Maurício Clarisse Petroceli Loures

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA POGRAMA DE MESTRADO EM MATEMÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS I Maurício Clarisse Petroceli Loures Relatório - Prática Computacional Órbitas para o problema de N corpos Análise de estabilidade para o Pêndulo de Kapitza RIO DE JANEIRO 217

2 Parte I Órbitas para o problema de N corpos 1

3 Introdução Em um sistema fechado tri-dimensional, fazemos valer as leis newtonianas da mecânica clássica e da gravitação universal. Adicionamos a este sistema N corpos esféricos (onde n é um número natural qualquer) em N posições distintas bem definidas do espaço. Para cada um desses corpos definimos uma massa constante e uma velocidade inicial. Como esse sistema evolui através do tempo? Quais órbitas estes corpos desenham no espaço? Com alguma liberdade poética, podemos dizer que as perguntas acima são provavelmente duas das mais antigas da história da ciência. A observação do céu e a tentativa de descrever o movimento dos objetos celestiais são atividades praticadas pela humanidade praticamente desde os seus primórdios. As evidências mais antigas de atividade astronômica datam de 75 A.C. [1]. De uma forma mais rigorosa, devemos atribuir este famoso problema (formulado como no primeiro parágrafo) a Newton que estabeleceu claramente as leis que regem a mecânica celeste e providenciou o ferramental teórico e matemático necessário para a formulação rigorosa do problema. A saber, encontrar soluções para o sistema de equações diferenciais N x x i x j j = Gm i ; j = 1,..., N; xi x j 3 i=1; i j (1) (x 1,..., x N ) = (x o 1,..., x o N ); (x 1,..., x N ) = (vo 1,..., vn o ). onde x i é a posição do i-ésimo corpo, m i sua massa, x o i e vi o são respectivamente sua posição e velocidade iniciais e G é a constante gravitacional do sistema. Nesta parte do trabalho apresentamos algumas condições iniciais que oferecem órbitas interessantes para o sistema 1. 2

4 Órbita circular dupla x o 1 = ( 1,, ) v1 o = (, 1, ) x o 2 = (,, ) v1 o = (,, ) x o 3 = (1,, ) v1 o = (, 1, ) G = 1 m 1 = m 2 = m 3 = 1 3

5 Sistema Sol-Terra-Lua Sol x o 1 = (,, ) v1 o = (,, ) m 1 = 1.988e3 Terra x o 2 = (1.496e11,, ) v1 o = (, 32, ) m 2 = 5.973e24 Lua x o 1 = (1.496e e8,, ) v3 o = (, 31276, ) m 3 = 7.347e22 G = e 11 Adicionando planetas ao sistema solar Mercúrio x o 4 = (46e9,, ) v4 o = (, 5898, ) m 4 =.3311e24 Vênus x o 5 = (17.48e9,, ) v5 o = (, 3526, ) m 5 = e24 Marte x o 6 = (26.62e9,, ) v6 o = (, 2978, ) m 6 =.64171e24 Júpter x o 7 = (74.52e9,, ) v7 o = (, 1372, ) m 7 = e24 Saturno x o 8 = ( e9,, ) v8 o = (, 118, ) m 8 = e24 Urano x o 9 = (2741.3e9,, ) v9 o = (, 711, ) m 9 = e24 Netuno x o 1 = ( e9,, ) v1 o = (, 55, ) m 1 = e24 G = e 11 4

