LISTA y = e 2 x + y 1, y(0) = 1

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1 MAT Equações Diferenciais LISTA Resolva: 1. x y y = x sen x. y + y tan x = x sen x cos x, y0) =. x + 1) dy dx x y = 1 4. y = e x + y 1, y0) = 1 5. x y + x + x + ) dy dx = 0 ) x 6. Resolva a equação dx+ y sen y dy = 0 procurando x como função de y portanto considerando dx dy ). 7. Seja u = ut) a temperatura no instante t de um corpo imerso em um meio de temperatura constante u m. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação du de u é diretamente proporcional à diferença u u m, isto é, = k u u m). Se um corpo aquecido a 10 o C é posto em um ambiente a 0 o C e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de 90 o C, encontre a expressão de u como função de t. Em quanto tempo será atingida a temperatura de 45 o C? 8. No instante t 0 = 0 um tanque contém 00 l de solução contendo 1 grama de corante por litro. Água pura entra no tanque à razão de l/min e mistura sai à mesma razão. Quanto tempo transcorre até que a concentração de corante atinja 1% da concentração original? 9. Inicialmente o tanque A como na figura contém 500 litros de água pura e o tanque B contém 500 litros de uma solução de 0 kg de sal em água. No instante t 0 = 0 bombas colocam o líquido a circular entre os tanques a uma razão de 10 litros por minuto. A B a) Encontre a expressão da quantidade de sal Qt) no tanque A em função do tempo. OBS: Para saber a quantidade de sal no tanque B no instante t, lembre que o total dos tanques é sempre 0 kg. b) Em quanto tempo o tanque A irá conter 10 kg de sal?

2 10. Uma população de mosquitos, na ausência de outros fatores, aumenta a uma razão em cada instante proporcional à população corrente. a) Sabendo que a população dobra a cada semana e que no instante inicia t 0 = 0 é de indivíduos, encontre a expressão do número de indivíduos em função do tempo. b) Resolva o mesmo problema do item a), supondo agora que exista uma espécie de pássaros predadores, que comem mosquitos por dia ou, por semana, se você preferir usar a semana como unidade de tempo). A população de mosquitos vai se tornar extinta ou não? Justifique sua resposta. 11. Numa solução de nutriente com N 0 bactérias, a população desta dobra em 4 ln) dias. Suponhamos que se retire bactérias da solução a uma taxa de r por dia. i) Determine a quantidade de bactérias presente na solução no tempo t. ii) Prove que a população cresce se r < N 0 /4, permanece estacionária para r = N 0 /4 e decresce se r > N 0 /4. 1. Um circuito RC em série tem uma fem. de 00 cos t volts, uma resistência de 150 ohms, uma capacitância de 1/600 farad e uma carga inicial de 5 coulombs. i) Determine a carga do capacitor e a corrente no circuito no tempo t. ii) Determine a corrente de estado estacionário. 1. Água está sendo coletada em um recipiente em forma de cone de raio a e profundidade h. Sabe-se que água flui para dentro do recipiente a uma razão constante de k litros por minuto e é perdida por evaporação a uma razão proporcional à área da superfície exposta, α S. a) Deduza que o volume V t) de água no recipiente no instante t satisfaz a equação diferencial h a dv = k α π ) a V. π h b) Supondo que a = h, ache a altura de equilíbrio da água no recipiente. Obs: Note que não é preciso resolver a equação para encontrar a altura de equilíbrio. Tudo o que precisamos, é encontrar a constante E > 0 para a qual a função constante V t) = E seja solução da equação diferencial. c) Qual a condição que deve ser satisfeita para que o recipiente não transborde? 14. Um tanque de água tem a forma de um cilindro deitado de m de raio e 8 m de com-

