Primeira Lista de Exercícios de Biofísica II. c n

Transcrição

1 Primeira Lista de Exercícios de Biofísica II 1. Considere uma célula composta por um corpo celular ao qual está preso um longo e fino processo tubular (por exemplo, o axônio de um neurônio ou o flagelo de um espermatozoide) de comprimento l cm (figura abaixo). Suponha que alguma substância n (por exemplo, um metabólito) é gerada no corpo celular e se difunde ao longo do processo. Suponha que, ao moverse pelo processo, a substância é consumida a uma taxa uniforme constante de α n moles/s por unidade de comprimento. A equação de continuidade para esta substância é, portanto: c n t = φ n x α n A, onde A é a área da seção reta do processo (suposta como constante) e c n e J n são, respectivamente, a concentração e o fluxo da substância. a) Combine a equação de continuidade modificada acima com a lei de Fick para obter a forma modificada da equação de difusão que deve ser obedecida por c n. b) Mostre que a solução dessa equação no estado estacionário c n t = φ n t = 0 ( ) é c n (x) = α n 2DA x2 + a 0 x + b 0, e determine os valores das constantes a 0 e b 0 a partir das condições de contorno c n (0) = C 0 e φ n (l) = 0. c) Mostre que (supondo C 0, D n, A e α n constantes) existe um limite superior para o comprimento l do processo e obtenha uma fórmula para este limite superior. 2. Suponha que partículas de soluto estejam dentro de uma proveta cheia d água. As partículas se difundem na água devido à agitação térmica e sofrem um arrasto devido à força da gravidade, de maneira que o fluxo total é φ = φ D + φ G, onde φ D é o fluxo por difusão e φ G é o fluxo provocado pela força da gravidade. a. Mostre que no equilíbrio φ G = c(y) D λ, onde λ = kt/mg. Assuma que a coordenada y meça a altura a partir da base da proveta, c(y) seja a concentração de partículas no equilíbrio e D seja o coeficiente de difusão. A massa de uma partícula é m, g é a aceleração da gravidade, k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta.

2 b. Obtenha uma expressão para c(y) em termos da concentração de partículas em y = 0. c. Assuma que as partículas sejam esferas de raio r e tenham densidade igual ao dobro da densidade da água (ρ água = 1 g/cm 3 ). À temperatura ambiente (T = 300 K), obtenha o valor da constante espacial λ para os casos (a) em que r = 1 mm e (b) em que r = 1 nm. d. Suponha que você tenha duas provetas cheias d água até uma altura de h = 15 cm. A primeira proveta contém uma solução com as partículas de r = 1 mm e a segunda contém uma solução com as partículas de r = 1 nm. Esboce graficamente como serão as distribuições espaciais c(y) das partículas nas duas provetas no equilíbrio. 3. Duas células adjacentes têm suas membranas apostas (justapostas) como no desenho abaixo. Um arranjo de membranas como este é chamado de arranjo em série. Suponha que um soluto neutro n tenha concentrações c n 1 e c n 2 no interior das células 1 e 2, respectivamente, e c n e no espaço intercelular. As permeabilidades das membranas 1 e 2 ao soluto n são P 1 e P 2, respectivamente. No estado estacionário, o fluxo φ n do soluto n entre o interior da célula 1 e o interior da célula 2, em mol/(cm 2.s), pode ser escrito como φ n = P c 1 2 ( n c n ), onde P é a permeabilidade do arranjo em série de membranas. Obtenha a expressão para P em termos de P 1 e P Um experimento foi realizado para se determinar a permeabilidade, P X, da membrana de uma célula ao soluto X. A célula, cuja forma é a de uma esfera de raio 72 µm, foi colocada inicialmente em uma solução contendo o soluto X por um tempo suficientemente longo para que ela fique com uma quantidade de moles igual a N X do soluto X em seu interior. Preparou-se então um conjunto de cubas idênticas contendo soluções idênticas sem o menor traço do soluto X. Em t = 0 a célula foi imersa na primeira cuba e mantida dentro dela por um tempo T = 10 minutos. Subsequentemente, ela foi retirada da primeira cuba e imersa na segunda também por T = 10 minutos, retirada da segunda e imersa na terceira por T = 10 minutos, etc. Supõe-se que o tempo gasto para retirar a célula de uma cuba e colocá-la na seguinte é zero. Este processo está ilustrado na figura a seguir.

