Projeto de Métodos Numéricos Computacionais

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1 Projeto de Métodos Numéricos Computacionais 22 de setembro de 2005

2 Sumário 1 Introdução Página Exercício Exercício Página Exercício Exercício Equações Diferenciais de Primeira Ordem Página Exercício Exercício Página Exercício Exercício Página Exercício Equações Lineares de Segunda Ordem Página Exercício Exercício Página Exercício Página Exercício Métodos Numéricos Página

3 4.1.1 Exercício Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier Página Exercício Exercício Página Exercício Exercício Página Exercício Exercício

4 Capítulo 1 Introdução 1.1 Página Exercício 15 Um pequeno lago contém, inicialmente de galões (aproximadamente litros) de água e uma quantidade desconhecida de um produto químico indesejável. O lago recebe água contendo 0,01 grama dessa substância por galão a uma taxa de 300 galões por minuto. A mistura sai à mesma taxa, de modo que a quantidade de água no lago permanece constante. Suponha que o produto químico está distribuído uniformemente no lago. (a) Escreva uma equação diferencial cuja solução é a quantidade de produto químico no lago em um instante qualquer. taxa efetiva = taxa de entrada taxa de saída dq dq = 300 0, q 10 6 (1.1) = 300( q) (1.2) (b) Qual a quantidade do produto químico que estará no lago após um período muito longo de tempo? Essa quantidade limite depende da quantidade presente inicialmente? 3

5 Após um período longo de tempo a quantidade que entra é igual à que sai, de modo que Chegamos então à quantidade final: Exercício 16 dq = 0 (1.3) 300 0, 01 = q (1.4) q = 10 4 gramas (1.5) Uma gota de chuva esférica evapora a uma taxa proporcional à sua área de superfície. Escreva uma equação diferencial para o volume de uma gota de chuva em função do tempo. S = superfície e V = volume. 1.2 Página Exercício 12 dv dv dv dv S = 4πr 2 (1.6) V = 4 3 πr3 (1.7) = cs (1.8) = 4cπr 2 (1.9) = 3cV 2 3 (1.10) = kv 2 3 (1.11) O rádio-226 tem uma meia-vida de 1620 anos. Encontre o tempo necessário para que uma determinada quantidade desse material seja reduzida da quarta parte. 4

6 1.2.2 Exercício 13 τ = meia-vida (1.12) rτ = ln 2 (1.13) dq = rq (1.14) dq Q = r (1.15) ln Q = (rt + rc) (1.16) Q = e rt e rc (1.17) Q = ke rt (1.18) Q = Q 0 e rt (1.19) Q = 3Q 0 (1.20) 4 3 = e rt (1.21) 4 ln 3 4 = rt rt = ln 4 3 (1.22) t = (ln 4 3 )1 t = (ln 4 r 3 ) τ ln 2 (1.23) t = (ln ) 3 ln 2 (1.24) t = 672, 3 anos (1.25) Considere o circuito elétrico contendo um capacitor, um resistor e uma bateria; veja a Figura A carga Q(t) no capacitor satisfaz a equação R dq + Q C = V (1.26) onde R é a resistência, C é a capacitância e V a voltagem constante fornecida pela bateria. (a) Se Q(t) = 0, encontre Q(t) em qualquer instante t e esboce o gráfico de Q em função de t. 5

7 e t dq RC + e t RC d(e t µ(t) = e t RC (1.27) Q = e t V RC (1.28) RC R RC Q) = e t RC V R (1.29) Qe t RC = V R (RCe t RC + k) (1.30) Q(t) = VC + ke t RC (1.31) 0 = VC + ke 0 RC (1.32) k = VC (1.33) Q(t) = VC(1 e t RC ) (1.34) (b) Encontre o valor limite Q L para onde Q(t) tende após um longo período de tempo. t Q(t) = VC(1 0) = Q L (1.35) Q L = VC (1.36) (c) Suponha que Q(t 1 ) = Q L e que a bateria é removida do circuito no instante t = t 1. Encontre Q(t) para t > t 1 e esboce seu gráfico. Q(t 1 ) = Q L (1.37) dq + Q RC = 0 (1.38) dq = Q (1.39) RC dq Q = 1 (1.40) RC ln Q = 1 (t + c) RC (1.41) Q(t) = ke t RC (1.42) Q(t) = Q L e t RC (1.43) 6

