b) com L e (a) (b) encontre L +. Pela de nição temos D^L+ i b a i (x) h^l (x) dx b a d (x) dx (x) se nossas funções são absolutamente contínuas, i.e., podem ser integradas por partes, temos assim b a d (x) dx (x) b dx [ (x) (x)] b d a (x) [ a dx (x)] dx b d dx (x) [ (x)] dx D^L+ i a ^L + Esta é a forma diferencial de ^L +. Para de nirmos completamente este operador precisamos ainda especi car D (L + ), voltaremos a este problema em breve. d dx dx 7

73 Exemplo: ^L c ; c b D^L+ i h^l+ (x)i a b a b a b a ^L + c (x) [c (x)] dx [c (x)] (x) dx [c (x)] (x) dx (x) dx h j ^L E 8.. Autovetores Uma função (x) é dita ser uma auto-função de um operador diferencial ^L quando ^L (x) c (x) ; c c é chamado de auto-valor de ^L em. Lembrando que pode ser considerada como um vetor no espaço vetorial L, usa-se também o termo auto-vetor. Exemplo: é fácil ver que ^L d dx ; D (L) L (a; b) (x) A sin (ax) ) ^L d (A sin (ax)) dx a (A sin (ax)) ^L a Então a função acima é uma autofunção de ^L com auto-valor a. 8.. Operadores hermitianos Um operador é dito ser simétrico, ou hermitiano, se D^L i h j ^L E ou seja, se a forma diferencial de ^L é igual a de seu adjunto ^L +. 73

74 Exemplo: ^L i d ^L dx ; D ; L (a; b) ; a:c: ; (a) (b) h j ^L E b a a b i (x) h^l (x) [ (x) (x)] b a b i d dx a i d dx ^L + i d dx ^L (x) (x) b a dx i d dx (x) dx b a (x) i d dx (x) (x) dx (x) dx (x) dx D^L+ i D^L i para que o operador ^L seja hermitiano, é necessário que o termo de fronteira se anule. Assim, a restrição do domínio de ^L a função que se anulam na borda foi essencial. 8. Autofunções de operadores hermitianos Seja ^L um operador hermitiano e uma autofunção deste operador, i.e., h'j ^L E D^L+ ' i D^L' i ^L c ; c ; D ^L om isso temos h j ^L E h j c i c h j i Além disso, sendo ^L simétrico h j ^L E D^L i hc j i c h j i Subtraindo as duas expressões acima temos h j ^L E D^L i c h j i c h j i E E h j ^L h j ^L (c c ) h j i (c c ) h j i 74

75 Assim, se h j i 6, poderíamos concluir que c c ou seja, os auto-valores de um operador hermitiano ^L são reais. Suponhaagora que, para um operador simétrico ^L, temos duas autofunções com autovalores distintos '; D ^L ^L c ; ^L' c ' ; c ; c R ; c 6 c com isso h'j ^L E h'j c i c h'j i como nosso operador é simétrico h'j ^L E D^L' i hc 'j i c h'j i subtraindo estas duas expressões h'j ^L E h'j ^L E c h'j i c h'j i (c c ) h'j i (c c ) h'j i como c 6 c temos h'j i funções que satisfazem esta igualdade são chamadas de ortogonais. Autofunções de um operador simétrico com autovalores distintos são ortogonais. Exemplo: ^L d dx D ^L ; L (; ) ; a:c: ; () () (exercício: veri que que ^L é hermitiano). Para os autovetores de ^L temos A solução geral desta equação diferencial vale d (x) k (x) dx (x) A sin (kx) + B cos (kx) ; A; B 75

