1. Resolva as equações diferenciais: 2. Resolver os seguintes Problemas dos Valores Iniciais:

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1 Universidade do Estado de Mato Grosso - Campus de Sinop Cálculo Diferencial e Integral III - FACET Lista 6 Profª Ma. Polyanna Possani da Costa Petry 1. Resolva as equações diferenciais: a) y + 2y = 2e x b) x dx 4y = x6 e x c) xe y sen x dx y = 0 d) x 2 y + 2xy = cos 2 x e) t ln t dr + r = tet 2. Resolver os seguintes Problemas dos Valores Iniciais: a) b) dp dx + 4 x y = x2 1, y(1) = 0, x (0, ) = Pt, P(1) = 2 c) sen(t) + cos(t) y = cos (2t) y (π 2 ) = 1 2 d) xy + y = y 2, y(1) = 1 e) y = x + y, y(0) = 2 f) dv 2tv = 3t2 e t2, v(0) = 5 g) xy = y + x 2 sen x, y(π) = 0 3. Ache o valor de b que torna a equação abaixo exata. Resolva a equação usando o valor de b encontrado. (xy 2 + bx 2 y)dx + (x + y)x 2 = 0 4. Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas se tornam exatas quando multiplicadas pelo fator integrante dado, em seguida resolva as equações. a) x 2 y 3 + x(1 + y 2 )y = 0 μ(x, y) = 1 xy 3 b) y dx + (2x ye y ) = 0 μ(x, y) = y 5. Verifique se as equações diferenciais são exatas e as resolvam. Caso contrário, encontre o fator integrante que a torne exata e resolva. a) (1 t2 2t y2) + = 0 y b) (y + ty 2 ) t = 0 6. Fazendo mudança de variável resolva as equações diferenciais: a) = t2 y 2 ty b) + xy = xy2 dx

2 7. Resolva as equações diferenciais e os PVI s quando dados, procurando identificar primeiramente o método a ser utilizado. a) x + xy = 1 y y(1) = 0 i) y tg x = sen x dx dx b) dx = e2x + 3y j) x dx + y ex = 0 y(a) = b c) xy y = (2x 2 y 2 )y y(1) = 2 d) 2 sen y cos x dx + cos y sen x = 0 e) = x2 +3y 2 dx 2xy f) y y = t y(0) = y 0 g) t 2 y + 2ty y 3 = 0 k) x dx + y = 1 y 2 l) = 4y 3x dx 2x y m) ydx + (2xy e 2y ) = 0 n) y (1 + y) = 1 x 2 o) y y sen t = 0 h) dx y x = x 2 8. Seja P(t) o nível de desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t. O gráfico de P é chamado curva de aprendizagem. A derivada dp representa a taxa na qual o desempenho melhora, dada pela equação diferencial dp = k[m P(t)], onde k é uma constante positiva e M é o nível máximo de desempenho. Resolva essa equação e use sua solução para plotar a curva de aprendizagem. 9. Dois novos trabalhadores foram contratados para uma linha de montagem. João processou 25 unidades durante a primeira hora e 45 unidades durante a segunda hora. Marcos processou 35 unidades durante a primeira hora e 50 unidades na segunda hora. Usando o modelo do exercício anterior e assumindo que P(0) = 0, estime o número máximo M de unidades por hora que cada trabalhador é capaz de processar. 10. Considere um circuito elétrico contendo um capacitor, um resistor e uma bateria. A carga Q(t) no capacitor satisfaz a equação R dq + Q C = V onde R é a resistência, C a capacitância e V a voltagem constante fornecida pela bateria. Se Q(0) = 0, encontre Q(t) em qualquer instante t.

