Prof. MSc. David Roza José -

Transcrição

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2 2/11 Em diversos sistemas mecânicos, amortecedores de Coulomb ou de atrito seco são utilizados devido à simplicidade mecânica e conveniência. Em estruturas vibratórias, quando componentes apresentam deslizamentos relativos entre si, o atrito de Coulomb aparece internamente. A Lei de Coulomb diz que quando dois corpos estão em contato, a força necessária para produzir deslizamento é proporcional à força normal agindo no plano de contato. Assim, a força de fricção F é dada por: Sendo μ o coeficiente de atrito, que depende dos materiais e do estado das superfícies em contato. Por exemplo, μ = 0.1 para metais lubrificados em contato; μ = 0.3 para metais não lubrificados; e assim por diante. A força de atrito age na direção oposta à velocidade. O atrito de Coulomb é por vezes chamado de amortecimento constante, já que a força de amortecimento é independente do deslocamento e da velocidade; dependendo somente da força normal N entre as superfícies deslizantes.

3 3/11 Considere o sistema com 1 GL sujeito ao atrito de Coulomb, conforme mostrado. Já que o atrito varia com a direção da velocidade, é necessário considerar dois casos, conforme pode ser observado.

4 4/11 Caso I Quando o deslocamento x é positivo e dx/dt também é positivo; ou quando x é negativo e dx/dt também é negativo. A equação de movimento torna-se: Esta é uma equação diferencial ordinária não-homogênea de segunda ordem. A solução é dada por:

5 5/11 Caso II Quando o deslocamento x é positivo e dx/dt é negativo; ou quando x é negativo e dx/dt é positivo. A equação de movimento torna-se: Esta é uma equação diferencial ordinária não-homogênea de segunda ordem. A solução é dada por:

6 6/11 Essas duas situações mostram que cada metade do ciclo é harmônico e de solução distinta. Porém ambas podem ser expressadas através da função sgn( ); que é um operador que exprime o sinal do argumento. Assim a equação acima é uma EDO não-linear, para a qual métodos numéricos podem ser utilizados.

7 7/11 Exemplo 7.1 Calcular a resposta, através do MATLAB, de um sistema massa-mola sujeito ao atrito de Coulomb com x 0 = 5 m e ẋ 0 = 0. Seja m = 10 kg, k = 200 N/m e μ = 0.5. Resolução de EDOs no MATLAB O MATLAB utiliza diversos métodos solvers baseados em métodos de Runge-Kutta, que podem ser aplicados na solução de equações de EDO s de primeira ordem. Deve-se, num primeiro momento, converter uma EDO de ordem n em n EDO s de ordem 1. Isso pode ser feito através de um método de redução de ordem. Nossa equação de movimento é dada por: Que pode ser separada como:

8 8/11 Exemplo 7.1 Assim podemos criar a rotina que resolve o problema.

9 9/11 (1) A equação de movimento é não-linear com atrito de Coulomb, enquanto é linear com amortecimento viscoso; (2) A frequência natural do sistema permanece inalterada com o atrito de Coulomb, e é reduzida na presença do amortecimento viscoso; (3) O movimento é periódico com o atrito de Coulomb, e não necessariamente será com amortecimento viscoso (criticamente e superamortecido); (4) O sistema para depois de um tempo, enquanto que o movimento teoricamente persiste na presença do amortecimento viscoso; (5) A amplitude de oscilação reduz linearmente com o amortecimento de Coulomb, enquanto reduz-se exponencialmente com amortecimento viscoso; (6) A cada ciclo sucessivo, a amplitude do movimento é reduzida pela quantidade de 4μN/k, de forme que a amplitude no final de cada ciclo consecutivo é dada por:

10 10/11 Exemplo 7.2 Utilize o MATLAB para plotar a resposta do seguinte sistema: m = 450 kg, k = N/m, c= 1000 kg/s, x 0 = e ẋ = 1.0 m/s.

11 11/11 Exemplo 7.3 Dado um sistema massa-mola amortecido de constantes m = 10 kg e k = 200 N/m, com x 0 = 0.6 e ẋ = 0; gere três gráficos sobrepostos de 0 a 5 segundos para ξ = 1.4; ξ = 1 e ξ = 0.25.