76 pela condição de contorno em temos () A sin (k) + B cos (k) B e pela condição de contorno em temos () A sin (k) ) sin (k) ) k n ; n N Assim, nossas autofunções e autovalores são n (x) A sin (k n x) ; k n n Vemos imediatamente que os autovalores são reais. Vamos calcular h n j m i jaj sin (k n x) sin (k m x) dx u sin (k n x) ; u k n cos (k n x) v sin (k m x) ; v cos (k m x) k m (uv ) (uv) (uv) sin (k n x) sin (k m x) dx cos (k m x) sin (k n x) (u v) k m sin (k n x) sin (k m x) dx cos (k m x) sin (k n x) + cos (k n x) cos (k m x) dx k m sin a sin b (cos (a + b) cos (a b)) para m n sin (k n x) dx cos [(k n ) x] dx sin [(kn ) x] k n dx dx 76

77 para n 6 m cos [(k n k m ) x] sin (k n x) sin (k m x) dx cos [(k n + k m ) x] dx sin (kn + k m ) sin (kn k m ) (k n + k m ) (k n k m ) sin [(n + m) x] sin [(n m) x] (n + m) (n m) sin [(n + m) ] sin [(n m) ] (n + m) (n m) Os resultados acima podem ser escritos como dx h n j m i mn Vemos então como os operadores hermitianos estão relacionados com as funções ortogonais. Mais precisamente: as autofunções de um operador hermitiano formam um conjunto de funções ortogonais. Este resultado nos ajuda, tanto a construir funções ortogonais, como para veri car a ortogonalidade de funções. Normalmente para veri car a ortogonalidade precisamos resolver uma série de integrais. Mas, se sabemos que nossas funções são autofunções de um operador hermitiano, a ortogonalidade está provada sem a necessidade de nenhuma conta. Mas qual a utilidade destas funções? No início deste capítulo chamamos a operação binárias h j i de produto interno. Este termo se relaciona com a noção de produto escalar do espaço euclidiano. Por exemplo, dois vetores são ortogonais se a:b, assim como, para nossas funções h j i. Uma propriedade muito útil de vetores em espaços euclidianos é que estes podem ser decompostos numa base. Por exemplo, em 3D V v ^x + v ^x + v 3^x 3 ^x i :^y j ij Esta é a propriedade que queremos imitar no nosso espaço vetorial de funções. Primeiramente veja que a base acima é ortonormal. Podemos imitar esta propriedade normalizando nossas funções de onda, i.e., h n j m i c mn ) m p c m ) n m mn 77

78 No caso de nosso exemplo anterior, basta fazer A p n (x) p sin (k n x) ; h n j m i mn : Para o espaço de 3D precisamos de três vetores ortogonais Operadores auto-adjuntos Operadores auto-adjuntos são os elementos mais importantes da MQ e, como veremos, no estudo da decomposição em funções ortogonais. Um operador ^L é auto-adjunto se ele for hermitiano (^L ^L + ) e se seu domínio for igual a de seu adjunto (D (L) D (L + )), ou seja, se ^L ^L +. Exemplo: Vamos voltar ao exemplo anterior ^L i d ^L dx ; D ; L (a; b) ; a:c: ; (a) (b) como vimos anteriormente, este operador é hermitiano. h j ^L E b a i (x) h^l (x) dx b [ (x) (x)] b a + D^L i a (x) i d dx (x) dx Qual o domínio do operador ^L +? Em outras palavras, em quais funções ^L+ pode atuar sem que isso quebre a simetria de ^L? Observe que, mesmo que (a) 6 e (b) 6 temos h j ^L E (b) (b) (a) (a) + D^L i (b) (a) + D^L i D^L i ou seja, ^L é hermitiano para D ^L+ ; L (a; b) ; a:c: D ^L ou seja D ^L+ 6 D (L), portanto nosso operador ^L, apesar de hermitiano, não é auto-adjunto. Exemplo: vamos agora de nir o operador ^L c i d dx ; D ^Lc ; L (a; b) ; a:c: ; (a) c (b) ; c 78

