Equações Diferenciais

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1 IFBA Equações Diferenciais Versão 1 Allan de Sousa Soares Graduação: Licenciatura em Matemática - UESB Especilização: Matemática Pura - UESB Mestrado: Matemática Pura - UFMG Vitória da Conquista - BA 2013

2 Aula 16 Objetivos - Modelar matemáticamente fenômenos naturais utilizando os conceitos vistos em equações diferenciais. 0.1 Introdução É bastante comum encontrarmos relações matemáticas que descrevem certos fenômenos naturais. O uso da equações diferenciais tem se mostrado bastante solucionador em algumas questões. Modelos matemáticos para fenômenos como decrescimento radioativo, crescimento populacional, propagação de epidemias ou movimento amortecido são frequentemente modelados por equações diferenciais. 0.2 Trajetórias Ortogonais Considere a seguinte pergunta: Dada uma família a n-parâmetros de curvas, é possível encontrar uma equação diferencial de n-ésima ordem associada a essa família? Na maioria das vezes a resposta é sim. Exemplo 1. Encontre a equação diferencial da família y = c(x 2 + 1). (1) Solução: Temos que Isolando c em (1), temos Igualando (2) e (3), temos dx = 2cx c = 1 2x 1 2x dx = c = dx. (2) y x (3) y x dx = 2xy x Sabemos do cálculo que, duas curvas L 1 e L 2 são ortogonais em x 0 se suas retas tangentes T 1 e T 2 são ortogonais neste ponto, isto é, seus coeficientes angulares m 1 e m 2 são tais que m 1 m 2 = 1. Exemplo 2. Mostre que as curvas L 1 : y = x e L 2 : x 2 + y 2 = 4 são ortogonais nos pontos de interseção. Solução: i) Primeiro achemos os pontos de inteseção L 1 L 2 x 2 + x 2 = 4 2x 2 = 4 x 2 = ± 2. Logo, os pontos de interseção são ( 2; 2), ( 2; 2). ii) Mostraremos que m 1 ( 2).m 2 ( 2) = 1 e m 1 ( 2).m 2 ( 2) = 1. y L 1 = 1 y L 1 ( 2) = 1, y L 2 = x y y L 2 ( 2 2) = = 1. 2 Logo, m 1 ( 2)m 2 ( 2) = 1.( 1) = 1. Da mesma forma substituindo ( 2; 2) em y L 1 = 1 e y L 2 = x y, temos m 1( 2)m 2 ( 2) = 1.( 1) = 1. 1

3 Definição 3. Trajetórias Ortogonais Quando todas as curvas de uma família G(x, y, c 1 ) = 0 interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra família H(x, y, c 2 ) = 0, então dizemos que as famílias são trajetórias ortogonais uma da outra. Um método geral para a obtenção de trajetórias ortogonais de uma dada família de curvas é o seguinte: Encontramos a equação diferencial = f(x, y) dx que descreve a família. A equação diferencial da família ortogonal é então dx = 1 f(x, y). Exemplo 4. Encontre as trajetórias ortogonais da família de hipérboles Solução: A derivada de y = c x A equação diferencial da família ortogonal é dada por Portanto, dx = x y = xdx y = y Logo, as trajetórias ortogonais são y = c x. é dada por dx = c x. Substituindo c = xy nesta última equação, temos 2 dx = c x 2 dx = xy x 2 dx = y x. dx = x y. y 2 x 2 = c. xdx y2 2 = x2 2 + c y 2 x 2 = c. 0.3 Meia-Vida Em física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. A meia-vida é o tempo gasto para a metade dos átomos de uma quantidade inicial A 0 se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Um modelo para tal situação é dado por da = ka, A(t 0) = A 0. Exemplo 5. Um reator converte urânio 238 em um isótopo de plutônio 239. Após 20 anos, foi detectado que 0, 1433 g de uma quantidade inicial de 250 g havia se desintegrado. encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente. Solução: Temos que o qual tem solução Temos que da = ka, A(t) = 250e kt , 1433 = A(20) 250e k.20 = 249, 8567 e k.20 = 0, k = 0, Logo, A(t) = 250e 0, t. O tempo de meio-vida é então dado por 250e 0, t = 125 e 0, t = 0, 5 0, t = ln 0, 5 t = 24, 18 anos. 2

