n = S(n) + P(n) 10.a + b = (a+b) + (a.b) 10.a + b a b = a.b n = 10.a + b

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Maria Vitória Esteves de Vieira
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1 Erivaldo ACAFE

2 Matemática Básica Chamaremos de S(n) a soma dos algarismos do número inteiro positivo n, e de P(n) o produto dos algarismos de n. Por exemplo, se n = 47 então S(n) = 11 e P(n) 28. Se n é um número inteiro positivo de dois algarismos tal que n = S(n) + P(n) então, o algarismo das unidades de n é a) 1. b) 2. c) 3. d) 6. e) 9. Resolução: n = ab n = a b.10 0 n = 10.a + b n = S(n) + P(n) 10.a + b = (a+b) + (a.b) 10.a + b a b = a.b

3 Matemática Básica Chamaremos de S(n) a soma dos algarismos do número inteiro positivo n, e de P(n) o produto dos algarismos de n. Por exemplo, se n = 47 então S(n) = 11 e P(n) 28. Se n é um número inteiro positivo de dois algarismos tal que n = S(n) + P(n) então, o algarismo das unidades de n é a) 1. b) 2. c) 3. d) 6. e) 9. Resolução: n = S(n) + P(n) 10.a + b a b = a.b 9.a = a.b 9.a = a.b (a) b = 9 Gabarito : e

4 Potênciação Exemplos: 1) (2) 3 = 8 2) ( 4 ) 2 = 16 3) 5 2 = 25 4) 3 0 = 1 5) 7-1 = 1/7 6) (5/3) -2 = 9/25 Propriedades: P 1 ) a m.a n = a m+n P 2 ) a m a n = a m n P 3 ) (a m ) n = a m.n P 4 ) (a.b) n = a n.b n P 5 ) (a b) n = a n b n Importante: N o de Algarismos algarismos

5 Radiciação índice radicando raiz radical Classifique em Verdadeiro ou Falso, cada item: V V V V V F

6 Matemática Básica Exemplo 05: Identifique os casos de fatoração: a) x 2 + 9x + 14 = (x + 2).(x + 7) Trinômio do segundo grau b) 2x 5 4x 3 + 6x 2 = 2x 2.( x 3 2x + 3) Fator comum em evidência c) 4x 6 9y 2 = (2x 3 + 3y).(2x 3 3y) Diferença de dois quadrados d) 9x 2 30xy + 25y 2 = (3x 5y) 2 Trinômio quadrado perfeito e) x 4 x 3 8x + 8 = (x 3 8).(x 1) Agrupamento

7 Geometria Analítica Baricentro: A(2,6), B(6,9) e C(7,-3) : Área: A(2,6), B(6,9) e C(7,-3) :

8 Geometria Analítica Equação da reta: Dois pontos: A(3,-2) e B(4,1) -3x + y +11 = 0 ( Equação Geral ) y = 3x - 11 ( Equação Reduzida ) Coeficiente angular : 3 Coeficiente linear : -11

9 Geometria Analítica Equação da reta: Um ponto e o coeficiente angular: A(-3,2) e m = 5 y y 0 = m.(x x 0 ) y 2 = 5.(x +3) 5x y + 17 = 0 A(-3,2) y = a.x + b y = 5.x + b 2 = 5.(-3) + b b = 17 y = 5x + 17

10 Geometria Analítica Retas paralelas: Mesmo coeficiente angular r//s m r = m s (r) 3x 4y + 2 = 0 (s) 3x 4y + c = 0 Retas perpendiculares: Coeficientes angulares, inversos e opostos (r) 5x + 2y 3 = 0 (s) 2x 5y + c = 0

11 Geometria Analítica Equação da circunferência: Dados : Centro C(a, b) e Raio r (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Exemplo: C( 3, -2) e r = 5 (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 25

12 Geometria Analítica Equação da circunferência: x 2 + y 2 8x 8y + 28 = 0 :(-2) :(-2) C ( 4, 4) (4) 2 + (4) 2 28 = R 2 2 = R

13 Análise Combinatória Questão Assinale V ou F nas seguintes afirmativas: F I) ( ) Com os algarismos do sistema decimal é possível formar 900 números distintos de três algarismos. Resolução: Algarismos: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Etapas: 9p. 10p. 10p = 900

14 Análise Combinatória F II)( ) Com os algarismos do sistema decimal é possível formar 320 números pares de três algarismos distintos. Resolução: Algarismos: { 0, 1 2, 3 4, 5, 6, 7 8, 9 } Etapas:.. par 1º caso: O zero está na casa das unidades 9p. 8p. 0 = 72 fixo 2º caso: O zero não está na casa das unidades 8p. 8p. 4p = 256 Resposta: = 328

15 Análise Combinatória III)( V ) Com 5 homens e 4 mulheres, podem ser formadas 81 comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens. Resolução: (3H e 2M) ou (4H e 1M) ou (5H) x + x +

16 Análise Combinatória IV)( V ) Dos 120 anagramas da palavra CLARO, 36 possuem as consoantes juntas. Resolução: Anagramas = Permutação C L R O A P 3. P 3 3!. 3! Gabarito: F, F, V, V 6. 6 = 36

17 Probabilidade Questão Considere uma urna contendo 10 bolas idênticas. Em cada bola foi gravado um único número do conjunto Qual é a probabilidade de se retirar dessa urna, ao acaso, uma bola em que está gravado um número racional? Resolução: Números Racionais: Probabilidade:

18 Probabilidade Questão Se um casal tiver quatro filhos, a probabilidade de que tenham exatamente duas meninas é de : Resolução: M e M e H e H Probabilidade: x x x

19 Função Domínio x y Contradomínio Lei de formação

20 Função Questão Encontre os domínios das seguintes funções: Resolução:

21 Função Afim f(x) = a.x + b y y y b b (x,0) x b (x,0) x x a < 0 b > 0 x: raiz ou zero da função a > 0 b < 0 x: raiz ou zero da função a = 0 b > 0

22 Função Quadrática y c f(x) = a.x 2 + b.x + c Sinal do a: a > 0 Parábola côncava para cima Sinal do b: b < 0 Parábola passa por y descendo (x 1,0) (x 2,0) x 1 e x 2 : zeros da função ou raízes x Sinal do c: c > 0 Parábola toca y no positivo Sinal do Δ: Δ > 0 Parábola toca x em dois pontos

23 Função Quadrática f(x) = a.x 2 + b.x + c y y V vértice x V x 1 x 2 x O Vértice da parábola será: -O ponto máximo ( a<0 ) -O ponto mínimo ( a>0 )

24 Função Quadrática Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversa rio. A bola descreve uma trajetoŕia paraboĺica, passa por cima da trave e cai a uma dista ncia de 40 m de sua posic a o original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre a) 4,1 e 4,4m. b) 3,8 e 4,1m. c) 3,2 e 3,5m. d) 3,5 e 3,8m.

25 Função Quadrática Resolução: Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre y x

26 Função Quadrática y 3 Lei de formação: y = a.(x x 1 ).(x x 2 ) x y = a.(x 0).(x 40) (30,3) 3 = a.(30 0).(30 40) a = -1/100 y = a.(x 0).(x 40)

27 Função Quadrática y a altura máxima por ela alcançada esteve entre y máx. 3 x = x Gabarito: b

28 Paridade Função Par f(x) = f(-x) Função Ímpar f(x) = -f(-x) Domínios opostos Domínios opostos Imagens iguais Imagens opostas

Q.I. f -1 fof -1 (x) = x f -1 of(x) = x x A composta de uma

29 Função Inversa O gráfico de uma função e o gráfico da sua inversa sempre serão simétricos em relação as B.Q.I. y f B.Q.I. f -1 fof -1 (x) = x f -1 of(x) = x x A composta de uma função com a sua inversa sempre resultará na função identidade

30 Exponencial Função f(x) = a x C.E. a > 0 e a 1 0 < a < 1 a >1 0 decrescente 1 crescente a 0 < a < 1 y f(x) = a x a > 1 y 1 x 1 x

31 Exponencial Inequação > > > < base > 1 0 < base < 1

32 Logaritmo Definição: log b a = x b x = a Condição de Existência: Base: b > 0 e b 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0 Propriedades: Mudança de base: log b (a.c) = log b a + log b c log b (a/c) = log b a log b c log b (a n ) = n.log b a log b a = log log c c a b

33 Logaritmo Assinale V ou F: ( ) log 7 1 = 0 V V ( ) log log 3 7 = log 3 14 V V V ( V ) e ln5 = 5 ( V ) log(x 3.y 2 ) = 3.log x+2.log y ( V ) log 2 + log 5 = 1

34 Logaritmo A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 já apareceu uma diferença: estava (0,01) C (graus Celsius) acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função t(x)=(0,01).2 (0,05).x,com t(x) em C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média da Terra (em relação àquela registrada em 1870) no ano ( x), x 0. Com base na função, determine em que ano a temperatura média da Terra terá aumentado 3 C. (Use as aproximações log 2 (3) = 1,6 e log 2 (5) = 2,3).

35 Logaritmo A função: t(x) = (0,01).2 (0,05).x,com t(x) em C e x em anos. Use as aproximações: log 2 3 = 1,6 e log 2 5 = 2,3. Em que ano (1880+x) a temperatura terá aumentado 3 C. Resolução:

36 Logaritmo Use as aproximações: log 2 3 = 1,6 e log 2 5 = 2,3. Em que ano (1880+x) a temperatura terá aumentado 3 C. Resolução: Ano: = 2044

37 Polinômios Do ano 2000 (x=0) até o ano 2006 (x=6), o número de automóveis numa certa cidade variou conforme a função V(x) = 9x + 100, enquanto a população variou, nesse mesmo período, segundo o polinômio P(x) = 1,8x x + 300, sendo V(x) e P(x) dados em milhares de unidades. Podemos afirmar que, nesse período, o número de habitantes por automóvel variou segundo a função: a) y = 0,2x + 2,4 b) y = 0,3x + 1,8 c) y = 3x + 0,6 d) y = 0,2x + 3 e) y = 1,2x + 1,6 Resolução: Habitantes: P(x) = 1,8x x Automóveis: V(x) = 9x + 100

38 Polinômios Resolução: Habitantes: P(x) = 1,8x x Automóveis: V(x) = 9x O número de habitantes por automóvel a) y = 0,2x + 2,4 b) y = 0,3x + 1,8 c) y = 3x + 0,6 d) y = 0,2x + 3 e) y = 1,2x + 1,6 1,8x x x ,8x 2-20x 0,2x x x x

39 Erivaldo FIM

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