8 Capítulo 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem 2.1 Página Exercício 7 Um jovem, sem capital inicial, investe k reais por ano a uma taxa anual de rendimento r. Suponha que os investimentos são feitos continuamente e que o rendimento é composto continuamente. (a) Determine a quantia S(t) acumulada em qualquer instante t 7

9 ds ds = k + rs (2.1) rs = k (2.2) µ(t) = e rt (2.3) e rt ds = ke rt (2.4) Se rt = k( e rt r + c) (2.5) S(t) = k r + cert (2.6) S(0) = 0 0 = k r + c (2.7) c = k r (2.8) S(t) = k r (ert 1) (2.9) (b) Se r = 7, 5%, determine k de modo que esteja disponível R$ 1 milhão para a aposentadoria após 40 anos = k 0, 075 (e0, ) (2.10) k = 106 0, 075 e 0, (2.11) 1 k R$ 3929, 68 (2.12) (c) Se k = R$ 2000/ano, determine a taxa r que precisa ser aplicada para se ter R$ 1 milhão após 40 anos = 2000 r (e40r 1) 10 3 = 2 r (e40r 1) (2.13) 10 3 r = 2e 40r 2 (2.14) 2 = 2e 40r 1000r (2.15) 1 = e 40r 500r (2.16) r = e 40r (2.17) r = 9, 77% (2.18) 8

10 2.1.2 Exercício 8 A pessoa A abre uma conta PREV com 25 anos, contribui R$ 2000/ano durante 10 anos, mas não contribui mais daí para a frente. A pessoa B espera completar 35 anos, para abrir uma conta PREV e contribui R$ 2000/ano durante 30 anos. Não existe investimento inicial em ambos os casos. (a) Supondo uma taxa de rendimento de 8% ao ano, qual o saldo em cada PREV aos 65 anos do beneficiário? ds = , 08 (2.19) S 0, 085 = 2000(e 8t 100 ) (2.20) (Se 8t 100 ) = 2000e 8t 100 (2.21) Se 8t = e 8t c (2.22) 8 S = ce 8t 100 (2.23) c = 0 (2.24) c = (2.25) S = 25000(e 8t 100 1) (2.26) B S(30) = 25000(e ) (2.27) S(30) = , 41 (2.28) A S(10) = 25000(e ) (2.29) S(10) = 30638, 52 (2.30) ds = 85 (2.31) 100 ds 8 = (2.32) S 100 ln S = 8t c (2.33) S = ce 8t 100 (2.34) S(0) = 30638, 52 (2.35) c = 30638, 52 (2.36) S(t) = 30638, 52e 8t 100 (2.37) S(30) = 30638, 52e (2.38) S(30) = , 81 (2.39) 9

11 (b) Para uma taxa de rendimento r constante, mas não especificada, determine o saldo em cada PREV aos 65 anos do beneficiário. Saldo com depósitos regulares: Saldo sem depósitos regulares: Cálculo: Saldos: S 1 (t) = S 0 e rt + ( k r )(ert 1) (2.40) S 2 (t) = S 0 e rt (2.41) A S 1 (10) = 0 + ( 2000 r )(e10r 1) (2.42) S 2 (30) = S 1 (10)e 30r (2.43) S 2 (30) = 2000 r (e10r 1)e 30r (2.44) S 2 (30) = 2000 r (e40r e 30r ) (2.45) B S 2 (30) = 2000 r (e30r 1) (2.46) S A (r) = 2000 r (e40r e 30r ) (2.47) S B (r) = 2000 r (e30r 1) (2.48) (c) Desenhe um gráfico com as diferenças dos saldos em (b) para 0 r 0, 10. (d) Determine a taxa de rendimento para a qual as duas contas PREV têm o mesmo saldo aos 65 anos do beneficiário. 2.2 Página Exercício 15 A população de mosquitos em determinada área cresce a uma razão proporcional à população atual e, na ausência de outros fatores, a população dobra a cada semana. Existem, inicialmente, mosquitos na área e os predadores (pássaros etc.) comem mosquitos/dia. Determine a 10