6 Parte II Análise de estabilidade para o Pêndulo de Kapitza 5

7 Introdução A equação do pêndulo simples é um problema clássico e bem estudado da teoria de equações diferenciais. Isso porque trata-se de um fenômeno fácil de reproduzir fisicamente o que permite prever intuitivamente as órbitas das soluções da EDO para condições iniciais dadas. Para o estudo de estabilidade de pontos de equilíbrio, o pêndulo simples também é um exemplo muito inteessante. Para qualquer posição do pêndulo com massa m = 1, podemos medir o ângulo θ formado pela haste do pêndulo e a direção normal a superfície de sustentação onde atua a acelração gravitacional do sistema. Sendo l o comprimento da haste do pêndulo e g a aceleração gravitacional podemos modelar o pêndulo simples através da seguinte equação diferencial ordinária θ = g l sin(θ). (2) Dada a popularidade deste problema, sabemos que os pontos de equilíbrio deste sistema são θ 1 = e θ 2 = π. Também sabemos que o equilíbrio θ 1 trata-se de um equilíbrio estável enquanto θ 2 apresenta equilíbrio instável. Supreendemente, acrescentando alguma vibração sobre o suporte do pêndulo, é possivel estabilizar o equilíbrio θ 2. É o pêndulo vibrante que conhecemos como Pêndulo de Kapitza o qual podemos modelar pela EDO θ = 1 l ( g + av 2 cos(vt) ) sin(θ) (3) onde a é a amplitude e v é a frequência da vibração que aplicamos à base do pêndulo. Estudaremos a equação 3 com mais detalhes nas páginas seguintes. Delineamos os objetivos da nossa discussão a seguir 1. Escolher um método numérico para integrar a equação 3 para diferentes valores de a e v mantendo l = g = Através das soluções encontradas numericamente, investigar pontos de equilíbrio para o pêndulo de Kapitza. 3. Elaborar uma estratégia para investigar analiticamente o equilíbrio do pêndulo com vibração. 4. Obter condições de estabilidade para o pêndulo de Kapitza. 6

8 5. Relacionar os resultados obtidos analiticamente com as soluções encontradas numericamente. Escolhendo um método numérico adequado Ao introduzir uma rápida vibração sobre o pêndulo simples, intuitivamente esperamos que as soluções apresentem elevada oscilação local. No entando, também podemos esperar que o comportamento do pêndulo de Kapitza seja, de alguma forma, similar ao pêndulo simples (com isso queremos dizer que não esperamos um comportamento completamente errático), ou seja, intuímos que soluções serão globalmente bem comportadas. Chamamos os problemas que apresentam esse tipo de comportamente de problemas Stiff. Como as soluções do problema 3 podem apresentar variação muito grande, obter a informação da variação da solução em um ponto futuro, mesmo que em um futuro muito próximo, pode levar a um erro grande o suficiente para fazer a integração numérica divergir. Por isso, para fazer um método explícito de passo simples convergir seria preciso tomar passos muito próximos de zero e, em alguns casos, tão próximos de zero quanto possível. A observação feita acima, nos permite imediatamente excluir de nossa lista de possíveis métodos numéricos todos os métodos explícitos de passo simples. Mais do que isso, podemos também excluir os métodos de passo adaptativo, pois se precisarmos tomar passos "tão próximos de zero quanto possível"o passo ótimo do método de passo adaptativo será o passo mínimo quase em todo ponto. Nestas condições, não existiria distinção entre métodos de passo adaptativo e métodos de passo simples com passo muito pequeno. A alternativa óbvia é recorrer a um método implícito. Eles funcionam bem para problemas stiff porque obtemos a informação da variação no ponto presente e não em nenhum ponto futuro da integração. Por este motivo, ecolheremos o método de Crank-Nicolson para integrar a equação 3. Experimentos numéricos Note que se tomarmos a = na equação 3, obtemos exatamente a equação 2. Utilizamos o integrador que impletamos para obter soluções para diferentes condições iniciais 7

9 (velocidade inicial nula) mantendo g = l = 1; a =. Ver figura (a) θ() = π 4. (b) θ() = ; solução estacionária; pi (c) θ() =.1; θ é equilíbrio estável. (d) θ() = π; solução estacionária (e) θ() = π.1; θ π é equilíbrio instável. Figura 1: Soluções para a equação 3 com l = g = 1, a = ; Notamos que o fluxo da equação 3 é nulo para todo t se e somente sin(θ) = θ {, π}. Desta forma, vamos estudar estabilidade destes pontos de equilíbrios mantendo a =.1. Analisando a figura 2, verificamos que o ponto θ 1 = é estável para qualquer valor de v experimentado, e θ 2 = π é estável apenas para v = 2. 8

