Física Matemática I. November 21, Números

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1 Física Matemática I November, Motivação. Números Uma vez desenvolvida a escrita é inquestionável a importância prática de se inventar símbolos para designar as quantidades. Neste sentido surgem naturalmente os números naturais N. A necessidade de se expressar a posse ou a falta (ou ainda se você vai ganhar ou perder uma certa quantidade) faz surgir o símbolo n, com n N, e, conseqüentemente, a idéia de números inteiros. Além disso, o conceito de se dividir um objeto em n partes inteiras (onde n N) é também bastante intuitiva. Assim, é de importância prática se inventar um símbolo para resumir a expressão dados objetos e dividindo cada um deles em sete 7 eu quero pegar (ou dar) uma destas partes de cada objeto. A invenção deste símbolo me permite dizer que eu quero 7 (ou 7) do total de objetos. Surgem então os números racionais Q. Mesmo na estrutura matemática mais rigorosa os racionais são construídos a partir dos inteiros (racionais são classes de equivalência de inteiros). Mas de onde vem os chamados números reais R? Quando se coloca todas as idéias acima numa estrutura matemática rigorosa, observa-se que existem quantidades que não podem ser expressas como números racionais. Estas quantidades são chamadas de números irracionais. Mas que quantidades são estas? Apesar de geometricamente estas quantidades poderem ser construídas (e.g., pelo teorema de Pitágoras), na verdade elas não possuem respaldo no nosso mundo cotidiano. Neste sentido poderíamos dizer que os números irracionais não possuem uma utilidade prática (além da matemática pura). Entretanto, a descrição do mundo através da Física adquiriu uma so sticação matemática tão grande que os conceitos envolvidos na construção dos números reais possuem hoje conseqüências diretas nas teorias e modelos que descrevem o universo. Por exemplo, aplicando as mesmas idéias que levam aos reais, mas seguindo um caminho diferente, é possível construir um outro conjunto, diferente de R (i.e., cujos elementos têm propriedades diferentes). Além disso, é possível se fazer Física utilizando este conjunto no lugar dos reais. Uma destas possibilidades são os chamados números p-ádicos. O ponto aqui é que números são construídos pela nossa necessidade de que não exista nada que não possamos expressar. Dentro desta idéias, de onde surgem os números complexos?

2 . Teorema fundamental da álgebra Vivamos num mundo sem os complexos. Um dia, resolvendo um problema real do nosso mundo, nos deparamos com a equação 3x + : () Fácil ver que, neste nosso mundo onde só existem os reais, esta equação não possui soluções. Obviamente, a incapacidade de tratar uma expressão matemática qualquer, além de frustrante, implica numa série de limitações práticas no tratamento de problemas do mundo real. A inexistência de soluções reais da equação () é uma manifestação do fato do conjunto dos números reais não formar um corpo algebricamente fechado. Um corpo (abaixo veremos o que é um corpo) F diz-se algebricamente fechado se qualquer polinômio de uma variável de grau maior ou igual a, com coe cientes em F, tiver pelo menos uma raiz em F. Para não corrermos mais o risco de obter equações polinomiais intratáveis, de nimos então um novo conjunto maior, dos quais os R fazem parte, mas que qualquer polinômio neste novo conjunto possua soluções que também sejam elementos deste conjunto. Este processo é chamado de fechar algebricamente o conjunto. Fazendo isso com os reais, o que se obtém é precisamente o conjunto dos números complexos. Disse então que é o fecho algébrico de R. Esta característica dos números complexos é uma conseqüência do Teorema fundamental da álgebra. Theorem Qualquer polinômio p(z), z, com coe cientes complexos e de grau n tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado e, portanto, tal como qualquer outro corpo algebricamente fechado, a equação p(z) possui n soluções não necessariamente distintas..3 Teorema da identidade O teorema da identidade (identity theorem) para funções holomór cas (funções de variáveis complexas diferenciáveis) estabelece que: Theorem Dada duas funções holomór cas f e g de nidas num aberto (conexo) D, se f g em alguma vizinhança de z contida em D, então f g em D. Assim, uma função holomór ca está completamente determinada uma vez conhecido seu valor numa vizinhança arbitrariamente pequeno. Esta propriedade não é válida para funções reais diferenciáveis. É graças à propriedade acima que podemos tão facilmente estender uma função real para o plano complexo, por exemplo, e x e z. Além disso, a noção de diferenciabilidade é muito mais forte para funções complexas, pois a existência da diferencial de primeira ordem implica na existência das diferenciais de qualquer ordem. Assim, mostrando-se

3 que uma função complexa possui uma primeira derivada, automaticamente se mostra que ela é in nitamente diferenciável e, conseqüentemente, que ela é uma função analítica (pode ser expandida em série de Taylor). O fato de uma função possuir uma expansão em série de nida em todo seu domínio é de fundamental importância tanto em matemática quanto em física. Assim, dada uma certa função real f (x), se conseguirmos entender esta função para o plano complexo, i.e., encontrar uma função diferenciável f (z) de nida em que para Im z seja igual a f (x), esta função será única (pelo teorema da identidade) e analítica. Assim, o estudo das propriedades de funções com variáveis complexas é de fundamental importância não apenas teóricos, mas também práticos. Números complexos Assim como os reais, os números complexos foram inventados originalmente apenas por razões matemáticas. Entretanto, seu estudo posterior apresentou uma série de aplicações práticas. omecemos então com uma olhada na estrutura matemática por trás dos números complexos. Um número complexo é um mapa z : R R onde de nimos duas operações binárias (+; ) com as seguintes propriedades algébricas z i z (x i ; y i ) ; x i ; y i R ; z (x ; y ) + z (x ; y ) z (x + x ; y + y ) z + z ; z (x ; y ) z (x ; y ) z z z (x x y y ; y x + x y ) z z : hamemos o conjunto de todos os z de. Vejamos porque esta escolha de operações, aparentemente arbitrária, é tão importante. Das de nições acima é fácil ver que z (x; y) + z (; ) z (x; y) ; _x; y ; (identidade) () z + (z + z 3 ) (z + z ) + z 3 ; (associativo) (3) _ z (x ; y ) 9 z ( x ; y ) j z + z z (; ) ; (inverso) (4) z + z z + z (comutativo). (5) A existência do elemento z z(; ) () e as propriedades (3) e (4) acima fazem deste conjunto um grupo pela primeira operação binária (a soma, +).O fato da soma ser comutativa (5), faz deste um grupo abeliano. Operações que envolvem dois elementos do conjunto. 3

4 Além disso, podemos ver também que z (x; y) z (; ) z (x; y) ; _x; y ; (identidade) (6) z (z z 3 ) (z z ) z 3 ; (associativo) (7) (a inexistência do elemento inverso para z (; ) faz com que, assim como R, não seja um grupo pelo produto). A existência do elemento z(; ) (6) (identidade do produto) acima e da associatividade do produto (7), fazem deste conjunto um monóide pelo produto (um grupo é um monóide onde todos os elementos têm inversa). Um conjunto que é simultaneamente um grupo abeliano (por +), um monóide () e além disso, respeita a propriedade distributiva pela composição das duas operações z (z + z 3 ) z z + z z 3 (distributivo): (8) é chamado de um anel. A comutatividade da multiplicação (z z z z ) faz deste um anel abeliano. Finalmente, todas estas propriedades, mais o fato do conjunto z (; ) formar um grupo pela multiplicação (z (; ) é o único elemento sem inversa pelo produto), devido às propriedades seguintes z (z z 3 ) (z z ) z 3 ; (associativo) _ z (x ; y ) ; x + y 6 9 z x x + ; y y x + y j zz z (; ) ; fazem deste anel abeliano um corpo. É pelo fato de ser um corpo que podemos fazer com z tudo que fazemos com os números reais. Assim, polinômios estão bem de nidos, bem como as séries in nitas. Destarte podemos de nir funções trigonométricas, exponenciais etc. E, o mais importante, podemos procurar pelo inverso de todas estas funções.. Realização ou representação de Vamos começar de nindo o seguinte símbolo para nos referirmos aos elementos de : z (x; y) x + iy ; x; y R ; onde x é chamado parte real de z (x Re z) e y parte imaginária (y Im z). É importante ter em mente que a quantidade acima é apenas um símbolo, não representando nenhuma soma, ou qualquer coisa parecida. 4

5 Para efetivamente trabalharmos (manipularmos) este símbolo, precisamos encontrar uma de nição baseada em entidades que já saibamos trabalhar. Ou seja, precisamos realizar esta quantidade em algum espaço conhecido. Vejamos três possibilidades para esta realização... Representação matricial Podemos de nir o símbolo introduzido acima como uma matriz x y z (x; y) x + iy y x ; e especi carmos que a soma e o produto deste símbolo respeita a álgebra usual de matrizes. Exercise 3 Veri que que o símbolo assim de nido obedece às propriedades de soma e multiplicação de nidas na seção anterior. Agora que temos uma representação concreta para o nosso símbolo, podemos efetuar cálculos completos. Por exemplo, para z i, podemos calcular e z e i e i exp " # n X n X () n n n + n + () n + () ::: observando que temos e i ; 3 () () X ( ) n () n + X ( ) n () n+ (n) (n + ) n n cos + sin + i i z (; ) : ; ::: + ::: 5

6 Da mesma forma e i + i z (; ) : Observe que o símbolo da igualdade acima não tem o mesmo signi cado (apesar de compartilhar as mesmas propriedades) do símbolo R como elemento dos reais. Mais especi camente, o nosso aqui é uma matriz. De forma geral, usando a notação introduzida acima, e i conhecida como fórmula de Euler. cos () + Exercise 4 Podemos escrever e z+z e z e z? sin () cos () + i sin () (9) De forma geral, " # e x+iy e x cos y + sin y e x cos y sin y e x (cos y + i sin y) : () sin y cos y Exercise 5 Obtenha a relação acima. Remark 6 Os resultados obtidos numa certa representação são válidos em qualquer representação... Representação algébrica Outra forma de se representar um elemento de (talvez a mais conhecida) é a rmar que a quantidade x + iy respeita a álgebra usual dos reais (i.e., passamos a considerar este símbolo como uma soma usual) acrescida da seguinte de nição i:i : Exercise 7 Veri que que esta de nição reproduz as operações de soma e produto de nidas na seção anterior. A veri cação da compatibilidade desta de nição com a anterior é imediata i:i + :i : 6

7 ..3 Representação geométrica Uma terceira forma de se representar os elementos de é a rmar que estes são pontos no plano x y e identi car a operação de soma com a álgebra (usual) dos vetores que partem da origem até o ponto x; y. Neste caso é conveniente utilizar a representação polar deste ponto z ^xr cos + ^yr sin ; r x + y ; y x tan : Neste caso costuma-se ainda introduzir a notação ^y i ; ^x ) z r (cos + i sin ) : Usando o resultado (9), que deve ser válido em qualquer representação, temos z r (cos + i sin ) re i ; r; R : Nesta notação r é a magnitude (ou módulo, ou valor absoluto) de z (r jzj) e a fase ou argumento ( arg z). Partindo das de nições é fácil ver que jzj r (Re z) + (Im z) : A operação de múltimplicação de dois números z r e i e z r e i é identi cada como o aumento da magnitude de z por um fator r seguido de uma rotação deste vetor de um ângulo. O que, na representação polar, possui uma forma bastante simples z z r e i r e i r r e i(+) : Exercise 8 Veri que que a introdução dos símbolos acima é compatível com a representação algébrica, i.e., veri que que na representação geométrica i:i. Exercise 9 Use a representação geométrica para mostrar a desigualdade triangular jz + z j jz j + jz j : 7

8 As vezes é importante usar a representação polar fora da origem z z exp (i) ) z exp (i) + z ou seja, z são pontos com coordenadas polares e com relação a z. Exercise Desenhe no plano x y os pontos jz + ij : Remark Todas as representações apresentadas são, obviamente, equivalentes. A utilização de uma certa representação depende apenas das conveniências do problema...4 Extração de raízes Vejamos agora como funciona uma determinada operação em. O ponto é que, apesar de podemos fazer em tudo que fazemos em R, os resultados que obtemos são bem diferentes. Por exemplo, vamos extrair a raiz n-ésima de um número complexo z ( np z ou z n ). Isso equivale a encontrar z tal que: (z ) n z : Este problema é mais facilmente tratado na representação polar z r (cos + i sin ) z r (cos + i sin ) Ou seja, dados r e (reais) precisamos encontrar números reais r e tais que r (cos + i sin ) r n (cos + i sin ) n Usando a fórmula de Euler (9) temos (cos + i sin ) n e i n e in cos (n ) + i sin (n ) conhecido como teorema de De Moivre. om isso nossa igualdade toma a forma r (cos + i sin ) r n (cos (n ) + i sin (n )) 8

9 que pode ser resolvida fazendo (pois e r são parâmetros independentes) r r n ) r np r n k ; k N ) n k n Agora, para n k (ou n mk com m N) temos n + o que representa o mesmo ponto. Então, existem n valores de k k ; ; :::; n que representam pontos distintos e satisfazem a nossa igualdade. Assim, para z 6, a expressão np z z n possui n raízes z n z np r cos + k + i sin + k n n Exercise alcule 3p, com. Resp. ; k ; ; ::; n : cos + i sin ) r ; 3 cos k k + i sin ; k ; ; 3 3 z cos + i sin 3 3 z cos 3 + i sin 3 z cos i sin 4 3 Observe que para R; 3p. Remark 3 Antes de efetuarmos qualquer operação com uma quantidade (um número), precisamos especi- car a qual conjunto esta quantidade pertence.. Funções Uma função W (z) : de uma variável complexa é também um número complexo, cuja parte real U Re W e imaginária V Im W dependem, na nossa representação geométrica, da posição de z no plano x y. Usando as notações introduzidas anteriormente escrevemos W (z) U (x; y) + iv (x; y) : 9

10 Podemos escolher duas diferentes representações grá cas para W. A primeira é representar U (x; y) e V (x; y) como superfícies sobre o plano complexo x y. Esta representação, que é útil em certas ocasiões, possui o inconveniente de não explicitar a relação das duas funções U e V como elementos de. Outra possibilidade é representar o próprio número complexo W como um ponto no plano U V. Neste último caso, a função W (z) fornece um mapa (R R ) do plano z x y no plano W U V e, para cada ponto no plano z, corresponde um (ou, como veremos, mais de um) valor ponto no plano W. Exemplo: onjugação complexa: W (z) z (x; y) z (x; y) x + iy x iy A representação grá ca do mapa R R é a re exão dos pontos em relação ao eixo x. omo pode ser veri cado pela de nição, esta operação respeita as propriedades z + z z + z z z z z z + z Re z z z Im z Além disso, pelas de nições na seção da representação geométrica, temos z:z x + y jzj ) jzj z:z A noção de norma nos permite escrever desigualdades do tipo jz j > jz j ; i.e., z são todos os pontos mais distântes da origem que z. Mas a rmações como z > z não fazem

11 sentido algum (a menos, é claro, que Im z Im z ). Exercise 4 Mostre que jz z j jz j jz j :

12 .. Funções multivalentes Vejamos agora uma função um pouco mais complicada, W (z) z (x + iy) x y + ixy r e i ; U x y ; V xy : O semi-circulo no plano z é mapeado num círculo no plano W e a linha x é mapeada na parábola 4U 4 V. Exercise 5 O que acontece com um circulo de raio R centrado em (a; b)? Rint: use a equação do circulo em coordenadas polares r ar cos br sin R a b : Esta gura foi retirada do livro Mathematical Methods of Physics, J. Mathews, R.L. Walker (nd. Edition Addison Wesley, 97)

13 Exercise 6 Estude a função z. Para motivar a discussão a seguir, considere a seguinte questão: Exercise 7 Onde está o problema na seguinte demonstração p p e i e i e i??? Antes de responder esta pergunta, voltemos ao estudo das características de z. No exemplo W (z) z os pontos z e z são mapeados no mesmo ponto W. O principal problema desta característica é que isto implica em problemas na de nição do mapa inverso W (z) z p re i : Uma vez que na função acima z arg z (arg W ) W ; os pontos z e z +, que representam os mesmos pontos no plano z, são dois pontos distintos W e W +. Ou seja, o para inverso W z não é monovalente. A rigor o conceito de função se refere apenas a mapas monovalentes. Entretanto, isso ocorre com tanta freqüência para mapas complexo que usamos um certo abuso de linguagem e dizemos que W z (a partir daqui chamaremos W simplesmente de W ) é uma função multivalente. Obviamente, como tal coisa não existe nos reais, precisamos desenvolver certas ferramentas para tratar este tipo de função. Uma curva fechada no plano z que circule a origem ( z ) não retornará para o mesmo ponto no plano W. De outra forma, qualquer curva fechada que circule a origem no plano z não gera uma curva fechada no plano W. Um ponto com esta característica é chamado ponto de rami cação. Por exemplo, a função W p z a tem um ponto de rami cação em a. Neste exemplo, na verdade, estamos falando mais especi camente de um ponto de rami cação algébrica. 3

14 Figure : Esta gura foi retirada do livro Mathematical Methods of Physics, J. Mathews, R.L. Walker (nd. Edition Addison Wesley, 97) Assim as funções multivalentes estarão bem de nidas apenas se não circularmos um ponto de rami cação. Para garantir isso, traçamos no plano z uma linha deste ponto até o in nito, chamada linha de rami cação (ou corte de rami cação) e, ao trabalharmos com a função, concordamos em nunca cruzar esta linha. No caso da rami cação na origem é conveniente tomar como linha de rami cação o semi-eixo real positivo ou negativo. O plano z cortado desta forma é chamado uma folha de Riemann da função em consideração. Esta folha é mapeada de forma unívoca numa parte do plano W chamada de ramo da função. No nosso caso de W z a metade deste plano. A outra metade do plano W (o outro ramo da função) também é mapeada em todo o plano z. Podemos evitar o problema da multivalência do mapa (ou da função ) dizendo que existem várias cópias (ou folhas) do plano z assim cortado e, ao cruzar a linha de rami cação, passamos de uma folha para outra. As curvas se comportam como se estas folhas fossem ligadas na linha de rami cação (Figura). As folhas assim ligadas formam uma superfície de Riemann S. Esta superfície mapeia sem ambiguidade todo o plano W, i.e., W : S é uma função legítima (monovalente). Agora uma curva fechada no plano W é também uma curva fechada na superfície de Riemann S. Então, quando escrevemos W (z) z, precisamos ser bem claros se estamos falando de W : ou W : S. Estas são duas funções diferentes. A segunda possui uma inversa (raiz quadrada), enquanto a primeira não. 4

15 Voltando agora ao problema da nossa prova. O problema está em que, quando escrevemos p estamos falando de um ramo (e, consequentemente, de uma especí ca folha de Riemann) da função z. Mais especi camente, o valor desta função no ponto z (; ). Se dermos agora uma volta completa até o ponto z (; ) estaremos cruzando uma linha de rami cação (independente de onde ela esteja) e, conseqüentemente, passaremos para uma outra folha de Riemann. Ou seja, quando nos movemos na superfície de Riemann S (onde z está bem de nida como função) saímos do ponto z e i e chegamos num outro ponto z e i, com z z em z, mas com z 6 z em z S e, consequentemente, W (z ) 6 W (z ). O erro da nossa demonstração foi considerar W (z ) W (z ) e com isso a rmar que p e i? p e i )? : Resumindo: a função W z está de nida com z S que são duas cópias do plano z e possui dois ramos. No primeiro ramo (de nido no primeiro plano z) temos W (e i ) p, já no segundo ramo (segundo plano z) W (e i ) p. Sempre que falamos no valor de uma função multivalente, não basta dar a forma da função, mas precisamos também dizer de qual ramo estamos falando. om o desenvolvimento do curso vamos ver algumas aplicações (e implicações) práticas das de nições acima. O número de folhas ligadas de ne a ordem do ponto de rami cação. Outras raizes (r n e in ) podem ser descritas da mesma forma. A função W (z) z 3 necessita de 3 folhas e tem a origem como ponto de rami cação de ordem 3. No caso de funções com mais de um ponto de rami cação, por exemplo, W (z) p (z a) (z b) ; temos diferentes formas de traçar a linha de rami cação. Na função acima podemos construir duas linhas partindo uma de a e outras de b até o in nito, ou podemos traçar apenas uma linha de a até b. A forma das superfícies de Riemann dependem desta escolha. Exemplo: Para resolver o problema de Kepler (da forma das órbitas) usando variáveis de ângulo ação temos de resolver a integral r me + mk r Este problema, resolvido por Sommerfeld, envolve uma integral complexa com dois pontos de rami cação. Esta descrição mostra que, apesar de todos os benefícios vindos da extensão das funções para o plano complexo, este procedimento não é uma tarefa trivial nem mesmo para um caso simples como x. L r dr 5

16 .3 Diferenciação Para uma função f : R R ser diferenciável num ponto x R, os seguintes limites f (x) lim dx f (x + dx) dx f (x) ; devem existir e serem iguais. Por exemplo, a função f (x) x jxj ; não tem o limite lim x f (x) de nido no ponto x. Outro exemplo, a função (contínua) f (x) jxj não é diferenciável em x, porque f ( + dx) f () f ( + dx) f () lim ; lim : dx+ dx dx dx O mesmo critério pode ser usado para se analisar a diferenciabilidade de uma função complexa. Precisamos assim analisar o limite lim f (z) u ; w; z; u : zw A única diferença entre este limite e o conceito usual na reta real e que, sendo w um ponto no plano (f : R R ), existem várias formas diferentes de se aproximar do ponto w. Um problema semelhante ao que ocorre em uma dimensão, onde os limites pela direita e pela esquerda podem ser diferentes. Quando isso ocorre dizemos que este limite não existe. Da mesma forma, se o limite para w depender do caminho escolhido no plano, dizemos que o limite não existe. Uma função f é diferenciável num ponto z se existir o limite f (z) lim dz f (z + dz) dz f (z) df dz () e este for independente do caminho pelo qual z + dz se aproxima de z. Uma função é analítica 3 (regular ou holomór ca) numa região E se for diferenciável nesta região. Remark 8 Praticamente toda a teoria de funções de uma variável complexa se aplica apenas a funções analíticas. 3 Para funções reais o termo analítica numa região signi ca que a função é igual a sua série de Taylor nesta região. 6

17 Exemplo: a função f (z) jzj. Precisamos analisar jz + dzj dz jzj (z + dz) (z + dz) zz dz zdz + zdz + dzdz dz z dz + z + dz : dz zz + zdz + zdz + dzdz zz dz z dz dz dz + z + dz dz dz dz Fazendo dz pelo eixo real dz dx dz df dz z dx + z + dx z + z : dx Fazendo dz pelo eixo imaginário dz idy dz df dz z ( idy) idy + z + dz z + z : Para ser diferenciável devemos ter z + z z + z ) z z : Esta função só pode ser difereciável em z. O que é verdade, porque neste ponto df dz dz + + dz dz ; z dz independente do caminho. Assim, f (z) jzj é diferenciável apenas no ponto z e não é analítica em nenhuma região. Remark 9 Funções são analíticas em regiões. Remark Da seção anterior temos que a região de regularidade de uma função multivalente deve ser de nida numa superfície de Riemann. Pode-se provar 4 que se uma função f (z) possui uma derivada numa região, esta derivada é necessariamente contínua. Assim, uma função f (z) sempre pode ser expandida numa série de Taylor em torno de um ponto z numa região onde esta função é analítica f (z) a + a (z z ) + ::: + a n (z z ) n ; a f (z ) ; a n n f (n) (z ) : () O raio de convergência desta expansão é um circulo cujo raio se estende até o ponto onde a função é singular, 4 Veja, e.g., Konrad Knopp, Theory of Functions, Parts I. 7

18 i.e., um ponto onde a função deixa de ser analítica. O contrário também é verdade, qualquer série de potência convergente numa região representa uma função analítica nesta região..3. Equações diferenciais de auchy-riemann Se uma função W (z) U (x; y)+iv (x; y) é analítica e fazemos dz dx+idy em () podemos fazer dz pela horizontal (dy ) ou pela vertical (dx ). Se a função é analítica devemos obter o mesmo limite () para estas duas variações de dz, dw dz dw dz dx dx @x i dy dz ; dx dz ; dy dz ) @x ; (3) se usarmos agora a nossa representação matricial de W W (z) U @y U V V @y o @x : (4) Estas são as equações diferenciais de auchy-riemann (R) e fornecem condições necessárias e su cientes para uma função W U +iv ser analítica numa região, desde que as quatro derivadas parciais existam e sejam contínuas. De outra forma, as condições de R são necessárias, mas não su cientes, para estabelecer a diferenciabilidade da função. omo mapas de R R estas funções são diferenciáveis se as derivadas parciais existirem e forem contínuas, mas como mapas de, estes mapas, além de serem contínuos, precisam satisfazer as condições de R. É muito importante compreender o signi cado das igualdades acima. omo vimos anteriormente, toda função complexa pode ser vista como um mapa de R R. Existe uma in nidade de mapas que são diferenciáveis como funções reais (todas as derivadas parciais acima existem), mas que não satisfazem as 8

19 relações acima. Estes mapas não são funções complexas diferenciáveis. Para que exista a derivada de uma função complexa (e ser chamada de diferenciável) esta função tem de obedecer as equações de auchy- Riemann. Está é uma restrição bastante forte e implica que funções reais diferenciáveis não serão necessariamente funções complexas diferenciáveis. 9

20 Exemplo: f (z) jzj x + y ) U x + y as funções U e V acima são diferenciáveis (como funções reais) em qualquer ponto. Mas as condições de ) y ; ) x ; Que só são satisfeitas na origem x y. Vemos (novamente) que a função f (z) jzj só é diferenciável no sentido complexo (f : ) na origem, mesmo que, como uma função de R R, U e V sejam diferenciáveis em todos os pontos. Assim, se a derivada de uma função W U + iv existe num ponto z (as derivadas parciais de U e V existem neste ponto) e obedecem a condição de R, então a derivada W pode ser calculada como (3) W (z ) dw @ (U + @x + : (5) Ou, usando @y : (6) Remark Dada uma função complexa diferenciável, valem também as regras usuais de diferenciação de somas e produtos de funções. Todos os argumentos usados para demonstrar estas regras para funções reais continuam válidos. Exercise Veri que se e onde é diferenciável a função: W z. Resp: z (x + iy) (x + iy) x y + ixy U x y ; x Esta função é diferenciável em todos os pontos e, consequentemente, analítica em qualquer região. Exercise 3 A conjugação complexa z (ou z ) de um número z de nida por z x + iy ) z z x iy re i

21 Veri que se e onde é diferenciável a função: W z. Exercise 4 Veri que se e onde é diferenciável a função: W jzj zz. Resp: U x + y x esta função só pode ser diferenciável na origem. Para veri car se esta função é realmente diferenciável na origem, precisamos veri car se as derivadas parciais são contínuas. O que de fato é verdade. Então, a função acima é diferenciável na origem. Mas esta função não é analítica em nenhuma região. omo vimos, a última função é uma função real perfeitamente diferenciável. omo um mapa R em W U + iv x + y, U x + y ; V ambas as funções são perfeitamente diferenciáveis. Assim, a condição de diferenciação complexa é algo mais forte que a diferenciação real. Se uma função f : derivada complexa desta função existe e é dada por R satisfaz as equações de R e as derivadas parciais existem e são contínuas, a f (z) U (x; y) + iv (x; y) ) + : Exercise 5 Mostre que, em coordenadas polares, as condições de R se ; r e que a derivada de uma função pode ser calculada como: + Resp: Veja o livro do hurchil pg (cos i sin + De nition 6 Se f : possui diferencial complexa em todos os pontos num aberto centrado em z, dizemos que f é analítica, ou holomór ca, em z. : De nition 7 Uma função f : de. é dita inteira (entire function) se for analítica em qualquer ponto De nition 8 Uma função f : possui uma singularidade no ponto z se ela não for analítica neste ponto. Isto inclui o caso em que f não está de nida em z. Proposition 9 Se f e g são funções analíticas num domínio E então:. f + g é analítica em E

22 . f g é analítica em E 3. wf é analítica em E para todo w complexo ou real 4. fg é analítica em E 5. fg é analítica em E exceto nos zeros de g. Proposition 3 Se f; g : são funções analíticas, então a composta f g : é analítica. Exercise 3 Veri que que se f (z) e f (z) são ambas analíticas numa região D, então f é constante em D. Resp: pg 73 hurchill.

