Lista 2 - EDO s de Ordem Superior

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1 Lista - EDO s de Ordem Superior. Use o teorema de eistência e unidade de soluções, para EDO s lineares, para encontrar um intervalo em que os PVI s abaio possuam solução única. (a) ( )y y = ; y(0) = 0; y 0 (0) = (b) ( )y 00 + y 0 +tg() y = 0 ; y(3) = ; y 0 (3) = (c) e p y 00 + ln 3 y 0 +cossec() y =, y ( ) = 0 e y 0 ( ) = ; (d) ( + 4) y 00 + y 0 + (cossec ()) y = 0, y ( 5) = y 0 ( 5) = ; (e) + 0 y 00 + y 0 + y ln (5 ) = 0, y (3) = 0 e y 0 (3) = :. Considerando que y = c + c é uma família de soluções de y 00 y 0 = 0 no intervalo ( ; +), mostre que não eiste nenhum membro da família que satisfaça as condições iniciais y(0) = 0, y 0 (0) =, isto é, não podem ser encontradas as constantes c e c. Eplique por que isso não contradiz o teorema da eistência e unicidade de uma única solução. 3. Construa uma segunda solução que seja linearmente independente com a solução y dada em cada uma das EDO s propostas a seguir. (a) y 00 + y 0 6y = 0, y = (b) y 00 (c) y y 0 5y = 0, y = e 5 y = 0, y = 4. Resolva as EDO s ou PVI s dados. (a) y y = 0, y(0) = e y 0 (0) = ; (b) y 00 4y 0 5y = 0, y() = 0 e y 0 () = ; (c) y 00 + y 0 + y = 0, y(0) = 0 e y 0 (0) = ; (d) y y y 0 = 0; (e) y (4) 7y 00 8y = 0; (f) y (5) 7y (4) + y (3) + 8y 00 = 0; (g) y (6) + y (4) y 00 y = 0; (h) y (4) + 3y 000 0y 00 y 0 + 8y = 0: y 00 y 5. Resolva o PVI: 0 y = 0 y(0) =, y 0 (0) = tenda a zero quando t! +: para determinar o valor de para que a solução 6. Encontre a altura h(t) de um corpo pendurado por uma mola, largado na altura de 0; 5m a partir do repouso, sabendo que esta altura é a solução da EDO h h h = 0. (a) Resolva o PVI.

2 (b) Determine as coordenadas (t 0 ; y 0 ) do ponto de máimo. (c) Determine o que ocorre com a equação de movimento quando t! : (d) Faça um esboço da solução y (t). 7. Considere o PVI: (a) Resolva o PVI. 4y y 0 + y = 0 y(0) =, y 0 (0) = : (b) Determine as coordenadas (t 0 ; y 0 ) do ponto de máimo. (c) Determine o que ocorre com a equação de movimento quando t! : (d) Faça um esboço da solução y (t). 8. Resolva as equações diferenciais pelo método dos coe cientes indeterminados: (a) y 00 0y 0 + 5y = (b) y y = 48 e 3 (c) y y = 3sen() (d) y 00 + y 0 + y = sen() (e) y 000 y 00 4y 0 + 4y = 5 e + e (f) y (4) y 00 = 4 + e (g) y 00 4y 0 + 4y = t + 4te t + tsen(t) (h) y 000 y 00 + y 0 = 4e + 40e 5 9. Determine a EDO de a ordem tal que a família de funções abaio seja a sua solução geral. (a) y() = c + c (b) y() = c e + c e (c) y() = c e + c e + (d) y() = c sen() + c cos() + cos 0. Determine a forma da solução particular de uma EDO não homogênea para f() dada, sabendo que a solução da EDO homogênea é y h () = c e + c e : (a) f() = + e (b) f() = e (c) f() = e cos (d) f() = 3e e (e) f() = Determine a solução particular de uma EDO não homogênea, para f () = + e 3 + cos () ; sabendo que a solução da EDO homogênea é y h = c + c senh(3).