79 h j ^L c E [ (x) (x)] b a + D^L i (b) (b) (a) (a) + D^L i [ (b) c (a)] (b) + D^L i 6 D^Lc i Para tentar simetrizar este operador, vamos tentar de nir o domínio de D ^L+ como D ^L+ c ; L (a; b) ; a:c: ; (a) c (b) D ^L com isso, h j ^L E [ (b) c (a)] (b) + D^L i [ (b) cc (b)] (b) + D^L i [ cc ] (b) (b) + D^L i h jcj i (b) (b) + D^L i Vemos então que nosso operador será simétrico se (e somente se) jcj ) c e i ; R : ou seja, se de nirmos o operador ^L i d dx ; D ^L ; L (a; b) ; a:c: ; (a) e i (b) ; R : Assim, o novo operador ^L, diferente de ^L, é um operador auto-adjunto. Dos exemplos acima vemos que, no primeiro caso o D ^L+ é maior que o D ^L, D ^L+ D ^L, enquanto no segundo caso D ^L+ D ^L. É possível provar que D ^L D ^L+, i.e., o domínio de ^L nunca é maior que o domínio de ^L +. O que zemos no segundo exemplo foi restringir o domínio de ^L +, que chamamos de D ^L+. Obviamente D L + D (L + ). Assim, se D (L + ) 6 D (L), como no primeiro exemplo, as vezes (mais nem sempre) é possível reduzir o domínio do adjunto de forma que o novo operador seja auto-adjunto. Vemos assim que todo operador auto-adjunto é, por de nição, hermitiano, mas o contrário não é verdade. Esta diferença, que a primeira vista parece uma tecnicalidade, possui importantes conseqüências tanto matemáticas quanto físicas. 79

80 8.4 O oscilador harmônico omo um excelente (além de importante) exemplo da aplicação do formalismo desenvolvido acima, temos o tratamento do oscilador harmônico quântico. omo se verá no desenvolvimento que segue, a noção abstrata do espaço de Hilbert (sem sua realização) permite simpli car bastante o problema. Deve-se tentar resolver o problema partindo diretamente da equação de Schrödinger (ES) para se veri car isto. Vamos introduzir os seguintes operadores diferenciais lineares d ^L ^H ~ m dx + m^x ; ^p i~ d dx D (^p) D ^H ; L ; a:c: aqui ^H é o operador hamiltoniano de um oscilador harmônico. A solução do problema quântico se obtém pela solução da ES estacionária, i.e., através da solução do problema de autovalores de ^H, ^H E ) ~ d m dx + m^x E Esta equação não é nada simples de se resolver. Vamos tentar então um método alternativo. Primeiro observe que, para qualquer função D ( ^p) temos Se usarmos a notação x^p ^p (x ) x i~ d dx i~x d dx i~x d dx + i~ d dx (x ) i~ d (x ) dx d + i~ ( ) + i~x dx i~ (47) x^p ^p (x ) [x^p ^px] [x; ^p] [x; ^p] [x^p ^px] onde lembramos que o operador atua em tudo que estiver a sua direita e que (47) é válida para toda função podemos escrever simbolicamente [x; ^p] i~ (48) ou seja, sempre que aparecer o comutador entre x e ^p podemos substituir por i~. Lembre que a quantidade acima é um operador enquanto a quantidade à direita da igualdade é um número. Assim, esta igualdade só 8

81 faz sentido quando ambos os lados atuam numa função qualquer. Vamos agora de nir os seguintes operadores diferenciais ^a p x + i^p ; ^a + i^p p x m m x p ^a + ^a+ ; ^p i m p ^a+ ^a (49) r m ~ om estes novos operadores o Hamiltoniano pode ser escrito como (veri que): ^H ~ ^a +^a + (5) As regras de comutação (48) implicam que [x; ^p] i~ ) ^a; ^a + : (5) Suponha agora que n (x) é uma auto função qualquer de ^H, ou seja, ^H n E n n Agora uma característica muito mais do que importante dos operadores (49): Usando a regra de comutação (5) vemos que ^H^a n ~ ^a +^a + ^a n ~ ~ ^a^a + ^a + ^a n ^a~ ^a +^a + n ^a~ ^a +^a + n h i ^a ^H ~ ^a [E n ~] n En ~ ^a ~ n : n ^a +^a ^a + ^a n fazendo E n ~ n ) ^H n ~ n n 8