23 3 Funções harmônicas omo vimos, a característica de uma função ser diferenciável complexa é uma restrição bastante forte nesta função (bem mais forte que diferenciabilidade real). Estas condições estão relacionadas com a equação de Laplace. Por exemplo, a distribuição de calor num corpo u obedece r u no regime estacionário (@u@t ) em duas dimensões temos a equação (7). A equação de difusão do calor e a equação de onda, no caso estacionário se reduz a equação de Laplace. omo veremos nos exemplos a seguir, esta equação possui uma in nidade de aplicações, em especial, no eletromagnetismo e na dinâmica dos uidos. Uma função H : R n R é chamada harmônica num certo domínio D se suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas em D e H satisfaz a equação diferencial nx n conhecida como equação de Laplace. No que segue, estamos interessados no caso em duas dimensões H : R R, Falar sobre unicidade da solução. H xx (x; y) + H yy (x; y) ; (7) Funções harmônicas possuem a notável propriedade de que se você traçar um círculo ao redor de um ponto, e encontrar o valor médio da função dentro deste círculo, este valor é sempre igual ao valor da função no centro deste círculo, que é igual a média do valor da função na fronteira. Desde que a função esteja de nida dentro de todo o círculo e em sua fronteira. Esta propriedade pode ser usada para resolver, de forma iterativa, o problema de Dirichlet, i.e., xada a condição na fronteira, qual o valor da função numa região. Este efeito pode ser observado numa chapa quente. Vejamos como estas funções se relacionam com as funções analíticas. Theorem 3 Se uma função f (z) u (x; y) + iv (x; y) é analítica, então as funções u e v são harmônicas. Assumindo que f é analítica em D, então nesta região ela deve obedecer às condições @x (8) 3

24 diferenciando ambos os lados destas igualdades em relação a x u u Da mesma forma, diferenciando com relação a y u u Lembrando que a continuidade da derivada parcial garante que u u v v v u u v v : Ou seja u e v são harmônicos em D. Por outro lado, se duas funções u e v são harmônicas em D e suas derivadas parciais satisfazem às condições de R, ou seja, é possível construir uma função complexa analítica u + iv com estas funções, então v é chamada de harmônica conjugada de u. Theorem 33 Uma função f (z) u (x; y) + iv (x; y) é analítica em D apenas se v é a harmônica conjugada de u. É importante notar que se v é a harmônica conjugada de u, isso não garante que u é a harmônica conjugada de v (observe que as condições de R (8) não são simétricas em u e v). Por exemplo, as funções u (x; y) x y ; v (x; y) xy : Enquanto a função é analítica. A função f u + iv z f v + iu ; não é analítica em nenhum ponto. Exercise 34 Veri que a a rmação acima. É possível mostrar (ver hurchill) que se uma função u é harmônica em D, então ela é a parte real de 4

25 alguma função analítica em D. Além disso, se a harmônica conjugada existe, ela é única a menos de uma constante aditiva. Assim, dada uma função harmônica, podemos sempre construir uma função analítica. Por exemplo, u (x; y) y 3 3x y é harmônica. Pela primeira relação de R (8) sua harmônica conjugada deve obedecer usando agora a ) 6xy ) v (x; y) 3xy 3y 3y 3x ) 3y (x) 3y 3x ) (x) 3x ) (x) x 3 + Assim v (x; y) 3xy + x 3 + é a harmônica conjugada de u e a seguinte função é analítica f (z) y 3 3x y + i 3xy + x 3 + : Utilizando as propriedades das funções analíticas é possível concluir uma série de propriedades para as funções harmônicas quando estas são conjugadas. Por exemplo, se f é analítica então f u + iv ) f u v + i (uv) também será. Assim o produto e a diferença do quadrado de duas funções harmônicas conjugadas também são funções harmônicas. Remark 35 O produto de duas funções harmônicas não é em geral uma função harmônica. Remark 36 Toda solução da eq. de Laplace pode ser expandida em série de potências numa região sem singularidades. (Soluções são tabeladas) Encontrar soluções da equação de Laplace (e de equações diferenciais em geral) não é uma tarefa trivial. Por isso as soluções conhecidas são compiladas em tabelas que possam ser consultadas por quem deseje resolver um determinado problema prático. aracterísticas e o método de construção da conjugada descrito acima permite, a partir do conhecimento de uma solução, construir um par de soluções conjugadas e, consequentemente, encontrar vários outros elementos para compor estas tabelas. 5

26 Remark 37 Se f : R é harmônica e g : é analítica então f g é harmônica. Dizemos que mapas analíticos preservam soluções da equação de Laplace, ou que a equação de Laplace é invariante por transformações analíticas. 3. ampos irrotacionais de divergência nula Uma grande quantidade de problemas em física envolve a presença de campos conservativos, i.e., campos cujo trabalho necessário para se movimentar sob sua ação independe do caminho seguido. Por exemplo, o movimento de uma massa num campo gravitacional, ou de uma carga num campo elétrico constante (r Estes campos são irrotacionais. Se estes campos não possuírem fontes ou sorvedouros (e.g., num campo elétrico estamos tratando uma região sem cargas r:e " ) eles também possuem a sua divergência nula. Por exemplo, um uido newtoniano incompressível de viscosidade constante é descrito pela seguinte particularização da equação de + v:rv rp + r v ; no caso estacionário onde não há nenhum tipo de aceleração (@v@t + v:rv ) e não há gradiente de pressão (rp ) temos a equação de Laplace para as componentes de v. A incompressibilidade implica ainda r:v, e se não houver rodamoinhos no uído r v. 6

27 onsideremos então campo vetorial num plano, que pode ser tanto um problema de mecânica dos uidos, como de eletromagnetismo, onde o uido poderia ser o campo elétrico. Podemos descrever este campo vetorial como V (x; y) u (x; y) ^x + w (x; y) ^y : Se este uído é irrotacional (um campo conservativo ou um uído sem rodamoinhos) r V y @y (9) Se não houver nenhuma fonte ou sorvedouro do nosso uído (sem cargas, ou um uido incompressível), então sua divergência também será nula r V (x; @x () Assim, a função f V u iw obedece as condições de R (9) e (). Assim, se V descreve um campo irrotacional sem fontes nem sorvedouros, então a função f V : é diferenciável. Além disso, se as derivadas parciais de V forem contínuas, f será uma função analítica. Ademais temos que as componentes de f são funções harmônicas. pois Lembrando que um campo irrotacional sempre pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, V (x; y) r ^x + ^y ) (onde para trocarmos as derivadas precisamos que : R escrever V (x; y) r (x; y) f @x : R tenha derivadas parciais contínuas) podemos Lembrando a expressão @y : 7

28 que obtivemos anteriormente temos F u + iv ) F i i ) Re F () Vemos que, nas condições acima, a função é a parte real da antiderivada de f. Este resultado também é bastante útil. Example 38 Por exemplo, vamos encontrar o potencial que gera o campo (o encontro de rios) V (x; y) x^x y^y ) V x iy f V x + iy (x + iy) f (z) z Fácil que f é analítica (veri que). Assim V descreve um campo irrotacional sem fontes nem sorvedouros que, consequentemente, pode ser descrito por um escalar. Observando que F z ) F z f Do fato de F ser também analítica e usando a relação () temos Re F x y : E determinamos assim o potencial que gera o nosso campo conservativo. O estudo da equação de Laplace, ou o estudo das funções harmônicas, é chamado de teoria dos potenciais. 8

29 Remark 39 Toda função analítica corresponde a um campo irrotacional de divergência nula. Um uido incompressível sem rodamoinhos, um campo elétrico sem cargas etc. 4 Integral omo f : pode ser vista como composta por um par de funções R R (mais algumas propriedades) é natural supor que, assim como ocorre na diferenciação, o conceito de integral de uma função complexa também se relacione com a integral de funções no plano. Observe que, a princípio, poderíamos tentar de nir a integral de uma função complexa como a integral da parte imaginária e real, i.e., como a integral de duas funções no plano f (z) dz? (U (x; y) + iv (x; y)) dx dy U (x; y) dx dy + i V (x; y) dx dy ; () ou seja, a integral de uma função complexa seria uma integral de área. Mas, neste caso, a integral da função f (z) z seria x dx dy + i f (z) z (x + iy) y dx dy x dx dy + i y dy dx yx + ixy : Mas observe que desta forma a derivada desta "primitiva" F yx + ixy não corresponde a cuja derivada complexa de novamente f (z), pois yx + ixy 6 z ; d dz z z Ou seja, a de nição () não corresponde a uma operação inversa a nossa de nição de diferenciação. Este é um argumento de porque não de nimos a integral desta forma. Nós queremos ter, também para funções complexas, um análogo do teorema fundamental do cálculo. Além disso, lembrando da nossa representação grá ca dos números complexos, temos que dz dx + idy pode ser visto como um vetor in nitesimal no plano x; y, ou seja, se comporta como dr ^{dx + ^ dy. Todos estes argumentos indicam que a de nição de integral que queremos não se relaciona com integrais de áreas, mas sim com integrais de curvas. omo vimos acima, o conceito de limite no plano complexo deve levar em conta que temos vários caminhos possíveis para nos aproximarmos do ponto em questão. Da mesma forma, o conceito de integrar entre dois pontos, possui a mesma questão de qual caminho percorremos para chegar de um ponto a outro. problema também existe na integral de linha de funções no plano. acontece neste último caso. Este Assim, vamos primeiro rever o que 9

30 4. Teorema de Green Um campo vetorial num plano é uma função que a cada ponto deste plano associa um vetor. Tal campo pode ser usado, por exemplo, para descrever o comportamento de um uido, um campo eletromagnético etc. Um dos grandes interesses no estudo de problemas práticos é saber qual o trabalho realizado para se mover neste campo vetorial. Por exemplo, queremos mover uma carga elétrica por um campo elétrico, ou uma massa num campo gravitacional, ou ainda um barco por um rio. Em todos estes casos, o trabalho realizado será: W F:dr (3) onde, num plano, F (x; y) U (x; y)^{ + V (x; y) ^ é o campo vetorial (neste caso a força) e dr ^{dx + ^ dy um elemento de deslocamento na trajetória. Em geral este trabalho depende, não apenas do caminho, mas também do sentido que este caminho é seguido. Exemplo: Vamos calcular a integral de linha do campo F (3x y) i + (x + 5y) j sobre a circunferência unitária. Este caminho pode ser parametrizado como 3

31 x cos t ; y sin t ; t ; onde está relacionado com a velocidade que percorremos a curva. Assim W F:dr (U (x; y) dx + V (x; y) dy) x x (t) ; y y (t) ) dx dx dy dt ; dy W dx dt sin t ; (3x y) dx dt dy dt dt + (x + 5y) dy dt cos t dt dt dt ; W ((3 cos t sin t) ( sin t) + (cos t + 5 sin t) ( cos t)) dt ( (3 cos t sin t) sin t + (cos t + 5 sin t) cos t) dt 3 cos t sin t + sin t + cos t + 5 sin t cos t dt (( 3 + 5) sin t cos t + ) dt sin t cos tdt + sin t dt + sin t dt + : dt cos t ( sin t cos t + ) dt sin t cos tdt + Observe como o valor calculado não depende de, a velocidade com que percorremos a curva. Vamos calcular a integral (3) para um campo F arbitrário, mas para um caminho especí co, por exemplo, um retângulo: (; ) (a; ) (a; b) (; b) (; ) + 3

32 W F:dr (U (x; y)^{ + V (x; y) ^ ) : (^{dx + ^ dy) (U (x; y) dx + V (x; y) dy) : Na primeira parte do caminho (; ) (a; ) ; dr ^{dx ) dy : (a;) W j (a;) (;) (U (x; y) dx + V (x; y) dy) (;) Enquanto na segunda parte (a; ) (a; b) ; dr ^ dy ) dx Da mesma forma (a;b) W j (a;b) (a;) (U (x; y) dx + V (x; y) dy) (a;) a b U (x; ) dx V (a; y) dy W j (;b) (a;b) W j (;) (;b) a b U (x; y) dx V (x; y) dy a b U (x; b) dx V (; y) dy (o sinal de menos vem do fato do percurso ser na direção em que x e y diminuem). O trabalho total é a soma 3

33 do trabalho de cada parte: W W j (a;) (;) + W j(a;b) (a;) + W j(;b) (a;b) + W j(;) (;b) a [U (x; ) U (x; b)] dx + b [V (a; y) V (; y)] dy (4) Um ponto importante é que cada uma das integrais acima é uma integral ordinária em apenas uma variável. Assim, no cálculo de qualquer das integrais acima a função integrada pode ser tratada como uma função de uma única variável. Assim, podemos fazer, por exemplo: U (x; y) f x (y) ) f x (y) df x (y) dy ) b f x (y) dy f x (b) f x () f x (y) df x dy lim dy* f x (y + dy) dy f (y) U (x; y + dy) U (x; y) dy* Da mesma forma b Substituindo em (4) temos f x (y) dy f x (b) f x () ) a dx V (a; y) V dy U (x; b) U (x; W a b a dy @x b dx Assim, para o nosso caminho quadrado W F:dr (U (x; y) dx + V (x; y) da Suponha agora que o nosso quadrado tenha sido dividido, por exemplo, por uma linha vertical no ponto x h < a e calculamos o trabalho para percorrer cada um dos dois quadrados: W W (h;) (;) + W (h;b) (h;) + W (;b) (h;b) + W (;) (;b) W W (a;) (h;) + W (a;b) (a;) + W (h;b) (a;b) + W (h;) (h;b) 33

34 onde W (h;b) (h;) W (h;) (h;b) b b V (h; y) dy V (h; y) dy b V (h; y) dy W (h;b) (h;) Então W + W W (h;) (;) + W (;b) (h;b) + W (;) (;b) + W (a;) (h;) + W (a;b) (a;) + W (h;b) (a;b) Agora observamos que W (h;) (;) + W (a;) (h;) h W (h;b) (a;b) + W (;b) (h;b) W (;b) (a;b) U (x; ) dx + a h U (x; ) dx a U (x; ) dx W (a;) (;) Assim W + W W j (a;) (;) + W j(a;b) (a;) + W j(;b) (a;b) + W j(;) (;b) W Ou seja, não importa que divisão façamos no nosso quadrado todas as contribuições das partes internas irão se cancelar (porque são percorridas na ordem inversa) e sobrará apenas as bordas. Assim, para uma superfície fechada qualquer, podemos subdividi-la em quadrados, somar todas as contribuições dos quadrados e o que teremos será a integral de linha nas bordas da região interna do caminho. É importante notar que qualquer buraco na nossa área, i.e., regiões que não pertencem ao domínio das funções geraram bordas e contribuirão para a integral. Assim, de forma geral, para um caminho fechado que encerre uma superfície simplesmente conexa (sem 34

35 buracos) temos: I I F:dr (U (x; y) dx + V (x; y) da (5) Este é o teorema de Green e permite, através do cálculo de integrais de áreas, que não envolve produtos vetoriais, calcular uma integral de linha. Exemplo: Vamos voltar ao nosso exemplo anterior I F:dr R F (3x y) i + (x + 5y) j U (3x y) ; V (x @y Este teorema também permite ver que, @U ) F:dr ; R [ + ] da R da : para qualquer curva fechada. Ou seja, F é um campo conservativo. Veja que esta expressão concorda com (9) que obtivemos porque F é um campo gradiente. Se F é um campo conservativo temos F:dr para A e B os limites de. Assim dy F:dr B A rf:dr f (B) f ^y : (^{dx + ^ dy) ; df f (B) f (A) ; é uma generalização do Teorema Fundamental do álculo para funções de várias variáveis. omo veremos a seguir, todo o material desenvolvido acima está intimamente ligado com o cálculo de integrais de funções complexas. 4. Integrais complexas Dos resultados anteriores, sabemos que integrais complexas estão intimamente ligadas às integrais de campos vetoriais. Assim, se quisermos obter uma generalização do teorema fundamental do cálculo, assim como () é 35

36 esta generalização para funções no plano, devemos interpretar nossas integrais complexas como integrais de linha. No caso de funções complexas, estas integrais de linha são chamadas de integrais de caminhos. Agora, se tratarmos a integral f (z) dz como uma integral de linha sobre uma curva no plano complexo, podemos, assim como na integral de linha de funções reais, parametrizar esta curva por um parâmetro t qualquer e escrever (t) x (t) + iy (t) ) dx dx dy dt _xdt ; dy dt _ydt dt dt f (z) dz f (x (t) + iy (t)) ( _x + i _y) dt f (z (t)) _z dt Usando as de nições e os resultados acima podemos calcular a integral de funções complexas no plano complexo Exemplo: vamos integrar f (z) z de até i por duas linhas retas de e i linha reta z dz z dz + z dz ; : ; : i Parametrizando por z x + iy temos z dz (x iy) (dx + idy) + (x x dx + + : y dy iy) (dx + idy) E ao longo do arco z dz e i z () _z d ie i d i d i Do resultado acima vemos que a integral, em geral depende do caminho de integração. Exemplo : Vamos integrar a nossa função f (z) z como uma integral de linha, por exemplo, do 36

37 ponto ao ponto + i por uma linha reta f (z) dz E por duas linhas retas e ( + i) x y ) x t ; y t ) _x _y (t + it) ( + i) dt ( + i) tdt ( + i) t f (z) dz x dx + (x + iy) (dx + idy) + +i ( + iy) (idy) x dx + (idy) + i x dx + idy i : idy y dy ( + i) i (x + iy) (dx + idy) y (idy) Repetindo este processo in nitas vezes podemos ver que, neste caso, a integral não depende do caminho. Observe também que neste caso, se assumirmos que a integral é uma antiderivada, temos z dz z +i ( + i) i : Então neste caso, e isso pode ser veri cado para qualquer pontos iniciais e nais, nossa de nição concorda com a idéia de antiderivação. 4.3 Integrais de funções analíticas Vamos agora usar a nossa de nição de integral complexa como uma integral de linha, temos f u + iv ) f (z) dz (6) (u + iv) (dx + idy) (u dx v dy) + i (u dy + v dx) A existência da integral acima depende da existência da integral de u e v e, assim como no caso dos campos, a curva deve ser lisa por partes. Lembrando que é um caminho sobre o plano complexo, i.e., o plano x; y, cada uma das duas integrais 37

38 acima é da forma (u (x; y) dx + v (x; y) dy) ou seja, temos duas integrais de caminho (reais) para os campos vetoriais F u^x v^y ; F v^x + u^y Se a curva for uma curva fechada, podemos então agora usar o teorema de Green (5) para calcular I F :dr I F :dr R da Usando agora as relações de @v ) F :dr ) F @u @v @y R Assim, o teorema de Green para funções no R, as condições de R e a nossa de nição das integrais complexas como integrais de linha no plano complexo, garantem que cada um dos termos em (6) é zero. De outra forma, se f é uma função analítica num domínio E a integral sobre qualquer curva fechada em E, lisa por pedaços (uma exigência para que a integral dos campos esteja bem de nida), então I f (z) dz : (7) Este é o teorema de auchy-goursat. Remark 4 Obviamente o resultado acima já era esperado, uma vez que funções analíticas são campos conservativos e, para tais campos, a integral por um circuito fechado é zero. O ponto aqui é que, para se obter o resultado (7), passamos de uma integral de linha para uma integral de área. Ou seja, este resultado só é válido se a nossa função for analítica em toda a área no interior da curva fechada. De outra forma, mesmo que a função seja analítica em todas as regiões em torno do caminho de integração, se ela for singular num único ponto dentro da região, não podemos mais usar os resultados acima. omo conseqüência, a integral de f de um ponto z até um ponto z depende apenas dos pontos e 38

39 independe do caminho f (z) dz z z f (z) dz : Na verdade, já sabíamos deste fato, uma vez que funções analíticas são campos irrotacionais (conservativos). Obviamente toda a discussão acima depende do fato da função ser analítica e, consequentemente, não possuir singularidades na região em consideração. Em geral a integral de uma curva fechada que envolva uma singularidade não será igual a zero. Remark 4 Para funções não analíticas, temos de calcular uma integral de linha e o resultado irá, no geral, depender da curva e não só dos extremos. 39

40 4.4 Antiderivada Voltemos ao cálculo da integral através da parametrização f (z) dz com o que temos (t) x (t) + iy (t) ) dx dx dt f (z) dz dy dt _xdt ; dy dt _ydt dt f (x (t) + iy (t)) ( _x + i _y) dt f (z (t)) _z dt Vamos primeiro supor que os pontos iniciais e nais estão sobre o eixo dos reais. Para o caso de caminhos também sobre o eixo dos reais (d y ) a integral acima é da forma R f (z (t)) _z dt b a w (t) dt ; a; b R : Onde w é uma função complexa, mas com argumentos reais, w : R domínio de f sobre o eixo real.. Ou seja, w é uma restrição do Vamos ver o que acontece com a integral da função w (z (t)) w (t) u + iv. Onde, como estamos caminhando apenas no eixo real, u u (x) e v v (x) são funções reais de uma única variável real, u; v : R R. Assim, usando o teorema fundamental do cálculo para funções reais temos b a w (t) dt b a (u + iv) dt b a u dt + i U (t)j b a + i V (t)jb a W (t)jb a ; b a v dt onde Da expressão acima vemos que U du dt u ; V dv dt v ; W U + iv b a w (t) dt W (t)j b a ; W w ; (8) onde, obviamente, a mesma parametrização z (t) deve ser usada para w e W. O resultado acima diz que: Remark 4 Para funções complexas com argumentos reais, temos uma generalização do teorema fundamental do cálculo. Obviamente, assim como no caso de integrais reais, a função deve estar bem de nida em todo o eixo real. 4

41 Exemplo: calcular 4 e it dt ie it 4 p + i p O resultado acima pode ser usado para se de nir a integral inde nida de uma função complexa, sua primitiva ou a antiderivada. dependerá dos pontos iniciais e nal de integração. Obviamente, se estamos procurando uma primitiva de uma função, esta só analíticas. Assim, vamos procurar primitivas apenas de funções analíticas. Se f é analítica, sabemos que para qualquer caminho temos z z f (z) dz E, como vimos, isto só está garantido para funções f (z (t)) ( _x + i _y) dt com z () z e z () z terá o mesmo valor. Usando (8) temos então existe uma função F tal que b a w (t) dt W (t)j b a ; W w f ( _x + i _y) dt F j ; F f ( _x + i _y) f _z (onde é a derivada pelo parâmetro real) mas para qualquer função F (z (t)) F (z) df dz _z f _z ) df dz f : Assim, se para uma função analítica f de nirmos um caminho qualquer z (t) ; t [; ] F (z) z f (z (t)) dz f (z (t)) ( _x + i _y ) dt com z (t ) e z (t ) z teremos F f e podemos dizer que F é a antiderivada de f. A de nição acima é independente da parametrização (desde que z () z). Observe que isso só é possível porque f é analítica e, consequentemente, a integral só depende dos extremos do caminho. O resultado acima é o nosso teorema fundamental do cálculo complexo para funções analíticas. Do nosso estudo de derivadas é fácil ver que, assim como no caso de funções reais F está de nida a 4