12 população de mosquitos na área em qualquer instante t. (Considerando t em semanas) Crescimento sem fatores externos P(t) = P 0 2 t (2.49) Crescimento com predadores (v é a taxa de mortes devido a predadores) P(t) = P 0 2 t vt (2.50) Logo P(t) = ( ) 2 t (1, ) t (2.51) Exercício 18 A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto muda a uma taxa proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente que o rodeia. Suponha que a temperatura de uma xícara de café obedece à lei do resfriamento de Newton. Se o café estava a uma temperatura de 200 o F (cerca de 93 o C) ao ser colocado na xícara e, 1 minuto depois esfriou para 190 o F em uma sala a 70 o F, determine quando o café atinge a temperatura de 150 o F. 11

13 2.3 Página Exercício 23 Q = temperatura (2.52) dq = k(q Q amb ) (2.53) dq kq = kq amb (2.54) µ(t) = e kt (2.55) Qe kt = kq amb e kt (2.56) Qe kt = kq amb ( 1 k )e kt + c (2.57) Qe kt = Q amb e kt + c (2.58) Q = Q amb + ce kt (2.59) Q(0) = 200 o F (2.60) 200 = Q amb + 1c (2.61) c = 200 Q amb = 130 (2.62) 190 = e 60k (2.63) ln = 60k (2.64) k = 1, (2.65) 150 = e 1, t (2.66) ln 8 13 = 1, (2.67) t 365s (2.68) Algumas doenças (como o tifo) são disseminadas basicamente por portadores indivíduos que podem transmitir a doença, mas que não exibem seus sintomas. Denote por x e y, respectivamente, a proporção de suscetíveis e portadores na população. Suponha que os portadores são identificados e removidos da população a uma taxa β, de modo que dy = βy (2.69) 12

14 Suponha, também, que a doença se propaga a uma taxa proporcional ao produto de x e y; assim, dx = αxy (2.70) (a) Determine y em qualquer instante t resolvendo 2.69 sujeita à condição inicial y(0) = y 0 y(0) = y 0 (2.71) y + βy = 0 (2.72) µ(t) = e βt (2.73) y = ce βt (2.74) y = y 0 e βt (2.75) (b) Use o resultado do item (a) para encontrar x em qualquer instante t resolvento 2.70 sujeita à condição inicial x(0) = x 0. dx = αy (2.76) x 1 x dx = αy 0e βt (2.77) 1 x dx = αy 0 e βt (2.78) ln x = αy 0 [ e βt β x = e αy 0(c 1 β e βt ) + c] (2.79) (2.80) x = e αy 0c e αy 0 β e βt (2.81) x 0 = e αy 0c e αy 0 β (2.82) ln x 0 = αy 0 c αy 0 β (2.83) c = ln x 0 + αy 0 β (2.84) αy 0 c = ln x 0 αy β (2.85) x = e αy 0( ln x 0 αy β ) e αy 0 β e βt (2.86) x = e ln x 0 e αy 0 β e αy 0 β e βt (2.87) x = x 0 e αy 0 β (1 e βt ) 13 (2.88)

15 (c) Encontre a proporção da população que escapa à epidemia encontrando o valor limite de x quando t. x = x 0 e αy 0 β (2.89) 14

16 Capítulo 3 Equações Lineares de Segunda Ordem 3.1 Página Exercício 8 Um investidor deposita R$ 1000 em uma conta que rende juros de 8% ao ano compostos mensalmente e faz, também, depósitos adicionais de R$ 25 por mês. Encontre o saldo na conta após 3 anos. Aplicando n = 36 em (3.5): Exercício 13 q n = saldo mensal (3.1) b = depósito mensal (3.2) ρ = taxa (3.3) q n+1 = ρq n + b n (3.4) q n = ρ n q ρn 1 ρ b (3.5) q 36 = 0,08 0, 08 ( ) ( ,08 12 ) 25 (3.6) q 36 = R$ 2283, 64 (3.7) Um comprador gostaria de comprar um imóvel com financiamentos de R$ pagável durante 20 anos. Qual a maior taxa de juros que o comprador 15