3 y primento e está inicialmente cheio pela metade. No ponto mais baixo do tanque existe uma pequena abertura circular de raio a. Indique por y a altura da água no tanque. Sabendo que a velocidade com que a água deixa o tanque pela abertura no fundo é de g y e que inicialmente a altura da água no tanque é de m, a) Quanto tempo leva o tanque para esvaziar completamente? b) Qual a expressão de y em função de t? 15. Um tanque d água tem a forma de um cilindro de m de raio e 8 m de altura. No fundo do tanque existe uma pequena abertura circular de área igual a a m, que inicialmente está fechada por um diafragma, como a objetiva de uma câmera fotográfica. Indique por y = yt) a altura da água no tanque no instante t. Sabe-se que a velocidade com que a água deixa o tanque pela abertura no fundo é de g y m/s. O tanque está 8 inicialmente cheio e no instante t = 0 o diafragma y começa a se abrir. Sabendo que a área do orifício é proporcionl ao tempo transcorrido e que a abertura total é atingida depois de transcorridos 10 minutos, encontre a altura y da água no tanque em função de t encontre uma expressão que seja válida nos primeiros 10 minutos, ou até o instante em que o tanque esvazie, o que ocorrer primeiro). 16. De acordo com a lei de Torricelli, se um tanque sem tampa tiver uma pequena abertura no fundo, por ela a água escoará com uma velocidade igual à que adquiriria numa queda livre desde o nível da superfície da água até o nível da abertura. Um tanque em forma de hemisfério de raio R está inicialmente cheio e uma pequena abertura circular de raio r é destapada no fundo. Quanto tempo levará o tanque para esvasiar completamente? 17. Sobre um corpo caindo em um fluido denso, óleo, por exemplo, agem forças: a resistência R, o empuxo E e o peso P. O empuxo E é igual ao peso de fluido deslocado pelo corpo. Para um corpo esférico de raio a movendo-se lentamente, a resistência R é dada, segundo a lei de Stokes, por R = 6 π µ a v, onde v é a velocidade do corpo e µ é o coeficiente de viscosidade do fluido. Encontre a velocidade limite de uma esfera sólida de raio a e densidade ρ e caindo em um fluido de densidade ρ f e coeficiente de viscosidade µ. R E a P

4 18. a) Um corpo de massa m, iniciando do repouso, cai em um meio que oferece resistência proporcional ao quadrado de sua velocidade, como na figura. Considerando a atração gravitacional constante, deduza que kv m dv = m g k v, k > 0, constante). b) Determine a velocidade limite, após um tempo t. OBS: Para responder esta pergunta não é necessário resolver a equação diferenial. mg solo c) Determine uma expressão para v em função de t. 19. Um operário planeja se aposentar daqui a 0 anos. Quanto deve ser o depósito mensal num plano de previdência privada, com rendimento de 6% a.a. para que após o período de contribuição, o valor do benefício seja de 500 reais mensais durante 0 anos. 0. O ponto P na figura representa um avião que voa com velocidade escalar v, com o nariz sempre apontado para o aeroporto, localizado na origem, enquanto sopra um vento na direção do eixo dos Y, com velocidade b. Portanto o vetor velocidade do avião, dx, dy ), é a soma de dois vetores: o vetor 0, b) com o vetor ) v x x + y, v y x + y que é o vetor de módulo v na direção de x, y) e apontando para a origem. O objetivo deste exercício é determinar a trajetória do avião. a) Deduza que a trajetória é a curva que satisfaz a equação diferencial, dy dx = dy dy = v y b x + y v x b) Resolva esta equação diferencial. Pondo k = b v, mostre que o avião chega ao aeroporto somente se k < 1. O que acontece quando k = 1?. b P a 1. Suponha que uma comunidade de pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante t = 0, o número N = Nt) de pessoas que infectadas é de e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento N t) em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que N t) 4