3 11. No circuito do exercício anterior, suponha que a resistência seja 5 Ω e a capacitância, 0,05 F; a pilha forneça uma voltagem constante de 60 V e a carga inicial seja Q(t) = 0 C. Encontre a carga no tempo t. 12. Movimento Vertical: Descreva o movimento vertical de um corpo de massa m sob a ação da gravidade em um meio que oferece resistência proporcional à velocidade do corpo. Deseja-se conhecer a posição do corpo num instante t. 13. Resfriamento de um corpo: Consideremos um modelo simplificado para o fenômeno de variação de temperatura num corpo por perda ou ganho de calor para o meio ambiente, fazendo as seguintes hipóteses: i. A temperatura T é a mesma no corpo todo e depende apenas do tempo. ii. A temperatura do meio ambiente, T a, é constante com o tempo. iii. O fluxo de calor através das paredes do corpo dado por dt é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e do meio ambiente, isto é, dt = k(t T a) (chamada lei de Newton para resfriamento) onde k é uma constante positiva que depende das propriedades físicas do corpo. Conhecendo-se que a temperatura T(0) = T 0. a) Determine a equação que fornece a temperatura do corpo no instante t. b) Calcule t tal que T atinge 99% da temperatura ambiente. 14. A equação básica que rege a quantidade de corrente I (em ampères) em um circuito simples do tipo RL (Fig. I), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é di + R L I = E L Sabendo que um circuito RL tem f.e.m. de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry e, a corrente inicial é zero. Determine a corrente no circuito no instante t. 15. Um corpo à temperatura de 50 F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100 F. Se após 5 min. a temperatura do corpo é de 60 F, determine: a) O tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 75 F; b) a temperatura do corpo após 20 min. 16. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de 30 F. Se, após 10 min, a temperatura do corpo é 0 F e após 20 min é 15 F, determine a temperatura inicial.

4 17. Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 1 grama de sal. No instante t=0, adiciona-se outra solução de salmoura com 1 grama de sal por litro, à razão de 3 litros por min, enquanto a mistura resultante se escoa à mesma taxa. Determine: a) A quantidade de sal presente no tanque no instante t; b) O instante em que a mistura restante no tanque conterá 2 gramas de sal. GABARITO 1. a) y = 2 3 ex + ce 2x b) y = x 5 e x x 4 e x + cx 4 c) x cos x + sen x = ye y e y + c d) y = 1 2x + 1 4x 2 sen 2x + C x 2 e) r = et +C ln t 2. a) y = x3 7 x x 4 b) P = ( 1 3 t3/ )2 c) y = cos(t) + 1 2sen(t) d) y = 1 1 2x e) y = x 1 + 3e x f) v = t 3et2 + 5e t2 g) y = x cos x x 3. x 2 2 y2 + x 3 y = c 4. a) x2 2 + ln y 1 2y 2 = c b) xy 2 + e y ( y 2 + 2y 2) = C 5. a) y + t2 y = C 6. a) 1 2 (y t )2 = Ct 4 b) t y + t2 2 = C b) y(t) = 1 Ce t2 / a) y(x) = 1 x (1 e1 x ) b) y(x) = e 2x + ce 3x c) 3y 2xy 3 10x = 0 d) c = sen y sen 2 x h) y(x) = x(x 2 ln x + c) i) y(x) = sec x ( sen2 x 2 j) y(x) = ex +ab e a x + c) e) 1 x + y2 x 3 = c f) y(t) = 21 6t 8 g) y 2 = 5t 2+5ct 5 k) y 3 = 1 + cx 3 l) y x = c y + 3x 5 m) xe 2y ln y = C n) y + y2 2 + e 2t 3 (y ) = x (1 x2 3 ) + c

5 cos t o) y = ce 8. P(t) = M + Ce kt 9. M 1 = 125 é o número máximo de unidades por hora que João é capaz de processar e M 2 = 61,25 é o número máximo de unidades por hora que Marcos é capaz de processar. 10. Q(t) = CV(1 e t/rc ) 11. Q(t) = 3(1 e 4t ) 12. x(t) = mg k t + m2 g k 2 k [e m t 1] 13. a) T(t) = T a + e kt [T 0 T a ] b) t = 1 k [ ln 0,01T a ln T 0 T a ] 14. I(t) = 1 10 e 50t a) 15,4 min b) 79,5 F F 17. a) Q(t) = e 0,03t b) 0,338 min