42 menos de uma constante. Exemplo: A utilização da antiderivada é, no cálculo de integrais, idêntico ao cálculo nos reais +i z z 3 dz 3 +i ( + i)3 3 (i ) : Integrais de contorno Vamos agora integrar a função f (z) z num caminho que seja um circulo de raio unitário começando e terminando em. Podemos parametrizar o circulo fazendo como no circulo zz z e it ) dz dt ieit z dz e z dz it dz dt dt z dz z zz dz z zz dz e it ie it dt i e it ie it dt i e it dz dt dt dt i : dt i : Diferente de zero. Porque f não é analítica em todos os pontos dentro do contorno. Exercise 43 Veri que os pontos onde z é analítica. Suponha agora um outro círculo de raio R, neste caso teríamos: z dz z zz dz z R dz R z dz fazendo z R exp (it) ) dz dt ir exp (it) 4

43 Figure : Figura 3 temos z e it ) dz dt ieit z dz R z dz e it ie it dt i R R exp ( dt i : it) dz dt dt A parametrização acima mostra ainda que qualquer circulo em torno da origem daria o mesmo resultado. Observe agora que se zermos a integral pelo caminho da gura abaixo Ou seja, de A até D pelo circulo, depois de D até então de até B pela gura externa e, nalmente de B de volta para A teremos percorrido um caminho fechado que não contem nenhuma singularidade, i.e., nesta região a função é analítica. Assim, neste contorno temos I z dz Mas a integral sobre o caminho D é igual ao negativo da integral B integral na curva externa é igual a integral da curva interna. Este resultado mostra que: A e, consequentemente, a Remark 44 se f é uma função analítica com uma singularidade num ponto, qualquer integral ao redor desta 43

44 singularidade (percorrida na mesma direção), tem o mesmo valor independente da curva. Assim, para qualquer curva que circule a origem. I z dz i De nition 45 Dizemos que a função f tem um pólo no ponto w se Vamos calcular a integral lim jf (z)j z w I (z z ) n dz : num contorno que circule z. Esta função tem um pólo em z z. Mas sabemos que qualquer caminho dará o mesmo resultado. Assim, escolhemos o caminho que é um circulo unitário centrado em z, i.e., é o circulo z z + e i. om isso I (z z ) n dz z z + e i ; _z ie i i (e i ) n ie i d e in ie i d ( e i( n) i para n d para n 6 (9) Exemplo: alcule a integral com um círculo centrado na origem de raio. I z z Primeiro se veri ca-se quantas singularidades estão no interior do circuito. No caso, as duas. Depois se faz a decomposição z (z ) dz z (z + ) (z ) (z + ) + (z ) (z + ) (z + ) (z ) (z + ) (z ) + (z ) (z + ) (z ) (z ) + (z + ) 44

45 com isso, usando (9), I z z dz I (z ) + dz (z + ) I I (z ) dz + (z + ) dz [i + i] i : Exemplo: alcular f (z) z em torno do círculo de raio unitário e em torno do quadrado i. Em torno do círculo temos Ao redor do quadrado Num caso i no outro 8i. Resumindo: e i z + ti ) z ti ) z t i ) z t + i ) ie i d i d i ( ti) i dt i (( + ti) i) dt i (t + i) dt i ( t i) i dt i Integrais de funções não analíticas devem ser calculadas em todos os pontos da curva. Integrais de funções inteiras (analíticas em todo o plano complexo) sobre domínios fechados são zero. Integrais de funções inteiras não depende do caminho (podemos escolher de acordo com a conveniência). Integrais de funções analíticas com singularidades podem ser calculadas por qualquer caminho que não contorne a singularidade Integrais fechadas de funções analíticas que envolvem singularidades só precisam ser calculadas ao redor dos pontos de singularidade. uidados especiais com funções multivalentes: Exemplo: uso da antiderivada no cálculo da integral de funções multivalentes. Vamos calcular a integral da função f (z) p z do ponto até eixo real, e i ;. através de um semi-circulo acima do 45

46 omo vimos anteriormente, esta função possui vários ramos. Apesar de todos estes ramos possuírem a mesma forma funcional, seus domínios de de nição são diferentes para cada corte escolhido. Por exemplo, suponha que se escolheu o seguinte corte: f (z) [z (r; )] p r exp (i) ; r > ; < < Neste corte não podemos efetuar a integral pelo método da anti-derivada, porque a função não é analítica no caminho (não podemos de nir a derivada, porque não podemos nos aproximar do ponto por qualquer caminho sem cruzar a linha de corte) este ramo não é analítico, não está de nido, em z ). Podemos resolver este problema fazendo o corte em outro lugar. Por exemplo, fazendo o corte f (z) [z (r; )] p r exp (i) ; r > ; < < 3 Neste caso, como nosso caminho não cruza a linha de corte e, conseqüentemente, o ramo escolhido é analítico em todo o percurso, podemos calcular F 3 z3 ) F z z dz 3 3 z3 exp r; r; 3 i pr 3 exp 3 i 3 exp 3 i 3 [ i ] ( + i) 3 Qualquer caminho acima do eixo real pode ser calculado da mesma maneira. r; r; exp () Agora, se quisermos efetuar o mesmo cálculo por um caminho que liga o mesmo ponto, mas passa pela parte abaixo do eixo real, devemos escolher um novo ramo da função. Por exemplo, podemos fazer o corte em f 3 (z) [z (r; )] p r exp (i) ; r > ; < < 5 observe que não está no domínio desta função. 46

47 F 3 z3 ) F z r; z dz 3 z3 pr 3 exp r; 3 i 3 exp 3 i 3 3 exp i 3 exp 3 i exp (3i) 3 [ i ( )] 3 [ i] r; Observe que, mesmo tendo a mesma forma funcional, o resultado é diferente. r; exp 3 i 4.6 A formula integral de auchy Se f é uma função analítica num domínio E pelos resultados acima temos que para qualquer caminho uma singularidade). I f (z) z w dz que não contorne o ponto z w (pois f é analítica, mas o integrando tem Vamos imaginar uma curva como a da gura com w no centro do círculo interno (observe que há um circulo interno que circunda a singularidade, mas há o caminho externo que não circunda). O ponto crucial é que o cálculo da integral na gura, por qualquer caminho, independe do tamanho (raio) do círculo interno. Isso signi ca que, se é o circulo interno, que circunda a singularidade em w, esta integral terá o mesmo valor para qualquer círculo, em especial (a seguir eu usei o símbolo? do círculo tende a zero) I f (z) z w I f (z) dz lim? z w Mas como f é analítica, quando o círculo tente ao ponto z w temos lim f (z) f (w) z w para indicar que o diâmetro dz : (3) para qualquer caminho do limite (lembrando que para funções analíticas o limite acima não depende do caminho). Assim temos I f (z) lim? z w Usamos agora a integral de contorno (9) e calculamos I dz f (w) z w dz : 47

48 I z w dz i Retornando este resultado em (3) temos I f (z) z w dz I f (z) lim? z w f (w) i I dz f (w) z w dz ou ainda f (w) I f (z) i z w dz (3) onde lembramos que é qualquer curva que circunde a singularidade (i.e., que circunde w). Esta é a fórmula integral de auchy. A fórmula acima mostra a característica bastante peculiar das funções analíticas de que seu valor numa certa região é totalmente determinado pelo valor nas bordas desta região. Assim, uma vez de nido as condições da função na fronteira, não há mais nenhuma liberdade na de nição dos seus valores internos. Ou ainda, qualquer alteração em qualquer ponto da fronteira, altera todos os demais valores da função. Este comportamento pode ser visto, por exemplo, no estado de equilíbrio de uma chapa aquecida, onde o valor da temperatura nos pontos da borda da chapa determina seu valor em toda a chapa (lembrando que a parte real e imaginária de uma função analítica obedece, cada uma, a equação de Laplace). Exemplo de aplicação: alcule a integral I z (9 z ) (z + i) dz onde o caminho é um circulo de raio (jzj ) centrado no ponto z ter uma singularidade no interior do caminho, observe que a função i. Solução: Apesar do integrando f (z) z (9 z ) é analítica em toda a região de interesse. Assim, podemos usar a fórmula integral de auchy para escrever f ( i) I z i (9 z ) I z (9 z ) (z + i) dz ( i) ) 9 ( i) (z + i) dz i ( i) 9 ( i) 5 : 48

49 4.7 Derivadas de funções analíticas Vamos voltar à integral I f (z) z w dz para uma curva que circunda a singularidade w. Vamos agora parametrizar esta curva por z (t), t [; ], com isso I f (z) z w dz f (z (t)) z (t) w Usando agora a fórmula integral de auchy (3) temos _z dt : f (w) f (z (t)) i z (t) w _z (t) dt : Vamos calcular agora a derivada da função f (w) d f (w) f (w) dw i d dw f (z (t)) z (t) w _z dt : Observe que a quantidade dentro do sinal de integral pode ser considerada como uma função de w e t. Usando agora a regra de Leibniz (que garante que, para integrais reais, nós podemos diferenciar através do sinal de integral) temos f f (z (t)) z (t) w (observe que a integral é uma função apenas de w mas o integrando é uma função de w e t por isso, quando _z dt entra na integral a derivada total vira uma derivada parcial). Efetuando agora a diferenciação f (w) i Repetindo este procedimento n vezes temos que I f (z) _z dt (z w) i f (n) (w) n I i f (z) n+ dz ; (z w) : f (z) (z w) dz : esta é a fórmula de auchy para as derivadas. Do resultado acima temos o importante: Theorem 46 Se f é uma função analítica numa região E ; e é uma curva simples (cujo percurso não se cruza) fechada em E, então para um ponto z dentro da curva, a n-ésima derivada de f existe e é dada por f (n) (z ) n I i f (z) n+ dz : (3) (z z ) 49

50 Este resultado garante que, se a função é analítica, além de ser diferenciável (como já sabíamos), ela pode ser in nitamente diferenciável. Lembrando que uma função f é analítica em z se, e somente se, existe uma vizinhança deste ponto onde a derivada de f existe em cada ponto desta vizinhança, temos que todas as derivadas também serão funções analíticas em E. Pois a derivada estará de nida para todos os pontos z dentro do contorno e f (n+) existe em todos os pontos de E, então f (n) é analítica em E. A existência de todas estas derivadas garante que podemos expandir uma função analítica em série de Taylor (que é a de nição de funções analíticas para funções de variáveis reais). O resultado acima é mais uma diferença gritante entre funções reais diferenciáveis e funções complexas diferenciáveis. (Obviamente, se uma função real possui uma derivada de ordem n isso não garante a existência da derivada de ordem n + e, conseqüentemente, a função pode não ser expansível em série de Taylor.) omo corolário do teorema acima temos: orollary 47 Se u : R R é uma função harmônica, então ela possui derivadas de todas as ordens, e cada uma destas derivadas também são funções harmônicas, pois se f u + iv é analítica, e portanto contínua, segue + e, portanto as derivadas de u e v também são contínuas e assim sucessivamente para as demais derivadas. Existe também uma versão inversa do teorema de auchy-goursat. Theorem 48 Se f u + iv é dada por funções u e v contínuas numa região e satisfaz a condição I f (z) dz ; para qualquer contorno fechado, então f é analítica nesta região. Este é o teorema de Morera. Os resultados acima são essenciais para o estudo de série de potências de funções analíticas. exemplos de aplicação destes resultados serão dados diretamente no desenvolvimento das seções seguintes. Assim, 5 Séries de Taylor A decomposição em série de funções possui uma in nidade de aplicações práticas, por exemplo, para se estimar o valor de certas funções (quando se pressiona o botão seno da calculadora o que ela faz é calcular a série do seno até uma certa ordem e assim em todos os cálculos numéricos). Para funções complexas, além desta aplicação prática, uma série de outras propriedades das funções (além do seu valor) podem ser obtidas pela sua expansão em série de potências. Para funções complexas, se f (z) é uma função in nitamente diferenciável num ponto z, então (como no caso de funções reais) de nimos sua 5

51 série de Taylor em torno de um ponto z como onde f f e. X k f (k) (z ) k (z z ) k Observe que, para funções reais, em geral esta série não é igual a f. Por exemplo a função f (x) (, para x : e exp x, para x > Esta função é in nitamente diferenciável em qualquer ponto x e todas as derivadas são zero na origem. Assim, a série de Taylor desta função em torno da origem calculada no ponto vale, o que, obviamente é bem diferente de f () e e e. Além disso, uma série de Taylor pode não convergir. E do exemplo acima vemos que, mesmo que ela convirja, pode convergir para algo que não se relaciona com a nossa função. De forma geral, a questão da convergência desta série é um ponto bastante intrincado. Entretanto, como veremos, esta questão se torna muito mais simples quando nos restringimos apenas a funções analíticas. Se f (z) é uma função analítica numa região E interior a um círculo centrado em z, para qualquer ponto em z E podemos usar a formula integral de auchy (3) para escrever f (z) I f (z ) i z z dz onde é um caminho fechado interior a E que tomaremos como um círculo de raio r. Vamos tomar dentro de E de sorte que possamos traçar um novo circulo maior que. 5

52 Observe agora que mas para qualquer complexo com 6 temos z z (z z ) (z z ) (z z ) z z (33) z z Para ver isso, multiplique ambos os lados por ( ) ::: + n + n ( ) ::: + n + n ::: + n + + ::: + n + n + n n + n Assim, podemos escrever (33) como " z z z + z z n z z z z + ::: + z z + z z z z z z z z z n # multiplicando por f (z ) temos f (z ) z z f (z ) z z + f (z ) (z z ) (z z ) + ::: + f (z ) (z z ) n (z z ) n f (z ) + (z z ) (z z ) n z z (z z ) n z z f (z ) z z + f (z ) (z z ) (z z ) + ::: + f (z ) (z z ) n (z z ) n + f (z ) (z z ) n (z z) (z z ) n Dividindo cada termo por i e integrando ao longo de temos I f (z ) i z z dz I f (z ) dz + i z z i +::: + i Usando agora a fórmula de auchy para a derivada (3) temos que I I f (z ) (z z ) (z z ) dz + f (z ) (z z) (z z ) n (z z ) n dz (34) I f (z ) i (z z ) k+ dz k f (k) (z ) 5

53 Podemos então escrever (34) como onde f (z) f (z ) + f (z ) (z z ) + ::: + f (n ) (z ) (n ) R n (z z ) n i I f (z ) (z z) (z z ) n dz : (z z ) n + R n (35) Vamos chamar de r o raio da nossa curva. Pegando agora um ponto z dentro da curva e um ponto z na curva, i.e., jz z j r e jz z j r < r. om isso temos jz zj j~r ~rj r r (lembre que z é o caminho sobre o circulo de raio r ). jr n j jz z j n I f (z ) (z z) (z z ) n dz I rn f (z ) (z z) (z z ) n dz I rn jf (z )j jz zj jz z j n jdz j rn rn r (r ) n jf (z )j j~r ~rj (r ) n r d jf (z )j j~r ~rj d (lembre-se que a integral de é uma soma de vetores que é sempre menor que a soma dos módulos). temos Lembrando que jf (z )j j~r ~rj d Voltando na expressão de jr n j temos jz zj j~r ~rj r r jr n j rn r (r ) n r jf (z )j r r d r r r jf (z ())j d jf (z ())j d Agora, se M max (jf (z )j) ; z E ou seja, M é o valor máximo do módulo de f (jf (z )j M ; z E), este valor existe porque f é analítica em E. 53

54 Podemos escrever om isso temos Mas como temos jf (z ())j d jr n j rn r r n M d M M (r r) r n M r ; r r r < r lim R n : n r d M (lembre-se que se uma seqüência converge em módulo ela converge). Assim, quando n tende a in nito o limite da soma dos n termos do segundo membro da igualdade (35) converge e podemos escrever f (z) f (z ) + X n a n (z z ) n ; a n f (n) (z) n Lembrando agora que o circulo que traçamos é um circulo qualquer dentro do circulo maior, temos como resultado que: quando f é analítica no interior do circulo a convergência da sua série de Taylor está garantida. De outra forma, a convergência da série de Taylor em torno de um ponto z de uma função analítica está garantida até o primeiro ponto de singularidade da função (i.e., onde a função deixa de ser zz analítica). Este é o raio de convergência da série de Taylor de uma função analítica. Para o caso especial em que z esta série é chamada de série de Maclaurin f (z) f () + X n f (n) () z n : n Exemplo : Vamos desenvolver a série de Maclaurin da função f (z) e z Veri que que f é inteira (exercício). Para esta função temos f (n) () Assim, temos e z + X n z n n para jzj < : Diferente do que ocorre para funções complexas, para o caso de funções reais devemos provar a convergên- 54

55 cia da série de Taylor para toda a região de interesse e, mais ainda, veri car que a série converge para a função de interesse. Entretanto, os resultados obtidos aqui permitem obter estes resultados diretamente dos resultados obtidos para funções complexa. Por exemplo, no exemplo acima nossa função é inteira e, conseqüentemente, a série está de nida e converge para a função em todo o espaço. Em especial nos pontos sobre o eixo real. om isso temos que e x + X n O mesmo sendo verdade para qualquer função inteira. Exemplo : f (z) f () a série de Maclaurin vale x n n ; _x R : " # + z ; f () ( + z) z " # " # ( + z) 3 ; f (n) () ( ) n n ( + z) n+ z + z X ( ) n z n n Observe que o raio de convergência desta série é jzj <. Exemplo 3: Vamos agora calcular a série de Maclaurin da função calculando as derivadas temos e a série toma a forma f (n) (z) f z n ( z) n+ ) f (n) () n f (z) X f (n) () z n ) n z X cujo raio de convergência vale jzj < (até o ponto de singularidade z ). Manipulação de séries: Exemplo: alcule a série de Maclaurin da função f + z para jzj < : n z n z ( ) n n : 55

56 Vamos usar aqui a importante característica de que a série, se existir, é única. Diferente do exemplo anterior, o ponto de singularidade desta função é z. Entretanto, como jzj j zj os pontos de interesse também estão no raio de convergência do exemplo anterior. De outra forma, podemos usar a expansão anterior para os pontos para calcular f ( z) f (z) ; f (z) + z X X z n ) f ( z) ( z) n + z f ; n n X ( ) n z n ; jzj < : n ontinuando com o exemplo, podemos fazer a substituição z z + no raio de convergência da série acima z z tanto na série quanto + z + z X ( ) n z n ; jzj < ) n z X n n ( ) n z z ; < Temos assim a série de Taylor em torno do ponto z da função f 3 (z) z. Observe que a função se torna singular em z que é até onde vai o raio de convergência. 5. Serie de Laurent Vamos calcular a série para a função Para isso, vamos escrever esta função na forma f (z) + z z 3 + z 5 : f (z) + z z 3 + z + z + z 3 + z z + z 3 + z z3 + z Esta função não pode ser expandida em torno de z. Mas o segundo membro dentro dos parênteses pode, + z X ( ) n z n ; jzj < ) + (z ) X ( ) n z n ; jzj < n n 56

57 Então, nos pontos jzj <, onde a série acima está de nida, e para o ponto z 6 onde z 3 também está de nido tempos z 3 + z z 3 X ( ) n z n n z 3 + z z 4 + z 6 + ::: z 3 + z < jzj < z + z 3 + ::: Assim, apesar de ter uma singularidade na origem nós conseguimos expandir a função em série na região entre dois círculos concêntricos jzj > e jzj <. Esta é uma série (num anel) em torno de um ponto singular z. Diferente das séries de Taylor, a série acima contém potências negativas de z. Ou seja, Remark 49 é possível tomar em conta a singularidade da função se adicionarmos a série potências negativas do termo de expansão. Uma série de potências com potências negativas é chamada de série de Laurent. Se a função f é analítica na região entre os círculos r < jz integral de auchy (3) f (z) I f (z I ) f (z ) i z z dz i z z dz : 57 z j < r da gura, temos pela fórmula

58 Tratemos agora cada uma das integrais acima. 5.. A primeira integral Esta integral pode ser tratada exatamente como no caso da série de Taylor. Fazendo e usando z z (z z ) (z z ) z z z z z z temos onde z z z z ) f (z ) i z z dz z z z z NX n (z z ) n (z z ) n + (z z ) N (z z ) N (z z) f (z ) i z z dz f (z ) i z z z z dz z z " n # f (z X (z z ) k ) i z z (z z ) k + (z z n ) (z z ) n (z dz z) nx m a n a m (z z ) m + R n k f (z ) i (z z ) n+ dz ; n ; ; :::: R n (z z ) n i f (z ) (z z) (z z ) n dz : Tanto os coe cientes a n quanto R N são os mesmos obtidos para a série de Taylor. E sabemos que lim n jr n j. 5.. Segunda integral fazemos Lembrando que para obter usamos que n lim jr r M r nj lim : n n r r r r r < 58

59 este procedimento não funciona para o circulo, pois, neste caso r > r. Assim, para a segunda integral, devemos seguir um outro caminho. Fazendo z z (z z ) (z z ) (z z ) z z z z (onde colocamos em evidência (z z ) e não (z z ), como antes) usando, novamente, temos assim mudando para k m z z z z ) n X k + n n z z X k n z z X m k z z z z nx k (z z ) k (z z ) k + (z z ) k (z z ) k+ + (z z ) (z z ) m (z z ) m + (z z ) (z z ) n (z z ) n (z z ) (z z ) n (z z ) n (z z ) n (z z ) n com o que, a segunda integral ca, I f (z ) i z z dz I i I i nx i m I + i nx k z " n X I m z f (z ) dz (z z ) m (z z ) m + (z z ) (z z ) m f (z ) dz (z z ) m (z z ) b k (z z ) k + Q n (z z ) n (z z ) n f (z ) dz # (z z ) n (z z ) n f (z ) dz 59

60 onde b n Q n (z z ) n f (z ) dz f (z ) i i (z n+ dz z ) I (z n z ) i (z z ) n (z z ) f (z ) dz Fazendo jz z j r ; jz z j r, jz zj j~r ~r j r r jq n j (z n z ) jz z j n (z z ) f (z ) dz jz n z j r n jz z jf (z )j jdz j j (r ) n r n jf (z )j r d r r r n (r ) n r jf (z )j d r r De nindo temos e, consequentemente, omo agora temos om isso temos N max (jf (z)j) jq n j jf (z )j d N r n r Nr r r r < r < r ) r r < ; lim jq nj : n f (z) a n b n X X a n (z z ) n b n + (z z ) n n i i I n f (z ) (z n+ dz z ) I f (z ) (z n+ dz z ) Além disso, sendo a função analítica em todo o domínio r < jz podemos usar o teorema de auchy (7) e mostrar que I I I z j < r então, com a devida orientação, 6

61 onde é qualquer caminho na região anular onde a função é analítica. Temos então o teorema: Theorem 5 Se f é analítica na região entre os círculos de raio r e de raio r, ambos centrados em z então em cada ponto z da região r < jz z j < r, f (z) é representada por uma série convergente de potências positivas e negativas de (z z ), f (z) a n b n X X a n (z z ) n b n + (z z ) n n i i I I f (z ) n n+ dz (z z ) f (z ) (z z ) n+ dz (36) onde é qualquer caminho simples fechado na região r < jz z j < r. Esta fórmula pode ser escrita na forma mais compacta f (z) X n A n (z z ) n ; A n I f (z ) i (z z ) n+ dz : (37) É importante observar que, mesmo no caso dos coe cientes dos termos positivos a n, não podemos mais identi car as integrais com as derivadas da função (usando a fórmula (3)) porque a função não é mais analítica no interior da curva fechada. Assim, no caso geral, os coe cientes devem ser calculados com as técnicas de integração já desenvolvidas. Entretanto, como veremos, estes coe cientes raramente precisam ser calculados explicitamente. Se a função é analítica em todos os pontos (incluindo z ) b n I f (z ) i (z z ) n+ dz ; n > porque não há singularidade no integrando. Além disso, como neste caso f é analítica em todos os pontos no interior de, podemos novamente usar a fórmula integral de auchy para as derivadas nos coe cientes a n. Assim, neste caso, voltamos a ter a série de Taylor. Exemplo: Encontrar a série de Laurent em torno de z da função f (z) ez z ; jzj > Neste caso, como a função é analítica para todo z 6 o circulo é in nito. Para encontrar a série procurada precisamos apenas lembrar que a série de Laurent também é única. Assim, se encontrarmos uma expansão em série (qualquer uma) que seja igual a nossa função na região de interesse, então esta é a nossa série. 6

62 Usando a série de Maclaurin da exponencial temos e z X n (que é válida em todo o espaço) basta observar agora que, para qualquer ponto z 6 a seguinte série converge z X n z n n X n z n n z n n z + z + + z 3 + z 4 + ::: como esta série é convergente na região de interesse e, nesta região, ela é igual a nossa função, então esta é a série procurada. Remark 5 A nossa série começa com o coe ciente b (e não de ). Você poderia obter o resultado acima usando a de nição (36) através de um caminho qualquer em torno de z e da parametrização deste caminho. Neste caso você encontraria b n ( f (z ) i (z z ) n+ dz ; n 6 ; n Isso sempre funciona. Entretanto, o método descrito acima é o que usamos na prática. Exemplo: Encontre a série de Laurent em torno de z da função f (z ) ; jzj < : Esta expressão já está na forma da série (37) com A e todos os outro A n. 6

63 Exemplo: Obter a série de Laurent que represente a função na região < jzj < : f z ( z) Esta função possui singularidades, então podemos achar sua representação em série em cada uma destas regiões, < jzj < ; Observando que ( jzj >. Estamos interessados na primeira região. z) não é singular em z, portanto podemos escrever a série de MacLaurin e sabendo, é claro, que a série é convergente para jzj <. z X z n ; jzj < (38) Observando agora que, para jzj >, z também não é singular (e já tem a forma de uma série de Laurent). Temos que o produto das séries X z z n X z n z + z + + z + z + ::: < jzj < converge na região de interesse e é a série procurada Exemplo: O mesmo do item anterior na região jzj >. Nesta região a série (38) obtida anteriormente não converge. Entretanto podemos escrever z z X n ) z z z X z z n ) z X n z z X ) zn+ z X n z n+ que converge na região de interesse jzj >. Assim z X é a série procurada na região jzj >. n z n+ X n z n++ X n z n+3 X n3 z n Remark 5 Se uma série converge num certo domínio interior ao círculo jz função analítica neste domínio. z j < R esta série é uma 63