17 pode pagar se os pagamentos mensais não podem exceder R$ 900? Substituindo esses valores em (3.5) 3.2 Página Exercício 8 Q = R$ , 00 (3.8) t = 240 meses (3.9) b max = R$ 900, 00 (3.10) q 0 = 0 (3.11) Q = q 240 (3.12) Q = 1 ρ240 1 ρ b (3.13) Um circuito em série tem um capacitor de 0, farad e um indutor de 1 henry. Se a carga inicial no capacitor é de 10 6 coulomb e não há corrente inicial, encontre a carga Q no capacitor em qualquer instante t. t 0 = 0s (3.14) Q(t 0 ) = 10 6 C (3.15) i 0 = 0A = Q (t 0 ) (3.16) Q(t) =? (3.17) ε(t) = LQ + RQ + 1 C Q (3.18) ε(t) = Q Q + 0, (3.19) 0 = Q Q(Homogênea associada) (3.20) Q = A cos( t) + B sin( t) (3.21) Q(0) = A cos(0) + B sin(0) = 10 6 (3.22) A = 10 6 (3.23) Q (0) = A sin(0) B cos(0) = 0 (3.24) B = 0 (3.25) Q(t) = 10 6 cos( t) C (3.26) 16

18 3.3 Página Exercício 29 A posição de determinado sistema massa-mola satisfaz o problema de valor inicial u u + 2u = 0, u(0) = 0, u (0) = 2 (3.27) (a) Encontre a solução desse problema de valor inicial. r r + 2 = 0 (3.28) = (3.29) r = ± i (3.30) 8 u = Ae t cos( t) + Be t sin( t) (3.31) 8 8 u(0) = A cos(0) + B sin(0) = 0 (3.32) 127 u (0) = B cos(0) = 2 (3.33) 8 16 B = (3.34) 127 u = 16 e t sin( t) (3.35) (b) Faça os gráficos de u e u em função de t no mesmo par de eixos. (c) Faça o gráfico de u em função de u no plano de fase. Identifique diversos pontos correspondentes nas curvas dos itens (b) e (c). Qual o sentido do movimento no plano de fase quando t aumenta? 17

19 Capítulo 4 Métodos Numéricos 4.1 Página Exercício 1 Para obter alguma idéia dos perigos possíveis de pequenos erros nas condicções iniciais, tais como os devidos a arredondamentos, considere o problema de valor inicial y = t + y 3, y(0) = 2 (4.1) (a) Mostre que a solução é y = φ 1 (t) = 2 t. y = t 3 (4.2) µ(t) = e t (4.3) ye t = (t 3e t ) (4.4) y = 2 t + ce t (4.5) y(0) = 2 c = 0 (4.6) y = 2 t = φ 1 (4.7) (b) Suponha que é feito um erro na condição inicial e é utilizado o valor 2, 001 em vez de 2. Determine a solução y = φ 2 (t) nesse caso e compare a diferença φ 2 (t) φ 1 (t) em t = 1 e quando t. 18

20 Usando (4.5) e fazendo y(0) = 2, 001: c = 0, 001 (4.8) c = 10 3 (4.9) y = 2 t e t = φ 2 (4.10) φ 2 (t) φ 1 (t) = 10 3 e t (4.11) φ 2 (1) φ 1 (1) = 0, 0027 (4.12) t φ 2 (t) φ 1 (t) (4.13) 19

21 Capítulo 5 Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier 5.1 Página Exercício 13 Considere uma barra de 40cm de comprimento cujas as extremidades são mantidas à temperatura de 0 o C para todo t > 0 e u(x, 0) = 50, 0 < x < 40 (5.1) Para t = 5 e x = 20, determine quantos termos são necessários para encontrar a solução correta até três casas decimais. Um modo razoável de fazer isso é encontrar n tal que a inclusão de mais um termo não muda as três primeiras casas decimais de u(20, 5). Repita para t = 20 e t = 80. Chegue a alguma conclusão sobre a velocidade de convergência da série que representa u(x, t). 20

