PUCRS - Faculdade de Matemática Cálculo Diferencial e Integral II

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1 PUCRS - Faculdade de Matemática Cálculo Diferencial e Integral II Equações diferenciais Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas, sendo que são de grande interesse nas ciências exatas e nas engenharias, uma vez que muitas leis e relações físicas podem ser formuladas matematicamente por meio de uma equação diferencial. Uma equação diferencial pode ser classificada como ordinária ( EDO ) se a função incógnita depende de apenas uma variável independente, ou parcial ( EDP ) no caso da função incógnita depender de mais de uma variável independente. Exemplos: dy = x + são EDOs d y dy t t + ( t + ) y = e y y 5 = 0 é uma EDP t x OBS: Nossos estudos estarão restritos às equações diferenciais ordinárias. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece, e o grau de uma equação diferencial que pode ser escrita como um polinômio na função incógnita e suas derivadas, é a potência a que se acha elevada a derivada de ordem mais alta. Exemplo: 5 4 d y dy 5 dy + y y = 6x EDO de ordem e grau ( x) Uma função y = y é uma solução de uma equação diferencial num intervalo aberto I se ao substituirmos y e suas derivadas na equação a mesma estiver satisfeita. Exemplo: x dy x y = e é uma solução da EDO y = e no intervalo I = (, + ) Teste: x x e e = e x x x No entanto, esta não é a única solução em I, pois y = Ce + e também é uma solução para x todo valor real da constante C. Na verdade a solução y = e vem a ser um caso particular da x x solução envolvendo a constante C, onde C = 0. A solução y = Ce + e é chamada de solução geral da equação em I. O gráfico de uma solução de uma equação diferencial é

2 chamado de curva integral da equação, ou seja, a solução geral de uma equação diferencial produz uma família de curvas integrais correspondentes a diferentes valores possíveis de serem assumidos pelas constantes, conforme pode ser constatado no gráfico a seguir. Quando um problema aplicado leva a uma equação diferencial, geralmente existem condições que determinam valores específicos para as constantes arbitrárias. Para uma equação de primeira ordem, a única constante arbitrária pode ser determinada especificando-se o valor da função desconhecida y( x) em um ponto arbitrário x 0. Isto é chamado de condição inicial, e o problema é então denominado problema de valor inicial de primeira ordem ( PVI ), genericamente representado da seguinte forma: dy = f ( x) y( x 0 ) = y 0 y x 0 = x tem o efeito de isolar da família de curvas Geometricamente a condição inicial ( ) 0 integrais a curva que passa pelo ponto ( x, ). 0 y 0

3 Equações de primeira ordem separáveis Equações de primeira ordem que podem ser expressas da forma h ( y) dy = g( x) são denominadas separáveis, já que as expressões envolvendo x e y aparecem em lados diferentes da equação. Esta separação permite que a integração de ambos os lados determine a solução da equação na forma H ( y) G( x) + C =. Exemplos: Resolução de equações por separação de variáveis: dy y ❶ = x > dsolve(diff(y(x),x)=y(x)/x); y( x ) = _C x ❷ dy = x y > dsolve(diff(y(x),x)=x^*y(x)); y( x ) = ❸ ' y = y x > dsolve(diff(y(x),x)=(y(x))^*x^); 4 y( x ) = x 4 4 _C ❹ y ' y xy = x ( 0) = _C e > dsolve({diff(y(x),x)-*x*y(x)=*x,y(0)=},y(x)); y( x ) = + 4 e ( x ) ' + x y = ❺ y y() = > dsolve({diff(y(x),x)=(+x^)/y(x),y()=},y(x)); y( x ) = x + 6 x x

4 4 Exercícios Determine a função y ( x) utilizando separação de variáveis. sen( x) y ' = y ( y ) + ( x + ) = 0 Solução: ( x) C y = ± cos + + dy y = tg( arctg( x) + C) x y + x dy = y y + ln y = ln x + C ( ) 4 e x y dy = 0 ; y( 0) = y = e x Equações lineares de primeira ordem Uma equação diferencial de primeira ordem é denominada linear se puder ser escrita no formato: dy + p( x) y = q( x) Exemplo: dy 4 + x y = cos( x) sendo p( x) = x 4 e q( x) = cos( x) Resolução: Método dos fatores integrantes ( ) Determinação do fator integrante: = p x μ e Multiplicar ambos os lados da equação por μ e expressar o resultado como d ( μ y) = μ q(x) Integrar ambos os lados da equação obtida no passo em relação a x e então determinar y. Exemplos: Resolução de equações lineares: dy x ❶ y = e > dsolve(diff(y(x),x)-y(x)=exp(*x)); y( x ) = ( e x + _C ) e x dy x y = x ❷ y() = > dsolve({x*diff(y(x),x)-y(x)=x,y()=}); y( x ) = ( ln( x ) + ) x

