LISTA 8. Resolva os seguintes sistemas de EDOLÑH pelo método dos operdores e, quando possível, y = 4x 4y. x = 2x + 2y y = 2x 5y.

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1 MAT LISTA 8 Equações Diferenciais 1. Resolva as seguintes equações de ordem superior: (a) y (4) 3y + y = 0 (b) y 5y + 8y 4y = 0 (c) y (4) y + y y = 0 (d) y y = 0. Resolva as seguintes equações de ordem superior: (a) y (4) 5y + 4y = 0 (b) y (4) y + y = 0 (c) y + y = 0 (d) y 3y + 3y y = 0 (e) y (4) 16y = 0 (f) y (4) + 16y = 0 (g) y (4) + y + y = 0 (h) y (4) + y = 0 Resolva os seguintes sistemas de EDOL pelo método dos operdores e, quando possível, também por substituição: = 4 5y = 4 + 5y y = + y y = 4 4y 5. + y = + y = 3 + 3y 6. = + y y = 5y Resolva os seguintes sistemas de EDOLÑH pelo método dos operdores e, quando possível, também por substituição: y = t + y + y = 0 3y = 1t + y = 9 cos3t y = y = 3e t 4 + y z = 0 y + z = 1 y 4z = 16

2 11. Para que valores de a o limite de todas as soluções do sistema é 0 quando t (assintoticamente estável)? = + ay y = 3 4y 1. Considere oscilações livres não amortecidas (sem força eterna e sem atrito) no sistema da figura abaio, consistindo de duas massas unitárias, presas por molas com constantes de elasticidade, respectivamente, 3 e. O objetivo do eercício é determinar as freqüências naturais de oscilação do sistema. m 1 = 1 m = 1 k 1 = 3 k = 1 (a) Deduza que os deslocamentos 1 e das massas a partir de suas posições de equilíbrio satisfazem o sistema de duas EDO s de a ordem 1 = = 1 (b) Isole em uma das equações e substitua na outra. Obtenha a equação (4) = 0 e encontre a solução geral desta última equação. (c) Usando o resultado do item (b) obtenha a solução geral do sistema do item (a). (d) Obtenha a solução do sistema do item (a) com as condições iniciais 1 (0) = 1, 1(0) = 0, (0) =, (0) = 0. (e) Obtenha a solução do sistema do item (a) com as condições iniciais 1 (0) =, 1(0) = 0, (0) = 1, (0) = 0. (f) Analisando as respostas encontradas nos itens (d) e (e), encontre as freqüências naturais do sistema.

3 13. Para um indutor L = 5 henry, uma resistência R = 4Ω, um capacitor C = 0.05 faraday e uma fonte E(t) = 17sent. Deduza que as intensidades de corrente I 1, I satisfazem o sistema de duas EDO s 5I 1 + 4I 1 4I = 17sent 4I 1 + 4I + 0I = 0 E(t) L I 1 R I C Determine I 1 (t) e I (t), sabendo que I 1 (0) = I (0) = Para um indutor L 1 = 1 henry, L = 5 henry, um capacitor C 1 = 4/5 faraday C = 1/10 faraday e uma fonte E(t) = 0 volt. Deduza que as cargas eletricas Q 1 (t), Q (t) satisfazem o sistema de duas EDO s Q (Q 1 Q ) = 0 5Q + 10Q (Q Q 1 ) = 0 Determine Q 1 (t) e Q (t). E(t) L 1 L I 1 I C 1 C 15. Inicialmente o tanque A como na figura contém 90 litros de uma solução de 10gr/l e o tanque B contém água 90 litros de água pura. No instante t 0 = 0, água pura entra no tanque A á razão de 8l/h e a mistura sai do tanque para o tanque B a uma razão de 9l/h, e receve a mistura do tanque B a uma razão de 1l/h. Sabendo que a mistura do tanque B sai para fora do sistema a uma razão de 8l/h. (a) Deduza as EDO s que representam (t) a quantidade de sal no tanque A no instante t e y(t) a quantidade de sal no recipiente B no instante t. A B 3 (b) Determine (t). 16. Considere oscilações livres não amortecidas no sistema da figura abaio, consistindo de 3 massas iguais a m, presas por molas iguais. O objetivo do eercício é determinar as freqüências naturais de oscilação do sistema. 3