4 0.4 Resfriamento A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura T (t) de um corpo em resfriamaneto é proporcional à diferençaentre a temperatura do corpo e a temperatura constante T m do meio ambiente, isto é, em que k é uma constante de proporcionalidade. = k(t T m), Exemplo 6. Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300 o F. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200 o F. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70 o, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for exatamente 70 o F. Solução: Temos que Como T m = 70 o, temos = k(t 70) = k(t T m). T 70 = k ln T 70 = kt + k T 70 = cekt T = 70 + ce kt. Portanto, Logo, Por fim, T (0) = = 70 + ce k = c T = e kt. T (3) = = e k.3 e 3k = 13 k = 0, T (t) = e 0,19018t. 80 = e 0,19018t = e 0,19018t 0, 19018t = ln t = 16, 49 min. 0.5 Circuitos em Série Em um circuito em série contendo somente um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no indutor (L di ) e da queda de tensão no resistor (ir) é igual à voltagem (E(t)) no circuito. Temos portanto a seguinte equação diferencial linear para a corrente i(t), L di + Ri = E(t), em que L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. Exemplo 7. Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutâcia é de 0, 5 henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial é zero. Solução: Substituindo os dados em nosso modelo, temos Multiplicando (4) por 2, temos 0, 5 di + 10i = 12, i(0) = 0. (4) di di + 20i = 24 = 24 20i di 24 20i = 1 ln 24 20i = t + k 20 ln 24 20i = 20t 20k 24 20i = e 20t 20k 20i = 24 e 20t e 20k i = e 20k e 20t i = ce 20t. 3

5 Como i(0) = 0, temos que Assim, a corrente i é dada por 0 = ce 20.0 c = 6 5. i(t) = e 20t. 0.6 Sistemas Oscilatórios Os sistemas oscilatórios podem ser estudados mediante equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem, proveniente da aplicação de leis físicas, como as leis de Newton e a lei de Hooke. Vejamos o caso das oscilações livres sem amortecimento. Considere um sistema massa-mola composto por uma massa m acoplada a uma mola cuja constante elástica é k, conforme Figura (5). (5) Na parte (a) tem-se uma mola de comprimento l suspensa na vertical. Em (b) observa-se que o corpo de massa m deforma a mola em um comprimento igual a l, de modo que ocorre o equilíbrio entre a força restauradora da mola e o peso do corpo na posição x = 0. Na parte (c), observa-se que a mola exerce uma força para cima igual a k( l kx) = mg kx, sendo que x é a elongação (ou compressão) da mola. Logo, a força resultante é igual a (mg kx) mg = kx. Fazendo x = x(t), temos, pela segunda lei de Newton mx (t) = kx(t). (6) Movimento Livre Dividindo (6) por m e trazendo os termos para o primeiro membro, temos x (t) + k x(t) = 0. (7) m Fazendo ω 2 = k m x (t) + ω 2 x(t) = 0. (8) Adotando as condições iniciais x(0) = α e x (0) = β, temos o seguinte PVI x (t) + ω 2 x(t) = 0, x(0) = α, x (0) = β. 4

6 Observe que as soluções da equação característica p 2 + ω 2 = 0 associada a (8) são p 1 = ωi e p 2 = ωi. Assim, a solução geral de (8) é x(t) = c 1 cos(ωt) + c 2 sen(ωt). (9) O período de vibrações livres descrito em (9) é T = 2π/ω, e a frequência é f = 1/T. Exemplo 8. Resolva o seguinte PVI x (t) + 25x = 0, x(0) = 10, x (0) = 0. Solução: Temos a seguinte equação característica p = 0 cujas soluções são 5i e 5i. Assim, temos a seguinte solução geral x(t) = c 1 cos(5t) + c 2 sen(5t). Aplicando as condições iniciais x(0) = 10 e x (0) = 0, temos x(0) = = c 1 cos(5.0) + c 2 sen(5.0) 10 = c 1. x (t) = 10sen(5t) + c 2 cos(5t) 0 = 10sen(5.0) + c 2 cos(5.0) c 2 = 0. Logo, a solução do PVI é x(t) = 10cos(5t). O PVI resolvido assima equivale a puxar uma massa atada a uma mola para baixo 10 unidades abaixo da posição de equilíbrio, e soltando-a, a partir do repouso, no instante t = 0. Em particular, o período de oscilação é de cerca de 2π/5 segundos. 5