10 pi (a) v = 1; θ() =.2; θ é equilíbrio estável. (b) v = 1; θ() = π.2; θ π é equilíbrio instável (c) v = 1; θ() =.2; θ é equilíbrio estável. (d) v = 1; θ() = π.2; θ π é equilíbrio instável (e) v = 2; θ() =.2; θ é equilíbrio estável. (f) v = 2; θ() = π.2; θ π é equilíbrio estável. Figura 2: Soluções para a equação 3 com l = g = 1, a =.1; Estudo analítico da estabilidade do pêndulo de Kapitza Conforme demonstrado em [2], é possivel aproximar as soluções θ(t) da equação 3 por funções θ (t) que satisfazem θ = θ [ g ( av ) ] 2 l cos θ + 2l sin θ. (4) Vamos definir. V (θ ) = g l cos θ + ( av ) 2 2l sin θ Encontramos equilíbrio para o problema 4 se e somente se θ V =. Desta forma, 9

11 obtemos a condição θ V = 1 ] l sin θ [g + (av)2 cos θ = 2l ( ) 2gl sin θ = ou θ o = acos, quando 2gl (av) 2 (av) 2 1. Estamos interessados em estudar a estabilidade dos pontos estacionários θ 1 = e θ 2 = π. Comecemos por θ 1. Neste caso, podemos usar a função de Lyapunov V (θ ) = V (θ ) + g l. Neste caso, escrevemos Temos V () = e, como 1 cos θ V = g l [1 cos θ ] + ( av ) 2. 2l sin θ > para todo θ, V (θ ) > para todo θ. Além disso, V (θ ) ao longo do fluxo da equação 4 é dada por ( θ V ) ( θ V ) = ( θ V ) 2 > em I {} onde I é alguma vizinhança de θ =. Logo, verificamos que V é de fato uma função de Lyapunov e portanto devemos esperar estabilidade do ponto estacionário θ = para quaisquer valores de a e de v. Para θ 2, podemos usar a função de Lyapunov V π (θ ) = V (θ ) g l. Neste caso, escrevemos V π = g l [1 + cos θ ] + ( av ) 2. 2l sin θ Temos V () =. Além disso, V (θ ) ao longo do fluxo da equação 4 é dada por ( θ V π ) ( θ V ) = ( θ V ) 2. Logo, para verificar que V π é de fato uma função de Lyapunov resta mostrar que para alguma vizinhança de θ = π, V π (θ ) >. Note que podemos escrever V π = g l [1 + cos θ ] + (av)2 4l 2 [ 1 cos 2 θ ] = g l [1 + cos θ ] + (av)2 [1 cos θ 4l 2 ] [1 + cos θ ] ] gl (av)2 = [1 + cos θ ] [ + [1 cos θ 4l 2 ]. 1

12 Como 1 + cos θ, o sinal de V π é o mesmo de g l + (av)2 4l 2 [1 cos θ ]. Portanto V π > (av) 2 [1 cos θ ] > 4gl. Vamos mostrar que V π > em I {π} se e somente se (av) 2 > 2gl. De fato, temos 1 cos θ 2. Portanto, (av) 2 2gl = (av) 2 [1 cos θ ] 4gl = V π. Supomos agora (av) 2 > 2gl. Logo, existe δ > tal que (av) 2 > 2gl + δ. Tome ɛ > tal que 2δ 2glɛ δɛ > e uma vizinhança I de π tal que 2 ɛ < 1 cos θ < 2 θ I {π}. Temos, para todo θ I {π}, (av) 2 [1 cos θ ] > (2gl + δ)(2 ɛ) = 4gl + 2δ 2glɛ δɛ > 4gl = V π > Podemos conclcuir que o ponto estacionário θ π é estável sempre que av > 2gl. Este resultado corrobora os experimentos numéricos que realizamos pois para os valores g = l = 1 temos 2gl 1.4. Fixando a =.1, encontramos instabilidade para v = 1 (av =.1 < 1.4) e para v = 1 (av = 1 < 1.4) mas encontramos estabilidade para v = 2 (av = 2 > 1.4). Considerações Finais O que fizemos neste trabalho, demonstra o poder as ferramentas computacionais para gerar intuição sobre o problema estudado. Através dos experimentos computacionais, melhorase o entendimento a respeito do fenômeno estudado o que pode proporcionar ferramentas matemáticas úteis e não triviais para a abordagem analítica o problema. 11

13 Bibliografia [1] AABOE, A., Episodes from the early history of astronomy. Springer Science & Business Media, 21. [2] BELLO, T. et al, Stability Analysis of Pendulum With Vibrating Base; 214. Disponível em <math.arizona.edu>. Acesso em julho,