64 Exemplo: Veri que se a seguinte função é inteira ( (sin z) z ; z 6 f (z) ; z A série de Maclaurin do seno vale Podemos então calcular sin z X n ( ) n z n+ (n + ) z sin z z X ( ) n z n+ (n + ) X ( ) n z n (n + ) z 3 + z4 5 + ::: n n Esta série converge em todo espaço, então ela representa uma função analítica em todo o espaço (uma função inteira). Além disso, ela é igual a nossa função em todos os pontos e, como a expansão em série é única, esta é a expansão em série da nossa função. Então a nossa função é inteira. Uma vez que isso garante que nossa função é contínua, podemos calcular O que é válido, em especial, para o eixo real. sin z lim : z z 6 Resíduos Vimos anteriormente que (pelo teorema de auchy-goursat) a integral num circuito fechado que encerra uma região onde a função é analítica vale zero I f (z) dz : Por outro lado, se a função deixa de ser analítica num ponto, a integral ao longo deste ponto não vale mais (necessariamente) zero. Mas, como vimos este valor é o mesmo para qualquer circuito que envolva o ponto (desde que este circuito não englobe outras singularidades da função). Este valor é proporcional ao chamado resíduo da função no ponto. Obviamente, conhecendo todos os resíduos de uma função, podemos calcular sua integral ao redor de qualquer circuito fechado. Um ponto singular (i.e., um ponto onde uma função deixa de ser analítica) de uma função f (z) é chamado de isolado, se f for analítica em toda uma vizinhança (por menos que seja) deste ponto. De outra forma, um ponto singular z é uma singularidade isolada se for possível encontrar um raio r onde, no círculo < jz z j < r, a função f (z) é analítica. 64

65 Remark 53 Resíduos são de nidos apenas para singularidades isoladas. Exemplo: A função f (z) z + z 3 (z + ) possui 3 singularidades isoladas nos pontos z i e z. Exemplo: A função f (z) sin z é singular em z e em z n ) z n. A singularidade z não é isolada. Pois, não importa o tamanho do raio r, sempre podemos achar um n su cientemente grande tal que n < r. Então, não existe uma vizinhança do ponto z que não contenha outra singularidade. Vemos então, que quando de nimos a série de Laurent em torno de uma singularidade, estávamos falando de uma singularidade isolada. Pois para uma singularidade não isolada a séria não teria raio de convergência. onde Assim, para uma singularidade isolada z, sempre podemos expandir f numa série de Laurent X X f (z) a n (z z ) n b n + (z z ) n ; < jz z j < r : n n a n I f (z ) i (z z ) n+ dz ; b n I f (z ) i (z z ) n+ dz omo vimos, as singularidades da função estão relacionadas com as potências negativas desta série, ou seja, com os coe cientes b n I f (z ) i (z z ) n+ dz ; onde é caminho fechado que circunda a singularidade z. Em especial, temos n ) b I I f (z ) dz ) f (z ) dz ib ; i ou seja, b é exatamente a integral da nossa função em torno da singularidade. O coe ciente b é chamado de resíduo da função f na singularidade isolada z, b Res zz f (z) B : Assim, o resíduo de uma função (i.e., o primeiro termo de uma série de Laurent) fornece uma ferramenta poderosa para o cálculo de integrais em contornos fechados. Exemplo: Vamos calcular a integral z (z 65 ) 4 dz

66 onde é o circulo jz j. O integrando possui duas singularidades isoladas (obviamente todo número nito de singularidades é isolado) z e z. Entretanto, apenas a singularidade z está dentro da região de integração. Vamos determinar a série do integrando em torno do ponto de interesse z (ou seja, vamos deixar todos os termos na forma (z z ) com z ) z (z ) 4 (z ) 4 + (z ) (z ) 4 + (z ) Usando temos z X z n ; jzj < n (z ) z ) z X z n n z < ) jz j < h (z ) i + (z ) X n (z ) ; n como nosso problema está dentro do limite desta série + (z ) z (z ) 4 X ( ) n n (z ) n ) n X (z ) n 4 n+ n z (z ) 4 (z ) 4 X ( ) n n (z ) n n (z ) 4 (z ) (z ) 4 (z ) + ::: o coe ciente da série que multiplica o termo (z ), i.e., o coe ciente b, vale b 4 6 i f (z ) dz i 8 : f (z ) dz Exemplo: exp z dz 66

67 onde é o círculo jzj. A singularidade (isolada) está em z. Sabendo que exp (z) X z n n ; jzj < ) exp z X n z n X n z n n esta série converge para Então a expansão em série do nosso integrando ca Quanto vale b? Remark 54 Do exemplo acima observe que mas jzj < z < ) < jzj ) < jzj exp z + z + z 4 + ::: b f (z ) dz : i I Analiticidade ) I f dz : f dz ; Analiticidade : Exceto para o caso em que f não explode dentro da região de interesse (T. de Moreira). z n. (ontorno com várias singularidades) Suponha agora que o contorno envolva uma quantidade nita (portanto isoladas) de singularidades Fazendo então uma integral na região que não engloba nenhum ponto singular, i.e., onde a função é analítica, temos I f dz X I I f dz ) n lembrando agora que, em torno de cada singularidade z n temos n f dz X n f (z ) dz Res f (z) i zz n I n f dz temos I f dz X n I n f dz i X n Res zz n f (z) : Este é o teorema dos resíduos de auchy. 67

68 Figure 3: Figura tirada do livro do hurchill. Exemplo: alcule a integral I 5z z (z ) dz onde é o círculo de raio centrado na origem, jzj. O integrando possui duas singularidades, z e z, ambas dentro da região de integração. Vamos primeiro calcular o resíduo em z, z (z ) z 5z z (z ) z (z ) X z n ; jzj < n lembre que para cálculo do resíduo o círculo em torno da singularidade pode ser quão pequeno quanto se queira. om isso, (5z ) z (z ) (5z ) X X z n (5z ) z n n X X 5 z n + z n n n m ) n (5z ) z (z ) X m m z m 5 z n X n z + X X z m 5 z n z + ( n z n 5) X z n z n 3 X n z n 68

69 Agora, para o resíduo z temos Res z f (z) B z (z ) + z (z ) z (z ) + (z ) X ( ) n z n ; jzj < ) + (z ) X ( ) n ((z )) n ; jz j < n n com isso 5z (5z ) z (z ) (z ) z (5z ) (z ) X ( ) n (z ) n n 5z 5 (z ) + 5 5z X 5 (z ) + ( ) n (z ) n z (z ) 5 5 " (z ) n X ( ) n (z ) n + n " X 5 ( ) n (z ) n + 5 n X ( ) n (z ) n + 3 (z ) + ::: n # X ( ) n (z ) n 5 n # X ( ) n (z ) n 5 n Pelo teorema dos resíduos I Res z f (z) 3 B f dz i X Res f (z) i (B + B ) zz n n i ( + 3) i Exemplo (continuação): No exemplo acima, podemos também desenvolver uma única série de Laurent 69

70 em torno da origem, mas que seja válida para r >, 5z z (z ) z 5z z (z ) Logo o resíduo vale z 5z z X z n ; jzj < ) z X n ; z z z < ) jzj > n z n X (5z ) (5z z n+ ) z + (5z ) z 3 + ::: n B 5 ) 5z z (z ) dz i5 i : 6..3 Integrais de funções da forma g (z) (z z ) m Para integrais da forma (com g analítica em z ) onde circunda a singularidade z temos I g (z) (z z ) b I g (z) i (z z ) dz : dz (39) Mas se g é analítica em z e o raio de for pequeno o su ciente, podemos usar a fórmula integral de auchy para escrever de onde temos g (z ) I g (z) dz i z z Ou seja, o resíduo é o próprio valor de g calculada em z. Exemplo: Vamos voltar para a integral b I g (z) i (z z ) dz g (z ) : (4) I 5z z (z ) dz 7

71 onde é o círculo de raio centrado na origem, jzj. Usando uma decomposição em frações parciais: 5z z (z ) (A + B) z A z (z ) A z + B A (z ) + Bz (z ) z (z ) ) A ; B 3 temos 5z z (z ) I z + 3 (z ) ) I I 5z z (z ) dz z dz + 3 (z ) dz ada uma das integrais acima é da forma (39) em torno das singularidades z e z I I z dz 3 (z ) dz Usando a fórmula (4) e o teorema dos resíduos 5z z (z ) I I g (z) dz ; g (z) z g (z) dz ; g (z) 3 z dz i ( + 3) i : Observe que poderíamos, anteriormente, ter usado o resultado acima. Pois as duas funções no integrando já estão na forma de sua série de Laurent onde vigora apenas o coe ciente b. Exemplo: I exp z z dz + onde é o círculo de raio centrado na origem, jzj. As singularidades estão em z i, ambas dentro do caminho. Observando que z i são as raízes do denominador do integrando, podemos escrever z + (z + i) (z i) Se quisermos então calcular o resíduo em torno do ponto z i fazemos exp z z + dz exp z (z + i) (z i) dz onde é um caminho (pequeno o su ciente para não englobar z i) esta integral é da forma (39) exp z (z + i) (z i) dz g (z) (z i) dz ; g (z) exp z (z + i) 7

72 observe que g (z) é analítica dentro do caminho de integração. Assim o resíduo vale Da mesma forma, para o resíduo em z i, B g (z i) exp i i exp z (z i) (z + i) dz i i : g (z) (z + i) dz ; g (z) exp z (z i) B g (z i) exp i i i i onde é um caminho (pequeno o su ciente para não englobar z i). Pelo teorema dos resíduos exp (z) z + dz i + i Remark 55 O procedimento acima pode ser usado para o cálculo de resíduos da forma f (z) (z n f (z) analítica nas raízes do denominador. z ), com Vamos tentar generalizar este resultado para a integral de funções na forma f (z) g (z) (z z ) m com g (z) analítica em z e g (z ) 6. omo g é analítica na região de interesse ela pode ser decomposta em série de Taylor em torno do ponto z (onde f é singular) g (z) X n g (n) (z ) n (z z ) n : Numa região arbitrariamente próxima de z a seguinte série converge (z z ) m X n g (n) (z ) n (z z ) n X n g (n) (z ) n (z z ) n m ; < jz z j < " Então, nesta região, este é o desenvolvimento em série de Laurent da função f o coe ciente b desta série 7

73 (i.e., o termo que multiplica (z z )) vale com isso X n g (n) (z ) n Este resultado, juntamente com (4) mostra que k n m ) k + m n X (z z ) n m g (k +m) (z ) (k + m) (z z ) k k m k ) g(m ) (z ) (m ) b g(m ) (z ) (m ) ( g (z) g (z ) ; m Res zz (z z ) m g (m ) (z ) (m ) ; m (4) para g (z) analítica em z e g (z ) 6. Exemplo: Encontre o resíduo da função f (z) z3 + z (z i) 3 g (z) (z i) 3 ; g (z) z3 + z Esta função tem uma singularidade em z i. Neste ponto g é analítica e g (i) 6 então b g(3 ) (z i) (3 ) g (z) 3z + ; g (z) 3 b 3 : [g (z)] zi 6. Razões de funções analíticas Para o cálculo do resíduo de funções na forma f (z) p (z) q (z) ; com p e q funções analíticas num ponto z e q (z ) (i.e., z é um ponto singular de f) podemos proceder como no caso anterior. Assim, usando o fato das funções serem analíticas em z podemos expandi-las em série de Taylor e tomar a razão (aqui estamos usando o fato de que se q (z) é analítica e q (z ), então 73

74 existe uma vizinhança em torno de z tal que q (z) 6 para jz hurchill Sec. 65) z j < ", ou q (z) é uma constante, veja, e.g., p (z) q (z) p (z ) + p (z ) (z z ) + ::: (q (z ) ) + q (z ) (z z ) + q (z ) (z z ) + ::: p (z ) + p (z ) (z z ) + ::: (z z ) q (z ) + q ; < jz z j < " (z ) (z z ) + ::: Agora, se q (z ) 6 a expressão entre colchetes está de nida também em z, assim se de nirmos g (z) (z z ) p (z) q (z) p (z ) + p (z ) (z z ) + ::: q (z ) + q (z ) (z z ) + ::: (4) a função g será analítica em z, alem disso g (z) (z z ) p (z) q (z) (z z ) f (z) ; ou ainda f (z) g (z) (z z ) ; com g (z) analítica em z. Usando agora o resultado (4) temos e, voltando a série (4) temos f (z) g (z) g (z) ) Resf (z) Res (z z ) zz zz (z z ) g (z ) g (z ) p (z ) + p (z ) (z z ) + ::: q (z ) + q (z ) (z z ) p (z ) q (z ) : oncluindo, se p (z) e q (z) são analíticas em z com q (z ) e q (z ) 6, então Exemplo: alcule os resíduos da função p (z) Res zz q (z) p (z ) q (z ) : f (z) cos z sin z As funções seno e cossenos são inteiras. As singularidades de f estão nos pontos sin z ) z n 74

75 n (exercício: mostre isso). Além disso, para cada um destes pontos d d sin z cos z ) dz dz sin z ( ) n 6 zz n Então nossos resíduos são cos z Res zz n sin z cos z n : cos z n 75

76 Figure 4: Figura tirada do livro do hurchill 6. aminhos que englobam todas as singularidades Os resultados acima podem ser simpli cados quando o caminho engloba todas as singularidades da função. Lembre-se que a integral pode ser calculada através do primeiro termo da série de Laurent. O que queremos aqui é desenvolver um método para que possamos usar os resultados acima (as técnicas para calcular os resíduos), para o caso de caminhos que envolvam todas as singularidades. Se a função f (z) é analítica em toda uma região fora da curva fechada da gura, podemos então traçar um círculo, de raio R e centrado em z, sendo a função analítica na região entre e, a integral por ambos os caminhos é a mesma. f (z) dz f (z) dz : Agora, na região exterior a a função é analítica e, portanto, pode ser expandida numa série de Laurent f (z) A n X n i I A n z n ; R < jzj < f (z) dz (43) zn+ Onde é qualquer círculo de raio R > R. Pois, como a função é analítica nesta região, a integral por ambos os caminhos tem o mesmo valor. 76

77 omo no caso anterior, o coe ciente A fornece A I f (z) dz (44) i Entretanto, como a função engloba várias singularidades, este coe ciente não é mais o resíduo da função. Em especial, não podemos diminuir o círculo em torno de nenhuma das singularidades sem alterarmos o valor da integral. Lembre-se que o resíduo era a característica de um ponto e, sendo a função analítica em torno deste ponto, podíamos usar um caminho de raio arbitrariamente pequeno. Além disso, resíduos só estão de nidos para singularidades isoladas. Ou seja, para que o coe ciente A sejá o resíduo de uma função, é necessário que o domínio de validade da expansão seja algo como < jz z j < r, pois assim podemos garantir que a singularidade em z z é uma singularidade isolada. Assim, obviamente o desenvolvimento em série acima (uma vez efetuado) permite calcular o valor da integral, mas para usarmos os resultados anteriores, precisamos transformar este coe ciente num resíduo, i.e., uma integral em torno de uma singularidade isolada. Agora, se na expansão (43) trocarmos z por z temos z z ; X f z n A n z n ; R < < ) > jz j > R e agora o domínio de validade dos nossos coe cientes tem a forma necessária para especi car um resíduo. Porém, o coe ciente que multiplica z nesta nova série é A e não mais A. Entretanto, se multiplicarmos a série por z temos z f z X n z A n z n+ ; R > jzj > ; lembrando que jzj > está nova série também esta bem de nida. O domínio de validade desta nova série R > jzj > mostra que z é uma singularidade isolada da função a esquerda da igualdade, portanto A Res z z f z Usando agora (44) e lembrando que podemos integrar tanto ao longo de como, temos f (z) dz ires z z f : z Assim a integral da função f numa região envolvendo várias singularidades, pode ser calculada através de : 77

78 um único resíduo de uma determinada função. Exemplo: Vamos agora voltar ao cálculo da integral 5z z (z ) dz onde é o círculo de raio centrado na origem, jzj. omo vimos anteriormente este caminho engloba as duas singularidades da função. Usando a gora o resultado desenvolvido acima, podemos calcular z f f (z) z 5z z (z ) Lembre-se que este mesmo exemplo 5z z (z ) ) f z z 5 z z z 5 z ( z) 5 z z ( z) A z + B A + (B A) z ) ; A 5 ( z) z ( z) dz ires z 6.3 Pólos e tipos de singularidade z f omo vimos, na série de Laurent a parte com potências negativas i5 i : z b n f (z ) i (z z ) n+ dz ; n > é responsável por reproduzir a singularidade da função. Estes termos são chamados parte principal da série. Assim, o estudo dos diferentes tipos de singularidade está relacionado com o estudo da parte principal da série da função. Estamos interessados apenas no estudo de singularidades isoladas. Podemos identi car 3 diferentes de singularidade, i.e., diferentes tipos de comportamento da função em torno da singularidade.. Se a parte principal é nita b m 6 ; b m+ b m+ ::: a singularidade isolada é chama de um pólo de ordem m. Um pólo de ordem m é chamado um pólo simples. Exemplo: como vimos antes f (z) ez z X jzj > n z n n z + z + + z 3 + z 4 + ::: ; 78

79 esta função tem um pólo de ordem em z. Se z é um pólo temos lim f (z) : zz. O segundo tipo de singularidade ocorre quanto todos os termos da parte principal da série são zero. Este tipo de singularidade é chamado de removível. Exemplo: a função f (z) sin z z possui uma singularidade isolada em z. O desenvolvimento em série desta função fornece sin z X ( ) n z n+ (n + ) ) z sin z X ( ) n z n (n + ) n z 3 + z4 5 + ::: Esta série descreve a nossa função para z 6. Observe agora que se de nirmos ; n f () a série passa a descrever a nossa função em todos os pontos do espaço. omo esta série converge em todo espaço, ela descreve uma função analítica em todo espaço. Assim, a função f (z) ( sin z z ; jzj > ; z é inteira. Por ser inteira, sabemos que esta função é contínua e os limites não dependem do caminho, assim podemos a rmar que sin z lim lim f (z) f () : z z z Observe que de nindo f () nós removemos a singularidade da função. Este processo sempre pode ser realizado para este tipo de singularidade, por isso este tipo de singularidade é chamado de removível. 3. Quando existem in nitos termos na parte principal da série, a singularidade é chamada de essencial. Exemplo: omo vimos exp z X n z n ; < jzj < n A identi cação do tipo de singularidade da função permite simpli car a determinação de seus resíduos e, conseqüentemente, o cálculo de suas integrais em contornos fechados, além de informar sobre o comportamento 79

80 da função próximo a singularidade:. Se a singularidade da função é removível, o resíduo desta singularidade é, obviamente, nulo. Se z é um pólo removível temos lim f (z) c ; c zz. Se a função f (z) possui um pólo de ordem m, a seguinte função possui um pólo removível em z g (z) (z z ) m f (z) (45) A remoção deste pólo torna uma função analítica em toda a região em torno de z e inclusive em z. Assim, esta função g possui uma série de Taylor cujo coe ciente que multiplica o termo (z b g(m ) (z ) (m ) usando o procedimento da seção anterior temos o resultado (4) z ) vale ( g (z) g (z ) ; m Resf (z) Res zz zz (z z ) m g (m ) (z ) (m ) ; m : om g (z) dado em (45). Se z é um pólo temos lim f (z) : zz 3. Se a singularidade é essencial, praticamente todas as técnicas desenvolvidas não se aplicam e o cálculo dos resíduos deve ser feito diretamente pelo desenvolvimento da série de Laurent da função. Se z é uma singularidade essencial, então, em cada vizinhança de z a função assume todos os valores nitos, com a possível exceção de um valor, este é o teorema de Picard. 8

81 7 álculo de integrais reais No cálculo uma integral é chamada de imprópria se um dos limites de integração for in nito, ou se a função não estiver de nida em algum ponto dentro do intervalo de integração. Neste último caso, o valor calculado pode depender da de nição da integral (e.g., integral de Riemann, integral de Lebesgue) e é um problema da teoria da medida. Em especial o valor da integral pode estar de nido apenas para certas de nições. Aqui estamos interessados apenas no caso em que um dos limites de integração é in nito. Nosso objetivo é calcular uma integral da forma f (x) dx : No cálculo diferencial para funções reais a integral imprópria de uma função f (x), contínua para x pode ser de nida como f (x) dx lim R R f (x) dx ; (46) esta integral está de nida quando o limite acima existe. De forma análoga, se f (x) é contínua em todo o plano f (x) dx lim f (x) dx + R R lim R R Entretanto, mesmo para funções contínuas, o limite acima pode não existir. Exemplo: x dx lim x dx + R R x lim R mas nenhum dos dois limites acima está de nido. lim R + lim R R R lim R + lim R R ; R R x f (x) dx : (47) x dx Outra de nição possível é dada pelo chamado valor principal (P.V.) de auchy R P.V. f (x) dx lim f (x) dx : (48) R R Por esta de nição, um conjunto maior de funções passa a ser integrável. Exemplo: x P.V. x dx lim R R R : 8

82 É importante lembrar que se a integral (47) converge, então o valor principal existe. Entretanto, se o valor principal de uma integral existe, isso não garante que a integral (47) esteja de nida. O valor principal também pode ser usado para calcular integrais que não estejam de nidas em certos pontos do intervalo. Por exemplo, se o integrando f (x) não está de nido num ponto b [a; c], podemos calcular o P.V. neste intervalo fazendo: P.V. c a f (x) dx lim " " b " a # c f (x) dx + f (x) dx b+" : Quando a função f (x) é par, i.e., f ( x) f (x) então além disso, R f (x) dx f (x) dx R f (x) dx ; f (x) dx : Assim, neste caso, a existência do valor principal implica na existência da integral imprópria (47). O método que vamos desenvolver está intimamente relacionado com o cálculo do valor principal de auchy. Assim, para garantirmos que estes resultados se aplicam a integrais impróprias, vamos nos restringir a funções pares. Estamos interessados no cálculo de integrais impróprias de funções da forma f (x) p (x) q (x) ; f ( x) f (x) ; com p e q polinômios sem fatores em comum e com q (x) 6 em todo o eixo. Exemplo: alcule a integral A função complexa x + dx x + dx : f (z) z + é igual a f (x) para Im z. Vamos então calcular a integral f (z) dz 8

83 Figure 5: Figura tirada do livro do hurchill onde é o caminho da gura.om isso, é fácil ver que f (z) dz f (z) dz + R R R x + dx : Para estimar a contribuição da integral em R precisamos do seguinte resultado: Se é uma curva em e f : contínua, então f (z) dz ML onde L é o comprimento da curva e M o valor máximo do jfj. Para ver isso, basta observar que e que, do cálculo de funções reais f (z) dz f (z) _z dt jf (z)j : j _zj dt jf (z)j : j _zj dt M M max jfj : j _zj dt ML ; Da gura vemos que, para z em R (i.e., jzj R), com R > temos z + z R : 83

84 temos om isso Usando agora z + dz (R) R R lim R R R ; lim R z + dz R e, conseqüentemente, x + dx f (z) dz Assim, basta calcular a integral de f (z) no caminho que se resume ao cálculo dos resíduos em z i. Observe que o resíduo z estamos calculando é o valor principal da integral. Pelo procedimento acima, observe que i não está no interior do caminho de integração. Observe também que o que z m dz + z R Rn R m Rn+ z R m z R z n lim Rn+ R R m lim z R Rn+ m 84

85 Assim, a integral sobre o caminho R desaparece sempre que n + < m, i.e., o grau de q deve exceder o grau de p em pelo menos duas unidades. Exemplo: alcule a integral x (x + 9) (x + 4) dx. Veri que que o integrando é simétrico: então podemos usar o valor principal.. Depois veri que se o (maior) grau do denominador é, pelo menos, uma vezes maior que a do numerador n ; m 4 ) n + 3 < 4 m Isso garante que a integral sobre o circuito R não contribua. Estando satisfeitas estas duas condições partimos para a função complexa z f (z) (z + 9) (z + 4) Esta função possui quatro pólos: z 3i e z i. Usando o caminho que vai pela parte superior do plano z, apenas os pólos z 3i e z i estão dentro do nosso caminho de integração. A integral pela parte inferior do plano seria diferente? Para calcular o resíduo em z 3i fazemos Usando o resultado (4) f (z) Para o cálculo do resíduo em z i, f (z) z (z + 3i) (z 3i) (z + 4) (z 3i) z (z + 3i) (z + 4) Res z3i g (3i) ; g (z) (z + 3i) (z + 4) g (3i) i 3 5 z (z + 9) [(z + i) (z i)] (z i) z (z + 9) (z + i) z 85

86 e usamos novamente o resultado (4) (com m ) g (z) Res zz (z z ) g (z ) : g (z) g (z) g (i) z (z + 9) (z + i) ) z z (z + 9) (z + i) z (z + 9) + (z + i) i + i + 3 i Assim, o resultado da nossa integral vale x (x + 9) (x dx i i 3 + 4) 5 i 3 : 7.. Numeradores com funções trigonométricas Tanto no desenvolvimento de problemas envolvendo séries de Fourie, quanto em problemas envolvendo ondas (eletromagnetismo, MQ etc.) encontramos integrais da forma: f (x) sin (ax) dx ; f (x) cos (ax) dx : Vamos, por exemplo, calcular a integral No lugar das integrais acima, vamos calcular a integral cos 3x (x dx (49) + ) f (x) cos (ax) dx + i f (x) sin (ax) dx f (x) exp (iax) dx : Seguindo os passos anteriores, e lembrando que este integrando é par, vamos então calcular o ponto aqui é observar que exp (i3z) R (z + ) dz exp (i3x) R (x + ) dx + exp (i3z) R (z + ) dz jexp (iaz)j jexp (iax) exp ( ay)j jexp ( ay)j 86