3 . Obtenha uma EDO, com coe cientes constantes, tal que a família de soluções seja: (a) y = c + e (c cos () + c 3 sen ()) +sen(3) (b) y = c sen() + c cos () + c cos () (c) y = c sen(3) + c cos (3) + c 3 senh(3) + c 4 cosh (3) + e (d) y = c cos (3) + c sen(3) + c 3 cos (3) + c 4 sen(3) + c 5 + c 6 + c 7 cosh () + + e : 3. Suponha que a solução homogênea (y h ) de uma EDO com coe cientes constantes é y h = c + c + c 3 + c 4 senh (3) + c 5 e 3 + e [c 6 cos () + c 7 sen ()] : Use o método dos coe cientes indeterminados, sem determinar as constantes, para propor uma solução particular (y p ) adequada para cada uma das funções f (funções que tornam a EDO em uma EDO não homogênea) abaio dadas. Use argumentos consistentes para justi car a solução y p proposta em cada caso. Obs: Não é necessário determinar a EDO homogênea cuja solução foi dada acima. (a) f () = 4; (b) f () = e ; (c) f () = e 3 ; (d) f () = cos () (e) f () = e sen(). 4. Resolvas as EDO de Cauchy-Euler dadas. (a) y 00 y 0 + y = ln() + ; (b) y 00 4y 0 + 6y = ; (c) 4 y 00 8y 0 + 9y = ; (d) 3 y y 0 y = 0; (e) 3 y y y = 0; (f) 4 y (4) y y y 0 + y = 0: 5. Resolva as equações pelo método que julgar conveniente. (a) y 00 y 0 y = e ; (b) y 00 + y = tan () ; (c) y 00 + y = sec ; (d) y 00 + y 0 + y = sec(ln()); (e) y y 0 = tan(); (f) y 00 6y 0 + 9y = e3 ; (g) y 00 y 0 = 3 ; (h) y 00 y y = cotg( ln ) ; (i) ( + 3) y 00 + ( + ) y 0 + y = 0: 6. Obtenha uma EDO de Cauchy-Euler cuja solução geral é: (a) y = c 5 + c 5 ln + ln ; 3

4 4 (b) y = c + c + c 3 p : 7. Resolva as EDO s através da redução de ordem: (a) y 00 = + y 0 ; (b) y 00 + (y 0 ) = 0; (c) yy (y 0 ) = 0; (d) yy 00 = y y 0 + (y 0 ) ; (e) y 00 + y 0 = ; (f) ( + t )y 00 + ty 0 + 3t = 0; y() = ; y 0 () = : 8. Determine a solução eplícita do PVI (y 0 ) y 00 = (y0 ) 4 y + ; y(0) = ; y0 (0) = : 9. Resolva a equação diferencial y (4) y000 = 5 : (a) usando a mudança de variável z = y 000 : (b) como sendo uma equação de Cauchy-Euler. 0. Considere o PVI 8 < : d dt + 5d dt + 4 = 0 (0) = ; (0) = : Descreva uma interpretação física para este PVI e obtenha a solução particular do PVI.. Um corpo de kg estica em m uma mola. Determinar a posição do corpo em qualquer instante t, sabendo que o corpo partiu do repouso m abaio da posição de equilíbrioe e supondo que não há resistência do ar.. Um peso de kg é preso a uma mola cuja constante de elasticidade é N=m. O meio oferece uma resistência ao movimento do peso numericamente igual á velocidade instantânea. Se o peso for solto de um ponto 0; 5m acima da posição de equilíbrio a uma velocidade de 4 m=s, qual será o tempo no qual o peso passará pela posição de equilíbrio? 3. Um peso de kg distende uma mola em 40cm. Inicialmente, o peso parte do repouso 0; 5m abaio da posição de equilíbrio. O movimento subsequente tem lugar em um meio que oferece uma força amortecedora numericamente igual a da velocidade instantânea. Qual é a equação do movimento se o peso sofre a ação de uma força eterna igual a f(t) = cos(3t)? 4. Um peso de 6 kg estica uma mola em m. O peso está preso a um amortecedor viscoso com constante de amortecimento de N=m. Se o peso é colocado em movimento a partir da sua posição de equilíbrio com uma velocidade para baio de m=s, determine:

5 5 (a) a equação do movimento; (b) represente geometricamente a equação do movimento; (c) classi que o movimento (superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido); (d) determine o tempo em que o peso retorna pela primeira vez a posição de equilíbrio. 5. Uma massa de kg é atada a uma mola cuja constante de elasticidade é 6N=m. A massa parte do repouso m abaio da posição de equilíbrio e o movimento subsequente está sujeito a uma força de amortecimento numericamente igual a 8 vezes a velocidade instantânea. Encontre a equação de movimento se o peso sofre a ação de uma força eterna igual a f () = 8 sin (4). 6. Determine a carga do capacitor em um circuito em série LRC em t = 0; 0s quando L = 0; 05 h; R = ; C = 0; 0 f; E(t) = 0 V; q (0) = 5 C e i(0) = 0 A. Determine a primeira vez em que a carga sobre o capacitor é igual a zero. 7. Encontre a carga e a corrente estacionária em um circuito LRC quando L = henry, R = ohms, C = 0; 5 farad e E (t) = 50 cos (t). 8. Encontre a carga no capacitor em um circuito em série LRC quando L = henry, R = 0 ohms, C = 0; 0 farad; E (t) = 50 volts, q (0) = coulomb e i (0) = 0 ampere:qual é a carga no capacitor após um longo período de tempo? 9. Determine os pontos ordinários e os singulares, se eistirem, das equações diferenciais abaio. (a) ( 5) y y 0 + ( 5)y = 0; (b) ( 9)y 00 3 y0 + y = 0; (c) 3 ( 5)( ) y ( )y 0 + 7( + 5)y = 0; (d) 3 y y0 + y = 0; (e) y 00 + cos () y = 0; (f) y 00 +senh() y 0 = 0; (g) y e y 0 +sen y = 0; (h) y (4) + ln () y 00 + y 0 + y = 0: 30. Resolva as seguintes equações diferenciais em torno do ponto 0 = 0, analise a convergência das soluções e indique a equação de recorrência. (a) ( 3 + 4)y 00 y 0 8y = 0; (b) y 00 + y 0 + ( )y = 0; (c) y 00 + y 0 + ( )y = 3 ; (d) y 00 + y 0 + ( )y = e : 3. Resolva as EDO s do eercício anterior, somente os itens (a) e (b), em torno de 0 =, se possível. Indique a equação de recorrência.

6 6 3. Resolva o problema de valor inicial dado. (a) y 00 + y 0 + y = ; y() = e y 0 () = ; (b) ( + )y 00 y 0 + y = 0; y(0) = e y 0 (0) = 6; (c) ( 4)y 00 4y 0 + y = 0; y(0) = 0 e y 0 (0) = : 33. Classi que os pontos singulares das equações diferenciais abaio e, se possível, resolva-as em torno de 0 = 0; pelo método de Frobenius. (a) y 00 y 0 + y = 0; (b) 9 y y 0 + y = 0: (a) I = ( ; ) ; (b) I = ; 3 ; (c) I = 3; ; (d) I = ( ; 4) : (e) I = (; 5) : (a) y = 3 (b) y = e 5 (c) y = p Gabarito da Lista 4. - (a) y = (sen (4) + 4 cos (4)) ; (b) y = 3 e5 5 3 e + ; p7 (c) y = p 7 e sen ; (d) y = c + (c + c 3 ) e 6 ; (e) y = c e 3 + c e 3 + c 4 cos p + c 5 sen p ; (f) y = c + c + c 3 e + e (c 4 cos () + c 5 sen ()) ; (g) y = c e + c e + c 3 sin + c 4 cos + c 5 sin + c 6 cos ; (h) y = c e + c e + c 3 e + c 4 e : 5. = :

7 (a) y = 0:5e t + 6te t : (b) (0; 0:5) (c) y (t)! (d) y (a) y = e t + 5 te t (b) t = 8 5 (c) y (t)! 0 (d) y (a) y = (c + c ) e ( + ) ; (b) y = c cos p 3 + c sin p 3 + e ; 3 (c) y = c cos () + c sin () 4 cos () ; (d) y = e c cos p 3 + c sin p 3 + cos + sin cos ; (e) y = c e + c e + c 3 e + 3 e + 4 e ; (f) y = c + c + c 3 e + c 4 e + e ; (g) y = c e t + c te t + 8t3 e t + 6t + t + 9 t+ 6sen(t) + 6 cos (t) ; (h) y = c + (c + c 3 ) e + e e5 : (a) y 00 = 0; (b) y 00 y = 0; (c) y 00 y 0 y = ; (d) y 00 4y = 5 cos : 0. - (a) y p = e + 4 ;

