MAP2223 Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicações

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1 MAP3 Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicações Lista 1 o semestre de 18 Prof. Claudio H. Asano 1 Classificação das Equações Diferenciais 1.1 Classifique as equações diferenciais a seguir. (a) y +3y y = EDO linear de a ordem (b) y xy = x EDO linear de 1 a ordem (c) y +y y x = EDO não linear de a ordem (d) (y ) y = x EDO não linear de 1 a ordem (e) u xy +u yy = x +y EDP linear de a ordem (f) u xx uu y = EDP não linear de a ordem 1. Mostre que y = 1+cet 1 ce t é uma solução geral da equação diferencial y = 1 (y 1). 1.3 Utilize a questão anterior para encontrar a solução da equação y = 1 (y 1) que satisfaz y() =. c = Mostre que y = +e x3 é uma solução particular da equação diferencial y +3x y = 6x. 1.5 Verifique que se y = +lnx é uma solução do problema de valor inicial x y +xy = 1, sujeito x a y(1) =. 1.6 Encontre os valores para a de modo que y = sen(ax) seja uma solução da equação diferencial y +y =. a = ±

2 1.7 Uma população P é modelada pela equação diferencial ( dp dt = P 1 P ) 1 (a) Para quais valores de P temos dp dt? P 1 (b) Para quais valores de P a população é crescente? < P < 1 (c) Para quais valores de P a população é decrescente? P > Uma função y(t) satisfaz a equação diferencial (a) Para quais valores de y tem-se dt =? y =, y = e y = 3 dt = y 5y 3 +6y. (b) Quais são as soluções constantes dessa equação? y =, y = e y = 3 (c) Para quais valores de y a solução é crescente? y <, < y < e y > 3 (d) Para quais valores de y a solução é decrescente? < y < Esboce o campo de direções de cada equação diferencial abaixo. (a) y = y 1 - (b) y = y +x -

3 - - (c) y = y x - - (d) y = xy Resolva a equação diferencial y = x+1 sujeito a y() = 1. y = x +x Encontre a solução geral da equação diferencial dada. (a) y = x y y = Ce x3 /3 (b) y = x y, y y = ± x +C (c) y = y x, x > y = Cx (d) y = ex y 3, y > y = e x +C

4 1.1 A equação diferencial logística dp = kp(1 P/N) pode ser utilizada para modelar a propagação dt de rumores ou fofocas em uma população. Em uma cidade com N habitantes, a taxa de variação dp dt da quantidade de pessoas P que sabem sobre o rumor é proporcional ao produto de P pela N fração de pessoas que ainda não ouviram o rumor. Sua solução é dada por P(t) =, 1+Ae kt onde A = N P(). Mostre que P(t) de fato resolve a equação diferencial logística. Calcule P() lim P(t). t 1.13 Suponha que, em uma cidadezinha com 1 habitantes, às 8:h tenhamos 8 pessoas sabendo de uma história particularmente escabrosa (k =.8) sobre a filha do prefeito. Utilize o exercício anterior para encontrar quantas pessoas sabem da história às 1:h. 1 P(t) = 1+(11.5)e ep() 9.6. Assim aproximadamente 9 pessoas sabem da história.8t às 1:h. 1.1 O número de indivíduos y de uma determinada população varia conforme a EDO y =.(y 1)(1 y) Determine y em função do tempo x, sabendo-se que a população inicial é y() = 9. Calcule em quanto tempo a população se extinguirá Esboce os gráficos das soluções de y = y(1 y)(5 y) Cinqüenta gramas de um nutriente estão sendo utilizados por uma colônia de bactérias a uma taxa proporcional à quantidade de nutriente presente. Escreva uma equação diferencial que descreve a quantidade de nutriente. y = ky, k >, y() = A taxa de variação da pressão em relação à temperatura em determinado sistema físico é proporcional à pressão e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura. Escreva uma equação diferencial que descreve este fenômeno físico. p = k p t 1.18 Dizemos que uma família a um parâmetro y = y C (x) provém de uma equação diferencial se ela corresponder a uma solução geral dessa equação. Dada a família a um parâmetro y = Ce x, mostre que ela provém da equação diferencial y = y. y = (Ce x ) = Ce x = y 1.19 Mostre que a família a dois parâmetros y = ae x +b provém da equação diferencial y = y. y = ae x e y = ae x 1. Encontre uma equação diferencial que está associada à família y = e x+a. y = y 1.1 Encontre uma equação diferencial que está associada à família y = csenx. y = ycotanx 1. Encontre as trajetórias ortogonais às famílias de curvas dadas. Faça o esboço correspondente. (a) x+y = k, retas paralelas.

5 A equação diferencial é paralelas. = com solução geral y = x + C, retas - - (b) y = mx, retas que passam pela origem. A equação diferencial é = x y com solução geral x + y = C, circunferências concêntricas. - - (c) y = kx, parábolas que passam pela origem. elipses. A equação diferencial é = x y com solução geral y + x = C, - - (d) y = kx, parábolas que passam pela origem.

6 elipses. A equação diferencial é = x y com solução geral y + x = C, - - (e) x y = k, hipérboles. A equação diferencial é hipérboles. = y x com solução geral xy = C, - - (f) y = 1, hipérboles transladadas. x+k cúbicas. A equação diferencial é = 1 y com solução geral y 3 3x = C, - -

7 (g) y = ke x, exponenciais. A equação diferencial é = 1 y com solução geral y x = C, parábolas transladadas. - -