87 Além disso, para a >, Ou seja vai a zero mais rápido que R ) y ) R lim jexp ( ay)j ; a > : R exp (i3z) (z + ) dz R (z + ) dz enquanto esta última vai a zero pelas razões mostradas anteriormente. Assim R R exp (i3x) (x + ) dx exp (i3z) (z + ) dz ; a > : A integral da direita pode ser facilmente calculada pelos métodos anteriores. Possui os pólos z i e apenas o pólo z i está dentro do caminho de integração exp (i3z) exp (i3z) Res zi (z + ) Res zi (z i) (z + i) d dz exp (i3z) (z dz i ( i exp ( 3)) + ) e 3 : exp (i3z) (z + i) zi i exp ( 3) Para obter a integral desejada basta tomar a parte real deste valor (que é ele mesmo, mas, no caso geral, teremos uma parte imaginária relacionada ao seno e outra real relacionada ao cosseno) cos 3x (x dx + ) e 3 : Para usar este método, assim como no caso anterior, devemos ter: A função f na forma pq com p e q polinômios sem fatores comuns e o grau de q pelo menos duas vezes maior do que o grau de p e a >. Para que o valor principal concorde com a de nição de integral imprópria devemos trabalhar, novamente, apenas com funções pares. 87

88 7.. Funções trigonométricas Integrais inde nidas de funções trigonométricas também podem ser facilmente calculadas pelo método dos resíduos. onsidere uma integral do tipo F (sin ; cos ) d (5) onde F é um quociente de polinômios de senos e cossenos. Utilizando a representação polar dos números complexo, podemos considerar como o argumento de z e usar a parametrização z exp (i), com isso, podemos escrever e escrever (5) como sin z z ; cos z + z i F (sin ; cos ) F (z) dz _z d ie i d ) d dz iei iz dz F (sin ; cos ) d F (z) dz ; jzj iz Exemplo: Vamos calcular a integral fazendo Nossa integral se torna 5 d 4 + sin sin z z i 4iz 5iz + z 5 d 4 + sin 4iz (5iz + z ) (z + i) z + i iz dz dz 4 (5iz + z ) dz observando que apenas a singularidade z i está dentro do caminho de integração temos Res z i z + i (z + i) 4 3i ; sin d i 4 3i 8 3 : 88

89 89

90 8 Funções ortogonais Um exemplo bem conhecido de funções ortogonais é a série de Fourie, que aparece na solução de vários problemas de eletromagnetismo, mecânica etc. A grade utilidade desta série é que qualquer função (bem comportada) pode ser escrita como uma somatória de termos na forma X f (x) (a n sin (nx) + b n cos (nx)) ; x [ ; ] : n Ou seja, não importa a forma da função (dentro do intervalo de interesse), esta função pode ser escrita como uma somatória das funções seno e cosseno. Esta característica permite resolver uma in nidade de equações diferenciais. E a solução destas equações possui, obviamente, aplicações não apenas teóricas, como também práticas (e.g., em engenharia). Além disso, este processo de decomposição de uma função arbitrária em funções trigonométricas está presente na maioria dos equipamento de telecomunicação e computadores. Imagine, por exemplo, que você possui uma curva bem complicada e precisa guardar (ou transmitir) esta curva. A forma direta de você fazer isso é arquivando o valor de f(x) para cada ponto x dentro do intervalo de interesse. laro que para qualquer intervalo o espaço físico para este armazenamento seria in nito, mas, dada uma certa precisão necessária, você pode fazer isso apenas para pontos que distem de uma certa quantidade x. Quanto menor x, melhor você consegue reproduzir a curva f(x) no futuro. Mas imagine agora que você tem um dispositivo (um processador) capaz de calcular (não armazenar) funções trigonométricas. Neste caso, você poderia calcular os coe cientes a n e b n da série de Fourie acima e armazenar estes coe cientes. Quando necessário reconstruir a curva o dispositivo pegaria estes coe ciente, calcularia o valor dos senos e cossenos e, com isso, poderia redesenhar a curva com a precisão que se desejasse. Obviamente a aplicação deste método com precisão in nita necessitaria do registro de in nitos coe cientes. Mas esta precisão não é necessária. Quanto mais coe cientes guardarmos, com mais precisão podemos reconstruir a curva. O ponto aqui é que, para a maioria das curvas de interesse, o registro de uma centena destes coe cientes já dá uma precisão que, se fosse feita com o registro de pontos com x, necessitaria do registro de centenas de milhares de pontos. Este é o processo usado, entre milhares de outras coisas, pela placa de som do seu computador para gravar um sinal sonoro. O que as funções seno e cosseno têm de especial para terem esta característica? Existem outras funções, além de senos e cossenos, que podem reconstruir qualquer curva? Estas são algumas das perguntas que vamos tentar responder nesta parte do curso. 8. Vetores e equações lineares Um conjunto ordenado de n números reais x ; x ; ::x n pode ser chamado de um vetor de dimensão n, ou um vetor num espaço n dimensional, denotamos este espaço por R n (i.e., a coleção de n números reais). Usualmente esta quantidade é simbolizada como jxi. ada um dos elementos x i (i ; ; ::; n) é chamado de 9

91 componente i do vetor. Se todas as componentes são nulas, o vetor é chamado de vetor nulo e usualmente simbolizado por (mas lembre-se que este símbolo é, na verdade, a coleção de n zeros). Para n, ou n 3 o vetor pode ser interpretado geometricamente como as coordenadas cartesianas de uma seta que inicia na origem e termina neste ponto. Para n > 3 a visualização geométrica não é possível, mas as expressões algébricas e a terminologia continuam as mesmas. Para números reais arbitrário a; b R a quantidade a jxi + b jyi jzi fornece um novo vetor (também de dimensão n) cujas componentes são dadas por z i ax i + by i : A quantidade nx hxj yi x y + x y + ::: + x n y n x i y i ; (5) é chamada de produto interno dos vetores jxi e jyi. Esta quantidade também é chamada de projeção de jxi em jyi, ou a componente de jxi na direção jyi (ou vice-versa). Fácil ver que o produto interno de nido acima é. Simétrico: hxj yi hyj xi. Linear: jzi a jyi + b jwi : hxj zi a hxj yi + b hxj wi Observe que podemos obter a expressão da linearidade acima se simbolicamente escrevermos i hxj zi (hxj) (a jyi + b jwi) hxj a jyi + hxj b jwi a hxj jyi + b hxj jwi a hxj yi + b hxj wi Ou seja, a linearidade permite interpretar a quantidade hxj a esquerda do símbolo de produto como sendo também um vetor, chamado de vetor dual do vetor jxi. Esta notação simbólica é chamada notação de Dirac. Dizemos que dois vetores jxi e jyi são ortogonais quando hxj yi : Para n e 3 esta terminologia possui um signi cado imediato. Pois, neste caso, quaisquer dois vetores que respeitam a igualdade acima fazem entre si um ângulo de 9 o. Por exemplo, para n, os vetores jxi (; ) ; jyi (; ) temos hxj yi : 9

92 E é fácil ver que estes vetores no plano tem entre si um ângulo de 9 o. Mais uma vez, para n > 3, a interpretação geométrica não pode ser mais usada, mas a nomenclatura continua a mesma. O produto interno de um vetor com ele mesmo hxj xi jxj é chamado de norma do vetor. A raiz positiva da norma p hxj xi jxj é chamado de comprimento do vetor (alguns autores chamam esta raiz de norma). Mais uma vez, para n ou 3, esta quantidade representa o comprimento (ou a distância) da origem até as coordenadas do ponto. Observe que hxj xi ) jxi ; x i ; i ; ; :::n : Um vetor para o qual hxj xi ; é chamado de vetor unitário, ou vetor normalizado. As de nições acima também podem ser escritas identi cando os vetores jxi com matrizes de n linhas jxi x x. x n A Neste caso, o produto vetorial pode ser realizado identi cando o dual do vetor como a matriz de n colunas (ou a transposta) correspondente hxj x x x n e identi cando a operação de produto interno com a multiplicação usual de matrizes hyj xi hxj jyi y y y n x x. x n A nx x i y i : i 9

93 Um conjunto de m vetores jx i ; jx i ; ::: jx m i são ditos linearmente dependentes, se mx 9a i (i ; ::; m) R ; a i 6 : i mx a i jx i i i caso contrário, eles são linearmente independentes. Num espaço de dimensão n qualquer conjunto de n vetores jw i i (distintos e não nulos) e linearmente independentes formam uma base do espaço. Ou seja, qualquer vetor jxi pode ser escrito como: mx mx 9a i (i ; ::; n) R ; a i 6 : jxi a i jw i i : i i Ou, de outra forma, num espaço de dimensão n dado o conjunto de n vetor fjw i ig (não nulos) LI, qualquer outro vetor é LD a este conjunto. Ou ainda, num espaço de dimensão n qualquer conjunto de n + vetores é LD. As quantidades a i da expressão acima são chados de componente do vetor jxi na base fjw i ig. Se o conjunto de n vetores LI jw i i são também ortogonais entre si hw i j w j i para i 6 j dizemos que esta base é ortogonal. Um conjunto de m vetores je i i que respeitam he i j e j i ij ; (5) i.e., são ortogonais entre si e normalizados, são chamados de ortonormais. Se m n (onde n é a dimensão do espaço) estes vetores formam uma base, chamada de base ortonormal. Observe que, se fjw i ig é uma base ortogonal do nosso espaço, podemos facilmente construir com eles uma base ortonormal fje i ig fazendo je i i jw i j jw ii p hwi j w j i jw ii Este procedimento se chama a normalização dos vetores jw i i. Dada uma base ortonormal fje i ig podemos facilmente usar o produto interno para encontrar as componentes de um vetor qualquer nesta base. Basta para isso tomar o produto interno do vetor expandido com os elementos da base jxi a je i + a je i + ::: ) he j jxi a he j e i + a he j e i + :: Usando agora (5) temos he j xi a he j e i a 93

94 ou, de forma geral a i he j xi ; Assim, numa base ortonormal as componentes do vetor nesta base é o produto interno do vetor com cada elemento da base. Além disso, para uma base ortonormal, temos hxj yi " X n a i he i j# 3 nx nx nx 4 b j je j i5 a i a j he i j e j i i nx j nx a i b j ij i j i i nx a i b i : i j Que é uma expressão idêntica a de nição anterior do produto interno (5). Assim, o produto interno entre dois vetores pode ser calculado pelas componentes originais deste vetor ou pela suas componentes em qualquer base ortonormal. Em especial, para o produto interno de um vetor com ele mesmo, i.e., a norma deste vetor, temos " X n jxj hxj xi a i he i j# 3 nx nx nx 4 a j je j i5 a i a j he i j e j i nx nx nx a i a j ij a i : i j i j i j 94

95 Exemplo: Voltando para o nosso exemplo em dimensões tomemos o vetor com componentes x ; x. Que na representação matricial assume a forma jxi a norma deste vetor vale jxj (x ) + (x ) + 5 Uma base para este espaço é qualquer conjunto de dois vetores LI. Por exemplo, temos a base jf i ; jf i 3 Fácil ver que a jf i + b jf i a + b 3 ) a + b ) a b + 3b ) a 3b que só pode ser satisfeita para a b. Logo jf i e jf i são LI e, consequentemente, formam uma base do espaço. As componentes de jxi na base fjf i ig valem jxi c jf i + c jf i c c + c ) c c ; + c 3 c + 3c ) c 3c ) c ) c : c + c c + 3c Assim, as componentes de jxi na base fjf i ig valem: c, c. Fácil ver que (c ) + (c ) (x ) + (x ) Tomemos agora outros dois vetores jw i jf i ; jw i : Facil ver que estes vetores também são LI. Mas, além disso hw j w i : 95

96 Assim, fjw i ig é uma base ortogonal. As componentes c i de jxi nesta base valem c + c c + c ) c c c c ) c c + 3 Mais uma ver (c ) + (c ) Mas, como a nossa nova base fjw i ig é ortogonal, podemos aplicar o processo de normalização e de nir uma nova base fje i ig com je i jw i jw j p je i jw i jw j p As componentes c i de jxi na base fje iig valem c je i + c je i p c + c c c c + c p ) c p c c c p ) c c p + p 3 onde, nas componentes de jxi na base ortonormal fje i ig temos p p (c ) + (c ) (x ) + (x ) jxj Um conjunto de m vetores fje i ig ortonormais, com m n, é também chamado de um conjunto ortogonal completo. Para m < n os vetores fje i ig são chamados de um conjunto ortogonal incompleto. Assim, encontrar uma base para um espaço vetorial é equivalente a encontrar um conjunto completo de vetores ortogonais (e normalizá-los). 96

97 8. Operadores, autovetores e autofunções no R n Em R n dado um conjunto de n números reais M ij (i; j ; ; :::n) podemos de nir o seguinte mapa entre as componentes de dois vetores jxi e jyi deste espaço nx y i M ik x k k ou, simbolicamente jyi ^M jxi onde o chapéu indica que M não é um número, mas sim o que chamamos de operador. Ou seja, dado um espaço vetorial, um operador é um mapa entre vetores deste espaço. Na notação matricial introduzida anteriormente, os operadores podem ser identi cados como matrizes n n. omo exemplo, vamos estudar as operações de rotações num plano. Ou seja, vamos trabalhar num espaço com n. Suponha que um vetor neste espaço tenha coordenadas ((x ; x )). Se aplicarmos uma rotação de um ângulo no sentido anti-horário, neste vetor quais as componentes (x ; x ) do novo vetor obtido? Fazendo desenhos no plano é fácil ver que x x cos sin sin cos x x Ou seja, o conjunto de quatro números R ij, ou a matriz cos ^R () sin sin cos é um operador de rotação no nosso espaço bidimensional. Um caso particular é o operador de rotação de um ângulo de 8 ^R () : Um outro exemplo é o operador que troca a troca a coordenada x por x (i.e., coloca um espelho no plano normal a x ), chamado de operador de paridade em x ^P Observe que isso não é nenhuma rotação. Matematicamente um operador pode ser pensado visto como um tensor de segunda ordem. Este tensor pode ser obtido pelo que chamamos de produto tensorial, ou produto externo entre os vetores do nosso espaço. 97

98 O produto externo entre dois vetores jxi e jyi pode ser de nido como ^M jxi jyi onde ^M ij x i y j Ou seja, neste caso, ^M é a matriz ^M x y x y x y n x y x y x y n x n y x n y x n y n A omo vimos anteriormente, a aplicação deste operador num vetor jzi é a multiplicação matricial x y x y x y n x y x y x y n ^M jzi (jxi jyi) jzi B. x n y x n y x n y n z n P n x i z iy i x hyj zi x P n x i z iy i. A x hyj zi A x B hzj A P n i z P n ix i y i x n hyj zi i jxi hzj yi z z. P n i z ix y i P n A i z ix y i P n i z ix n y i A (53) A notação de Dirac possui uma forma muito conveniente de expressar o produto externo jxi jyi jxi hyj pois, com isso, a aplicação deste produto externo num vetor jzi pode ser simbolicamente calculado como (jxi jyi) jzi (jxi hyj) jzi jxi hyj jzi jxi hyj zi Que é exatamente a expressão (??). Uma relação entre operadores e vetores que é de especial interesse é quando a aplicação de um operador 98

99 sobre um vetor resulta num vetor na mesma direção (i.e., proporcional) ao vetor original. Isso é, quando: ^M jxi a jxi ; a R ; jxi 6 : Neste caso, dizemos que jxi é um autovetor do operador ^M e que a é o autovalor do autovetor jxi. Por exemplo, se aplicarmos o operador ^P no vetor jp i teremos ^P jp i jp i ; Ou seja, o vetor jp i é um autovetor de ^P com autovalor. Já o vetor jp i ) jp i : Assim, jp i é outro autovetor de ^P, mas com auto valor jp 3 i ) : Já o vetor 6 a jp 3 i então, jp 3 i não é auto vetor de ^P. Da mesma forma, qualquer vetor é autovetor de ^R () com autovalor, pois ^R () jxi x x Além disso, o operador ^R () não possui nenhum autovetor. Observe que, se jxi é autovetor de ^M com autovalor m, x x jxi ^M jxi m jxi ; o vetor jx i a jxi ; a também será autovetor com o mesmo autovalor ^M jx i ^Ma jxi a ^M jxi am jxi m (a jxi) m jx i : 99

100 om isso, dizemos que jxi e jx i são os mesmos autovetores. A constante que multiplica o autovetor usualmente é xada no processo de normalização, porém, ainda assim, podemos multiplicar nosso vetor por uma fase exp (i) ; R e, sem destruir a normalização, continuar tendo o mesmo vetor. Ou seja, vetores que di ram por uma faze são considerados iguais. 8.3 Mudança de base omo vimos anteriormente, a forma explicita das componentes do vetor dependem de qual base escolhemos. Se numa certa base fje i ig um vetor jvi tem componentes jvi X i v i je i i numa outra base fje i ig este mesmo vetor terá outras componentes jvi X i v i je ii Se você escolher uma certa base ortonormal fje i ig, como comparar suas quantidades com os de algém que ecolheu outra base fje i ig? Ou seja, como v i se relaciona com vi? Para saber isso basta lembrar que todos estes vetores fomam uma base do espaço. Assim, podemos escrever je i i X a ij e j j onde, sendo nossa base ortonormal, os coe cientes desta expanção tem a forma a ij he i j e j ) jei i X j he i j e j je i i (54) Assim, para um vetor qualquer jvi podemos escrever jvi X i v i je i i X i X v i he i j e j je i i X j X v i je ii he i j e j j i Ou seja, se v i são as componentes de jvi na base fje i ig as componentes v i deste mesmo vetor na base fje i ig são v j X i v i he i j e j

101 As quantidades he i j ej também podem ser organizadas numa matriz com linha i e coluna j. Esta matriz é chamada de matriz de mudança da base fje i ig para a base fje i ig. Vemos assim como é conveniente identi carmos nossos vetores com matrizes. De forma geral, todas as quantidades com um único índice podem ser vistos como uma matriz coluna de elementos e qualquer quantidade com dois índices como uma matriz. 8.4 Espaço de Hilbert Nosso objetivo aqui é obter uma generalização dos resultados da seção anterior. O primeiro ponto é lembrar que nossos vetores, e os números que multiplicam estes vetores, são todos reais. Assim, a primeira generalização que podemos é que um vetor num espaço de dimensão n é qualquer seqüência de números complexos ; ; :::; n ( i ) e que nossos vetores podem se multiplicados também por números complexo ji + ji ji ; ; com i i + i : Até aqui nada mudou. O ponto agora é que devemos lembrar que se é um número complexo, podemos ter < (e.g., para i). Isso implica que a somatória do quadrado de números complexo não é uma quantidade positiva de nida e, consequentemente, a norma de nida anteriormente pode nos dar valores negativos. Não queremos ter vetores de norma negativa (isso é, na verdade, contra a de nição do que é uma norma). Podemos resolver este problema lembrando que : ; 8 onde, além disso : ) : Assim, podemos recuperar a característica de positividade da nossa norma se, no lugar de (5) de nirmos o produto interno como hj i + + ::: + nx n n i i ; (55) com isso temos, novamente, nx jj hj i i i i ii

102 com jj ) ji : A única diferença neste produto interno é que, no lugar da simetria, temos agora uma simetria conjugada nx nx nx hj i i i ( i i ) i i hj i : ii i i Já para o produto externo entre os vetores ji e ji, temos agora duas opções. Podemos de nir o operador ^M ji hj com componentes M ij i j Ou podemos formar também o transposto conjugado do operador ^M + ji hj ^M T com ou seja M + ij i j j i (Mji ) ^M + ^M T : Da mesma forma, no que se refere a representação matricial, continuamos representando nossos vetores por matrizes coluna ji mas, para ser compatível com o produto interno (55), devemos de nir o dual de ji, não apenas como o transposto, mas como o transposto conjugado hj n A segunda generalização que vamos fazer é permitir que a dimensão do espaço assuma qualquer valor, incluindo o in nito. Ou seja, vamos admitir espaços com n. Esta é, na verdade, a motivação deste desenvolvimento. Neste caso, obviamente não podemos mais representar nossos vetores por matrizes. Mas podemos con-. n A

103 tinuar usando todas as expressões anteriores (fazendo n ). A grande diferença é que antes, bastava que cada elemento do nosso vetor estivesse bem de nido (não fosse in nito) e, certamente, todas as expressões de nidas também estariam bem de nidas. Agora, para n, pode acontecer de cada elemento do nosso vetor estar bem de nido, e mesmo assim não conseguirmos calcular quantidades como, por exemplo, o produto interno. Ou seja, agora precisamos exigir que as somatórias de nidas anteriormente convirjam. Por exemplo, podemos de nir as componentes do nosso vetor como x k ; k N k ada componente está bem de nida. Em especial, para n x () Entretanto, se desejarmos calcular a norma deste vetor teremos 5 jxj X k k k X k : E não podemos utilizar para estas componentes a noção de norma que é indispensável em todas as nossas análises. Destarte, se quisermos de nir um espaço vetorial tratável, devemos exigir que os vetores do nosso espaço respeitem a restrição k X j k j < : k Ou seja, para nós agora, vetores são toras as seqüência, nitas e in nitas, sobre o corpo dos complexos, tal que a soma do módulo quadrado convirja. Um espaço vetorial de dimensão arbitrária (incluindo in nito) sobre o corpo dos complexos onde (para todo elemento) está de nido um produto interno, juntamente com uma condição técnica de completeza 6 forma um espaço de Hilbert. Todo o nosso trabalho futuro sobre funções ortogonais, bem como todo o desenvolvimento da MQ, é o estudo do espaço de Hilbert. Todos os conceitos desenvolvidos anteriormente, incluindo a noção de ortogonalidade e base, são válidos no EH. A diferença é que agora a nossa base pode conter in nitos termos. 5 Lembre que X n n s diverge para s. 6 onvergência de todas as seqüências de auchy j n l j. 3

104 Mas será que, como os casos anteriores, este espaço possui uma base? Para um espaço de dimensão N ( nito) qualquer, podemos sempre construir uma base fje i ig na forma. je i A ; je i A ; ; je N i B A.. Sendo cada je i i uma matriz N. Esta é a chamada base canônica. Obviamente, qualquer vetor jxi pode ser escrito como: jxi x x. x N NX A x k je k i Observe que, as componentes de um vetor qualquer na base canônica são as próprias componentes do vetor. Além disso, esta base é ortonormal he i j e j i ij : Podemos imaginar uma base do nosso espaço de Hilbert das seqüenciais in nitas como uma coleção de in nitos termos na forma (56). Ou seja, je i A ; je i A ; je 3i A ;... O ponto aqui é que, para qualquer um destes elementos, temos k he i j e i i < ) je i i H ; i ; ; 3; ::: Ou seja, todos os (in nitos) elementos desta seqüência estão em H. Além disso, qualquer elemento de H pode ser escrito como X ji k je k i ; k : k om isso, fje k ig forma uma base do nosso espaço H. Esta base possui in nitos elementos e, conseqüentemente, nosso espaço tem dimensão in nita. 4

105 8.5 O espaço L A generalização da dimensão introduzida anteriormente parece a mais geral que podemos fazer. Isso seria verdade se não existissem vários tipos de in nito, também chamado de cardinalidade. Este é um assunto bastante complicado da teoria dos conjuntos. Na verdade, a cardinalidade mede o tamanho de um conjunto. Mas, como vimos, a dimensão de um espaço está diretamente relacionada com o tamanho (ou o número de elementos) da base. Para um conjunto qualquer podemos considerar duas noções: tamanho do conjunto e o número de elementos deste conjunto. Para qualquer conjunto com um número nito de elementos estas noções coincidem. Um conjunto com três elementos tem um tamanho, ou cardinalidade, três. Além disso, para conjuntos nitos, sempre que pegamos uma parte deste conjunto (um sub-conjunto) este tem um tamanho menor que o original. A comparação entre os tamanhos dos conjuntos está ligada com a idéia de bijeção entre os elementos destes conjuntos. Remark 56 Se podemos criar uma bijeção entre dois conjuntos, então estes conjuntos tem o mesmo tamanho. Assim, o conjunto de 3 frutas tem o mesmo tamanho do conjunto de 3 animais. Esta idéia também é válida para conjuntos com in nitos termos. Mas, neste caso, a noção de cardinalidade e número de elementos não é mais a mesma. Por exemplo, tomemos o conjunto dos naturais N e o conjunto dos números pares P. ertamente estes conjuntos não têm os mesmos elementos. Em especial o número está no primeiro conjunto e não está no segundo. Mais ainda, qualquer elemento do segundo conjunto está no primeiro,mas o contrário não é verdade. Qual destes conjuntos é maior? Poderíamos então imaginar que o conjunto dos naturais é maior que o conjunto dos números pares. Entretanto, é possível estabelecer uma bijeção entre os naturais e os números pares. Obviamente, dado um número natural n, podemos fácilmente associar a ele o número par p n Mas, além disso, dado um número par p P associamos a ele (de forma unívoca) o natural n p Ou seja, a cada número inteiro temos um (único) número par associado e vice-versa. Isto mostra que os dois conjuntos têm o mesmo tamanho, ou a mesma cardinalidade. Assim, para conjuntos in nitos, podemos pegar apenas uma parte deste conjunto e obter um conjunto com o mesmo tamanho. Vejamos um exemplo um pouco mais complicado. Recapitulando, um dos resultados da teoria dos conjuntos é que sempre que for possível estabelecer uma bijeção entre dois conjuntos estes conjuntos têm a mesma 5