4 k k k k m m m 1 3 (a) Deduza que os deslocamentos 1, e 3 das massas a partir de suas posições de equilíbrio satisfazem m 1 = k 1 + k m = k 1 k + k 3 m 3 = k k 3 (b) Supondo as unidades escolhidas de tal forma que as constantes tenham os valores m = 1 e k = 1, procedendo como nos eercícios anteriores mostre que o sistema possui 3 + freqüências naturais: f 1 = π, f = e f 3 =. π π Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando t +. Verifique se a solução (t) = ( 1 (t), (t)) = (0, 0) é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções: = 3 1 = = 1 = = 1 = = 1 + = = 1 4 = 1. 1 = 1 5 = = = = = = 1 = = 3 1 = 4 1 4

5 RESPOSTAS 1. (a) y = C 1 e + C e + C 3 + C 4 (b) y = C 1 e + C e + C 3 e (c) y = C 1 e + C e + C 3 e + C 4 e (d) y = C 1 e + C e / cos( 3.(a) y = C 1 e + C e + C 3 e + C 4 e ) + C 3 e / sen (b) y = C 1 + C + C 3 e cos + C 4 e sen (c) y = C 1 e + C e cos ( ( 3 ) ) ( 3 + C 3 e ) 3 sen (d) y = (C 1 + C + C 3 )e (e) y = C 1 e + C e + C 3 cos + C 4 sen ( (f) y = e C 1 cos( ) + C sen ( ) ( ) + e C 3 cos( ) + C 4 sen ( ) ) (g) y = C 1 cos + C sen + C 3 cos + C 4 sen (h) y = C 1 e cos( )+C e sen ( )+C 3e cos( )+C 4e sen ( ) 3. (t) = e 3t (C 1 sen t + C cos t), y(t) = 1 ) ((C 5 e3t 1 + C ) sen t + (C C 1 ) cos t 4. (t) = C 1 sen t + C cos t, y(t) = ( 5 C C ) ( cos t 5 C + 4 ) 5 C 1 sen t 5. (t) = C 1 e t + C e t + C 3 e 3t, y(t) = C 1 e t C e t 7 3 C 3e 3t 6. (t) = C 1 sen t + C cos t + C 3 sen 6t + C 4 cos 6t y(t) = 1 C 1 sen t + 1 C cost C 3 sen 6t C 4 cos 6t 7. (t) = C 1 e t + C e t 3 t, y(t) = 1 C 1e t C e t 1 t 5

6 8. (t) = C 1 e t + C e t sen 3t + C 3 e t cos 3t et, y(t) = et 1 ( 1 C 1e t + 4 C 4 1 ) 3C3 e t sen ( 1 3t + 3C + 1 3) 4 4 C e t cos 3t 9. (t) = t3 3 4 cos 3t + C 1t + C, y(t) = t3 1 4 cos 3t + C 3t + C 4, 10. (t) = t + C 1, y(t) = t + C, z(t) = 5t + C a < (b) (t) = C 1 cos t + C sen t + C 3 cos(t 6) + C 4 sen (t 6) (c) 1 (t) = 1 C 1 cost + 1 C sen t C 3 cos(t 6) C 4 sen (t 6) (t) = C 1 cos t + C sen t + C 3 cos(t 6) + C 4 sen (t 6) (d) 1 (t) = cost, (t) = cos t. (e) 1 (t) = cos(t 6), (t) = cos(t 6). (f) As frequências naturais do sistema são f 1 = 1 π e f = 13. (t) = e t 1 5 e 4t + sen t 11 5 cos t 6 π. y(t) = e t e 4t + 1 sen t cos t Q 1 (t) = 18 + C 1 sen t + C cos t + C 3 sen t + C 4 cos t Q (t) = C 1 sen t C cos t C 3 sen t C 4 cos t 15. (t) = 450e 1 15 t + 450e 15 t 17. (t) = C 1 e t (1, ) + C e t (, 1) Sela. 18. (t) = C 1 e t (1, 1) + C e t (, 3) Nó estável (é assitoticamente estável). 19. (t) = C 1 e t (1, 1) + C e t (1, 3) Sela. 0. (t) = C 1 e 3t (1, 4) + C e t (1, 1) Sela. 1. (t) = C 1 e t ( cos t, sen t) + C e t ( sen t, cos t) Foco (espiral) estável. 6

7 . (t) = C 1 (5 cost, cos t + sen t) + C (5 sent, cos t + sen t) Centro (é estável mas não assitoticamente estável). 3. (t) = C 1 (3, 4) + C e t (1, ) É estável mas não assitoticamente estável. 4. (t) = C 1 (, 1) + C e t ( 3, 1) Não é estável. 5. (t) = C 1 ( cos 3t, cos 3t + 3 sen 3t) + C ( sen 3t, sen 3t 3 cos 3t) Centro 6. (t) = C 1 e t (cos t, cos t+ sen t)+c e t ( sen t, cos t+ sen t) Foco (espiral) instável. 7