CÁLCULO III - MAT Encontre as soluções das seguintes equações com condições iniciais:

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza CÁLCULO III - MAT a Lista de exercícios 1. Encontre as soluções das seguintes equações com condições iniciais: (a) y 2y 3y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1. (b) y + (4i + 1)y + y = 0, y(0) = 0, y (0) = 0. (c) y + (3i 1)y 3iy = 0, y(0) = 2, y (0) = 0. (d) y + 10y = 0, y(0) = π, y (0) = π Determine as soluções particulares, usando o método de variação de parâmetros, para cada uma das seguintes equações diferenciais. (a) y 5y + 6y = 2e x. (b) y + 2y + y = 3e x. (c) y + y = tan x, 0 < x < π/2. (d) y + 9y = 9 sec 2 (3x), 0 < x < π/6. (e) y + 4y + 4y = e 2x /x 2, x > 0. (f) y + 4y = 3 csc(2x). (g) y + 2y + 5y = e x sec 2x. (h) y + 2y + y = e x ln x. (i) y 2y 3y = 64xe x. (j) y 3y + 2y = (1 + e x ) Use o método de coeficientes indeterminados para obter soluções da equação não homogênea, encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Onde estejam especificadas condições iniciais, determine a solução que elas satisfaça. (a) y + y 2y = 2x, y(0) = 0, y (0) = 1. (b) 2y 4y 6y = 3e 2x. (c) y + 4y = x 2 + 3e x, y(0) = 0, y (0) = 2. (d) y + 2y = 3 + 4sen 2x. (e) y + 9y = x 2 e 3x + 6. (f) y 2y + y = xe x + 4, y(0) = 1, y (0) = 1. (g) 2y + 3y + y = x 2 + 3sen x. (h) y + y = 3sen 2x + x cos 2x. (i) y + 2y + y = e x cos x. (j) y + ω 2 0y = cos ωt, ω 0 e ω são constantes, ω ω 0. (k) y + ω 2 0y = cos ω 0 t, ω 0 é uma constante. (l) y + µy + ω 2 0y = cos ωt, µ, ω 0 y ω são constantes, µ 2 4ω 2 0 < 0. (m) y + y + y = sen 2 x. (n) y y 2y = cosh 2x. (o) y 2y + 5y = 25x (p) y 3y + 2y = 12sen2x 18 cos 2x. (q) y 2y + 2y = e x senx. (r) y + y = 10x

2 4. Em muitos problemas físicos a função de entrada, isto é, o termo não homogêneo, pode estar especificado por diferentes fórmulas em diferentes períodos de tempo. Como um simples exemplo de um problema de tal tipo, determine a solução completa de { y t, 0 t π (t) + y(t) = πe π t, t π, que satisfaz as condições iniciais y(0) = 0 e y (0) = 1 e, o requisito de que y e y sejam continuas para todo t. 5. Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações: (a) (x 2 1)y 2xy + 2y = (x 2 1) 2 ; (b) (x 2 + x)y + (2 x 2 )y (2 + x)y = x(x + 1) 2 ; (c) (1 x)y + xy y = (1 x) 2 ; (d) xy (1 + x)y + y = x 2 e 2x ; (e) x 2 y 2xy + 2y = xe x. 6. Se y 1 (x) e y 2 (s) são soluções de e y + P (x)y + Q(x)y = R 1 (x) y + P (x)y + Q(x)y = R 2 (x) respectivamente. Mostre que y(x) = y 1 (x) + y 2 (x) é uma solução de y + P (x)y + Q(x)y = R 1 (x) + R 2 (x). Este método é chamado principio de superposição. Use este principio encontre a solução geral (a) y + 4y = 4 cos 2x + 6 cos x + 8x 2 4x. (b) y + 9y = 2sen3x + 4senx 26e 2x + 27x Duas soluções linearmente independentes da equação de Bessel de ordem 1/2 x 2 y + xy + (x 2 1/4)y = 0, x > 0, são x 1/2 sen x e x 1/2 cos x. Determine as soluções de 8. Resolver x 2 y + xy + (x 2 1/4)y = 3x 3/2 sen x. x 2 y 2xy + 2y = 4x 2, x > 0, considerando que x é una solução da equação homogênea. 9. Verifique que e x e x são soluções da equação homogênea correspondente a e determine a solução geral. 10. Para resolver o problema de valor inicial Siga os seguintes passos: (1 x)y + xy y = 2(x 1) 2 e x, 0 < x < 1, y + y = g(x), y(0) = 0, y (0) = 0. (a) Mostre que a solução geral de y + y = g(x) é ( ) y(x) = c 1 g(t)sen t dt cos x + α ( c 2 + β ) g(t) cos t dt sen x onde c 1 e c 2 são constantes arbitrárias e, α e β são pontos arbitrários convenientemente escolhidos. 2