22 L = 40cm (5.2) u(0, t) = u(l, t) = 0 o C, t > 0 (5.3) Fazendo x = 20 e t = 5 α 2 = 1 (5.4) u(x, 0) = 50 o C, 0 < x < L (5.5) u(x, t) = c n e n2 π 2 α 2 t/l 2 sin( nπx L ) (5.6) c n = 2 L n=1 L c n = 1 20 c n = 100 c n = u(x, t) = f(x) sin( nπx )dx (5.7) L 50 sin( nπx )dx (5.8) 40 (1 cos nπ) (5.9) { nπ 0 n par, 200 nπ u(x, t) = 200 π n=1,3,5... u(20, 5) = 200 π n ímpar (5.10) 200 π 2 α 2 t/l 2 nπ e n2 sin( nπx 40 ) (5.11) n=1,3,5... n=1,3, n e n2 π 2 t/1600 sin( nπx 40 ) (5.12) 1 n e n2 π 2 /320 sin( nπ 2 ) (5.13) n = 1 u 1 (20, 5) = 61, 728 (5.14) n = 3 u 3 (20, 5) = u 1 16, 077 = 45, 651 (5.15) n = 5 u 5 (20, 5) = u 3 + 5, 889 = 51, 540 (5.16) n = 7 u 7 (20, 5) = u 5 2, 006 = 49, 534 (5.17) n = 9 u 9 (20, 5) = u 7 + 0, 581 = 50, 115 (5.18) n = 11 u 11 (20, 5) = u 9 0, 138 = 49, 977 (5.19) n = 13 u 13 (20, 5) = u , 026 = 50, 003 (5.20) n = 15 u 15 (20, 5) = u 13 0, 004 = 49, 999 (5.21) n = 17 u 17 (20, 5) = u , 001 = 50, 000 (5.22) n = 19 u 18 (20, 5) = u 17 0, 000 = 50, 000 (5.23) 21

23 Fazendo x = 20 e t = 20 u(20, 5) = 200 π n=1,3, n e n2 π 2 /80 sin( nπ 2 ) (5.24) n = 1 u 1 (20, 20) = 56, 273 (5.25) n = 3 u 3 (20, 20) = u 1 6, 991 = 49, 282 (5.26) n = 5 u 5 (20, 20) = u 3 + 0, 582 = 49, 864 (5.27) n = 7 u 7 (20, 20) = u 5 0, 021 = 49, 843 (5.28) n = 9 u 9 (20, 20) = u 7 + 0, 000 = 49, 843 (5.29) Fazendo x = 20 e t = 80 u(20, 5) = 200 π n=1,3, n e n2 π 2 /20 sin( nπ 2 ) (5.30) n = 1 u 1 (20, 80) = 38, 865 (5.31) n = 3 u 3 (20, 80) = u 1 0, 250 = 38, 615 (5.32) n = 5 u 5 (20, 80) = u 3 + 0, 000 = 38, 615 (5.33) Com o passar do tempo, o expoente negativo de e aumenta em módulo, fazendo com que as parcelas da soma convirjam mais rapidamente para 0, aumentando a precisão da fórmula para um mesmo n Exercício 18 Considere uma barra metálica de 20cm de comprimento aquecida a uma temperatura uniforme de 100 o C. Suponha que, em t = 0, as extremidades da barra são mergulhadas em um banho gelado a 0 o C e, depois, mantidas a essa temperatura, mas não é permitido escapar calor pela superfície lateral. Encontre uma expressão para a temperatura em qualquer ponto da barra em um instante posterior. Determine a temperatura no centro da barra no instante t = 30s se a barra é feita de (a) prata, (b) alumínio, ou (c) ferro fundido. L = 20cm (5.34) u(0, t) = u(l, t) = 0 o C, t > 0 (5.35) u(x, 0) = 100 o C, 0 < x < L (5.36) 22

24 Usando (5.6) e (5.7): c n = 1 10 c n = 200 c n = sin( nπx )dx (5.37) 20 (1 cos nπ) (5.38) { nπ 0 n par, 400 nπ u(x, t) = 400 π n ímpar (5.39) 1 π 2 α 2t/400 n e n2 sin( nπx 20 ) (5.40) 1,3,5... Para calcular o valor da temperatura para cada material, basta substituir o α 2 pelo valor correspondente ao material. 5.2 Página Exercício 10 (a) Suponha que as extremidades de uma barra de cobre com 100cm de comprimento são mantidas a 0 o C. Suponha que o centro da barra é aquecido a 100 o C por uma fonte externa de calor e que essa situação é mantida até resultar em um estado estacionário. Encontre essa distribuição de temperatura no estado estacionário. Usando Temos, para 0 < x 50 E para 50 < x < 100 f(x) = v(x) = (T 2 T 1 ) x L + T 1 (5.41) f(x) = (100 0) x + 0 = 2x (5.42) 50 f(x) = (0 100) x = 100 2x (5.43) 50 A equação logo acima é válida considerando x = 0 como sendo o meio da barra. Para torná-la válida considerando o meio da barra como x = 50, basta somar 100 (ficando da forma 200 2x. { 2x 0 < x 50 f(x) = (5.44) 200 2x 50 < x <

