DINÂMICA DO SISTEMA CARRO-PÊNDULO

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1 DINÂMICA DO SISTEMA CARRO-PÊNDULO Rafael Alves Figueiredo 1 Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 2121, Santa Mônica, Uberlândia, MG, Brasil. [email protected] Márcio José Horta Dantas 2 [email protected] Resumo: O objetivo principal desse trabalho é estudar e investigar a estabilidade de um sistema dinâmico não linear, precisamente o sistema carro-pêndulo. O modelo do sistema é obtido através da formulação de Lagrange. Tendo o modelo do sistema, utilizam-se dois métodos para analisar e classificar a estabilidade do mesmo, sendo o Teorema de Linearização de Lyapunov-Poincaré e a Função de Lyapunov. Utilizando o Teorema de Linearização de Lyapunov, os estudos são desenvolvidos seguindo o procedimento usual, isto é, determinação dos pontos de equilíbrio, linearização do sistema de equações em uma vizinhança dos pontos de equilíbrio e o estudo da estabilidade desses pontos. Por outro lado, a Função de Lyapunov classifica os pontos de equilíbrio do sistema sem linearizá-lo. Palavras-chave: sistemas dinâmicos, pontos críticos, estabilidade, teoria de Lyapunov, função de Lyapunov. 1. INTRODUÇÃO Em diversos problemas práticos de mecânica, as equações matemáticas que descrevem o seu comportamento são equações diferenciais ordinárias não lineares. Naturalmente, quando se consideram pequenas amplitudes das oscilações envolvidas, estas equações podem ser aproximadas por outras que são lineares. No entanto, como a prática tem demonstrado, cada vez mais é necessário ter modelos mais realistas. Com isto a consideração das equações não lineares originais é inevitável. 2. ESTUDO DA DINÂMICA DO SISTEMA CARRO-PÊNDULO O modelo do sistema carro-pêndulo analisado nesse trabalho, é constituído por um carro de massa que desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito conforme mostra na Figura 1. O carro está submetido a uma mola de constante de Hooke e um amortecedor cujo coeficiente de atrito viscoso é dado por. O carro de massa serve como eixo de rotação de um pêndulo simples de massa e comprimento. 1 Acadêmico do curso Bacharelado em Matemática 2 Orientador

2 Figura 1: Sistema Carro-Pêndulo O primeiro passo para analisar a estabilidade desse sistema, é deduzir o modelo matemático e o mesmo será obtido utilizando as equações de Lagrange. Energia potencial do sistema é dada por: 1 1 Energia cinética do sistema é dada por: 2 2 Lagrangiano do sistema: 2 cos 1 cos 3 Assim, as Equações de Lagrange são: 4 5 cos sin 6 Logo, obtemos: cos sin 0 7 2

3 0 8 sin cos sin 9 10 Logo, cos sin 0 11 Tomando a mudança de variáveis e, segue que e 12 logo, e. Assim, teremos o seguinte sistema: sin cos cos sin cos sin cos 13 Os pontos de equilíbrio são obtidos do sistema 0 sin cos cos 0 0 sin cos sin cos 0 14 Logo, segue que sin cos 0 sin cos 0 15 ou seja, 3

4 sin cos sin cos 16 de onde obtemos 0, 0 ou cos 0. Como, cos, o único ponto de equilíbrio deste sistema é a origem 0, 0, 0, Método da Linearização Na vizinhança da origem, o sistema inicial pode ser aproximado pelo sistema linear Forma matricial: 18 onde, , 0, 0 0, Temos que o polinômio característico é da forma Desde que 0, podemos prosseguir utilizando o critério de Hurwitz (Meirovitch, 2003) verificando o sinal dos determinantes das matrizes de Hurwitz com 1, 2, 3, 4. Os determinantes têm os valores

5 De acordo com o critério de Hurwitz, todas as raízes do polinômio característico têm parte real negativa. Segue do Teorema da Linearização de Lyapunov-Poincaré (Bassanezi, 1988), que o ponto de equilíbrio 0, 0, 0, 0 é assintoticamente estável Função Lyapunov Outra maneira de analisar a estabilidade no ponto de equilíbrio, é utilizando a função Lyapunov (Monteiro, 2002), que de certa forma, são motivadas pelo próprio conceito de energia em osciladores não conservativos, onde a energia não é preservada pela trajetória, mas assume um comportamento monótono, decrescente, se o processo for dissipativo, e crescente, se houver absorção de energia. Tomando a função energia,,,, onde é dado pela Equação (1) e é dado pela Equação (2), concluímos que,,, é uma função de Lyapunov. De fato, 0, 0, 0, 0 0,,, 0 se,,, 0, 0, 0, 0, pois a função T é uma substituição de soma de quadrados e o valor mínimo que a função V assume é. iii),,,,,, Como,,, é da forma, cos, sin, cos 21 e o campo,,, é sin cos cos sin cos sin cos 22 temos que,,,. 23 Como o campo,,, é continuamente diferenciável com o ponto crítico na origem, e a função,,, é uma função de Lyapunov satisfazendo,,, 0 para todo,,, 0, 0, 0, 0. Então, o ponto crítico será assintoticamente estável. 3. AGRADECIMENTOS Agradeço ao meu orientador professor Dr. Márcio José Horta Dantas pelos seus valiosos conselhos, ensinamentos e pela atenção durante todo desenvolvimento do projeto. Agradeço também ao CNPq pelo incentivo e por possibilitar a realização desse trabalho. 5

6 4. REFERÊNCIAS Bassanezi, C.B. e Ferreira Jr, W.C., 1988, Equações Diferenciais com Aplicações, Editora Harbra, São Paulo. Meirovitch, L., 2003, Methods of Analytical Dynamics, Dover, New York. Monteiro, L.H.A., 2002, Sistemas Dinâmicos, Editora Livraria da Física, São Paulo. DYNAMICS OF THE MASS-PENDULUM SYSTEM Rafael Alves Figueiredo Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 2121, Santa Mônica, Uberlândia, MG, Brasil. [email protected] Márcio José Horta Dantas Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 2121, Santa Mônica, Uberlândia, MG, Brasil. [email protected] Abstract: The main aim of this paper is to study stability of a non linear dynamical system, which models a spring-car-pendulum system. The motion equations are obtained from a Lagrangian approach. Two methods are used in order to study the stability of the mechanical system. They are the following ones: the Poincaré-Lyapunov Linearisation Theorem and the method of Lyapunov functions. In the first approach it is necessary to make the linearisation of the system in a equilibrium point of it. From this is possible to get information about the stability of this equilibrium point. When one uses the Lyapunov approach, it is not necessary to do that, but in order to find the Lyapunov function it is necessary to take into account some guessing from the physics of the system. Keywords: dynamical system, equilibrium point, stability, theorem of Lyapunov, method of Lyapunov. 6