5 5 Exercícios Determine a função y ( x) das equações lineares abaixo. y ' xy = x y ' y = 6 y ' 5y = 0 ( ** variáveis separáveis ) Solução: x y = C e x y = + C e 5x y = C e cos x 4 y ' + y = sen( x) x sen( x) ( ) y = C e + Aplicações das EDOs de primeira ordem Problemas de crescimento e decrescimento Seja N() t a quantidade de substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento ou dn decrescimento. Se admitirmos que, taxa de variação da quantidade de substância, é proporcional à quantidade de substância presente, então onde k é a constante de proporcionalidade. dn = k N Exemplo: Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, inicialmente a quantidade de material é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 0% da massa original, determine: a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t a massa restante após 4 horas o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade OBS: o tempo necessário para reduzir uma substância sujeita a decréscimo à metade da quantidade original é chamada meia-vida da substância. -0,05 t N ( t) = 50 e ( 4) 40,5 mg N = t h > restart; > dsolve(diff(n(t),t)=k*n(t)); N( t ) = _C e ( k t )

6 6 > N:=t->C*exp(k*t); N := t C e ( k t ) > solve({n(0)=50,n(.)=45},{c,k}); { C = 50., k = } > k:=-0.057; C:=50; k := C := 50 (a) > N(t); plot(n(t),t=0..00,color=black); 50 e ( t ) (b) > N(4); (c) > solve(n(t)=5,t); Problemas de variação de temperatura Segundo a lei de variação de temperatura de Newton a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa de variação da T m temperatura do corpo é formulada como dt, e a lei de Newton relativa à variação de temperatura pode ser dt = k onde k é a constante de proporcionalidade. ( T T) m

7 7 Escolhendo-se para K um valor positivo, torna-se necessário o sinal negativo na lei de Newton a fim de tornar dt negativa em um processo de resfriamento. Neste processo, T é maior que T ; m e assim T - T m é positiva. Exemplo: Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 00º F num quarto com temperatura constante de 0º F. Se após 0 minutos a temperatura da barra é de 50º F, determine: o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 5º F a temperatura da barra após 0 minutos o t = 9,6 min T( 0) 70,5 F > restart; > Tm:=0; Tm := 0 > dsolve(diff(t(t),t)=k*(tm-t(t))); T( t ) = _C e ( k t ) > T:=t->C*exp(-k*t); T := t C e ( k t ) > solve({t(0)=00,t(0.)=50},{c,k}); { C = 00., k = } > k:=0.05; C:=00; k := 0.05 C := 00 > T(t); plot(t(t),t=0..50,color=black); 00 e ( 0.05 t )

8 8 (a) > solve(t(t)=5,t); (b) > T(0); Circuitos elétricos A equação básica que rege a quantidade de corrente i (em ampéres) em um circuito simples do tipo RL consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é di + R L Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência, um capacitor C (em farads), uma força eletromotriz, e sem indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é dq + i = q RC A relação entre q e i é dq i = Exemplo: Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de henry. Sendo a corrente inicial nula, determine a corrente no circuito no instante t. > restart; > E:=5; R:=50; L:=; E := 5 R := 50 L := > dsolve(diff(i(t),t)+50*i(t)=e/l); i( t ) = + 0 > i:=t->/0+c*exp(-50*t); i := t + 0 E L = e ( 50 t ) E R _C C e ( 50 t ) i = 0 50 e 0 t > solve({i(0.)=0},{c}); { C = } > C:=-0.;

9 9 C := -0. > i(t); 0 0. e ( 50 t ) > plot(i(t),t=0..); Exercícios ➀ Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observaram-se 000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 000 núcleos. Determine: a expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t o número de núcleos inicialmente existentes na cultura 0,66 t N ( t) = 694 e e N ( 0) = 694 ➁ A população de determinado estado cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se após dois anos a população é o dobro da inicial, e após três anos é de habitantes, determine a população inicial. N ( 0) = 706 ➂ Um corpo à temperatura inicial de 50º F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 00º F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60º F, determine: o tempo necessário para a temperatura atingir 75º F a temperatura do corpo após 0 minutos o t = 5,4 min e T( 0) = 79,5 F ➃ Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida num quarto mantido à temperatura constante de 0º F. Se, após 0 minutos, a temperatura do corpo é 0º F e após 0 minutos é 5º F, determine a temperatura inicial desconhecida.

10 0 T 0 = 0 o F ➄ Um investidor aplica na bolsa de valores determinada quantia que triplica em 0 meses. Encontre quanto tempo essa quantia será quadruplicada supondo que o aumento é proporcional ao investimento feito. t = anos, mês e 5 dias ➅ A espessura y() t de gelo formado num lago satisfaz a equação diferencial y ' =. Sabendo y que em t = 0 dias o gelo tem,5 cm de espessura, determine em quanto tempo a camada de gelo terá 5 cm de espessura. t = dias e horas dq Q ➆ A equação diferencial R + = V descreve a carga Q em um condensador com C capacidade C durante um processo de carga envolvendo uma resistência R e uma força eletromotriz V. Se a carga é nula quando t = 0, expresse Q como função de t. t = R C Q CV e Fonte: Moderna introdução às Equações Diferenciais Autor: Richard Bronson Coleção Schaum McGraw-Hill