106 Figure 6: Figura da Wikipedia cardinalidade. Peguemos, por exemplo, o conjunto dos naturais N, i.e., a seqüência 3 A. e a seqüência de um par ordenado de naturais, o produto N N, i.e., as seqüências ; ; B ; A.... Qual destes conjuntos é maior? Aparentemente o segundo conjunto tem mais elementos que o primeiro. Entretanto, estes dois conjuntos podem ser mapeados (um-pra-um) através do diagrama de antor ou seja (; ) ; (; ) ; (; ) ; 3 (; ) ; 4 (; ) ; 5 (; ) ; 6 (3; ) ::: Desta forma, o par ordenado N N tem a mesma cardinalidade de N, ou seja, tem o mesmo tipo de in nito. omo resultado disso, os números racionais Q, que podem ser escritos como ab, com a; b N e 6

107 b > tem a mesma cardinalidade dos naturais. Mais ainda, com argumentos semelhantes é possível mostrar que qualquer seqüência nita de números naturais N N ::: N pode ser mapeado nos naturais N e conseqüentemente, tem a mesma cardinalidade. Esta cardinalidade é chamada de in nito (pois N é in nito) contável. Também chamado (aleph-). Remark 57 Assim, se os elementos que formam a base de um conjunto tem uma cardinalidade contável (possui uma bijeção com N) dizermos que a dimensão do espaço é contável. Talvez você imagine com isso que todos os conjuntos in nitos têm a mesma cardinalidade, mas isso não é verdade. Agora, se você considerar o conjunto dos reais, é impossível estabelecer uma relação um-pra-um entre este conjunto e os naturais. Mais precisamente, é possível estabelecer a relação N R ; mas a inversa não R 9 N : Podemos dizer que, apesar de ambos serem in nitos, o conjunto dos reais é maior que o dos naturais. Mais ainda, qualquer intervalo nito da reta real, e.g. [; ], tem mais elemento que qualquer seqüência nita de todos os naturais. Assim, se você zer um HD de computador capaz de armazenar todos os naturais, este HD pode encher e não registrar os reais. om isso, os reais são de uma cardinalidade diferente (maior) que os naturais. Dizemos que o conjunto dos reais é um in nito incontável. Também chamado (aleph-). Remark 58 Assim, se não for possível estabelecer uma bijeção entre os elementos da base e N, mas for possível estabelecer entre R, os elementos que formam a base de um conjunto tem uma cardinalidade incontável dizermos que a dimensão do espaço é incontável. Remark 59 Vemos então que todo o desenvolvimento apresentado na seção anterior sobre o espaço de Hilbert diz respeito, na verdade, apena a in nitos contáveis. Do que foi dito acima, vemos que o nosso espaço H, de nido anteriormente, tem dimensão in nita, mas contável. Pois possui uma base com um in nito contável de elementos fje k ig. A existência de diferentes tipos de in nito nos leva a crer (o que é verdade) que possam existir também espaços com uma dimensão (e consequentemente uma base) in nita incontável. onsidere agora uma função f (x) sobre os reais num intervalo x [a; b]. Esta função pode ser considerada 7

108 uma seqüência f (x ) f (x ) f (x 3 ). f (x n ) A entretanto, neste caso o índice da nossa seqüência não é um número natural N, mas um número real R. Pois podemos fazer x x < " para qual valor de ". Assim, entre quaisquer dois elementos existem in nitos elemento: f (x ). f (x ; ). f (x ). A f (x n ) Este tipo de seqüência é, certamente, diferente da de nida anteriormente. Mais precisamente, a nossa seqüência, assim como a anterior, possui in nitos termos, mas esta seqüência possui um in nito incontável de termos. Assim, aquele HD hipotético capaz de registrar uma seqüência in nita (x k ), não seria capaz de registrar a função acima. ertamente o procedimento anterior para a construção de uma base canônica falha neste caso. om isso, não há nenhuma razão para crer que os resultados desenvolvidos na seção anterior sejam válidos para funções sobre os reais. Vamos então tentar construir um espaço vetorial para as nossas funções f. omo uma extensão natural da notação anterior, se queremos um vetor que represente a nossa função f (x) ; x [a; b], podemos chamá-lo de jfi. Ou seja, jfi é a coleção ordenada de todos os valores da função num certo intervalo (a seqüência simbólica (57)). Observe que jf i não é a função calculada num ponto, mas uma quantidade abstrata que representa uma coleção in nita de termos. A soma destas quantidades pode ser de nido de forma análoga a anterior. Ou seja, a seqüência simbólica jwi jfi + jgi ; ; (57) é de nida como a coleção ordenada de todos os pontos w (x) f (x) + g (x) ; x [a; b]. Na construção do nosso espaço, assim como zemos anteriormente, o primeiro ponto é a construção de um produto interno. Podemos fazer isso apenas generalizando a expressão anterior para o caso de duas 8

109 seqüências contínuas jf i e jgi (todas de nidas, sempre, no mesmo intervalo) nx hj i i i hfj gi b i a f (x) g (x) dx : om isso, novamente, garantimos a positividade do produto hfj fi ; hfj fi ) jfi onde a última igualdade signi ca f (x) para x [a; b]. Novamente, para que o nosso produto faça sentido, devemos exigir que hfj fi b a jf (x)j dx < : (58) Ou seja, o nosso espaço é o espaço das funções de quadrado integrável no intervalo [a; b], também chamado L (a; b). O fato de que a soma (de nida acima) de duas funções de quadrado integrável é também ser de quadrado integrável, garante que L (a; b) é um espaço vetorial (assim como as nossas seqüências em H). O ponto (e toda a di culdade do trabalho) é estudar a dimensão deste espaço. Para isso, podemos invocar aqui o resultado de Fourie. Para qualquer função (bem comportada) que respeite (58), de nida no intervalo [ ; ] existe uma correspondência unívoca entre esta função e a seqüência (contável) X f (x) x k exp (ikx) (59) k onde x j p b f (x) exp ( ikx) dx (6) a Ou seja, registrar a seqüência contável x j é equivalente a registrar a função (de nida num intervalo incontável) f (x). Assim, apesar do HD hipotético não poder registrar o valor da função em todos os pontos, ele pode registrar a seqüência fx k g e, com isso, reconstruir a função (exatamente) em todos os pontos. Ou ainda, mesmo estando a função de nida num contínuo de pontos, nem todos estes pontos são necessário para especi car a função. O fato de ela ser de quadrado integrável cria uma relação entre estes pontos, de sorte que eles possam ser especi cados pelo conjunto menor formado por uma seqüência contável de pontos. Mais ainda, existe uma relação unívoca entre o espaço das funções em L (a; b) e o espaço das seqüências contáveis in nitas. O que mostra que estes dois espaços têm a mesma dimensão. Ou seja, se existir uma base contável para a seqüência fx k g existirá também uma base contável para L. Observe que ainda não falamos nada sobre as sequencias acima. 9

110 Ou ainda, existe uma base contável para o espaço L (a; b). Além disso, existe um resultado, devido a Parseval, que a rma jf (x)j dx X j Ou seja, se a seqüência x j pertence ao nosso espaço de Hilbert H. Podemos assim considerar L (a; b) como um espaço de Hilbert H. E dizer que a função f (x) pertence ao espaço de Hilbert L. Observe que as próprias funções pertencem a L ( exp ( ikx) ; ). Assim, se chamarmos estas funções de je k i (ou seja, je k i é a coleção de todos os valores da função exp ( ikx) no intervalo ( ; )), podemos escrever (59) como Observe que jfi X k x k je k i he k j e j i exp ( i (k j) x) dx kj Ou seja, fje k ig é uma base (contável) para o nosso espaço L ( x j ; ) e esta base é ortonormal. Além disso, x k são as componentes de jfi nesta base. Sendo nossa base ortonormal, as componentes de f nesta base são simplesmente a projeção: he k j fi p b f (x) exp ( a ikx) dx que são as componentes x k da série de Fourie (6). Estas funções fje k ig são um exemplo de funções ortogonais. Nosso objetivo é construir outras bases para L, ou seja, encontrar outras funções ortogonais. 8.6 Operadores simétricos, ou hermitianos omo vimos anteriormente qualquer operador pode ser visto como o produto externo de dois vetores ji e ji. Se um operador ^M é de nido como ^M ji hj então, seu hermitiano conjugado ^M + será ^M + ji hj

111 Para o caso do espaço de dimensão nita, este operador é apenas o transposto conjugado da matriz ^M, mas a nomenclatura continua para o caso de dimensão in nita. Neste caso podemos imaginar nossos operadores como matrizes quadradas in nitas. O produto interno do vetor jzi ^M jxi com o vetor jyi vale hyj zi hyj ^M jxi podemos eliminar o parênteses acordando que o operador sempre age no vetor a direita (o que é equivalente a acordar que o conjugado do operador age no dual do vetor a esquerda, hyj zi hwj xi com jwi ^M + jyi, mas basta convencionar que ele age a direita). om isso, temos hyj ^M jxi hyj ji hj jxi hj jyi hxj ji hxj ji hj jyi hxj ^M + jyi (6) onde usamos hyj ji hj jyi : Um operador é dito simétrico, ou hermitiano se ^M ^M + ) ji hj ji hj ou seja, para espaços de dimensão nita são matrizes cuja transposto conjugado é igual a ela mesma. Por exemplo, qualquer matriz na forma a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 A ; a ii R ; i ; ; 3:: Para operadores hermitianos a propriedade (6) fornece hyj ^M jxi hxj ^M jyi : (6) Propriedades dos operadores hermitianos: Imagine agora que você encontrou um autovetor ji de um operador hermitiano ^M com autovalor, ou seja, ^M ji ji observe que estamos usando a mesma letra apenas por conveniência, mas enquanto ji H.

112 om isso a propriedade acima fornece hyj ^M jxi hxj ^M jyi ) hj ^M ji hj ji hj ji hj M ji hj ji hj ji Mas com isso como temos hj i hj i hj i hj i hj i 6 ; hj i <, ) R : Ou seja, todos os autovalores de um operador hermitiano são reais. Na mecânica clássica os estados de um sistema são identi cados como pontos no chamado espaço de fase. Ou seja, dado um ponto no espaço de fase eu sei tudo sobre o sistema. Já na mecânica quântica estes estados são identi cados com vetores no espaço de Hilbert. Ou seja, saber qual vetor representa o sistema é saber tudo sobre ele. Além disso, observáveis (quantidade que podem ser medidas) são associadas a operadores agindo neste espaço. Um dos postulados da MQ a rma que os valores possíveis de se obter numa medida deste observável são (apenas) o autovalor do operador correspondente. Outro postulado a rma que este operador é hermitiano. O resultado acima mostra que esta exigência é necessária para que valores medidos sejam reais. Exemplo: Num espaço de dimensão o operador ^ i i (em MQ este é um dos operadores associados ao spin das partículas). É hermitiano. Vamos encontrar seus autovalores. O processo geral é o seguinte: Encontrar um autovetor signi ca resolver a equação A quantidade ^M ^M ji ji ) ^M : I ji : I é um novo operador. Para um espaço de dimensão nita, este operador é uma nova matriz. Vamos chamar esta nova matriz de ^T ^M I

113 Nossa equação ca Se ^T é uma matriz inversível, podemos calcular ^T ^T ji e multiplicar pelos dois lados da expressão acima ^T ^T ji ^T ) ji Ou seja, se ^T é inversível, o vetor ji é único e vale ji. Assim, única forma de ^M ter autovetor é que ^T ^M inversa, basta que Para o nosso caso det ^T det ^M ^M não terá autovetor. Portanto: A I não tenha inversa. Para que uma matriz não tenha ^M ^ I : Logo devemos exigir que det (^ I) i i i i ; ou seja, ( i:i) ) ) : Vemos então que ^ tem dois autovaloes e Suponha agora que temos dois autovetores de um operador hermitiano e, como esperado, ambos são reais. ^M ji ji ; ^M ji ji com 6 : Para estes vetores podemos calcular além disso, usando (6) temos hj ^M ji hj ji hj ji ; hj ^M ji hj ji hj ji hj ^M ji hj ^M ji ) hj i hj i hj i hj i 3

114 onde usamos que ; R. om isso [ ] hj i Se usarmos agora 6 a igualdade acima implica hj i Ou seja, autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. O resultado acima fornece uma forma prática e bastante útil de encontramos bases ortogonais para um espaço qualquer. Bastando para isso encontrarmos operadores hermitianos neste espaço. Exemplo: Voltemos a nossa matriz i i Sendo esta matriz hermitiana, devemos esperar que seus auto vetores sejam ortogonais. Encontremos então estes autovetores. Voltando a equação de auto-valores, i ( I) ji ) i sabemos que. Para temos i i ) i i Primeiro note que, se multiplicarmos a primeira equação por i temos i que é idêntica a segunda equação. Assim, na verdade, temos apenas uma equação e duas incógnitas. Isso nada mais é do que uma conseqüência do fato da matriz i i não possuir inversa (ou ter determinante nulo). Lembre-se que construímos os valores de impondo esta exigência. Assim, usando a única equação que temos i ) i 4

115 Ou seja, o nosso autovetor tem a forma j + i i i para qualquer valor. Isso é uma característica geral destes problemas. Para um sistema qualquer de dimensão N, construímos seus autovalores de um operador ^M exigindo que a matriz ^M estes valores de, tenhamos um sistema de N I não tenha inversa. Isso faz com que, para equações para N incógnitas. om isso sempre teremos uma parâmetro livre nos nossos autovetores. É a existência deste parâmetro que nos permite normalizar nossos vetores. Ou seja, escolhemos este parâmetro de forma que nossos vetores tenham norma. om isso, o autovetor associado ao autovalor vale + + ; j + i : i Da mesma forma, encontramos o autovetor associado ao auto-valor i i ) i i + : Onde já sabemos que podemos usar apenas uma destas equações. Assim, usando a segunda equação, i + ) i Ou seja, o autovetor associado ao auto-valor vale ; j i i : omo vimos, uma vez que + 6 h + j i devemos esperar que os vetores j i e j + i sejam ortogonais. De fato i i j j ( ) : Assim, fj + i ; j ig formam uma base ortogonal do nosso espaço. Podemos ainda normalizar esta base 5

116 fazendo je i j i p h j i p e i i j j p + ; R: i p j j i Ou seja, a nossa normalização também está de nida a menos de uma constante. omo veremos, os princípios da MQ nos permitem xar arbitrariamente esta constante. Escolhendo o caso mais simples temos je i p i Da mesma forma, podemos de nir o vetor normalizado je + i p i estes vetores respeitam he + j e i ; he + j e + i he j e i e, consequentemente, formam uma base ortonormal do nosso espaço. Este resultado é geral. Para um espaço de Hilbert H de dimensão N qualquer, inclusive in nito, dado um operador hermitiano ^M neste espaço, os auto-vetores deste operador formam uma base deste espaço. Assim, qualquer vetor j i H pode ser escrito como NX j i c k j k i k onde ^M j k i k j k i : 6

117 8.7 Operadores diferenciais Recapitulando os resultados do exemplo anterior: ao resolvermos o problema de autovetores para o operador R obtivemos dois vetores ortogonais num espaço de duas dimensões. Um resultado que vamos usar sem provar, pois isso consumiria um tempo razoável, é: Remark 6 Dado um operador hermitiano (não degenerado) num espaço de Hilbert de dimensão N, este operador possui N autovetores (que, como sabemos, são ortogonais). onsequente, a coleção de todos os autovetores de um operador hermitiano forma uma base para o espaço de dimensão arbitrária N. Esta é uma forma bastante prática para construir bases para espaços e é exatamente o que vamos usar para construir nossas funções ortogonais. Para qualquer espaço de dimensão nita o procedimento anterior para encontrar os autovetores pode ser aplicado (obviamente com uma di culdade algébrica crescente). Mas e quando N? omo resolver um sistema de in nitas equações? Primeiramente, vamos analisar melhor o tipo de operadores que podem surgir em espaços de dimensão in nita. omo vimos a correspondência jfi X k c k je k i ; c k hfj e k i f (x) exp ( ikx) dx para funções L permite tratar a função (de nida num intervalo contínuo), como a seqüência discreta c k. Lembre que, uma vez de nida uma base, podemos pensar nos operadores como atuando, não diretamente nos vetores, mas nos elementos da base. Ou seja, um operador ^D agindo em H pode ser visto como o produto esterno ^D ji hj e cada um destes vetores possui uma decomposição na base escolhida ji X i i je i i ; ji X i i je i i signi ca que nosso operador, nesta mesma base, possui a decomposição ^D X mn D mn je m i he n j onde D mn m n : 7

118 A ação deste operador num vetor ji pode ser escrito como ji X i i je i i ) ^D ji X mn D mn je m i he n j X i i je i i X mn D mn n je m i (63) Ou seja, o novo vetor ji ^D ji tem componentes ji X i i je i i ; i X n D in n Podemos assim pensar na atuação do operador ^D em H como a atuação da matriz D nm nas componentes do vetor numa determinada base ortonormal e calcular ^D ji como X n D in n que nada mais é que o produto da matriz quadrada D pela matriz coluna. Lembre que, apesar de estarmos usando a mesma letra, ji e são quantidades diferentes. O vetor ji representa uma seqüência x k que independe da base, enquanto as componentes k dependem da base. Assim, se vamos trabalhar com o produto matricial D devemos lembrar que todas estas quantidades dependem da base. O ponto da explicação acima é que operadores atuando em vetores pode ser vistos, uma vez xada uma base, como matrizes atuando nas componentes do vetor nesta base. x x. A Isso implica que: a cada operador ^D agindo no espaço das funções, existe uma matriz D agindo no espaço das seqüências in nitas que de nem as componentes do vetor jfi L. Assim como podemos tratar tanto as seqüência como as funções, podemos trabalhar tanto com ^D : L L quanto com D : R R dependendo da conveniência. Mais ainda, a cada operador agindo em R, ou seja, uma matriz quadrada in nita, corresponde um operador agindo em L. Voltemos para a nossa base fje k ig com componentes e k (x) p exp (ikx) 8

119 e, para os coe cientes c k da nosso função f de nidos nesta base (i.e., os coe cientes da série de Fourie), vamos estudar a ação do seguinte operador i: i: D mn (in) : i: B A Ou seja, a matriz diagonal onde a k-ésima componente é a multiplicação de i pór k. Pelo que vimos acima, existe um operador ^D atuando em jfi cuja ação é o produto da matriz acima com as suas componentes, ou seja, a aplicação deste operador no vetor jfi fornece (63) jfi X k c k je k i ) ^D jfi X mn D mn c n je m i Lembrando agora que, no nosso caso, D mn i mn n temos jgi ^D jfi X mn i mn nc n je m i X n inc n je n i : Ou seja, as componentes do vetor jgi ^D jfi valem g (x) X n inc n exp (inx) Mas estas componentes também podem ser escritas como g (x) X n d d c n exp (inx) dx dx X n c n exp (inx) d dx f (x) Assim, as componentes do novo vetor jgi são as derivadas das componentes de jfi. Podemos então identi car o operador ^D associando a matriz D com o operador diferencial ddx agindo nas componentes do vetor jf i, ou ainda, como um operador diferencial ^D d dx 9

120 agindo no espaço das funções de quadrado integrável. Da mesma forma, podemos construir operadores que correspondem à diferenciais de ordem mais alta. Assim, um tipo bastante especial de operadores que agem em L são operadores diferenciais. abe aqui uma observação sobre a MQ. O exposto acima nos diz que a igualdade jfi X k c k je k i ; jfi L (a; b) nos da a liberdade de trabalhar tanto no lado esquerdo, i.e., operadores diferenciais agindo no espaço das funções, quanto no direito, i.e., matrizes agindo em seqüência contáveis. Nos primórdios da MQ havia duas teorias quânticas aparentemente independentes. A teoria de Schroedinger, baseada numa equação diferencial, e a teoria de Heisenberg, baseada na álgebra de matrizes. Grosso modo, podemos dizer que estas duas teorias são as mesmas (ou equivalentes). Apenas que a teoria de Schroedinger trabalha no lado esquerdo da igualdade acima (i.e., no espaço L ), enquanto a teoria de Heisenberg trabalha no lado esquerdo (i.e., no espaço R ). Dizemos que é a mesma teoria utilizando uma representação diferente do espaço de Hilbert. Da mesma forma que em R, se ^M é um operador em L este se relaciona com seu conjugado pela relação (6) hfj ^M jgi hfj ji hj jgi hj jfi hgj ji hgj ji hj jfi hgj ^M + jfi ou, explicitando o produto interno, hfj ^M jgi hgj ^M + jfi b a b a h i f (x) ^Mg (x) h i g (x) ^M + f (x) dx dx Usando a igualdade hfj ^M jgi hgj ^M + jfi b a h i f (x) ^Mg (x) dx b a h i g (x) ^M + f (x) dx b a h i g (x) ^M + f (x) dx b a h ^M + f (x)i g (x) dx (64) A relação acima de ne o adjunto dos operadores agindo em L. Em especial, para operadores hermitianos, temos a relação (6) hfj ^M jgi hgj ^M jfi : que fornece b a h i f (x) ^Mg (x) dx b a h ^Mf (x) i g (x) dx

121 assim, dado um operador (ou não) hermitiano. Exemplo: vamos veri car se o operador ^M no espaço das funções a igualdade acima permite veri car se este operador é ^D d dx agindo em L (a; b) é hermitiano. Para isso calculamos hfj ^D jgi b Usando agora uma integração por partes temos a h i f (x) ^Dg (x) dx b a f dg dx dx b a f dg dx dx fg b a b a df g dx dx Ou ainda, se observamos que temos b a h i f ^Dg dx fg b a Ou seja, nosso operador não é simétrico em L (a; b). df df dx dx b a h ^Df i g dx 6 b a h ^Df i g dx O ponto aqui é que, graças ao termo de fronteira fg b, devemos esperar que nenhum operador diferencial a seja hermitiano em L (a; b). Entretanto, podemos tentar contornar este problema.. Uma vez que nosso operador não é simétrico em todo o espaço L (a; b), podemos tentar encontrar um sub-espaço de L onde (talvez) ele seja simétrico. Vamos, por exemplo, de nir o subespaço das funções que valem zero nas extremidades. Ou seja, nosso espaço não é todo o espaço L, mas: L (a; b) L (a; b) g; g L (a; b) ; g (a) g (b) ; a:c: Onde estamos exigindo. as funções pertençam a L (a; b), obviamente;. a derivada das funções também pertençam a L (a; b). Isso é necessário porque nosso operador é uma diferencial e, para que este seja um operador no nosso espaço, ele deve levar funções do espaço em outras funções do mesmo espaço. Ou seja, ^Df L (a; b). Esta exigência deve ser ampliada quando tratamos de operadores diferenciais de ordem mais alta. 3. as funções sejam nulas nas extremidades, f (a) f (b). Isso é necessário (na nossa esperança de simetrizar o operador) para eliminar o termo de fronteira da integração por partes;

122 4. Finalmente, as funções devem ser absolutamente contínuas (a:c:). Este é um detalhe técnico intrincado, mas podemos simpli cá-lo dizendo que, grosso-modo, funções absolutamente contínuas são aquelas que podem ser integradas por partes. Isso certamente é válido para todas as funções bem comportadas que vamos trabalhar. Ou seja, esta teoria vale também para funções que não sejam in nitamente diferenciáveis e que possuem certas descontinuidades em suas derivadas. Mas isso é muito mais do que precisamos. Neste espaço L (a; b) temos b a h f gi ^D dx b a h ^D fi g dx 6 b a h ^D fi g dx Onde colocamos uma linha no operador para indicar que este age no espaço L. Mas, ainda assim, nosso operador não é hermitiano. Mais ainda, podemos escrever a relação acima como b a h f gi ^D dx b a h i ^D f g dx lembrando da relação (64) temos b a h i f (x) ^D g (x) dx b a h ^D+ f (x)i g (x) dx comparando as duas relações acima temos ^D + ^D : (65) Entretanto, tudo isso era de se esperar, pois se olharmos para a matriz relacionada com este operado D i i A

123 vemos que os elementos diagonais desta matriz não são reais. Além disso, se tirarmos o transposto conjudado desta matriz temos i D T D B A que nada mais é que a relação (65). O exemplo acima mostra que, se quisermos um operador hermitiano, devemos partir de uma matriz hermitiana. Partamos então da matriz D A que, obviamente, é hermitiano. Observe que D id o que, obviamente, fornece Vamos então calcular novamente hfj ^D jgi b a ^D i ^D i d dx : h i f (x) ^D g (x) dx b a f i dg dx dx Usando novamente uma integração por partes temos b a f i dg dx dx i fg b a i b a df g dx dx Observe agora que i df df i dx dx i df ; dx 3

124 pois { i. om isso temos b a f i dg dx dx i fg b a + b a i d f g dx dx Novamente, para eliminarmos o termo de fronteira, de nimos o operador ^D que atua no espaço L (a; b) de nido anteriormente, com isso b a f i d dx g dx b a i d dx f g dx que pode ser escrito como b a Ou seja, o operador ^D é hermitiano. h f ^D gi dx b a h ^D fi g dx 4