8 8 (b) y p = e ; (c) y p = 3 0 e sin () 0 e cos () ; (d) y p = 3 e + e ; (e) y = y p = 9 e sen() : (a) y y 00 + y 0 = 4 cos (3) 8sen(3) ; (b) y y 0 = 0 cos () ; (c) y (4) 8y = 60e ; (d) y (8) + 4y (6) + 9y (4) 34y 00 = 300e 96: (a) y p = A 3 ; (b) y p = Ae ; (c) y p = A 3 + B e 3 ; (d) y p = A + B + C cos () + A + B + C sin () ; (e) y p = A + B e cos () + C + D e sin () : (a) y = c + c + ln (b) y = c + c 3 ln (c) y = c 3 + c 3 ln + 5 : (d) y = c + c ln + ln (e) y = c + c sin (4 ln ) + c 3 cos (4 ln ) (f) y = c sin (ln ) + c cos (ln ) + c 3 ln sin (ln ) + c 4 ln cos (ln ) (a) y = c e + c e + 3 e ; (b) y = c cos + c sin + ln (sec tan ) cos ; (c) y = c cos + c sin ln cos sin + ln cos + sin ; (d) y = c sen(ln ) + c cos (ln ) + ln (sen (ln )) + cos (ln ) ln (cos (ln )) ; (e) y = c cos +c sin +c 3 +(sin ) ln cos sin +(cos ) ln cos + sin ; (f) y = (c + c ) e 3 + e 3 (ln ) ; (g) y = c + c 9 3p 5 ; (h) y = c cos ( ln ) + c sin (ln ) 4 sin ( ln ) (ln jcos (ln )j ln jsin (ln )j) ; (i) y = c sin (ln ( + )) + c cos (ln ( + )) : (a) y 00 9y 0 + 5y = 9 ln 6 ;

9 (b) 3 y y 00 y 0 + y = : (a) y = c + c ; (b) y = ln ( + c ) + c ; (c) y 4 = 4c + c ; (d) = ln (ln y + c ) + c ; (e) y = + c R e d (f) y = 3 ln t 3 ln + t 3 arctan t ln y = + p + 4: 9. y = c 5 + c + c 3 + c : 0. (t) = 5 3 e t + 3 e 4t :. (t) = cos p 5t p 5 5 sin p 5t : p7 p7. (t) = e 4 t cos 4 t + 37 p sin 7 4 ; t t 0:85s. p (t) = cos 3t sin 3t + e 4 t cos 4 t 4. - p79 (a) y () = p 4 79 e sin ; p p sin 4 t : (b) y ; (c) Subamortecido; (d) = p 79 : 5. y = 9 0 e e 4 4 cos (4) 6. q (t) = e 0t 5 cos (40t) + 5 sin (40t) ; 4 ; 567 6C; 0; 0509s: 7. q (t) = 00 3 sin (t) cos (t); i (t) = 3 cos (t) 50 3 sin (t) : 8. q (t) = e 0t (cos (0t) + sin (0t)) + 3 ; 3 C: 9. - (a) Pontos Singulares: 0 e 5; Ordinários: R f0; 5g ; (b) Pontos Singulares: 3; Ordinários: R f 3g ; (c) Pontos Singulares: 5, 0, e 5 ; Ordinários: R f 5; 0; ; 5g ; (d) Pontos Singulares: 0 e 4; Ordinários: R f 4; 0g ;

10 (e) Pontos Singulares: não há; Ordinários: R; (f) Pontos Singulares: 0; Ordinários: R ; (g) Pontos Singulares: não há; Ordinários: R; (h) Pontos Singulares: não há; Ordinários: (0; +) ; (a) y() = a 0 h (b) y() = a 0 h i h a i + a h i : i ; (a) y() = a 0 + ( ) + ( ) ( )4 + +a ( ) + ( ) + 3 ( ) ( )4 + ; (b) y() = a 0 ( ) ( )3 + ( )4 + (a) (b) y() = (c) y() = (a) y() = a (b) y() = a 0 3 +a ( ) ( ) 6 ( )3 6 ( )4 + : h i +! + 3 3! + 4 4! + + 6; : :7:5: a ; : a 3