3 (b) Usando (a) mostrar que y(0) = 0 e y (0) = 0 se c 1 = 0 α g(t)sen t dt, c 2 = 0 β g(t) cos t dt; e por tanto a solução do problema de valor inicial para g(x) arbitraria, pode-se escrever como y(x) = 0 sen(x t)g(t) dt. Esta integral é frequentemente conhecida como a integral de convolução de sen x e g(x). (c) Mostre que a solução de y + y = g(x) com y(0) = y 0, y (0) = y 0 é y(x) = 0 g(t)sen(x t) dt + y 0 cos x + y 0sen x. 11. Considerando que é conhecida uma solução da equação homogênea, a equação não homogênea y + p(x)y + q(x)y = g(x) (1) pode-se resolver também pelo método de redução de ordem. Suponhamos que y 1 (x) é uma solução conhecida da equação homogênea. (a) Mostrar que y(x) = y 1 (x)v(x) é uma solução da equação (1), considerando que v satisfaz y 1 v + (2y 1 + py 1 )v = g(x). (2) (b) A equação (2) é uma equação linear de primeiro ordem para v. Mostrar que a solução é y 2 1(x) p(x)v (x) = y 1 (s) p(s)g(s) ds + k, [ ] onde p(x) = exp p(s) ds e k é uma constante. (c) Usando o item (b) mostrar que a solução geral da equação (1) é ds x [ y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) y1 2(s) p(s) + y 1 s 1(x) y1 2(s) p(s) y 1 (t) p(t)g(t) dt] ds. (d) Usando o processo desenvolvido anteriormente, resolver o Exercício Encontre a solução geral da cada uma das seguintes equações (a) y 3y + 2y = 0. (b) y 3y + 4y 2y = 0. (c) y + 3y + 3y + y = 0. (d) y (4) + 4y + 6y + 4y + y = 0. (e) y (4) y = 0. (f) y (4) + 5y + 4y = 0. (g) y (4) 2a 2 y + a 4 y = 0. (h) y (4) + 2a 2 y + a 4 y = 0. (i) y (4) + 2y + 2y + 2y + y = 0. (j) y (4) + 2y 2y 6y + 5y = 0. (k) y 6y + 11y 6y = 0. (l) y (4) + y 3y 5y 2y = 0. (m) y (5) 6y (4) 8y + 48y + 16y 96y = 0. 3