3 Após a retirada da célula de uma cuba k, o número de moles do soluto que fica na cuba é n X (k). Assuma que o volume da célula permanece constante durante todo o processo e que a concentração de soluto em cada cuba é desprezível em comparação com a concentração de soluto no interior da célula. Assuma que o soluto se difunde pela membrana da célula de acordo com a lei de Fick para membranas ϕ X (t) = P X ( c i X (t) c e X (t)) = V dc i X (t), A dt onde V é o volume da célula e A é a área superficial de sua membrana. a) Determine uma expressão para o número de moles de X na célula em função do tempo, n i X (t). Essa expressão deve ser dada em termos do número inicial de moles N X e de uma constante temporal τ definida em função dos parâmetros do problema. b) Determine uma expressão para o número total de moles de X que fica na k-ésima cuba após a retirada da célula, n X (k). Essa expressão deve depender de N X, da constante temporal que você determinou no item (a) e de T. c) O gráfico abaixo dá os resultados das medidas experimentais do número de moles de X em cada cuba. A partir do gráfico, obtenha os valores numéricos da permeabilidade P X e do número inicial de moles N X.

4 5. Neste exercício, você irá deduzir uma expressão para a variação do chamado deslocamento quadrático médio de uma molécula em função do tempo segundo o modelo do passeio aleatório em uma dimensão visto em sala de aula. Considere N moléculas, todas na posição x = 0 em t = 0. Cada molécula i, independente de sua posição, pode apenas dar um passo de tamanho δ para a esquerda (correspondendo a uma distância δ) ou um passo de tamanho δ para a direita (correspondendo a uma distância +δ). Vamos supor que cada passo leva um tempo Δt para ocorrer. Portanto, a posição da molécula i após n passos deve estar relacionada à sua posição anterior, isto é, após (n 1) passos, pela relação de recorrência x i (n) = x i (n 1) ± δ. A posição média das N moléculas após n passos é definida por x (n) = a) Substitua a expressão para x i (n) na expressão acima para < x i (n) > e determine qual é a posição média das N moléculas após todas elas darem n passos. Interprete o seu resultado. b) Uma maneira alternativa de medir o quanto as N moléculas se deslocaram em relação à origem após N passos é pela raiz quadrada do deslocamento quadrático médio. A lógica por trás do uso do deslocamento quadrático é que na expressão que você usou para calcular o deslocamento médio em a) o deslocamento a cada passo é positivo (+δ) ou negativo ( δ). Usando os quadrados dos deslocamentos, (+δ) 2 = ( δ) 2 = δ 2 os efeitos de se trabalhar com valores positivos e negativos desaparecem. O deslocamento quadrático médio das N moléculas após n passos é definido por x (n) = () (). Deduza uma expressão para o deslocamento quadrático médio das N moléculas após n passos. c) A expressão que você obteve em b) está expressa em termos do número de passos n dados desde t = 0. Converta essa expressão para que ela indique o deslocamento quadrático médio em termos do tempo t que as N moléculas levam para dar os N passos. Expresse a sua equação em termos do coeficiente de difusão D (lembre da aula 2). d) O deslocamento quadrático médio tem dimensões de comprimento ao quadrado, o que não é conveniente para se medir distância. Tome a raiz quadrada da expressão obtida em c) para escrever, finalmente, a chamada raiz quadrada do deslocamento quadrático médio, d rms (o subscrito rms vem do inglês para root mean square). Interprete o seu resultado (Dica: compare o comportamento de d rms obtido por você com uma função que cresce linearmente com o tempo t). 6. A figura a seguir mostra um arranjo experimental em que um recipiente está separado em duas metades por uma membrana permeável apenas à água, com condutividade hidráulica L V. A metade da esquerda contém uma solução de glicose e água e a metade da direita contém uma solução de NaCl e água, ambas bem agitadas de maneira que os solutos estão uniformemente distribuídos nas soluções. O volume da esquerda é V 1 e o volume da direita é V 2. Os dois volumes estão submetidos a pressões externas, p 1 e p 2 respectivamente, exercidas por pistões ideais, isto é, que não têm atrito com as paredes do recipiente e que transmitem totalmente as pressões p 1 e p 2 aos seus respectivos volumes..

5 a) Qual é a condição para que haja equilíbrio do fluxo de volume de água entre os dois compartimentos, Φ V = 0? b) No instante inicial, t = 0, os volumes V 1 e V 2 são iguais a um litro: V 1 (0) = V 2 (0) = 1 L. Neste instante, a concentração de glicose no compartimento 1 é igual a 0,01 mol/l e a concentração de NaCl no compartimento 2 é igual a 0,01 mol/l. Se p 1 = p 2, quais são os valores de equilíbrio dos volumes dos compartimentos 1 e 2, V 1 ( ) e V 2 ( )? c) Escreva uma equação diferencial para a variação do volume V 1 em função do tempo, da forma: dv ( t) τ 1 = f ( V1 ( t )). dt Como τ depende dos parâmetros do sistema, L V e A? Data de entrega da lista resolvida: 13/09/2017 (até a meia-noite) As discussões entre os alunos sobre as questões da lista são benvindas, mas cada aluno deve entregar sua resolução independentemente e feita à mão.