82 temos ^H^a n ~ ( n ) ^a n : Ou seja, se n é autovetor de ^H com autovalor ~ n, então ^a n é outro autovetor de ^H, mas com autovalor ~ ( n ) diminuindo de uma unidade. Simbolicamente podemos chamar este vetor de n ; ^a n n ; ^H n ~ [ n ] n : Da mesma forma ^H^a + n ~ ~ ~ ^a +^a + ^a + ^a +^a^a + + ^a + n ^a + + ^a +^a + ^a + ^a + ~ + ^a +^a + ^a + ~ + ^H ^a + ~ ( + n ) n ~ ( + n ) ^a + n n n n n Ou seja, se n é autovetor de ^H com autovalor ~ n, então ^a + n é outro autovetor de ^H, mas com autovalor ~ ( n + ) acrescido de uma unidade. Simbolicamente podemos chamar este vetor de n+ ; ^a + n n+ ; ^H n+ ~ [ n + ] n+ (5) Vamos usar agora que a energia do sistema é uma quantidade positiva 4 h j ^H j i 4 sso pode ser visto observando que para qualquer autovetor normalizado n temos h n j ^a +^a b j n i [ n (x)] a + a n (x) dx a b [a n (x)] [a n (x)] dx a h^a n j j^a n i : 8

83 num estado n qualquer h n j ^H j n i h n j ~ n j n i ~ n h n j j n i ~ n : (53) (onde supusemos que n está normalizado). Se a energia é positiva deve haver um estado de energia fundamental, i.e., um estado cuja energia que não possa ser reduzida. Podemos chamar este estado simbolicamente de com energia min ( n ). Mas a existência do operador ^a garante que sempre podemos baixar a energia do sistema. Ou seja, o vetor ^a teria uma energia <, a menos que (x), ou seja, ^a : sso é tudo que precisamos para caracterizar o OH. Voltando agora para os nossos operadores originais (x; ^p) temos: fazendo temos vale ^a ) p ^x + i^p m x + ~ d m dx k ~ m d dx k x ; Fácil ver que a equação acima é bem mais fácil de resolver que a nossa equação original (??). Sua solução com N uma constante (normalização). (5) x (x) N exp : k A exigência ^a, nos permite ainda determinar a energia deste estado fundamental. Partido da eq. ^H jni ~ n jni ~ ^a +^a + ~ ~ ^a + (^a ) + ~ ~ ~ 83

84 Então já temos o estado fundamentas e a sua energia (auto-valor). omo construir os outros estados n? Para isso, basta usar a propriedade (5) ^a + n n+ ) ^a + ) p ^x E ~ ( + ) ~ + ~ d p x m dx ~ (x) p x + ~ m m (x) p x N p x exp x k i^p m Da mesma forma, podemos obter todos os outros estados (não-normalizados) n n ^a + n p n (x) N x n ~ d m dx (x) As funções n assim construídas são chamadas de funções de Hermite. om autovalor E n ~ n + As funções n (x) não estão normalizadas, i.e., após a aplicação do operador ^a + n vezes, precisamos calcular N. sso pode ser simpli cado supondo que, se n é um vetor normalizado, queremos obter N e N + para que ^a n N n ^a + n N + n+ ^a n e ^a + n também já estejam normalizados. Para isso observe que ~ ^a +^a + H n E n n n ~ n + n ^a +^a n n n 84

85 om isso pela de nição de adjunto j^a n j b a [a (x)] [a (x)] dx j^a n j n b a b a b a b a [a n (x)] [a n (x)] dx [ n (x)] a + a n (x) dx [ n (x)] [n n (x)] dx [ n (x)] [ n (x)] dx n h n j j n i n jnj ^a n p n n Da mesma forma h n j ^a^a + j n i h n j + ^a +^a j n i + h n j ^a +^a j n i + n N + ^a + n p n + n+ om isso, nossa formula se torna onde N é a normalização do estado : n (x) N p p x n n ~ d m dx (x) Exercise 37 Use a integral gaussiana e ache a normalização N. e x Exercise 38 onstrua a função de Hermite 4 (x). dx p 85