4 13. Em cada um dos seguintes itens use o método de variação de parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada: (a) y + y = tan t, 0 < t < π. (b) y y = t. (c) y 2y y + 2y = e 4t. (d) y + y = sec t, (e) y y + y y = e t sent. (f) y (4) + 2y + y = sent. 14. Em cada um dos seguintes itens encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução. diferencial dada: (a) y + y = sec t; y(0) = 2, y (0) = 1, y (0) = 2. (b) y (4) + 2y + y = sent; y(0) = 2, y (0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 1. (c) y y + y y = sec t; y(0) = 2, y (0) = 1, y (0) = 1. (d) y y = csc t; y(π/2) = 2, y (π/2) = 1, y (π/2) = Dado que x, x 2 e 1/x são soluções da equação homogênea associada a determine uma solução particular. x 3 y + x 2 y 2xy + 2y = 2x 4, x > 0, 16. Em cada um dos seguintes itens use o método dos coeficientes indeterminados para determinar a solução geral da equação diferencial dada: (a) y 2y + y = t 3 + 2e t. (b) y y = te t + 2 cos t. (c) y (4) 2y + y = e t + sent. (d) y (4) + 4y = sen2t + te t + 4. (e) y (4) y y + y = t tsent. (f) y (4) + 2y + 2y = 3e t + 2te t + e t sent. 17. Fazer o análise da equação de Cauchy-Euler, para x < 0. Sugestão: trabalhar com ( x r ); x < Resolver as seguintes equações de Cauchy-Euler: (a) 4x 2 y + 4xy y = 0 (b) 3x 2 y + 6xy + y = 0 (c) x 2 y + 5xy + 4y = 0 (d) 2x 2 y + xy + y = 0 (e) x 2 y + 8xy + 6y = 0 (f) x 2 y xy + 2y = 0 (g) x 3 y 6y = 0 (h) x 3 y + xy y = 0 (i) x 3 y 2x 2 y 2xy + 8y = 0 (j) x 3 y 2x 2 y + 4xy 4y = 0 (k) { x 2 y + xy + y = 0 y(1) = 1, y (1) = 2 (l) { x 2 y + 3xy = 0 y(1) = 0, y (1) = Resolver as seguintes equações diferenciais não homogêneas: (a) 2x 2 y + 5xy + y = x 2 x (c) x 2 y 2xy + 2y = x 3 ln x (b) x 2 y xy + y = 2x (d) x 2 y 2xy + 2y = x 4 e x 20. Nos seguintes exercícios verificar que as y 1 dadas são soluções das equações dadas e encontre uma solução linearmente independente com y 1. 4

5 (a) y 2y + y = 0; y 1 (x) = e x (b) y 2xy + 2y = 0; y 1 (x) = x. (c) y 2x 1 x 2 y x 2 y = 0; ( x < 1); y 1(x) = 3x (d) y + 3 x y = 0; y 1 (x) = 1. (e) x 2 y + xy 4y = 0; y 1 (x) = x 2. (f) x 2 y 2xy + (x 2 + 2)y = 0; (x > 0); y 1 (x) = xsen x. (g) xy + (2x 1)y 2y = 0; (x > 0); y 1 (x) = e 2x. (h) xy + (x 1)y + (3 12x)y = 0; (x > 0); y 1 (x) = e 3x. (i) xy y + 4x 3 y = 0; (x > 0); y 1 (x) = sen(x 2 ). (j) x 1/3 y + y + ( 1 4 x 1/3 1 6x 6x 5/3 )y = 0; (x > 0); y 1 (x) = x 3 e [3x2/3 ]/ A equação diferencial de Bessel está dada por para p = 1/2; verifique que y 1 (x) = sen x x solução linearmente independente. 22. Considere a equação de terceiro ordem x 2 y + xy + (x 2 p 2 )y = 0 é uma solução quando x > 0. Encontre uma segunda y + a(x)y + b(x)y + c(x)y = 0 e sejam y 1 (x) e y 2 (x) duas soluções linearmente independentes. Seja y 3 (x) = v(x)y 1 (x) e suponha que y 3 (x) é solução da equação. (a) Encontre uma equação diferencial de segundo ordem que seja satisfeita por v. (b) Mostre que (y 2 /y 1 ) é solução desta equação. (c) Use o item (b) para encontrar uma segunda solução linearmente independente, da equação encontrada no item (b). 23. Considere a equação: y 3 x 2 y + 3 y = 0; (x > 0) x3 (a) Mostre que y 1 (x) = x; y 2 (x) = x 3 ; são duas soluções linearmente independentes. (b) Use os resultados do Exercício 6 para obter uma terceira solução que seja linearmente independente com as demais. Foz do Iguaçu, 16 de abril de 2018 Víctor Arturo Martínez León 5