25 (b) Em um instante t = 0 [depois de atingido o estado estacionário do item (a)], suponha que a fonte externa é removida. No mesmo instante, suponha que a extremidade x = 0 é colocada em contato com um reservatório a 20 o C e que a outra extremidade permanece a 0 o C. Encontre a temperatura em função da posição e do tempo. u(x, t) = v(x) + w(x, t) (5.45) v(x) = (T 2 T 1 ) x L + T 1 (5.46) v(x) = 20 x 5 w(x, t) = c n e 1,14n2 π 2t/L sin nπx L c n = 2 L c n = 1 50 n=1 L (5.47) (5.48) [f(x) (T 2 T 1 ) x L T 1] sin nπx dx (5.49) L [f(x) + x 5 nπx 20] sin dx (5.50) 100 (5.51) Onde f(x) é a função (5.44) encontrada em (a). Integrando, temos Logo u(x, t) = 20 x 5 + c n = 800 n 2 π 2 sin nπ nπ n=1 c n e 1,14n2 π 2 t/100 2 sin nπx 100 (5.52) (5.53) (c) Faça o gráfico de u em função de x para diversos valores de t. Faça, também, o gráfico de u em função de t para diversos valores de x. (d) A que valor limite tende a temperatura no centro da barra depois de um longo tempo? Depois de quanto tempo o centro da barra esfria, ficando a 1 grau de seu valor limite? t u(50, t) 10 (5.54) Exercício 11 Considere uma barra de 30cm de comprimento para qual α 2 = 1. Suponha que a distribuição inicial de temperatura é dada por u(x, 0) = x(60 x)/30 24

26 e que as condições de contorno são u(0, t) = 30 e u(30, t) = 0. (a) Encontre a temperatura da barra em função da posição e do tempo. Dada a distribuição inicial de calor f(x) = x(60 x)/30 = 2x x2 30 A distribuição estacionária de calor correspondente é (5.55) v(x) = 30 x (5.56) Logo a temperatura em função do tempo e da distância do centro é dada por u(x, t) = 30 x + c n e n2 π 2 t/30 2 sin nπx (5.57) 30 Onde c n é dado por Integrando, c n = n=1 [f(x) v(x)] sin nπx dx (5.58) 30 c n = 60 (nπ) 3 [2(1 cos nπ) (nπ)2 (1 + cos nπ)] (5.59) (b) Faça o gráfico de u em função de x para diversos valores de t. Faça, também, o gráfico de u em função de t para diversos valores de x. (c) Faça o gráfico de u em função de t para x = 12. Observe que u inicialmente diminui, depois cresce por um tempo e, finalmente, diminui para alcançar seu valor no estado estacionário. Explique, fisicamente, por que ocorre esse comportamento. 5.3 Página Exercício 10 Considere uma corda elástica de comprimento L. A extremidade x = 0 é mantida fixa, enquanto a extremidade x = L está solta; logo as condições de contorno são u(0, t) = 0 e u x (0, t) = 0. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial a partir da posição inicial u(x, 0) = f(x), onde { L 1 f(x) = 2 1 < x < L (L > 2), 0 caso contrário 25

27 (a) Calcule o deslocamento u(x, t). Como a corda está solta na extremidade x = L, calculamos u(x, t) para uma corda de comprimento 2L com ambas extremidades fixas. Integrando, u(x, t) = c n = 2 L c n = 2 L c n sin nπx 2L n=1 2L 0 L 2 +1 cos nπat 2L (5.60) f(x) sin nπx dx (5.61) 2L sin nπx dx (5.62) L 2 1 2L c n = 8 nπ [sin(nπ 4 ) sin(nπ )] (5.63) 2L u(x, t) = 8 1 π 2n 1 sin nπ nπ nπx nπat sin sin cos (5.64) 4 2L 2L 2L n=1 (b) Com L = 10 e a = 1, faça o gráfico de u em função de x para 0 x 10 para diversos valores de t. Preste atenção especial aos valores de t entre 3 e 7. Observe como a pertubação inicial é refletida em cada extremidade da corda. (c) Com L = 10 e a = 1, faça o gráfico de u em função de t para diversos valores de x. (d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos, um período. (e) Descreva o movimento da corda em algumas frases Exercício 11 Suponha que a corda no Problema 10 começa a partir da posição inicial f(x) = 8x(L x 2 )/L 3. Siga as instruções no Problema 10 para esse novo problema. 26