125 8.8 Domínio dos operadores Um ponto extremamente importante no que foi exposto acima é que o operador ^D, que age em L, não é hermitiano, mas já o operador ^D, que age em L (a; b) g; g L (a; b) ; g (a) g (b) ; a:c: é hermitiano. ertamente um operador que é hermitiano é diferente de um operador que não é hermitiano, ou seja, D é diferente de D. Assim, apesar destes dois operadores terem a mesma forma i d dx ou seja, atuam da mesma maneira, eles atuam em espaços diferentes e, conseqüentemente, são operadores diferentes. O espaço de atuação de um operador é também chamado de domínio deste operados. Indicamos o domínio de ^D por D ^D, ou seja D ^D g; g L (a; b) ; g (a) g (b) ; a:c: Assim: Remark 6 Um operador não é apenas uma regra de atuação mas também a especi cação do domínio onde esta atuação é válida. A mesma regra, para domínios diferentes, especi ca operadores diferentes. Voltemos nossa atenção agora para o operador adjunto. Ou seja, qual o domínio do operador adjunto ^D + para que ^D seja hermitiano? O adjunto de um operador ^M pode ser de nido pela expressão b a h b h i ^M + f (x)i g (x) dx f (x) ^Mg (x) a dx ; 8g D ^M ; f D ^M + ; onde devemos notar que o operador ^M agem em g, i.e., g D ^M, enquanto o operador ^M + age em f, i.e., f D ^M +. A pergunta acima pode ser formulada da seguinte forma: Uma vez xado um domínio D( ^M) no qual ^M é simétrico, qual o domínio de ^M + que não quebra esta simetria? Para o nosso operador ^D sabemos que D ^D g; g L (a; b) ; g (a) g (b) ; a:c: (66) 5

126 e quais podem ser as funções f para que a relação b a h f ^D gi dx b a h ^D fi g dx b a h i ^D+ f g dx se mantenha (lembrando que ^D no lado direito da igualdade é, na verdade, o adjunto de ^D ). Voltemos para a forma completa da integral por partes b a h f ^D gi dx i fg b a + b b a a h ^D fi g dx h ^D fig dx + i f (b) g (b) f (a) g (a) Para que nosso operador seja simétrico, basta que o último termo se anula. Então, a nossa pergunta se torna: quais podem ser as funções f para que o último termo se anule? Lembrando que, pela de nição do domínio (66) de ^D b a h f ^D gi dx b a h ^D fig dx + i f (b) : f (a) : b a h ^D fi g dx para qualquer valor nito de f (b) e f (a) e, consequentemente, para qualquer valor de f (b) e f (a). Ou seja, as funções f onde age ^D + não precisam se anular nas fronteiras. Ou ainda, alem de serem L não + precisamos colocar mais nenhuma restrição nestas funções. Assim, o domínio de ^D, para que ^D seja hermitiano vale D ^D+ f; f L (a; b) ; a:c: Vemos explicitamente que D ^D+ 6 D ^D ou seja, apesar de terem a mesma forma ^D i d dx ; ^D+ i d dx (pois o operador é simétrico) os operadores ^D + e ^D são operadores diferentes. Este ponto pode parecer uma tecnicalidade, mas será importante no futuro. No procedimento acima, partimos de um operador ^D que não é hermitiano e de nimos um novo operador ^D (que tem a mesma forma de ^D, mas atua num espaço diferente) que é, fazendo uma restrição no domínio de ^D +. Feito isso, podemos obter o domínio do adjunto ^D que não quebre esta simetria. 6

127 8.9 Operadores lineares omo vimos, um tipo de operador que age em nosso espaço L são operadores diferenciais. Da forma mais geral possível, um operador diferencial linear, agindo no espaço das funções de quadrado integrável tem a forma tem a forma ^L a (x) + a (x) d dx + a (x) d dx + ::: mx a n (x) dn dx n (67) onde m é chamado a ordem do operador. Estes operadores são lineares n ^L (c + c ) c ^L + c ^L ; c ; c se exigirmos que ^L i L. Obviamente nem todas as funções em L possuem sua derivada de ordem m em L, além disso, como vimos no exemplo anterior, condições de contorno (ou considerações físicas) podem impor certas restrições nas funções nas fronteiras, i.e., xar o valor de (a) e (b). Assim, um operador não atua em todo L, mas sim num subconjunto D (L) L. Remark 6 Para especi carmos um operador ^L devemos sempre informar sua expressão diferencial (67) e seu domínio de atuação. Uma equação diferencia linear tem a forma ^L f (x) : O caso com f é chamado de equação homogênea. Pela condição de linearidade, vemos que, se e são soluções da equação homogênea para o operador ^L então qualquer combinação c + c também será solução da equação homogênea de ^L. De forma mais geral, uma combinação arbitrária de soluções da equação homogênea também é uma solução. Este é o princípio da superposição. O hermitiano conjugado de um operador ^L, chamado de ^L +, é de nido através do produto interno e através da expressão (??) h j ^L + j i h j ^L j i ; ou seja, dado um operador ^L de nimos o seu conjugado pela expressão b [L + (x)] (x) dx b a a i (x) h^l (x) dx : 7

128 Exemplo: Se ^L d dx e D (L) são as funções L (a; b) com L e (a) (b) encontre ^L +. Este é o mesmo exemplo que resolvemos acima. Pela de nição temos h j ^L j i b a i (x) h^l (x) dx b a d (x) dx (x) se nossas funções são absolutamente contínuas, i.e., podem ser integradas por partes, temos assim b a d (x) dx (x) b dx [ (x) (x)] b d a (x) [ a dx (x)] dx b d b dx (x) [ (x)] dx h^l+ (x)i a ^L + d dx a dx (x) dx Esta é a forma diferencial de ^L +. Para de nirmos completamente este operador precisamos ainda especi car D (L + ), voltaremos a este problema em breve. Exemplo: O operador Novamente ^L c ; c h j ^L + j i b a b a b a b a h^l+ (x)i (x) [c (x)] dx [c (x)] (x) dx h^l+ (x)i (x) dx h j ^L j i (x) dx ; assim ^L + c : A princípio o domínio de ^L + pode ser todos o espaço L (e, é claro, a restrição ^L + L ). Entretanto, como veremos mais pra frente, podemos impor certas característica no operador ^L que, para serem mantidas, restringem também o domínio de ^L +. 8

129 9 A série de Fourie Temos agora a nossa disposição todos os elementos para o estudo das funções ortogonais. omo primeiro caso, vamos obter o conjunto de funções já conhecidas presentes na série de Fourie. O processo de construção das funções harmônicas está relacionado com a construção dos autovetores de um operador hermitiano agindo no espaço das funções. Ou seja, a solução de uma equação diferencial do tipo ^L l ; ^L N X Primeiramente alguns comentários sobre estas soluções. n a n (x) dn dx n No caso geral, esperamos que uma equação diferencial ordinária de ordem N tenha N soluções LI. Mas nosso caso, encontraremos in nitas soluções. O ponto aqui é que, para uma dada equação, o lado direito é dado, enquanto, nosso caso, este lado depende de autovalores (l) que também temos de encontrar. Ou seja, não estamos falando de resolver uma determinada equação diferencial, mas, além disso, encontrar condições para que esta equação tenha soluções. No caso particular que vamos tratar aqui o operador em questão é o operador de Laplace ^L a d dx ; a : Assim, este problema está relacionado com todos os problemas físicos onde este operador aparece. especial, problemas de eletromagnetismo e mecânica dos uídos. Apenas como motivação (sem alterar o conteúdo formal) podemos dizer que estas funções surgem no estudo do problema quântico de uma partícula numa caixa. omo vimos, um dos postulados da MQ a rma que qualquer sistema físico pode ser completamente representado por um vetor no espaço de Hilbert. Na teoria de Schroedinger o espaço de Hilbert é o espaço L, assim, os vetores são funções (x; t). O signi cado físico destas funções é dado pela chamada interpretação de openhagen, segundo a qual a quantidade j (x; t)j Em representa a probabilidade do sistema ser encontrado na posição x no instante t. Para não car abstrato demais, podemos dizer que o nosso sistema físico é uma partícula de massa m. Assim, j (x; t)j é a probabilidade de encontrarmos esta partícula na posição x no instante t. Mais ainda, a quantidade b a j (x; t)j dx é a probabilidade desta partícula ser encontrada, num instante t, dentro do intervalo [ L; L]. Obviamente, 9

130 se sabemos que a nossa partícula existes (i.e., está em algum lugar), devemos ter: j (x; t)j dx Ou seja, deve ser uma função de quadrado integrável. Assim, o fato de L na teoria de Schroedinger é uma conseqüência da interpretação probabilística da MQ. Além disso, observáveis são operadores hermitianos agindo neste espaço. Na teoria de Schroedinger o operador relacionado com a energia do sistema é dado por 7 ^H ~ m r + V (x) ; onde V (x) é o potencial que age no sistema (ou seja, a energia potencial do sistema). chamado de hamiltoniano do sistema. Este operador é Outro postulado a rma que os valores que o observável pode assumir (ou seja, feita uma medida é o que vamos obter) são apenas os autovalores do operador correspondente. Assim, se efetuarmos uma medida de um sistema quântico descrito por um hamiltoniano ^H, os únicos valores de energia que podemos obter são ^H n E n n : Estamos aqui interessados nos níveis de energia de uma partícula de massa m que pode se mover apenas dentro de um certo intervalo [ L; L]. Ou seja, a partícula está presa neste intervalo. Este problema pode ser facilmente generalizado para o caso com 3 dimensões. Dentro da caixa nenhuma força age sobre a partícula (ela está livre). Assim, neste caso temos V e o hamiltoniano do sistema se torna d ^H ~ m dx : Estando livre, a energia desta partícula é puramente cinética. lassicamente, uma ver que a partícula pode ter qualquer velocidade dentro da caixa e, consequentemente, ela pode assumir qualquer valor de energia. Além disso, a partícula pode estar em qualquer lugar dentro da caixa. Na descrição quântica, entretanto, veremos que as coisas são um pouco diferentes. Primeiramente vamos veri car que o operador ^H acima é hermitiano. Ou seja, vamos veri car que para duas funções e temos h j ^H ji hj ^H j i : (68) Façamos isso para o caso geral em que V 6. 7 O operador hamiltoniano é degenerado, por isso as coisas não são tão simples. 3

131 Explicitando o produto interno acima temos L h j ^H h i L ji (x) ^H (x) dx ~ d (x) L L m dx + V (x) (x) dx (69) L ~ d L m L dx + V dx (7) L Já para o segundo membro de (68) hj ^H j i L L L L ~ m ~ (x) m ~ (x) L L d dx + V (x) dx d m dx + V (x) dx d dx + L Ser ou não hermitiano depende de (7) ser, ou não, igual a (69). Analisemos primeiro o último membro de cada igualdade. Para (7) temos L L (x) V (x) dx que, obviamente, é igual ao último termo de (69). L L L V dx : (7) (x) V (x) (x) dx Vejamos agora o primeiro termo de (69). Fazendo uma integral por partes temos L L L d d dx dx dx d dx d dx L L L L L L d d L dx dx dx " d L dx L d L dx + L L L L L d # dx dx d dx dx que (multiplicado por ~ m) seria exatamente igual ao primeiro termo de (7) se não fossem os dois primeiros termos. Lembremos agora que, no caso geral, não esperamos que nosso operador seja hermitiano para todas as funções em L. Fisicamente isso signi ca que nem todos os estados são possíveis ao sistema. Vamos então 3

132 limitar o nosso espaço impondo condições de fronteira nas nossas funções de onda ( L) (L) ( L) (L) Ou seja, os vetores do nosso espaço (e, consequentemente, os estados físicos do nosso sistema) não são todos os vetores em L ( om esta imposição temos L; L), mas apenas os vetores D ^H ; L ( L; L) ; ( L) (L) ( L) (L) ; a:c: d dx d dx L L L L ( L) (L) ; d dx ( L) d dx (L) e, com isso, h j ^H ji hj ^H j i e o operador ^H é hermitiano. Assim, as condições de contorno acima surgem como uma necessidade para que o operador ^H seja hermitiano. Fisicamente estas condições podem ser interpretadas como o fato da partícula não poder ser encontrada fora, nem nas paredes da caixa, assim j (x; t)j ; para jxj L : Agora que sabemos que nosso operador é hermitiano, procuremos por suas auto funções. Ou seja, vamos resolver a equação ^H E ) d dx k ; k me ~ : Para qualquer valor k a equação acima possui duas soluções LI e sua solução geral pode ser escrita como (x) A exp (ikx) + B exp ( Entretanto, é fácil ver que, assim como ^H, d dx é hermitiano e, como sabemos, seu autovalor deve ser real, ou seja, k R : ikx) 3

133 Pela de nição de k vemos que isso implica k ) E : Ou seja, o fato de ^H ser hermitiano implica que o sistema só pode ter energias positivas. Este resultado é completamente compatível com a física clássica. omo determinamos as constantes A,B e k da solução geral acima? Estas constantes estão relacionadas com as condições de contorno do problema. Lembrando o domínio do operador ^H temos (L) ) Ae ikl + Be ikl ) Ae ikl Be ikl A (cos kl + i sin kl) B (cos kl i sin kl) : (7) Podemos satisfazer esta igualdade de duas formas, a primeira fazendo sin kl ) kl n ; n N observe que n não é um autovetor. Além disso, o caso n < corresponde as mesma funções com sinal trocado e, consequentemente, são as mesmas funções (lembre que a normalização possui uma arbitrariedade na fase). om a escolha acima, temos, A (cos kl) B (cos kl) ) A B ; Podemos também satisfazer a igualdade (7) fazendo cos kl ) kl n + ; n N (observe que agora n é um autovetor), com isso A (i sin kl) B ( i sin kl) ) A B : Ou seja, o nosso problema possui dois tipos de soluções estacionárias n (x) N sin k n x ; k n L n ) E n ~ n ; m L + n (x) N + cos k n + x ; k n + n + ) E +n ~ n + ; (73) L m L onde as constantes N são constantes de normalização destas funções. 33

134 Exercise 63 Obtenha as constantes de normalização N + e N. O resultado acima nos mostra que, dentro da caixa, a partícula só pode assumir os níveis de energia E n e E + n. Além disso, existe um nível mínimo de energia que o sistema pode assumir que é E +. A partícula nunca pode ter energia cinética nula (observe que E caixa). implica (x) e a partícula não está mais na 34

135 Suponha que você prendeu um elétron numa caixa e baixou a temperatura do sistema de forma a garantir que este elétron está no estado fundamental E + (é mais natural imaginarmos que temos vários elétrons não interagentes nesta caixa). Primeiramente veja que existe uma energia do sistema que você não pode retirar, ou seja, esta energia não se dissipa em forma de calor. Em segundo lugar, se você tentar aquecer o sistema, por exemplo o iluminando com um laser, se este laser tiver uma energia menor que E o sistema não irá interagir com seu laser (ou seja, ele será transparente). Se você for aumentando a freqüência destes laser, quando a sua energia chegar a E o sistema passa a absorver o laser (se torna opaco) e os elétrons passam para um nível de energia mais alto. Este salto de um nível de energia para o outro, sem que o sistema possa existir em níveis intermediários (o que classicamente é um contínuo) é chamado de salto quântico. Este efeito de absorção de apenas alguns comprimentos de onda pode ser observado em pontos quânticos. Este é também o mecanismo porque os elétrons em torno do núcleo só absorvem e emitem radiações com determinada freqüência (e.g., a série de Balmer). O fato de nosso operador ser hermitiano signi ca que suas autofunções formam uma base (agora ortonormal) do espaço. Assim, qualquer função do nosso espaço pode ser escrita como: f (x) p X c + n cos n + x + L L n p L X n h i c n sin L nx Em MQ o módulo quadrado dos coe cientes (jc n j ) corresponde a probabilidade de, numa medida da energia (ou qualquer outro observável) do sistema no estado f, obtermos o valor E n. : Assim, o fato de qualquer estado poder ser expandido na decomposição acima, tem o signi cado físico de que todo sistema possui (com uma certa probabilidade) sempre algum valor de energia. Usando a notação de Dirac temos a base composta pelos dois pares de funções fj^e + n i ; j^e n ig com componentes ^e + n (x) p cos n + x L L Exercise 64 Veri que que esta base é ortonormal ; ^e n (x) p h i sin L L nx ^en ^e + m ; ^e + n ^e + m ^en ^em nm : om isso jfi X n c + n X + ^e n + c n ^en n e as componentes c n são a projeção de f na base fj^e + n i ; j^e n ig c + n ^e + L h i n fi p cos L L L nx f (x) dx c n ^e n fi p L sin n + x f (x) dx L L L 35

136 9.. ompleteza A rmamos acima que as funções fj^e + n i ; j^e n ig, com componentes formam uma base do nosso espaço. Mas qual é o nosso espaço? ^e + n (x) p h i cos L L nx ; ^e n (x) p sin n + x L L Lembre que o domínio do nosso operador ^H não é todo o espaço L,[ L; L] mas sim D ^H ; L ( L; L) ; ( L) (L) ( L) (L) ; a:c: E é para este espaço que as funções encontradas formam uma base. Ou seja: Remark 65 As autofunções de um operador hermitiano formam uma base para o espaço do domínio deste operador. Isso signi ca, por exemplo, que as funções encontradas não podem descrever uma função L que seja diferente de zero nas fronteiras. Suponha agora que, no lugar da restrição acima, façamos a restrição: ( L) e i (L) ; ( L) e i (L) : ; Ou seja, D ^H ; L ( L; L) ; ( L) e i (L) ; ( L) e i (L) ; a:c: ; R usualmente chamadas de condições periódicas de contorno (na próxima seção veremos com mais detalhes a razão desta escolha). om isso o termo de fronteira se torna d dx d dx L L L L ( L) ( L) (L) (L) (L) e i ( L) (L) h i ( L) ( L) (L) (L) (L) e i ( L) (L) Neste caso vemos que nosso operador não será hermitiano a menos que coloquemos também a restrição ( L) e i (L) ) ( L) e i (L) ; ( L) e i (L) ) ( L) e i (L) ; 36

137 ou seja, neste caso, não basta a restrição sobre o domínio de ^H, mas temos de também impor a seguinte restrição sobre o domínio de ^H + D ^H+ ; L ( L; L) ; ( L) e i (L) ; ( L) e i (L) ; a:c: : Assim, também para as condições de fronteira acima, nosso operador é simétrico. Para diferenciar este operador do anterior vamos chamá-lo de ^H (lembre que domínios diferentes de nem operadores diferentes). Vamos então encontrar os autovetores de ^H. Para isso voltamos as condições de contorno: ( L) e i (L) com (x) A exp (ikx) + B exp ( ikx) Novamente, se aplicarmos diretamente as condições de fronteira, teremos dois conjuntos de soluções. Uma forma conveniente de se obter estas soluções (que também podia ter sido usada no exemplo anterior) é fazer cada uma das constante A e B igual a zero. Ou seja, para B temos as soluções + (x) A exp (ikx) Aplicando a condição de contorno ( L) e i (L) ) exp (i (kl + )) exp ( ikl) ; que pode ser satisfeita fazendo kl + kl + n ) k + n n L ; n N ; com isso Fazendo A temos + n n (x) A exp i L n x A exp i L (x) B exp ( ikx) x L Aplicando as c.c. que fornece B exp (ikl) B exp ( i (kl )) k n n + L 37

138 com isso, n (x) B exp n + i x B exp L Estas soluções são válidas para qualquer valor de. Em especial, para temos Onde já normalizamos os nossos estados. + n (x) n (x) h p exp i n i L L x h p exp L ; i n L x i k + n k n n L k n : O resultado acima nos mostra que qualquer função f (x) n n i L + x L ; X X f (x) a + n + n (x) + a n n (x) (74) n observe que, para n, + (x) p (x) L por isso na somatória (74) contamos este estado apenas uma vez (n começa de em uma das somatórias). Obviamente a decomposição (74) pode ser escrita como f (x) ( X h p a + n exp i n i L L x + n ( X p L n h a + n exp i n i L x + X n X n h a n exp ) i n i L x h a n exp i n i L x ) ; ou ainda, fazendo temos f (x) ( X p L p L a n n X n ( a + n ; n a n ; n < h a n exp i n i L x + h a n exp i n i L x : X n ) h a n exp i n i L x 38

139 Vamos então introduzir as funções: ^e n (x) p exp i n L L x ; n Exercise 66 Veri que que estas funções são auto-funções de ^H. Exercise 67 Veri que que estas funções são ortonormais. om isso, podemos a rmar que qualquer função no nosso espaço pode ser escrita como f (x) X n a n^e n (x) p L X n a n exp i n L x Esta é a chamada série de Fourie da função f (x). E, uma vez que as nossas funções formam uma base ortonormal que são os coe cientes de Fourie da função. a n h^e n j fi p L exp L L i n L x f (x) dx : Lembrando que agora o nosso espaço é o espaço das funções L [ L; L], periódica, i.e., f ( L) f (L). Este espaço inclui o anterior (i.e., o espaço das funções com f ( L) f (L) ). Porque a série de Fourie é tão importante? A série de Fourie (autovetores de ^H ) é muito mais usada que os autovetores de ^H. Obviamente, como D( ^H) D( ^H ), isso era de se esperar. Ou seja, podemos expandir muito mais funções usando os autovetores de ^H do que com os autovetores de ^H. Isso é verdade, mas a verdade é ainda mais forte. Um fato é que, tirando os pontos L e L qualquer função no domínio [ L; L], pode ser expandida em serie de Fourie. Ou seja, qualquer função contínua com derivada contínua de nida no intervalo ( : L; L) (e não apenas as periódicas) pode ser expandida em série de Fourie. Assim, dada uma função g (x) de nida no intervalo x [ L; L] e dada uma distância nita " > da fronteira, podemos obter uma série na forma f (x) a n X n a n e n (x) ; e n (x) p exp i n L L x L p exp L L i n L x g (x) dx ; ; que será igual a g (x) para qualquer ponto acima desta distância " > não importa o quão pequeno seja ". Destarte, qualquer função em L ( uma série na forma acima. L; L) pode ser aproximada, com uma precisão in nita, por Dizemos assim que a base fje n ig é completa em L ( L; L) (lembre que ela não é uma base de L ( L; L) mas sim de L ( L; L) D ^H ). Por abuso de linguagem, dizemos que fje n ig é uma base de L ( L; L). 39

140 Assim, se queremos expandir qualquer função de L ( L; L) devemos encontrar operadores que nos forneçam uma base completa. Mas como saber se a base de um operador é completa? Antes vamos observar uma peculiaridade do operador ^H. Observe que D( ^H ) D( ^H + ), ou seja, ^H não é apenas hermitiano (i.e., possui a mesma forma que seu adjunto), mas também possui o mesmo domínio que seu adjunto. Uma vez que um operador é de nido pela sua forma e pelo seu domínio, neste caso podemos a rmar que o operador ^H é igual ao seu adjunto. Um operador que é igual ao seu adjunto é chamado de um operador auto-adjunto. Um resultado que vamos aceitar sem provar é o seguinte: Remark 68 Autovetores de um operador auto-adjunto formam uma base completa. Exemplo: Vamos encontrar a série de Fourie da função f (x) x, com x [ ; ] f (x) a n X n a n e n (x) e n (x) f (x) dx p x exp ( inx) dx Precisamos calcular a integral x exp ( fazendo uma integração por parte fg (fg) f g inx) dx f x ) f g exp ( inx) exp ( inx) ) g i n x exp ( inx) dx i n [x exp ( i inx)] exp ( inx) dx n i n [exp ( in) + exp (in)] i exp ( inx) n in i n cos n i sin n n i n ( )n 4

141 com isso a n E a nossa série toma a forma f (x) p i r n ( i )n n ( )n ; n 6 a h^e j fi p x dx p ( X p n r i n ( h )n exp i n i x + ( r X i p n ( )n exp [inx] + n i p r i p r X n n ( X n X n X n X n n ( )n fexp [inx] exp [ inx]g n ( )n sin [nx] X ( ) n+ sin [nx] n n )n i sin [nx] Vamos calcular, por exemplo, este série em x f () que, obviamente, concorda com f (x) x. X ( ) n+ sin [n] n n Vamos agora calcular a série na fronteira, x, f () X ( ) n+ sin [n] n n r i n ( ) h )n exp i n i x r i ( n) ( ) n exp [i ( n) x] que, certamente, é diferente de f (x) x calculado em x. Assim, como vimos, a série obtida converge para a função em qualquer ponto dentro do intervalo x ( ; ), mas não necessariamente para o valor da função na borda x. O ponto é que, pelo domínio escolhido ( ) (L) ( série obtida sempre terá o mesmo valor nas bordas. Para minimizar o salto que a série terá de dar para se aproximar da função fora da borda, este valor sempre estará no ponto intermediário ao valor da função nas bordas, i.e., no ponto [f (L) f ( L)]. ) L)) a 4

142 Para pontos diferentes de x ; precisamos, obviamente calcular a série (o que usualmente é feito numericamente). Quanto mais termos incluímos na série, mais esta se aproxima da função. A gura abaixo mostra um exemplo com apenas um termo (n ) e com vinte termos ( P n ). 9.. O operador de momento e o signi cado físico das condições de fronteira Na MQ o operador hamiltoniano está relacionado com a energia da partícula, i.e., os autovalores deste operador são as energias que o sistema pode assumir. onde O operador hamiltoniano usado na seção anterior também pode ser escrito como ^H ^p m + V (x) ^p omparando ^H com a expressão clássica, vemos que o operador ^p corresponde ao momento da partícula. i~ d dx Na seção anterior, quando xamos condições periódicas de contorno ( (L) ( foram da forma L)), as soluções obtidas ^e + n (x) p L exp (ik n x) ; k n n L ^e n (x) p L exp ( ik n x) ; n N Assim, o momento associado a partículas nestes estados vale ^p^e + n i~ d p exp (i k n x) ~k n p exp (i k n x) ~k n^e + n dx L L ^p^e n ~k n^e n 4