5 é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm, a) Deduza a equação diferencial que governa este processo. b) Quanto tempo levará para que outras pessoas peguem a doença?. Um tanque com capacidade de 500 l contém inicialmente 00 l de uma solução de sal em água. Estes 00 l de solução inicialmente contêm um total de 10 kg de sal. No instante t 0 = 0 começam a ser bombeados para dentro do tanque l por minuto de solução contendo 0,1 kg de sal por litro. Ao mesmo tempo solução é retirada do tanque por uma abertura a uma razão constante de l por minuto. a) Encontre a quantidade de sal no tanque como função do tempo em qualquer instante antes que o mesmo transborde. b) Qual a concentração de sal no tanque no momento em que este vai começar a transbordar? c) Qual seria o valor limite da concentração quando t se o tanque tivesse capacidade infinita?. Um tanque contém inicialmente 80 l de salmoura contendo 1/8 kg de sal por litro. No instante t 0 = 0, outra solução contendo 1 kg de sal por litro é despejada no tanque a uma taxa de 4 l/min. Enquanto isto, a mistura deixa o tanque a uma taxa de 8 l/min. A mistura dentro do tanque é constantemente agitada, de modo a se manter homogênea. Calcule a quantidade de sal Qt) dentro do tanque em função do tempo. Quando ela é máxima? 4. Dois tanques inicialmente cheios possuem aberturas idênticas no fundo, por onde a água escoa, levando o mesmo tempo para esvaziar. Um deles é cilíndrico e o outro tem a forma de um cone invertido. Sabendo que o cilíndrico tem altura h e que as bases são idênticas, encontre a altura do cone. 5. A folha da vitória régia é circular. A taxa de crescimento de sua área é proporcional à circunferência e à quantidade de luz recebida isto é, ao produto destas duas grandezas). θ r A quantidade de luz recebida, por sua vez, é proporcional à área da folha e ao cosseno do ângulo θ entre os raios luminosos e a direção vertical. Encontre a expressão da área S da folha em função do tempo t, válida durante todo um dia, sabendo que às 6 h da manhã S = 1600 cm e que às 6 h da tarde do mesmo dia S = 500 cm. Suponha que às 6 h da manhã tem-se θ = π, que ao meio dia θ = 0 e às 6 h da tarde θ = π por exemplo, a observação é feita num dia de equinócio sobre a linha do equador). 5

6 RESPOSTAS 1. yx) = x C cos x). y = x + C 1 + x. y = x cos x + sen x + ) cos x 4. y = 1 e x + e x 5. y = C x x + 6. x y + y cos y sen y = C t ln ln ) 7. ut) = e 5 = ) t 5, t 1 = 5 ln + ln ) ln ln.09 min ln min. 9. a) Qt) = 15 1 e t 5 ) b) 5 ln 7,46 min. 10. a) Qt) = e t ln = t, t medido em semanas ) e t ln ln b) Qt) =. Como o coeficiente da exponencial ln é negativo, para um t suficientemente grande Qt) vai se anular. Logo a população de mosquitos se torna extinta. Fazendo os cálculos, encontramos que ela se torna extinta em aproximadamente 6.67 semanas. 11. i) Nt) = N 0 e t 4 + 4r1 e t 4 ). 1. i) Qt) = 5 e 4t + 5 cost) + 1 sent), It) = e 4t 4 5 sent) + 5 cost). ii) A corrente estacionária é dada por I h t) = 4 5 sent) + 5 cost). 1. b) h = k α π c) k α π a. 14. a) t f = 6 6 ) π a g 15. y = seg π a g b) y = 6 a ) g 60 π 60 t = a ) g 1600 π t t + ) 6

7 R 5 15 r g seg. 17. v l = a g ρ e ρ f ) 9 µ. m g 18. b) v l = k 19. R$ 69,00., c) vt) = m g k 1 e t k g m 1 + e t k g m 0. A trajetória é a curva de equação y + x + y = a k x 1 k. Se k > 1, o avião não chega ao aeroporto, pois x não pode valer 0, já que no lado direito da equação o expoente 1 k < 0. Para k = 1 a trajetória é um arco de parábola indo do ponto a, 0) para o ponto 0, a/), sem, no entanto, atingi-lo. 1. dn = N) N b) 0 ln 4 9,4 dias.. a) Qt) = 00 + t t ) b) 0,0968 kg/l c) 0,1 kg/l. Qt) = 80 4t 7 ) 80 4t, Qt) é máxima para t =8,57 min 8 min 4 s H = 5h. 5. S = cos πt 6) 1 ) ) = sen πt 1) 1 ) ) 7