143 Ou seja partículas no estado ^e + n correspondem a partículas com momento positivo ~k n e no estado ^e n com momento negativo ~k n. Se usarmos um análogo clássico deste sistema podemos dizer que as primeiras tem velocidade positiva (vão para a direita) e as outras velocidade negativa (vão para a esquerda). Observe agora que os auto-estados de ^H acima também são auto-estados de ^p. O que era de se esperar, pois nossas partículas estão livres e toda a sua energia é cinética. Assim, dado o valor (auto-valor) de ^p sabemos o valor (auto-valor) de ^H. Agora, quando xamos a condição de fronteira (L) ( L), as autofunções de ^H foram n (x) N sin k n x ; k n L n ; + n (x) N + cos k + n x ; k + n L n + ; que certamente não são autofunções de ^p. Mas por que, se neste caso também a partícula continua livre? O ponto é que a condição de fronteira (L) ( L) signi ca ( sicamente) que a partícula não pode penetrar na parede e, como esta partícula não pode desaparecer, ela tem de ser re etida. Assim, para esta condição de fronteira temos a visão clássica de uma partícula indo e voltando na caixa. Tal partícula tem seu momento mudando constantemente e, certamente, não está num auto-estado do momento. Já para a condição periódica de fronteira (L) ( L) é como se, ao chegar no ponto x L a partícula reaparecesse no ponto x L (ou vice-versa). O melhor modelo clássico para isso não seria uma partícula numa caixa, mas sim presa num anel. Neste caso, obviamente, a partícula pode girar sempre numa determinada direção e ter um momento bem de nido. Assim, a escolha das condições de fronteira para um problema depende do sistema físico em consideração. Mas os resultados matemáticos nos dizem muita coisa. Por exemplo, as autofunções de ^p são da forma ^e (x) N exp (ikx) ; e, para estas funções, não conseguimos xar a condição de fronteira (L) ( L) O que nos diz que o momento não é uma quantidade bem de nida da nossa partícula numa caixa. Neste caso a interpretação é óbvia, mas, em casos mais complicados, a incapacidade de xar certas condições de fronteira, ou alguma outra peculiaridade matemática, pode nos dar uma in nidade de informações físicas novas sobre o sistema. 43

144 9. Operadores auto-adjuntos omo vimos, os operadores auto-adjuntos são os elementos cruciais na construção de funções ortogonais. Pois seus autovetores formam uma base completa de L. Além disso, estes operadores são os elementos principais em MQ, pois (um resultado de Von Neumann) observáveis estão associados a operadores auto-adjuntos (e não hermitianos). De nition 69 Um operador ^L é auto-adjunto se ele for hermitiano (^L ^L + ) e se seu domínio for igual a de seu adjunto (D (L) D (L + )), ou seja, se ^L ^L +. Exemplo: Vamos voltar ao exemplo tratado anteriormente ^L i d ^L dx ; D ; L (a; b) ; a:c: ; (a) (b) como vimos anteriormente, este operador é hermitiano. h j ^L j i b a i (x) h^l (x) dx b [ (x) (x)] b a + h j ^L j i a (x) i d dx (x) dx Qual o domínio do operador ^L +? Em outras palavras, em quais funções ^L+ pode atuar sem que isso quebre a simetria de ^L? Observe que, mesmo que (a) 6 e (b) 6 temos h j ^L j i (b) (b) (a) (a) + h j ^L j i (b) (a) + h j ^L j i h j ^L j i ou seja, ^L é hermitiano para D ^L+ ; L (a; b) ; a:c: D ^L ou seja D ^L+ 6 D (L), portanto nosso operador ^L, apesar de hermitiano, não é auto-adjunto. Exemplo: vamos agora de nir o operador ^L c i d dx ; D ^Lc ; L (a; b) ; a:c: ; (a) c (b) ; c 44

145 h j ^L c j i [ (x) (x)] b a + h j ^L c j i (b) (b) (a) (a) + h j ^L c j i [ (b) c (a)] (b) + h j ^L c j i 6 h j ^L c j i Para tentar simetrizar este operador, vamos tentar de nir o domínio de D ^L+ c como D ^L+ c ; L (a; b) ; a:c: ; (a) c (b) D ^L com isso, h j ^L c j i [ (b) c (a)] (b) + h j ^L c j i [ (b) cc (b)] (b) + h j ^L c j i [ cc ] (b) (b) + h j ^L c j i h jcj i (b) (b) + h j ^L c j i Vemos então que nosso operador será simétrico se (e somente se) jcj ) c e i ; R : ou seja, se de nirmos o operador ^L i d dx ; D ^L ; L (a; b) ; a:c: ; (a) e i (b) ; R : Assim, o novo operador ^L, diferente de ^L, é um operador auto-adjunto. (D ^L+ D ^L ) Dos exemplos acima vemos que, no primeiro caso o D ^L+ é maior que o D ^L, D ^L+ D ^L, enquanto no segundo caso D ^L+ D ^L. É possível provar que, no caso geral, D ^L D ^L+, i.e., o domínio de ^L nunca é maior que o domínio de ^L +. O que zemos no segundo exemplo foi restringir o domínio de ^L +, que chamamos de D ^L+. Obviamente D L + D (L + ). Assim, se D (L + ) 6 D (L), como no primeiro exemplo, as vezes (mais nem sempre) é possível reduzir o domínio do adjunto de forma que o novo operador seja auto-adjunto. Um procedimento para fazer foi desenvolvido por Von Neumann. Vemos assim que todo operador auto-adjunto é, por de nição, hermitiano, mas o contrário não é verdade. Esta diferença, que a primeira vista parece uma tecnicalidade, possui importantes conseqüências tanto matemáticas quanto físicas. 45

146 9. O oscilador harmônico omo um excelente (além de importante) exemplo da aplicação do formalismo desenvolvido acima, temos o tratamento do oscilador harmônico quântico. omo se verá no desenvolvimento que segue, a noção abstrata do espaço de Hilbert (sem sua realização) permite simpli car bastante o problema. Deve-se tentar resolver o problema partindo diretamente da equação de Schrödinger (ES) para se veri car isto. Vamos introduzir os seguintes operadores diferenciais lineares d ^L ^H ~ m dx + m^x ; ^p i~ d dx D (^p) D ^H ; L ; a:c: aqui ^H é o operador hamiltoniano de um oscilador harmônico. A solução do problema quântico se obtém pela solução da ES estacionária, i.e., através da solução do problema de autovalores de ^H, ^H E ) ~ d m dx + m^x E Esta equação não é nada simples de se resolver. Vamos tentar então um método alternativo. Primeiro observe que, para qualquer função D ( ^p) temos x^p ^p (x ) x i~ d dx i~x d dx i~x d dx + i~ d dx (x ) i~ d (x ) dx d + i~ ( ) + i~x dx i~ (75) Se usarmos a notação x^p ^p (x ) [x^p ^px] [x; ^p] ; onde [x; ^p] [x^p ^px] é chamado o comutador de x com ^p, lembrando que o operador atua em tudo que estiver a sua direita e que (75) é válida para toda função, podemos escrever simbolicamente [x; ^p] i~ (76) 46

147 ou seja, sempre que aparecer o comutador entre x e ^p podemos substituir por i~. Lembre que a quantidade acima é um operador enquanto a quantidade à direita da igualdade é um número. Remark 7 Assim, esta igualdade só faz sentido quando ambos os lados atuam numa função qualquer. Vamos agora de nir os seguintes operadores diferenciais ^a p x + i^p ; ^a + i^p p x m m x p ^a + ^a+ ; ^p i~ p ^a + ^a (77) r m ~ om estes novos operadores o Hamiltoniano pode ser escrito como (veri que): ^H ~ (^a + ^a) m + m ^a + ^a + h 4 ~ ^a + ^a + ^a + ^a i 4 ~ h ^a + ^aa + + a +^a + a + ~ ^aa + + a +^a ^a ^aa + a +^a a + i As regras de comutação (76) implicam que (veri que): ^a; ^a + ^H ^p m + m^x ~ ^aa + + a +^a (78) x + i^p m x + i^p m " x x + i^p m i [x; ^p] m ; x ; x x x i^p m + i^p m x i^p m i^p m i^p m i^p m x x + i^p m i^p m x x i^p m + i^p m x + # i^p m 47

148 ou seja, om isso [x; ^p] i~ ) ^a; ^a + : (79) ^H ~ ^aa + + a +^a ~ ^a +^a + Suponha agora que n (x) é uma auto função qualquer de ^H, ou seja, ^H n E n n Agora uma característica muito mais do que importante dos operadores (77): Usando a regra de comutação (79) vemos que ^H^a n ~ ^a +^a + ^a n ~ ~ ^a^a + ^a + ^a n ^a~ ^a +^a + n ^a~ ^a +^a + n h i ^a ^H ~ ^a [E n ~] n En ~ ^a ~ n : n ^a +^a ^a + ^a n fazendo temos E n ~ n ) ^H n ~ n n ^H^a n ~ ( n ) ^a n : Ou seja, se n é autovetor de ^H com autovalor ~ n, então ^a n é outro autovetor de ^H, mas com autovalor ~ ( n ) diminuindo de uma unidade. Simbolicamente podemos chamar este vetor de n ; ^a n n ; ^H n ~ n n ; n n : 48

149 Da mesma forma ^H^a + n ~ ~ ~ ^a +^a + ^a + ^a +^a^a + + ^a + n ^a + + ^a +^a + ^a + ^a + ~ + ^a +^a + ^a + ~ + ^H ^a + ~ ( + n ) n ~ ( + n ) ^a + n n n n n Ou seja, se n é autovetor de ^H com autovalor ~ n, então ^a + n é outro autovetor de ^H, mas com autovalor ~ ( n + ) acrescido de uma unidade. Simbolicamente podemos chamar este vetor de n+ ; ^a + n n+ ; ^H n+ ~ n+ n+ ; n+ n + : (8) Por isso estes operadores são chamados de operadores de criação a + e aniquilação a. Vamos usar agora que a energia do sistema é uma quantidade positiva 8 h j ^H j i num estado n qualquer h n j ^H j n i h n j ~ n j n i ~ n h n j n i ~ n : (8) (onde supusemos que n está normalizado). (Estado fundamental) Se a energia é positiva deve haver um estado de energia fundamental, i.e., um estado cuja energia não possa ser reduzida. Podemos chamar este estado simbolicamente de com energia min ( n ). 8 Isso pode ser visto observando que para qualquer autovetor normalizado n temos h n j ^a +^a b j n i [ n (x)] a + a n (x) dx a b [a n (x)] [a n (x)] dx a h^a n j j^a n i : 49

150 Mas a existência do operador ^a garante que sempre podemos baixar a energia do sistema. Ou seja, o vetor ^a teria uma energia <, a menos que (x), ou seja, ^a : Isso é tudo que precisamos para caracterizar o OH. Voltando agora para os nossos operadores originais (x; ^p) temos: ^a ) p ^x + i^p m x + ~ d m dx fazendo temos vale k ~ m d dx k x ) d dx d dx ln x k ; Fácil ver que a equação acima é bem mais fácil de resolver que a nossa equação original (??). Sua solução ln com N uma constante (normalização). (78) x x k + ) (x) N exp : k A exigência ^a, nos permite ainda determinar a energia deste estado fundamental. Partido da eq. ^H n ~ n n ~ ^a +^a + ~ ~ ^a + (^a ) + ~ ~ ~ Então já temos o estado fundamentas e a sua energia (auto-valor). (o oscilador nunca para de oscilar) Observe que a descrição quântica do OH implica na existência de uma energia mínima (o oscilador nunca para de oscilar). 5

151 omo construir os outros estados n? Para isso, basta usar a propriedade (8) ^a + n n+ ) ^a + ) p ^x E ~ ( + ) ~ + i^p m explicitamente ~ d p x m dx (x) p x + ~ ~ m m (x) p x N p x exp x k Da mesma forma, podemos obter todos os outros estados (não-normalizados) n n ^a + n p n (x) N x n ~ d m dx (x) om autovalor E n ~ n Normalização As funções n (x) não estão normalizadas, i.e., após a aplicação do operador ^a + n vezes, precisamos calcular N. Isso pode ser simpli cado supondo que, se n é um vetor normalizado, queremos obter N e N + para que ^a n N n ^a + n N + n+ ^a n e ^a + n também já estejam normalizados. ~ ^a +^a + ^H j n i E n j n i j n i ~ ^a +^a j n i n j n i n + j n i 5

152 multiplicando pelo dual de j n i temos h n j ^a +^a j n i n h n j j n i n (8) Agora observe que, pela de nição de adjunto h j ^A ji hj ^A + j i temos ^A dx (A + ) dx (A + ) dx ou seja, podemos calcular h j ^A ji como o produto do dual de j i com ^A ji, ou como o produto de ji com o dual de ^A + j i. om isso h n j ^a +^a j n i n a + (a n ) dx ^a n (^a n ) dx se zemos a expressão acima se torna usando (8) j n i ^a j n i ( n ) ( n ) dx h n j j n i j n j j^a n j j^a n j n ) ^a n p n ou seja, se quisermos um vetor normalizado não devemos de nir ^a n n, mas sim ^a n p n n ) ^a n p n n Da mesma forma h n j ^a^a + j n i h n j + ^a +^a j n i + h n j ^a +^a j n i + n N + ^a + n p n + n+ Ou, fazendo m n +, ^a + m p m m 5

153 com isso m ^a+ p m m ^a+ p m ^a + p m ^a + p m m 3 p ^a+ ^a + ^a + ^a + p p ::: p m m m m m m m (^a+ ) m p m : Assim, a formula para a n-ésima autofunção do hamiltoniano do OH se torna n (x) N p p x n n ~ d m dx (x) onde N é a normalização do estado. As funções n assim construídas são chamadas de funções de Hermite. Exercise 7 Use a integral gaussiana e ache a normalização N. e x Exercise 7 onstrua a função de Hermite 4 (x). Qual o domínio do operador ^H em consideração? dx p Assim, como antes, fazendo uma integração por partes temos: h j ^H + ji L d dx L d L dx + hj ^H + j i L Se xarmos L temos h j ^H + ji d dx d dx + hj ^H + j i Nosso operador será hermitiano se () (), ou seja, nossas funções vão à zero no in nito. Assim, o domínio do nosso operador vale tipo 9. D ^H ; L ( ; ) ; () () ; a:c: Felizmente praticamente todas as funções usadas em física (e em todas as aplicações práticas) são deste 9 Um ponto bizarro é que podemos construir funções que não vão a zero no in nito e, ainda assim, são de quadrado integrável 53

154 Resumindo: a construção de funções ortogonais consiste na determinação dos autovetores (autofunções) de operadores auto-adjuntos, ou, ao menos, hermitianos. Vimos os seguintes casos:. O operador de momento ^p i~ d dx com condições periódicas de contorno, fornece as funções ortogonais e (x) p L exp (ik n x) ; k n n L presentes na decomposição da série de Fourie. Este operador está relacionado com vários problemas em física, em especial com o problema quântico de uma partícula numa caixa.. O operador no espaço das funções L ( d ^H ~ m dx + m^x ; ) cujas autofunções são n (x) N p p x n n ~ d m dx (x) conhecidas como funções de Hermite. Este problema está relacionado, em especial, com a equação do oscilador harmônico. Outros casos muito encontrados são:. Equação diferencial de Legendre ^L x d dx x d + n (n + ) dx ujas soluções são os polinômios de Legendre P n (x) N d n n n dx n x n : Esta equação esta relacionada, por exemplo, com o problema quântico do átomo de hidrogênio.. Equação diferencial generalizada de Legendre ^L x d dx x d dx + l (l + ) m x (veja o livro Akhiezer N.I., Glazman I.M. Theory of linear operators in Hilbert space). Entretanto, a exigência de que a derivada da função vá a zero no in nito é condição necessária para que ela seja de quadrado integrável. 54

155 ujas soluções são os polinômios generalizados de Legendre 3. A equação de Laplace em coordenadas esféricas ^L r cujas autofunções são os harmônicos esféricos P m l (x) N ( ) m x m d m dx m (P @r cos r Yl m (; ') Ne im' Pl m (cos ) Esta equação esta relacionada, por exemplo, também com o problema quântico do átomo de hidrogênio. Operadores integrais e transformadas.. Transformada de Fourie omo vimos anteriormente certas funções ortogonais estão de nidas em todo o espaço L. Decomposições desta forma têm a vantagem de grande parte dos problemas da física respeitarem estas condições. Menos, é claro, funções periódicas, para a qual temos a série de Fourie. Nosso objetivo aqui é estender a série de Fourie, de nida em L,L para o caso L-i, o que, entre outras coisas, elimina o problema da série não convergir para a função nos extremos. omo vimos, a decomposição em série de Fourie de uma função f (x), x [ L; L] é dada por f (x) p X a n exp i n L L x n ; a n p L f (x) exp L L i n L x dx gostaríamos de tomar o limite L. Obviamente, neste limite, nem a série, nem os coe cientes, estão de nidos. Entretanto, podemos resolver esta indeterminação exigindo que as quantidades p Lan tenham um valor nito. Vamos então fazer a mudança de variável n L k e exigir que p Lan h (k) ; 55

156 Além disso, como n aumenta sempre de uma unidade na somatória, temos n n + n ) X n F n X n F n n n L k ) dk dn L n F n F (k) ) X F n n L F (k) dk n f (x) p X a n exp i n L L x F n p a n exp i n L L x ) F (k) p h (k) p exp (ikx) L L com ou ainda, fazendo f (x) h (k) exp (ikx) dk h (k) p La n g (k) h (k) p f (x) exp ( ikx) dy temos f (x) g (k) p g (k) exp (ikx) dk p f (x) exp ( ikx) dx A expressão para a função f(x) acima é chamada de fórmula integral de Fourie. A função g acima é chamada de transformada de Fourie de f. Pela simetria destas expressões, podemos chamar f também da transformada de g. Muitos livros adotam a notação F [f (x)] g (k) p f (x) exp ( ikx) dx ; F [g (k)] f (x) p g (k) exp (ikx) dk : Obviamente no procedimento acima não há nenhuma razão para crer que a integral de Fourie convirja para a função. Entretanto, substituindo os coe cientes da transformada (a função g) na formula integral 56

157 temos: f (x) p g (k) exp (ikx) dk p p f (x ) exp ( ikx ) dx exp (ikx) dy onde f (x ) f (x ) exp [i (x x ) k] dx dk exp [i (x x ) k] dk dx f (x ) (x x ) dx (x x ) exp [i (x x ) k] dk A quantidade acima é conhecida como delta de Dirac. Um resultado da teoria das distribuições, a rma que: para qualquer função f (x) L ( ; ). A seguinte igualdade é válida f (x ) (x x ) dx f (x) Este resultado mostra que realmente a fórmula integral de Fourie (assim como a série de Fourie) tente (em módulo quadrado) para a função. Observe também que jg (k)j dk g (k) g (k) dk f (x) (x f (x ) exp (ikx ) dx f (x) exp ( ikx) dx exp (ik (x f (x) dx jf (x)j dx : x)) x) f (x ) dx f (x) dx dk f (x ) f (x) dx dx dk Este resultado é conhecido como teorema de Parseval. Ou seja, se f (x) L ( x, então g (k) L ( ; ) como uma função da variável k. ; ) é uma função variável 57

158 A convergência acima pode ser explicitamente provada (usando a fórmula integral de Dirichlet) para funções de módulo integrável jf (x)j dx < (veja o livro do ourant-hilbert). Mas, para o caso de funções L, que são o nosso interesse, precisamos de resultados da teoria das distribuições. Obviamente o mesmo procedimento acima pode ser desenvolvido usando outros sistemas de funções ortogonais (e não apenas as exponenciais). Desta forma, existem vários outros tipos de transformadas. Por exemplo, a transformada de Henkel que utiliza as funções de Bessel. Exercise 73 Mostre que, se f (x) é uma função par, então: g (k) conhecido como Transformada de Fourie dos cossenos. f (x) cos (kx) dx ; Exercise 74 Mostre que a transformada de Fourie de uma gaussiana é também uma gaussiana. x f (x) N exp a Exercise 75 Mostre que F [f (x)] ikf [f (x)] ; f df dx..3 A delta de Dirac A delta de Dirac é uma quantidade bastante útil nas manipulações do espaço L. A forma explicita acima é apenas uma das in nitas formas de se construir explicitamente a delta de Dirac. No caso geral, esta quantidade é construída apenas pela de nição: Em especial, para f (x) temos (x x ) para x 6 x f (x) (x x ) dx f (x ) (x x ) dx : Pela de nição acima, vemos que esta quantidade não pode ter um valor nito em x x, pois, neste caso, a integral seria zero (a área embaixo de um ponto é zero). Assim, esta quantidade não é uma função. Mas 58

159 sim uma quantidade chamada distribuição, i.e., uma quantidade que só faz sentido quanto integrada. Através da notação de Dirac podemos expressar também a formula integral de Fourie fazendo: jfi g (k) je k i dk onde agora o "vetor" jki tem suas componentes indexadas por um índice contínuo e k (x) p exp (ikx) om a de nição acima temos he k j e k i exp [i (k k ) x] dx (k k ) ; e para obtermos os coe cientes g (k) (os coe cientes da expansão) basta projetar jfi em je k i he k j fi g (k ) g (k) he k j e k i dk g (k) (k k ) dk o que, obviamente, fornece a expressão para g (k) obtida anteriormente g (k) he k j fi p f (x) exp ( ikx) dx : (83) laro que, pela simetria entre g e f, podemos da mesma forma de nir jgi f (x) je x i dx onde je x i possui componentes e x (k) p exp ( ikx) (e k (x)) Remark 76 Observe que agora x é o índice (contínuo) que identi ca o vetor e k é o parâmetro da função. om isso, he x j e x i exp [i (x x) k] dk (x x) Observe que k é o índice que identi ca o vetor e x o parâmetro da função. 59

160 e f (x) he x j gi p g (k) exp (ikx) dk Podemos então obter todas as expressões anteriores se trocarmos todas as somatórias por integrais e generalizamos a nossa de nição de ortogonalidade para he n j e m i nm he x j e x i (x x ) : Estas igualdades nos permitem trata jxi como uma "base" contínua do espaço e a transformada de Fourie como uma mudança da base jxi para a base jki. Mas isso é só uma forma de lidar com as coisas, ou seja, é útil, mas não é rigorosamente verdade. Lembre da discussão de cardinalidade. Nosso espaço tem uma base contável e um conjunto contínuo de vetores jxi possui mais elementos (uma maior cardinalidade) que um conjunto contável de vetores jni. Por isso no conjunto fjxig temos mais vetores que a base fjnig. E qualquer conjunto com mais elementos que uma base não é uma base ortonormal. não podem ser ortogonais. ortogonalidade. Além disso, fácil ver que as funções Em especial, seus elementos Ou seja, a generalização acima não é (rigorosamente) uma expressão de e x (k) p exp ( ikx) ; e k (x) p exp (ikx) não são de quadrado integrável (com a medida usual), de sorte que jxi ; jki L ( ; ). Toda esta questão é extremamente complicada e exige uma discussão profunda sobre análise de operadores no espaço de Hilbert e teoria das distribuições. Em especial, para incorporar as funções e x (k) e e k (x) numa teoria consistente existe uma generalização do conceito de espaço de Hilbert, chamado rigged Hilbert space (ou equipped Hilbert space). Mas o ponto é que você será muito feliz se, ao tratar a grande maioria dos problemas, esquecer tudo isso e tratar je x i e je k i como uma base do espaço de Hilbert. Estes vetores (vamos então esquecer as aspas) são tão usados que simpli camos sua notação jxi je x i ; jki je k i : com isso hx j xi (x x ) ; hk j ki (k k ) Assim, dado um vetor jfi L ( ; ) podemos decompor este vetor na base fjxig jfi jxi hxj fi dx 6

161 com componentes ou na base fjkig com componentes jfi hxj fi f (x) g (k) jki dk hkj fi f (k) : jki hkj fi dk Obviamente f (k) F [f (x)] é a transformada de f (x) (nessa notação usamos a mesma letra para a transformada e só mudamos a variável). fjxig Neste sentido, a transformada pode ser vista como uma mudança de base. Pois, dado um vetor na base jfi suas componentes na base fjkig são jxi hxj fi dx f (k) hkj fi omparando com a expressão da transformada de Fourie (83) jxi f (x) dx hkj xi f (x) dx hkj fi p f (x) exp ( ikx) dx temos hkj xi p exp ( ikx) : E as funções da Transformada são os coe cientes de mudança das duas bases. Exercise 77 onsidere um vetorhi L Faça Decomponha o vetorhi na base fjxig. h (x) xf (x) e mostre que Ou seja, hkj hi i d hkj fi dk F [xf (x)] i d F [xf (x)] : dk 6

162 Aplicação Vamos considerar um exemplo usando a equação de difusão. Ou seja, vamos determinar a distribuição de temperatura T (x; t) num sólido (considerado in nito) sabendo que T (x; ) f(x). Precisamos então resolver a Fazendo a transformada de Fourie de T na variável x temos F [T ] F (k; t) exp (ikx) p T (x; t) dx Usando as propriedades temos que F (k; x) obedece a equação com isso k F [T ] F (k; t) exp k t (k) Pela de nição de F sabemos que Usando agora a condição inicial om isso F (k; ) (k) exp (ikx) p T (k; ) dx (k) F (k; t) exp k t exp (ikx) p f(x) dx exp (ikx) p f(x) dx Para obtermos a distribuição de temperatura, basta agora aplicar a transformada inversa F [F ] T (x; t) exp ( ikx) p F (k; t) dk 6

163 com isso T (x; t) exp k t exp (ikx ) p f(x ) dx exp ( ikx) p exp k t exp (ik (x x)) dk f(x ) dx dk Este resultado já pode ser usado para calcularmos a distribuição numericamente. Entretanto, a integral em k pode ser facilmente calculada completando o quadrado k t + ika (ak b) a k + akb b k t + ika a p t ; b ia p t A (x x ) com isso exp k t + ika dk ptk exp A exp exp 4t usando a integral gaussiana ia p A dk t 4t ptk ia p t dk exp k t exp (ik (x x)) dk h 4t exp i (x x ) 4t temos T (x; t) G (x; t; x ) 4t exp h G (x; t; x ) f(x ) dx i (x x ) 4t A função G (x; t; x ), que permite calcular a solução do nosso problema num instante qualquer, dada a condição inicial, é chamada de função de Green do problema. 63